常见辅助线添法和证明方法

【常见辅助线添法和证明方法】：

一、常见辅助线的添线方法和作用：

1、【中垂线】：

①直接条件：看见中垂线 连接线段两端，构造等腰三角形。 ②间接条件：看见折叠 连接对应点所得到的线段，被折痕（中垂线）垂直平分，转到①

③间接条件：看见等腰三角形顶角平分线 先利用三线合一说明垂直平分，再转到①，寻找其他等腰三角

形，然后进行证明和计算。

2、【角平分线】：

①直接条件：看见角平分线 过角平分线上一点作两边的垂线段，得相等线段。

②间接条件：看见折叠 折痕就是角平分线，转到①

③间接条件：看见等腰+平行 先证明角平分线，再转到①

④间接条件： 作一点关于某条直线的对称点 连接直线上一点与这两个点（不共线的情况），直线平分这个

角，再进行证明和计算。

⑤角平分线+全等：

∵ AD 平分∠BAC 注意：还可以探索AC 、AB 、FB 的关系 DE ⊥AB ，DF ⊥AC （一定要写） AC - AB =（AE + EC ）-（AF - FB ） ∴ DE = DF （注意书写，反之，类似） = EC + FB = 2FB 在Rt △DBF 和Rt △DCE 中（注意对应点）

∴ DCE Rt DBF Rt ∆≅∆（HL ）（注意理由）

⑥根据三角形中，三条角平分线交于一点的结论，如果在一个三角形中出现两条角平分线，那么连接交点和第三

个顶点所得到的线段，一定平分该三角形中第三个内角。

3、【高线】：

①看见角平分线 + 一边上的高 立即想到作另一边上的高，证垂线段相等，反之亦然。

②看见等腰三角形 立即想到作底边上的高，构造直角三角形，利用勾股定理完成计算，

同时，可以把两腰相等的条件转化为底边被平分的结论，多用于压轴题中t 的计算。

③看见45°角 立即想到作高，构造等腰直角三角形，利用直角边：斜边=1： 完成计算。

④看见30°角 立即想到作高，构造直角三角形，利用30°角所对的直角边是斜边的一半斜边完成计算。

4、【平行线】：作用是可以改变一个角的位置，但不改变这个角的大小。

构造平行线：常见题型为证明线段相等，一般是通过添加平行线先证全等三角形，得两条线段相等，再证等腰三角

形，得另两条线段相等，最后可完成题目证明要求。

①看见角平分线（或者折叠问题中的折痕） 过角平分线上某点作角的一边的平行线，得等腰三角形

过点D 作DE ∥AC ，

交AB 于点E

可证等腰三角形AED

②在等边三角形中，通过一边上的某点作另一边的平行线，可以得到一个小的等边三角形，

常用于线段或角的等量代换。

5、【倍长中线】：

看见中线 延长中线一倍，利用SAS 证明全等 根据全等，得出其他边或者角相等的结论。

注意：倍长中线的作用：可以把不在同一个图形中的边或者角，通过全等，转化到同一个图形中去。如下图： 2⎩⎨

⎧==DC

DB DE DF

已知：△ABC 中，AB = 5，AC = 3，点D 为BC 中点

求：AD 的范围

解：延长AD 到点E ，使DE = AD （注意辅助线的书写用语）

易证：)(SAS EBD ACD ∆≅∆

∴ EB = AC = 3

在△ABE 中，

∵ 2 < AE < 8 ∴ 1 < AD < 4

6、【两圆一线】：

已知两点：点A 和点 B ，画等腰三角形。

以点A 作为等腰三角形顶点的画法：以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，交已知线于某点。

以点B 作为等腰三角形顶点的画法：以点B 为圆心，AB 长为半径画圆，交已知线于某点。

以AB 为等腰三角形底边的画法：作线段AB 的中垂线，交已知线于某点。

（图1） （图2） （图3）

如图2：

可看成 与 的组合

（图2-1） （图2-2） 图2中，BD 既是等腰三角形中的高线，又是直角三角形中的高线，这一点很重要，是解题的关键。

利用图2-2，结合公式 ，求出BD ，在图2-1中，利用BD ，通过直角三角形，算出AD 。

在填空或者选择中，结合图2-2，可以利用三个公式直接算出相关线段长：

① ②

AC BC CD 2

= ③ CD AD BD 2⨯=

7、【取长补短】：

主要用于证明线段间的数量关系（包括和差关系，倍数关系等）

8、【8字模型】：

主要用于证明角相等的关系

9、【K 字模型】

主要用于证明边相等的关系

10、【手拉手模型】、【半角模型】、【高德模型】等等，课外机构补充的一系列模型，这里就不再赘述了。 AC BC AB BD ⨯=AC

AB AD 2=

二、常见证明方法和注意点：

1、【中垂线的证明方法】：

1、全等证明线段相等，角相等（通过角的互补和相等关系证明垂直）

2、等腰三角形+顶角平分线：证明垂直平分线

3、利用“到一条线段的两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，通过证明两个点，可得垂直平分线。

4、折叠或者轴对称中的对称点连线，可说明被对称轴垂直平分。

2、【角平分线的证明方法】：

1、全等证明角相等

2、先找所求角和已知角的数量关系（相等、互余、互补等），利用已知角的相等关系完成所求角相等的证明。

3、过角平分线上一点，作两边的垂线段，通过证明垂线段相等，完成角平分线的证明（注意要写一个相等，两个垂直）

4、利用等腰三角形三线合一证明角平分线

3、【中线的证明方法】：

1、利用等腰三角形三线合一证明中线

2、直角三角形中常见中线证明，如下图所示：

已知：Rt三角形ABC中，BD = AD，求证：BD是中线

证明：∵ BD = AD

∴∠1 = ∠2

在Rt三角形ABC中，

∵∠1 + ∠4 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°

∴∠3 = ∠4

∴ DB = DC ∴BD是中线

4、【直角三角形勾股定理的三种计算】：

1、已知两边，看清情况，直接用勾股定理计算：

①两直角边②一条直角边和一条斜边

4 4

3 3

3 3

2、已知一边，另两边有数量关系（往往跟折叠、对称等题型相结合）

解决方法：设一边为 x ，另一边用 x 的代数式来表示，利用勾股定理建立方程，解出x 。

3、已知一边，另两边没有数量关系（往往需要借助两个直角三角形的公共边或者相等边来解决问题）

4、证明直角三角形的方法：

①通过全等或者8字模型，证明有一个角为直角②通过计算，说明一个三角形中，有两个角互余

③利用勾股定理的逆定理④见10、【不能逆用的定理】中的3

5、【等腰三角形】：

1、一腰上的高

①锐角三角形②钝角三角形

涉及角度计算，注意有上述两种情况。

2、两腰的高相等，主要涉及高的转化计算。

3、底边上的高与一腰上的高，通过三角形面积关系进行转化计算。

如：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点P在边AC上移动，求BP的最小值．