常见辅助线添法和证明方法
平行线中添辅助线的方法
平行线中添辅助线的方法在几何学中，平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的线。
平行线可以用于解决许多几何问题。
有时，为了更好地理解和解决问题，我们可能需要在已知的平行线中添加辅助线。
这篇文章将介绍一些经常在平行线中添加辅助线的方法，以及如何利用这些辅助线解决几何问题。
方法一：创建平行线之间的等距线段这是最常见的方法之一，可以通过创建平行线之间的等距线段来添加辅助线。
这个方法可以在几何证明中使用，以创建所需的形状或角度。
下面是一个例子：假设有两个平行线AB和CD，在这两条平行线上选择两个等距点E和F。
然后，通过连接EF，你就创建了一个辅助线，使得EF平行于AB和CD。
这样，你就可以利用这个平行四边形来证明或解决其他几何问题。
方法二：使用交叉线段这个方法涉及到在平行线上选择一个点，并通过它绘制一条与其他平行线相交的线段。
这种方法通常用于证明几何性质。
例如，假设有两个平行线AB和CD，我们可以在AB上选择一个点E，并通过它绘制一条线段EF与CD相交。
然后，通过观察EF与AB的关系，可以证明一些三角形的性质或者其他几何关系。
方法三：利用平行线之间的相似三角形利用平行线之间的相似三角形是另一种常用的方法。
通过观察平行线和与它们相交的第三条线，可以找到相似的三角形。
然后，利用这些相似三角形的性质来解决几何问题。
例如，假设有两个平行线AB和CD，以及一条与它们相交的第三条线EF。
通过观察，可以发现三角形ADE与三角形BCF相似。
这意味着可以使用相似三角形的性质来计算未知角度或线段的长度。
方法四：利用中位线和对角线这个方法通常涉及到在平行线形成的平行四边形中绘制中位线或对角线。
中位线是连接平行四边形两对相对顶点的线段，对角线是连接两对非相邻顶点的线段。
这些辅助线可以帮助我们找到形状的性质，或计算线段的长度。
例如，假设有一个平行四边形ABCD，你可以通过绘制对角线AC来创建两个互相重叠的三角形ABC和ADC。
通过观察这些三角形的性质，可以得出许多结论，例如它们的面积相等或角度相等。
初中三角形最常见26种做辅助线做法及思路.doc
初中三角形最常见26种做辅助线做法及思路1、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果不能直接证明结果，可以接连两点或延长一边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，然后利用三边关系定理及不等式性质证明。
（注意：利用三角形三边关系定理及推论证明时，常通过做辅助线，将求证量或与求证相关的量移到同一个或几个三角形中）2、利用三角形外角大于任何与它不相邻的内角证明角的不等关系式，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证明。
3、有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形4、有线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形5、在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形6、截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段补短法：延长较短线段和较长线段相等7、证明两条线段相等的步骤：①观察要证明线段在那两个可能全等的三角形中，然后证明这两个三角形全等；②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代替，再证明它们所在三角形的全等；③如果没有相等的线段替换，可作辅助线构造全等三角形。
8、在一个图形中，有多组垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等。
9、三角形一边的端点到这边的中线所在的直线的距离相等10、条件不足时延长已知边构造三角形11、连接四边形的对角线。
把四边形问题转化成三角形来解决12、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长，可归纳为“角分垂等腰归”13、当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形。
14、当证题中缺少线段相等条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件。
15、有角平分线时，常过平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证明。
16、有等腰三角形时常用的辅助线：①作顶角的平分线、底边中线、底边高线②有底边中点时，常作底边中线③将腰延长一倍，构造直角三角形解题④常过一腰上的某一已知点做另一腰的平分线⑤常过某一腰上的某一已知点作底边的平行线⑥常将等腰三角形转换成特殊等腰三角形――等边三角形17、有二倍角时常用的辅助线:①构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角②平分二倍角③加倍小角18、有垂直平分线时常把垂直平分线抢的点与线段两端点连接起来19、有垂直时长构造垂直平分线20、有中点时常构造垂直平分线21、当涉及到线段平分的关系时常构造直角三角形，利用勾股定理证题22、条件中出现特殊角时常做高把特殊角放在直角三角形中23、三角形中一个内角平分线与一个外角平分线相交所称的锐角，等于第三个内角的一半24、三角形中的两个内角平分线相交所成的钝角等于90°加上第三个内角的一半25、三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90°减去第三个内角的一半26、从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差的绝对值的一半。
