线性规划问题及其数学模型(最新整理)

试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标函数值无界。
7. 给出线性规划问题
2
max z 2x1 4x2 x3 x4
2xx12x13xxx322xx64 468
x1
x2
x3
9
x j 0 ( j 1,,4)
要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为 X*=(2,2,4,0)，试根据
每捆原稿纸用白坯纸 3 1 kg, 每打日记本用白坯纸 13 1 kg, 每箱练习本用白坯纸
3
3
26 2 kg。 已知生产各种产品的赢利为：每捆原稿纸 1 元，每打日记本 2 元，每箱练 3
习本 3 元。试决定：（1）在现有生产条件下使该厂赢利最大的方案；（2）如白坯纸
供应量不变，而工人数量不足时可从市场上招收临时工，临时工费用为每人每天 15
(4)
n
aij x j
bi
(i 1,, m1 m)
j1
n
aij x j
bi
(i m1 1, m2 2,, m)
j1
x
j
0无约束
( j 1,, n1,, n)
2. 判断下列说法是否正确，为什么?
(1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；
(2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；
变；
（3）约束条件右端项由
13
变为
2 3
；
（4）增加一个新的变量 x6 , P6 11, c6 7 ；
4
(5)增添一个新的约束 x1+2x2+x3≤4。 13. 分析下列线性规划问题中，当且变化时最优解的变化，并画出 z(λ)对 λ 的 变化关系图。
1 min z x1 x2 x3 2x4
(2)
4xx11
5x2 7x2
x3 3x3
3 8
x1无约束, x2 0, x3 0
mn
min z
cij xij
i1 j1
n
(3)
xij
ai
(i 1,, m)
j1
m
xij
bj
( j 1,, n)
i1
xij
0
(i 1,, m; j 1,, n)
n
min z c j x j j 1
不变；(3)如果设计一种新产品 D，单件劳动力消耗为 8 单位，材料消耗为 2 单位，每件
可获利 3 元，问该种产品是否值得生产?(4)如果劳动力数量不增，材料不足时可从市
场购买，每单位 0.4 元。问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜。
A
B
C
可用量
劳动力
6
3
5
45
材料
3
4
5
30
产品利润（元/件）
x1x2
x2 x3 6 2x2 4
x
j
0
( j 1,2,3)
先用单纯形法求出最优解，再分析在下列条件单独变化的情况下最优解的变化。
(1)目标函数变为 max z＝2x1+3x2+x3；
(2)约束右端项由
6 4
变为
3 4
。
(3)增添一个新的约束条件-x1+2x3≥2。 12. 给出线性规划问题
对偶变量
n
5a1 j x j
5b1
yˆ1
j 1
n 1
j
1
5
a2
j
x
j
1 5 b2
yˆ2
n
j
1
(a3
j
3a1 j )x j
b3
3b1
yˆ3
x
j
0
j 1,,n
ห้องสมุดไป่ตู้
试分别写出 yˆi 同 yi (i 1,2,3) 间的关系式。
9. 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。
min z 4x1 12x2 18x3
min z 5x1 2x2 4x3
（1）
x1
2x2
3x2 2x3
3
5
x
j
0
( j 1,2,3)
（2）
3x1 6x1
x2 2x4 4 3x2 5x3 10
x
j
0
( j 1,2,3)
10. 考虑如下线性规划问题：
min z 60x1 40x2 80x3
3x1 2x2 x3 2
对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
8. 已知线性规划问题 A 和 B 如下：
问题 A
问题 B
n
max z c j x j j 1
对偶变量
n
a1 j x j
b1
y1
j1
n
a2 j x j b2
y2
j1
n
j
1
a3
j
x
j
b3
y3
x
j
0
j 1,, n
n
max z cj xj j 1
4 max z 3x1 2x2 5x3
x1 2x2 x3 40
3x1 2x3 60 2 x1 4x2 30 7
x j 0 j 1,2,3
14. 某厂生产 A，B，C 三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表。要求：(1)
确定获利最大的产品生产计划；(2)产品 A 的利润在什么范围内变动时，上述最优计划
元。问该厂应否招临时工及招收多少人为宜。
6
0
CB
基
B
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x4
(b)
1
