产品定价模型

摘要

本论文首先根据题目中所提供的产品的销售价格与销售量、广告费和销售增长因子之间变化关系进行观察分析，发现随着售价的增长，产品的销售量逐渐减少；而随着广告费用的升高，产品的销售增长因子随之提升。因此本文所建模型应首先考虑利润的最大化问题。即既要保证产品的售价达到商家预期的效果，同时在一定的广告费用下，产品的利润值要最大。根据表中的数据，我们决定对先列出销售价格x1、销售量p、广告费用x、销售增长因子k与最大利润Q max这5个关键元素进行条件预设，再列出之间的关系式，由于“利润=收入-成本”，因此在本题中利润的表达式为Q=k∙p∙(x1−20)−x。然后在分别针对销售价格x1与销售量p的关系以及广告费用x与销售增长因子k进行拟合分析，求出彼此之间的函数关系，利用C语言写出汇编程序和Excel软件求出利润的最大值.我们将产品的售价定为56.9元，广告费定为 3.17万，而最终的利润为Q max≈115668.5（元）。

在求出初步解之后，我们又采用高等数学中的多元函数求极值地方法，在MATLAB 软件的支持对问题进行分析验证，再次编程中再次求出结果，并与之前的结果进行对比，验证了我们的分析与解析方案的正确性。从而为求出利润的最大值找到了最佳的条件分配方案。

关键词：拟合分析、MATLAB、多元函数求极值、最大利润Q max

目录

摘要 (1)

一、问题重述 (3)

二、问题分析 (4)

三、模型假设 (4)

四、符号说明 (4)

五、模型的建立与求解 (4)

5.1 整体思想的构建 (4)

5.2 x1与p的关系进行拟合 (5)

5.3 x与k的关系进行拟合 (6)

5.4 式子的代入与求解 (7)

5.5 用数学的方法计算式子的最大值 (9)

六、模型分析 (11)

七、模型的优缺点 (12)

7.1 模型的优点 (12)

7.2 模型的缺点 (12)

八、模型的改进方向 (12)

九、参考文献 (13)

十、附录 (13)

10.1 最大值计算的程序 (13)

10.2 求偏导数及结果 (14)

10.3 求最值编程 (15)

问题背景

新产品定价合理与否，不仅关系到新产品能否顺利地进入市场、占领市场、取得较好的经济效益，而且关系到产品本身的命运和企业的前途。新产品定价可采用撇脂定价法、渗透定价法和满意定价。所谓广告效应，是指广告作品通过广告媒体传播之后所产生的作用。从广告的性质来看，它是一种投入与产出的过程，最终的目的是为了促进和扩大其产品的销售，实现企业的盈利和发展。但是它本身就是一个复杂的过程，涉及到许多具体的环节，只有在各个环节之间相互协调，才能确保它的有效性。广告投资的目标和投资效果之间往往存在差异。目标是广告主的主观愿望，而效果则是客观的反映。广告投资的数量与效果通常是正相关的关系，即广告费投入量越大，效果越大；投入量越小，效果就越小。但也常常出现负效应，即一定数量的广告投资后产生了不利于实现广告目标的效果。在本题中就有体现。

一、问题重述

某玩具批发公司欲以每件20元的价格购进一批玩具并销售出去。

一般来说随着玩具售价提高，预期销量将会减少，公司对此进行了估算，相关数据见表1。

为了尽快收回资金并获得较多的盈利，玩具公司准备投入一定的资金用于玩具广告。实际证明，在投放玩具广告后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。依据以往的销售经验，投入的广告费与销售增长因子的关系如表2.

现在的问题是，玩具公司应当采取怎样的营销策略，使得预期的利润最大？

表1-1 售价和预期销售量之间的关系

表1-2 广告费和销售增长因子之间的关系

二、问题的分析

对于销售问题，目的就是店家如何用最低的成本获取最大的利润，可以用一个式子来表示：利润=单价∙销售量-成本费。由此要考虑的问题有：

1、销售量与现有货量的关系：供大于求还是供不应求；

2、货物的挤压是否会影响进货问题，导致资金周转不顺利；

3、如何处理玩具存在的挤压损坏等问题

4、成本费包含有哪些费用

5、玩具售价与预期销售量的关系以及广告费与销售因子间的关系

三、模型假设

为了简化模型，计算简便，作以下模型的假设：

1、现有货量充足，不考虑货物积压，资金周转不顺等问题带来的不便；

2、不考虑货物损坏等情况；

3、成本费仅包括广告费和玩具成本费；

4、玩具售价X1与预期销售量P 以及广告费X 与销售因子K间存在一定的函数关系，且该函数关系可微；

四、符号说明

符号符号说明

P 预期销售量

X1 售价

X 广告费

K 销售增长因子

Q 利润

五、模型的建立与求解

5.1 整体思想的构建

在经济学中，利润=收入-成本，在本题中利润的表达式为

Q=k∙p∙(x1−20)−x（5-1）

从本式子可以看出，方程式中共有五个未知量，分别为：最终目标 Q;销售增长因子 k；预期销售量 p；售价x1；广告费 x；我们的最终目标是求得Q max；从式子中得知，Q与四个未知量有关系，但在题中给出了x1与p，x与k，的关系，我们首先对x1与p的关系进行拟合；

5.2 x1与p的关系进行拟合

从题目所给的表格：

表5-1 售价和预期销售量之间的关系

11

关系进行拟合，如下所示：

表5-2 售价和预期销售量之间的关系

序

函数类型方程R²

号

1 指数y = 5.8751e-0.018x0.9907

2 一次y = -0.0513x + 5.0422 0.9909

3 对数y = -1.89ln(x) + 9.8506 0.986

4 二次y = 0.0002x2 - 0.0707x + 5.3897 0.9938

5 三次y = -2（10）^5x3 + 0.0026x2 - 0.1587x + 6.4091 0.9959

6 四次y = 3（10）^7x4 - 7（10）^5x3 + 0.0056x2 - 0.2315x + 7.0364 0.9959

7 五次y = 2（10）^7x5 - 4（10）^5x4 + 0.0031x3 - 0.113x2 + 1.8983x - 7.6303 0.9981

8 幂y = 29.228x-0.6350.9542

从表中的各个拟合式的R²可以看出，多项式的拟合最好，为了计算很方便，也为了