圆中常用的作辅助线的八种方法
证明：1 如图;过点D作⊙O的直径DE;连接AE;EC;AC ∵DE是⊙O的直径; ∴∠ECD＝∠EAD＝90° 又∵CD⊥AB;∴EC∥AB ∴∠BAC＝∠ACE ∴B︵C＝A︵E ∴BC＝AE 在Rt△AED中;AD2＋AE2＝DE2; ∴AD2＋BC2＝4R2
2若弦AD;BC的长是方程x26x＋5＝0的两个根 AD>BC;求⊙O的半径及点O到AD的距离
1求证：PB是⊙O的切线； 证明：1 如图;连接OB;∵OA＝OB;
∴∠OAB＝∠OBA ∵PA＝PB; ∴∠PAB＝∠PBA ∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA
即∠PAO＝∠PBO 又∵PA是⊙O的切线;∴∠PAO＝90° ∴∠PBO＝90° ∴OB⊥PB 又∵OB是⊙O的半径; ∴PB是⊙O的切线
︵ 2求由弦CD;BD与BC所围成的阴影部分的面积
结果保留π
解：2∵OE⊥DB;∴EB＝
D1 B＝3 2
c3m
在Rt△EOB中;∵∠OBD＝30°;
∴OE＝
1 2
OB
∵EB＝3 3 cm;
∴由勾股定理可求得OB＝6 cm
又∵∠CDB＝∠DBO;DE＝BE;
∠CED＝∠OEB;
∴△CDE≌△OBE
方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积
9 中考·自贡如图所示;点B;C;D都在⊙O上; 过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A;连接CD; 且∠CDB＝∠OBD＝30°;DB＝6 3cm
1求证：AC是⊙O的切线；
证明：1如图;连接CO;交DB于点E; ∴∠O＝2∠CDB＝60° 又∵∠OBE＝30°; ∴∠BEO＝180°60°30°＝90° ∵AC∥BD;∴∠ACO＝∠BEO＝90° 即OC⊥AC 又∵点C在⊙O上; ∴AC是⊙O的切线
(完整word版)八年级数学上几何证明中的辅助线添加方法
八年级数学（上）几何证明中的辅助线添加方法数学组 田茂松八年级数学的几何题, 有部分题需要做出辅助线才能完成。
有的时候, 做不出恰当的辅助线,或者做不出辅助线, 就没有办法完成该题的解答。
为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手, 现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。
常见辅助线的作法有以下几种:1.遇到等腰三角形, 可作底边上的高, 利用“三线合一”的性质解题, 思维模式是全等变换中的“对折”。
2.遇到三角形的中线, 倍长中线, 使延长线段与原中线长相等, 构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
3.遇到角平分线, 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线, 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”, 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4.过图形上某一点作特定的平分线, 构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5.截长法与补短法, 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长, 是之与特定线段相等, 再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法, 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时, 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来, 利用三角形面积的知识解答。
常见辅助线的作法举例:例. 如图1, ， . 求证: .分析：图为四边形, 我们只学了三角形的有关知识, 必须把它转化为三角形来解决。
证明: 连接 （或 ）∵//AB CD , //AD BC （已知） ∴∠1＝∠2, ∠3＝∠4 （两直线平行, 内错角相等） 在ABC ∆与CDA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)()(21已证公共边已证CA AC ∴ABC ∆≌CDA ∆（ASA ） ∴AD BC =（全等三角形对应边相等）例. 如图2,在 中, , , , 的延长于 .求证: .分析: 要证 , 想到要构造线段 , 同时 与 的平分线垂直, 想到要将其延长。
几何证明题辅助线基本方法
几何证明题辅助线基本方法几何证明题辅助线方法是解决几何问题的基本策略之一。
通过引入辅助线，可以简化问题，使证明过程更加清晰和易于理解。
本文将介绍几何证明题中常用的辅助线方法。
垂直、平行辅助线方法当给定几何图形中存在垂直或平行线段时，可以通过引入垂直或平行辅助线来简化证明过程。
这些辅助线可以将问题中的角度或长度关系转化为更易于理解和证明的形式。
例如，当一个问题中涉及到两条平行线段之间的关系时，可以通过引入一条垂直辅助线将问题转化为两个相似三角形的比较问题。