1
1
1
0
0
2
x5
15
(a)
1
2
0
1
0
1
x6
20
2
(c)
1
0
0
1
cj zj
0
0
2
0
0
0
1
0
x4
5/4
3
x1
25/4
2
x2
5/2
cj zj
0
0
(d) (l) -1/4 -1/4
1
0
(e)
0
3/4
(i)
0
1
(f)
0
(h)
1/2
-1
(k)
(g) 0 -5/4 (j)
3
1
4
15.已知线性规划问题
max z (c1 t1 )x1 c2 x2 c3 x3 0x4 0x5
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
x4 x5
b1 b2
3t2 t2
x
j
0
( j 1,...,5)
当 t1 t2 0 时求得解最终单纯形表进见下表。
max z 2x1 3x2 x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
x3
1
1 3
x1
4 3
x2
7 3
x2
3
x
j
0
( j 1,2,3)
用单纯形法求解得最终单纯形表见下表。
2
3
1
0
0
CB
基
B
x1
x2
x3
x4
x5
2
x1
1
1
0
-1
4
-1
3
x2
2
0
1
2
-1
1
cj zj
0
0
-3
-5
-1
试分析下列各种条件下最优解(基)的变化： (1)目标函数中变量 x3 的系数变为 6； (2)分别确定目标函数中变量 xl 和 x2 的系数 c1、c2 在什么范围内变动时最优解不
4. 给出线性规划问题
min z 2x1 3x2 5x3 6x4
x12x12x2x2
3x3 x4 x3 x4
2 3
x
j
0
( j 1,,4)
(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问
题性质写出原问题最优解。
5. 给出线性规划问题
max z x1 2x2 x3
x1 2x2 x3 2
2x1x1x
2 x3 1 x2 x3
2
x1 0, x2 0, x3无约束
(1)写出其对偶问题；(2)利用对偶问题性质证明原问题目标函数值 z≤1。 6. 已知线性规划问题
max z x1 x2
x1 x2 2x1 x
x3 2 2 x3 1
x1, x2 , x3 0
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分 析习题
1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。
min z 2x1 2x2 4x3
x1 3x2 4x3 2
(1)
2x1x14
x2 x2
3x3 3x3
3 5
x1, x2 0, x3无约束
max z 5x1 6x2 3x3
x1 2x2 2x3 5
4 2
x1 x1
x2 3x3 4 2x2 2x3 3
x j 0 ( j 1,2,3)
要求：(1)写出其对偶问题；(2)用对偶单纯形法求解原问题；(3)用单纯形法求 解其对偶问题；(4)对比(2)与(3)中每步计算得到的结果。
3
11. 已知线性规划问题：
max z 2x1 x2 x3
项目
x1
x2
x3
x4
x5
5
0
x3 5/2
1
x1 5/2 cj zj 0
0.5
1
-0.5
0
-4
0
0.5
0
-1/6
1/3
-4
-2
（1）确定 c1 , c2 , c3 , a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 和 b1 , b2 的值；
（2） 当 t2 0 时， t1 在什么范围内变化上述最优解不变；
2xx11xx3223xx44
2 5
xj
0
j
1,4
2 max z 3 x1 2 x2
2x1 5x2 10
6x1 x1
x2 x2
12 1
x j 0 j 1,2
3 min z x1 x2 2x3 x4
xx12
2x3 x4 2 x3 x4 1
x
j
0
j 1,4
（3）当 t1 0 时， t2 在什么范围内变化上述最优基不变；
16．某文教用品厂利用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。该
厂有工人 100 人，每天白坯纸的供应量为 30000kg。如单独生产各种产品时，每个工
人每天可生产原稿纸 30 捆，或日记纸 30 打，或练习本 30 箱。已知原材料消耗为：
( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原
问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；
(4)任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。
3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单
纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
3
2
2
0
0