中位线辅助线方法中位线辅助线方法是在一个三角形中引入中位线来简化证明过程。
中位线是连接一个三角形的一个顶点和对位边中点的线段。
通过引入中位线，可以将原问题转化为两个相似三角形的比较问题。
中位线辅助线方法在证明三角形的性质和关系时特别有用。
例如，在证明三角形的垂心、重心等性质时，可以使用中位线辅助线方法来简化证明过程。
旁切辅助线方法旁切辅助线方法是在一个圆和一个与之相切的直线或线段之间引入一条辅助线来解决问题。
通过引入旁切辅助线，可以将问题转化为关于切点、切线以及圆的性质和关系的证明问题。
旁切辅助线方法在证明圆的性质和关系时特别有用。
例如，在证明切线与半径垂直、切线之间的夹角等性质时，可以使用旁切辅助线方法来简化证明过程。
相似三角形辅助线方法相似三角形辅助线方法是通过引入辅助线，将原问题转化为相似三角形的比较问题。
通过比较相似三角形的边长或角度，可以得出原问题的结论。
相似三角形辅助线方法在证明三角形的比较性质时特别有用。
例如，在证明一个三角形是等腰三角形、直角三角形或全等三角形时，可以使用相似三角形辅助线方法来简化证明过程。
结论几何证明题中的辅助线方法是解决问题的基本策略之一。
通过引入不同类型的辅助线，可以简化问题，使证明过程更加清晰和易于理解。
在解决几何证明题时，我们可以根据问题的性质选择适当的辅助线方法。
几何证明例题及常见的添加辅助线方法
几何证明例题及常见的添加辅助线方法几何证明是数学中的一个重要分支，通过使用几何定理和性质，以及一些常见的辅助线方法，来证明几何命题的正确性。
下面将提供几个几何证明的例题，并介绍一些常见的添加辅助线方法：1.证明等边三角形的高线与垂直平分线重合。
添加辅助线方法：连接等边三角形的顶点与底边的中点，将三角形分为两个等腰三角形。
然后，通过利用等腰三角形的性质，可以证明三角形的高线与垂直平分线重合。
2.证明等腰梯形的对角线垂直。
添加辅助线方法：在等腰梯形的两个腰上各取一个点，使得这两个点与梯形的底边相连，形成两个等边三角形。
通过证明这两个等边三角形的高线与底边的中线相垂直，可以得出对角线垂直的结论。
3.证明一个四边形是平行四边形的充要条件是其对角线互相垂直。
添加辅助线方法：对四边形的两个对角线进行延长，连接延长线的交点与四边形的两个相邻顶点，形成两个三角形。
通过证明这两个三角形是直角三角形，可以得出对角线互相垂直的结论。
4.证明正方形的对角线互相垂直。
添加辅助线方法：连接正方形的相邻顶点，形成两个等腰三角形。
通过证明这两个等腰三角形的高线与底边的中线相垂直，可以得出对角线互相垂直的结论。
5.证明一个三角形的内心到三边的距离和边长的乘积是相等的。
添加辅助线方法：通过从三角形的顶点向内切圆引垂线，连接垂足与内心，形成三个小三角形。
通过证明这三个小三角形是相似三角形，可以得出内心到三边的距离和边长的乘积相等的结论。
以上是几个常见的几何证明例题及其对应的添加辅助线方法。
在几何证明中，添加辅助线是一种常用的方法，可以将原始图形分解成更简单的图形，以便于应用几何定理和性质进行证明。
但需要注意的是，添加辅助线时应选择合适的位置和方式，以确保辅助线的添加不会引入其他不必要的情况，更好地辅助证明目标命题的正确性。
几种证明全等三角形添加辅助线的方法
几种证明全等三角形添加辅助线的方法在几何证明中，证明两个三角形全等是常见的任务之一、为了证明两个三角形全等，可以利用几何性质和辅助线的方法。
以下是几种常见的证明全等三角形添加辅助线的方法。
方法一：辅助线连接两个三角形的顶点和中点。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和中点来添加辅助线。
例如，可以连接点A和B的中点M，以及连接点D和E的中点N。
通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。
由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法二：辅助线连接两个三角形的顶点和底边中点。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和底边的中点来添加辅助线。
例如，可以连接点A和D的中点M，以及连接点B和E 的中点N。
通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。
由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法三：辅助线连接两个三角形的对应角的角平分线。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过连接每个三角形对应角的角平分线来添加辅助线。
通过连接辅助线，我们可以得到一些相似的三角形。
根据相似三角形的性质，我们可以得到一些相等的边和角。
通过观察这些相等的边和角，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法四：辅助线连接两个三角形的中垂线。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过连接每个三角形的边的中点，然后连接这些中点的垂线来添加辅助线。
初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题
初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题初中数学：几何题型，辅助线的画法和典型例题1.倍长中线法已知在△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，需要判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明结论。
思路点拨：利用倍长中线法，倍长过中点的线段DF使DG＝DF，再证明△XXX≌△EDF，△FDC≌△GDB，将BE、CF与EF线段转化到△BEG中，利用两边之和大于第三边证明。
解析：连接BG、EG，因为D是BC中点，所以BD＝CD。
又因为DE⊥DF，在△XXX和△EDF中，ED＝ED，∠XXX∠EDF，DG＝DF，因此△XXX≌△EDF（SAS），所以EG＝EF。
在△XXX与△GDB中，CD＝BD，∠1＝∠2，DF＝DG，因此△FDC≌△GDB（SAS），所以CF＝BG。
因为BG＋BE＞EG，所以BE＋CF＞EF。
结论得证。
总结升华：有中点的时候作辅助线可以考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）。
变式：已知CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC，需要证明CD＝2CE。
解析：连接BF，延长CE至F使EF＝CE。
因为EC为中线，所以AE＝BE。
在△AEC与△BEF中，AE＝BE，∠AEC ＝∠BEF，CE＝EF，因此△AEC≌△BEF（SAS）。
所以AC ＝BF，∠A＝∠FBE。
又因为∠ACB＝∠ABC，∠XXX∠ACB＋∠A，∠XXX∠ABC＋∠A，所以AC＝AB，∠XXX∠XXX。
因此AB＝BF，BC为△ADC的中线，所以AB＝BD，即BF＝BD。
在△FCB与△DCB中，∠XXX∠DBC，BC＝BC，因此△FCB≌△DCB（SAS），所以CF＝CD。
结论得证。
2.以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，需要证明XXX。
解析：在AB上截取AE＝AC，连接CE，作角ACE的平分线交AB于D，连接CD。
因为∠C＝2∠B，所以∠ACE＝∠XXX∠B，∠XXX∠A＝∠1＝∠2，所以△AED≌△ACD （SAS），因此ED＝CD。
几何证明中常见的辅助线的方法
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语言描述:连结AB
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
1.连结
适用情况:图中已经存在两个点—A和B
1.连结
CONTENTS
01
02
03
04
05
06
1.连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, 求证:点M是CD的中点.
A
C
D
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
B
F
E
P
G
O
目的:构造全等三角形,将相关线段聚成三角形
适用情况:图中已经存在一条线段MN 和中线【或中点】
语言描述:延长AD到E,使DE=AD,连接CE.
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
3.中线延长一倍
例7.已知，如图AD是△ABC的中线，
B
F
E
2.角平分线上点向两边作垂线段
2.如图,四边形ABCD中, ∠A= ∠D =90o,BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
构造了:全等的直角三角形
F
A
C
D
B
E
2.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠OEP +∠ODP =180o, 求证: PD=PE.
B
A
C
D
E
BE+BD+DE
BE+BD+CD
BE+BC
BE+AC
BE+AE
AB
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
04
全等三角形的辅助线的常见添法
全等三角形的辅助线的常见添法一、前言全等三角形是初中数学中一个重要的概念，其性质和应用十分广泛。
在解决全等三角形相关问题时，辅助线的运用是非常常见的方法之一。
本文将介绍几种常见的全等三角形辅助线添法。
二、中线中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
在全等三角形的证明中，经常使用到中线。
1. 作平移假设有两个全等三角形ABC和DEF，需要证明它们完全重合。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，连接MN，并作平移使得BC重合于EF，即可证明ABC和DEF完全重合。
2. 作垂线假设有两个全等三角形ABC和DEF，需要证明它们完全重合。
可以在BC上取一点M，在EF上作MN垂直于EF，并延长至交于P，则BP=FP，CP=EP，因此可以通过SAS（边-角-边）准则证明ABC和DEF完全重合。
三、高线高线是从一个顶点向对边所在直线作垂线所得到的线段。
在证明两个直角三角形相似时常用到高线。
1. 作垂心假设有两个直角三角形ABC和DEF，需要证明它们相似。
可以在ABC 中作垂心H，连接AH、BH、CH，并在DEF中作DH垂直于EF，延长至交于K，则AK=DK，因此可以通过AA（角-角）准则证明ABC 和DEF相似。
2. 作中线假设有两个三角形ABC和DEF，其中BC=EF，需要证明它们相似。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，连接MN，并作垂线PH 垂直于MN且交于O，则PO为MN的中线。
由于BM=FN，BO=EO（因为PH平分MN），因此可以通过SAS准则证明ABC和DEF相似。
四、角平分线角平分线是从一个顶点出发将角分成两个相等的角所得到的线段。
在证明两个三角形相似时常用到角平分线。
1. 作等腰三角形假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠BAC=∠EDF且AC=DF，需要证明它们相似。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，并连接AN、BM以及CN与AM的交点为P，则AP=PN（因为AP是∠BAC 的平分线），BP=PM（因为BP是∠ABM的平分线），因此可以通过SAS准则证明ABC和DEF相似。
几何证明题辅助线的技巧和方法
几何证明题辅助线的技巧和方法
在解决几何证明题时，辅助线是一种常用且有效的工具。
它可以帮助我们发现
隐藏的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。
以下是几种常见的辅助线技巧和方法，可用于解决几何证明题。
1. 平行线辅助线法：当题目涉及到平行线时，我们可以通过引入一条平行线作
为辅助线，从而构建出平行线之间的相似三角形或平行四边形。
这样，我们可以得出相应的角度和边的关系，进而证明几何问题。
2. 三角形中线辅助线法：三角形的中线是连接一个顶点与对应中点的线段。
通
过引入三角形中线作为辅助线，我们可以将原问题转化为直角三角形的性质或平行线的性质。
这种方法常常用于证明三角形的等边、等腰等性质。
3. 垂直线辅助线法：当题目涉及到垂直线时，我们可以通过引入一条垂直线作
为辅助线，从而构建出垂直角、直角三角形或平行四边形。
通过利用垂直线的性质，我们可以得到角度、边长等关系，进而解决问题。
4. 内切圆辅助线法：对于一个给定的三角形，可以通过引入其内切圆作为辅助线，来简化证明过程。
内切圆与三角形的的边相切于三个点，这些点可以提供有用的几何关系，如正方形的性质、垂直线的性质等。
5. 类似三角形辅助线法：当计算角度或证明形状相似时，引入类似三角形作为
辅助线可以大大简化证明过程。
通过找到两个或多个类似的三角形，我们可以得到两个三角形的边长比例，并据此解决问题。
总之，辅助线是几何证明中的有效工具，它们可以帮助我们发现关键的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。
通过灵活运用各种辅助线技巧和方法，我们可以更加轻松地解决各种几何证明题。
(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)(学生版)
全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)1.题型一：一线三等角模型2.题型二：手拉手模型3.题型三：半角模型4.题型四：旋转模型5.题型五：倍长中线法6.题型六：截长补短法题型一一线三等角模型过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。
过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等(AAS)常见的两种图形：题型二手拉手模型【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；12题型三半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
解题技巧：在图1中，△AEB 由△AND 旋转所得，可得△AEM ≌△AMN ，∴BM +DN =MN∠AMB =∠AMNAB =AH△CMN 的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC 旋转至△BEF ，易得△BED ≌△BCD 同理得到边角之间的关系；总之：半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转--证全等--得到相关结论.题型四旋转模型31一、奔驰模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。
我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题2二、费马点模型费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点.最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的.题型五倍长中线法三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等4在△ABC 中AD 是BC边中线延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE延长MD 到N ，使DN =MD ，连接CD截长补短法截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a +b =c 时，用截长补短．1.补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2.截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
辅助线与证明技巧
相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、作平行线 例1. 如图，∆A B C 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：BF CF BDCE=证明：过点C 作CG//FD 交AB 于G例2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF 。
方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）。
方法二：如图，过D 作DN//EC 交BC 于N则有，，∆∆B D N B A C ~二、作垂线3. ABCD 顶点C 向AB 和AD 证：2AC AF AD AE AB =⋅+⋅。
F三、作延长线例5. 如图，Rt ∆ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G ，求证：FG 2=CF ∙BF解析：欲证式即FGCFBF FG = 由“三点定形”，ΔBFG 与ΔCFG 会相似吗？显然不可能。
（因为ΔBFG 为Rt Δ），但由E 为CD 的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG 相似的三角形来求解。
不妨延长GF 与AC 的延长线交于H四、作中线例6 如图，ABC ∆中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求AC 。
解：取BC 的中点M ，连AM练习题1、在△ABC 中，D 为AC 上的一点，E 为CB 延长线上的一点，BE=AD ，DE 交AB 于F 。
求证：EF ×BC=AC ×DF2、ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AC=BC ，P 是AB 上一点，Q 是PC 上一点（不是中点），MN 过Q 且MN ⊥CP ，交AC 、BC 于M 、N ，求证：CN CM PB PA ::=。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案 )总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接那么成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一〞法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一〞的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法〞或“补短：法〞遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为 30 、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一〞的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折〞法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转〞法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，〔1〕可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折〞，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．〔2〕可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
全等三角形六种常用辅助线的添加方法和技巧
全等三角形六种常用辅助线的添加方法和技巧下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初中数学常用辅助线添加技巧
初中数学常用辅助线添加技巧初中数学常用辅助线添加技巧一.添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形; 当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
相似三角形添加辅助线的方法举例
相似三角形添加辅助线的方法举例1.垂直角辅助线：当三角形中存在垂直角时，我们可以通过添加一条垂直角辅助线来将问题简化。
例如，在一个直角三角形中，我们可以通过从直角顶点到斜边的任意一点画一条垂直辅助线，这样可以将原问题转化为两个相似的直角三角形的求解。
2.中位线辅助线：在一个任意三角形中，我们可以通过连接每个顶点与对边中点的线段来得到三条中位线。
这些中位线的交点被称为三角形的重心。
通过画三角形重心与其他顶点的连线，可以将原问题转化为多个相似的三角形的求解。
3.等角辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加等角辅助线来帮助我们得到一些相等的角度。
例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一个等角辅助线使得两个直角形成的角相等，那么我们可以推断这两个三角形相似。
4.比例辅助线：当我们需要求解相似三角形的长边与短边的比例时，可以利用比例辅助线。
例如，在两个相似三角形中，我们可以通过添加比例辅助线，将两个相似三角形分割成若干个相似的小三角形，并且利用小三角形的边长比例来求解长边与短边的比例关系。
5.平行辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加平行辅助线来帮助我们得到一些对应边平行的关系。
例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一条边使得它与另一个直角三角形的对边平行，那么我们可以推断这两个三角形相似。
以上是一些常见的相似三角形添加辅助线的方法，它们可以帮助我们更好地理解问题、简化问题以及找到解决问题的方法。
在实际解题过程中，根据问题的不同，我们可以选择适合的辅助线方法来解决问题。
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【常见辅助线添法和证明方法】：一、常见辅助线的添线方法和作用：1、【中垂线】：①直接条件：看见中垂线 连接线段两端，构造等腰三角形。
②间接条件：看见折叠 连接对应点所得到的线段，被折痕（中垂线）垂直平分，转到①③间接条件：看见等腰三角形顶角平分线 先利用三线合一说明垂直平分，再转到①，寻找其他等腰三角形，然后进行证明和计算。
2、【角平分线】：①直接条件：看见角平分线 过角平分线上一点作两边的垂线段，得相等线段。
②间接条件：看见折叠 折痕就是角平分线，转到①③间接条件：看见等腰+平行 先证明角平分线，再转到①④间接条件： 作一点关于某条直线的对称点 连接直线上一点与这两个点（不共线的情况），直线平分这个角，再进行证明和计算。
⑤角平分线+全等：∵ AD 平分∠BAC 注意：还可以探索AC 、AB 、FB 的关系 DE ⊥AB ，DF ⊥AC （一定要写） AC - AB =（AE + EC ）-（AF - FB ） ∴ DE = DF （注意书写，反之，类似） = EC + FB = 2FB 在Rt △DBF 和Rt △DCE 中（注意对应点）∴ DCE Rt DBF Rt ∆≅∆（HL ）（注意理由）⑥根据三角形中，三条角平分线交于一点的结论，如果在一个三角形中出现两条角平分线，那么连接交点和第三个顶点所得到的线段，一定平分该三角形中第三个内角。
3、【高线】：①看见角平分线 + 一边上的高 立即想到作另一边上的高，证垂线段相等，反之亦然。
②看见等腰三角形 立即想到作底边上的高，构造直角三角形，利用勾股定理完成计算，同时，可以把两腰相等的条件转化为底边被平分的结论，多用于压轴题中t 的计算。
③看见45°角 立即想到作高，构造等腰直角三角形，利用直角边：斜边=1： 完成计算。
④看见30°角 立即想到作高，构造直角三角形，利用30°角所对的直角边是斜边的一半斜边完成计算。
4、【平行线】：作用是可以改变一个角的位置，但不改变这个角的大小。
构造平行线：常见题型为证明线段相等，一般是通过添加平行线先证全等三角形，得两条线段相等，再证等腰三角形，得另两条线段相等，最后可完成题目证明要求。
①看见角平分线（或者折叠问题中的折痕） 过角平分线上某点作角的一边的平行线，得等腰三角形过点D 作DE ∥AC ，交AB 于点E可证等腰三角形AED②在等边三角形中，通过一边上的某点作另一边的平行线，可以得到一个小的等边三角形，常用于线段或角的等量代换。
5、【倍长中线】：看见中线 延长中线一倍，利用SAS 证明全等 根据全等，得出其他边或者角相等的结论。
注意：倍长中线的作用：可以把不在同一个图形中的边或者角，通过全等，转化到同一个图形中去。
如下图： 2⎩⎨⎧==DCDB DE DF已知：△ABC 中，AB = 5，AC = 3，点D 为BC 中点求：AD 的范围解：延长AD 到点E ，使DE = AD （注意辅助线的书写用语）易证：)(SAS EBD ACD ∆≅∆∴ EB = AC = 3在△ABE 中，∵ 2 < AE < 8 ∴ 1 < AD < 46、【两圆一线】：已知两点：点A 和点 B ，画等腰三角形。
以点A 作为等腰三角形顶点的画法：以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，交已知线于某点。
以点B 作为等腰三角形顶点的画法：以点B 为圆心，AB 长为半径画圆，交已知线于某点。
以AB 为等腰三角形底边的画法：作线段AB 的中垂线，交已知线于某点。
（图1） （图2） （图3）如图2：可看成 与 的组合（图2-1） （图2-2） 图2中，BD 既是等腰三角形中的高线，又是直角三角形中的高线，这一点很重要，是解题的关键。
利用图2-2，结合公式 ，求出BD ，在图2-1中，利用BD ，通过直角三角形，算出AD 。
在填空或者选择中，结合图2-2，可以利用三个公式直接算出相关线段长：① ②AC BC CD 2= ③ CD AD BD 2⨯=7、【取长补短】：主要用于证明线段间的数量关系（包括和差关系，倍数关系等）8、【8字模型】：主要用于证明角相等的关系9、【K 字模型】主要用于证明边相等的关系10、【手拉手模型】、【半角模型】、【高德模型】等等，课外机构补充的一系列模型，这里就不再赘述了。
AC BC AB BD ⨯=ACAB AD 2=二、常见证明方法和注意点：1、【中垂线的证明方法】：1、全等证明线段相等，角相等（通过角的互补和相等关系证明垂直）2、等腰三角形+顶角平分线：证明垂直平分线3、利用“到一条线段的两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，通过证明两个点，可得垂直平分线。
4、折叠或者轴对称中的对称点连线，可说明被对称轴垂直平分。
2、【角平分线的证明方法】：1、全等证明角相等2、先找所求角和已知角的数量关系（相等、互余、互补等），利用已知角的相等关系完成所求角相等的证明。
3、过角平分线上一点，作两边的垂线段，通过证明垂线段相等，完成角平分线的证明（注意要写一个相等，两个垂直）4、利用等腰三角形三线合一证明角平分线3、【中线的证明方法】：1、利用等腰三角形三线合一证明中线2、直角三角形中常见中线证明，如下图所示：已知：Rt三角形ABC中，BD = AD，求证：BD是中线证明：∵ BD = AD∴∠1 = ∠2在Rt三角形ABC中，∵∠1 + ∠4 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°∴∠3 = ∠4∴ DB = DC ∴BD是中线4、【直角三角形勾股定理的三种计算】：1、已知两边，看清情况，直接用勾股定理计算：①两直角边②一条直角边和一条斜边4 43 33 32、已知一边，另两边有数量关系（往往跟折叠、对称等题型相结合）解决方法：设一边为 x ，另一边用 x 的代数式来表示，利用勾股定理建立方程，解出x 。
3、已知一边，另两边没有数量关系（往往需要借助两个直角三角形的公共边或者相等边来解决问题）4、证明直角三角形的方法：①通过全等或者8字模型，证明有一个角为直角②通过计算，说明一个三角形中，有两个角互余③利用勾股定理的逆定理④见10、【不能逆用的定理】中的35、【等腰三角形】：1、一腰上的高①锐角三角形②钝角三角形涉及角度计算，注意有上述两种情况。
2、两腰的高相等，主要涉及高的转化计算。
3、底边上的高与一腰上的高，通过三角形面积关系进行转化计算。
如：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点P在边AC上移动，求BP的最小值．4、看到角平分线+高线，联想到把图形补成等腰三角形，完成证明和计算。
AD 平分∠BAC + AD ⊥CD延长CD ，交AB 的延长线于点E可以通过 全等 证明等腰三角形ACE5、将等腰的条件转化为等角，可以通过设一个角的度数为 x 的办法，通过内角和，列出方程，可以求解。
6、【最值问题】：1、最小值：①：一个动点的最小值问题：一个动点 + 一次对称 （如：将军饮马）如： 如上图，E 为正方形ABCD 的边AB 上的一点，AE =3，BE =1，P 为AC 上的动点，求PB +PE 的最小值 ．②两个动点的最小值问题：（1）两个动点 + 一次对称 + 一次垂直如：Ⅰ、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，AD 平分∠CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，求CE +EF 的最小值 ．Ⅱ、如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，D 为BC 的中点，连结AD ．若M 、N分别为AD 、AC 上的两点，求CM +MN 的最小值 ．Ⅲ、如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，D 、E 分别是AB 、BC 边上的动点．求AE +DE 的最小值 ．（2）两个动点 + 两次对称联想（图1） （图2） （图3） （图4）如图1：点M 、N 为两边动点。
问：当点M 、N 在何位置时， 三角形PMN 周长最小？方法：分别作点P 关于AB 和AC 的对称点，将线段PM 和PN 转化为P'M 和P ”N ，连接P ’ P ”，即为所求。
图4中，若已知∠A = 30°，可以求出∠MPN 的度数 。
③三个动点的最小值问题：三个动点 + 两次对称 + 一次垂直如图：当AP ⊥DE 时，周长最小。
若点P 也是动点，∠DAE = 45°，24AD ，AE=7，那么三角形PMN 的周长最小值是 。
仔细观察，分析 ③ 和 ② 的区别与联系？（你一定会有收获）④蚂蚁找食物的路程最短问题：（原则是：把立体图形展开为平面图形处理）（1）圆柱类（走一圈展开是一个圆周长，走两圈展开是两个圆周长，以此类推，通过勾股定理计算）（2）长方体（从一个点到另一个点，有多种展开方式，每一种都要通过勾股定理计算，最后看结果最小的那种） ⑤可转化为其他线段的最小值如：如图，30AB=，F是射线BC上一动点，D在线段AF上，以ABC∠=︒，8AD为腰作等腰直角三角形ADE（点A，D，E以逆时针方向排列），且1==，连结EF，则EF的最小值为．AD DE7、【轴对称作图问题】：(1)如图，长方形台球桌面ABCD上有两个球P，Q．PQ∥AB，球P连续撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．已知点M，N是球在AB，BC边的撞击点，PQ＝4，∠MPQ＝30◦，且点P到AB边的距离为3，则四边形PMNQ的周长为,(2)如图，DEFG为矩形的台球桌面，现有球A、B位置如图，按下列要求，画出击打后球的线路．（1）击打球A，使它碰撞台边DG后再击中球B；（2）击打球A，使它碰撞台边DG，再碰撞台边DE后击中球B；（3）击打球A，使它碰撞台边GF，再碰撞台边DE后击中球B；（4）击打球A，使它碰撞台边GF，再碰撞台边DG，然后再碰撞台边DE后击中球B．8、【多解问题】：（1）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角，求顶角。
（分顶角为锐角和钝角的情况分别讨论）（2）已知直角三角形的两边，求第三边。
（分两直角边和一直角边一斜边分别讨论）（3）已知三角形两边和第三边上的高，求三角形的面积。
（分高在内部和高在外部两种情况分别讨论）（高在内部）（高在外部）（4）折叠问题（分对称点在线段和线段的延长线上等各种情况进行讨论，学案3.3以及试卷上有此类题目，需要关注）计算方法：①设一条边为x ，寻找图中全等三角形和等腰三角形，把其他边也用x的代数式表示出来，利用直角三角形，通过勾股定理，列出方程，解出x②如果折叠中有垂线段的情况出现，可以通过面积法，得到关于x的方程，解出x9、【动点问题】：步骤：1、计算动点走完全程所需的时间，计算出时间范围2、计算动点到达各线段端点所需要的时间，以此作为分类讨论的根据。