常见辅助线添法和证明方法

【常见辅助线添法和证明方法】：
一、常见辅助线的添线方法和作用：
1、【中垂线】：
①直接条件：看见中垂线 连接线段两端，构造等腰三角形。

②间接条件：看见折叠 连接对应点所得到的线段，被折痕（中垂线）垂直平分，转到①
③间接条件：看见等腰三角形顶角平分线 先利用三线合一说明垂直平分，再转到①，寻找其他等腰三角
形，然后进行证明和计算。

2、【角平分线】：
①直接条件：看见角平分线 过角平分线上一点作两边的垂线段，得相等线段。

②间接条件：看见折叠 折痕就是角平分线，转到①
③间接条件：看见等腰+平行 先证明角平分线，再转到①
④间接条件： 作一点关于某条直线的对称点 连接直线上一点与这两个点（不共线的情况），直线平分这个
角，再进行证明和计算。

⑤角平分线+全等：
∵ AD 平分∠BAC 注意：还可以探索AC 、AB 、FB 的关系 DE ⊥AB ，DF ⊥AC （一定要写） AC - AB =（AE + EC ）-（AF - FB ） ∴ DE = DF （注意书写，反之，类似） = EC + FB = 2FB 在Rt △DBF 和Rt △DCE 中（注意对应点）
∴ DCE Rt DBF Rt ∆≅∆（HL ）（注意理由）
⑥根据三角形中，三条角平分线交于一点的结论，如果在一个三角形中出现两条角平分线，那么连接交点和第三
个顶点所得到的线段，一定平分该三角形中第三个内角。

3、【高线】：
①看见角平分线 + 一边上的高 立即想到作另一边上的高，证垂线段相等，反之亦然。

②看见等腰三角形 立即想到作底边上的高，构造直角三角形，利用勾股定理完成计算，
同时，可以把两腰相等的条件转化为底边被平分的结论，多用于压轴题中t 的计算。

③看见45°角 立即想到作高，构造等腰直角三角形，利用直角边：斜边=1： 完成计算。

④看见30°角 立即想到作高，构造直角三角形，利用30°角所对的直角边是斜边的一半斜边完成计算。

4、【平行线】：作用是可以改变一个角的位置，但不改变这个角的大小。

构造平行线：常见题型为证明线段相等，一般是通过添加平行线先证全等三角形，得两条线段相等，再证等腰三角
形，得另两条线段相等，最后可完成题目证明要求。

①看见角平分线（或者折叠问题中的折痕） 过角平分线上某点作角的一边的平行线，得等腰三角形
过点D 作DE ∥AC ，
交AB 于点E
可证等腰三角形AED
②在等边三角形中，通过一边上的某点作另一边的平行线，可以得到一个小的等边三角形，
常用于线段或角的等量代换。

5、【倍长中线】：
看见中线 延长中线一倍，利用SAS 证明全等 根据全等，得出其他边或者角相等的结论。

注意：倍长中线的作用：可以把不在同一个图形中的边或者角，通过全等，转化到同一个图形中去。

如下图： 2⎩⎨
⎧==DC
DB DE DF
已知：△ABC 中，AB = 5，AC = 3，点D 为BC 中点
求：AD 的范围
解：延长AD 到点E ，使DE = AD （注意辅助线的书写用语）
易证：)(SAS EBD ACD ∆≅∆
∴ EB = AC = 3
在△ABE 中，
∵ 2 < AE < 8 ∴ 1 < AD < 4
6、【两圆一线】：
已知两点：点A 和点 B ，画等腰三角形。

以点A 作为等腰三角形顶点的画法：以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，交已知线于某点。

以点B 作为等腰三角形顶点的画法：以点B 为圆心，AB 长为半径画圆，交已知线于某点。

以AB 为等腰三角形底边的画法：作线段AB 的中垂线，交已知线于某点。

（图1） （图2） （图3）
如图2：
可看成 与 的组合
（图2-1） （图2-2） 图2中，BD 既是等腰三角形中的高线，又是直角三角形中的高线，这一点很重要，是解题的关键。

利用图2-2，结合公式 ，求出BD ，在图2-1中，利用BD ，通过直角三角形，算出AD 。

在填空或者选择中，结合图2-2，可以利用三个公式直接算出相关线段长：
① ②
AC BC CD 2
= ③ CD AD BD 2⨯=
7、【取长补短】：
主要用于证明线段间的数量关系（包括和差关系，倍数关系等）
8、【8字模型】：
主要用于证明角相等的关系
9、【K 字模型】
主要用于证明边相等的关系
10、【手拉手模型】、【半角模型】、【高德模型】等等，课外机构补充的一系列模型，这里就不再赘述了。

AC BC AB BD ⨯=AC
AB AD 2=
二、常见证明方法和注意点：
1、【中垂线的证明方法】：
1、全等证明线段相等，角相等（通过角的互补和相等关系证明垂直）
2、等腰三角形+顶角平分线：证明垂直平分线
3、利用“到一条线段的两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，通过证明两个点，可得垂直平分线。

4、折叠或者轴对称中的对称点连线，可说明被对称轴垂直平分。

2、【角平分线的证明方法】：
1、全等证明角相等
2、先找所求角和已知角的数量关系（相等、互余、互补等），利用已知角的相等关系完成所求角相等的证明。

3、过角平分线上一点，作两边的垂线段，通过证明垂线段相等，完成角平分线的证明（注意要写一个相等，两个垂直）
4、利用等腰三角形三线合一证明角平分线
3、【中线的证明方法】：
1、利用等腰三角形三线合一证明中线
2、直角三角形中常见中线证明，如下图所示：
已知：Rt三角形ABC中，BD = AD，求证：BD是中线
证明：∵ BD = AD
∴∠1 = ∠2
在Rt三角形ABC中，
∵∠1 + ∠4 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°
∴∠3 = ∠4
∴ DB = DC ∴BD是中线
4、【直角三角形勾股定理的三种计算】：
1、已知两边，看清情况，直接用勾股定理计算：
①两直角边②一条直角边和一条斜边
4 4
3 3
3 3
2、已知一边，另两边有数量关系（往往跟折叠、对称等题型相结合）
解决方法：设一边为 x ，另一边用 x 的代数式来表示，利用勾股定理建立方程，解出x 。

3、已知一边，另两边没有数量关系（往往需要借助两个直角三角形的公共边或者相等边来解决问题）
4、证明直角三角形的方法：
①通过全等或者8字模型，证明有一个角为直角②通过计算，说明一个三角形中，有两个角互余
③利用勾股定理的逆定理④见10、【不能逆用的定理】中的3
5、【等腰三角形】：
1、一腰上的高
①锐角三角形②钝角三角形
涉及角度计算，注意有上述两种情况。

2、两腰的高相等，主要涉及高的转化计算。

3、底边上的高与一腰上的高，通过三角形面积关系进行转化计算。

如：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点P在边AC上移动，求BP的最小值．
4、看到角平分线+高线，联想到把图形补成等腰三角形，完成证明和计算。

AD 平分∠BAC + AD ⊥CD
延长CD ，交AB 的延长线于点E
可以通过 全等 证明等腰三角形ACE
5、将等腰的条件转化为等角，可以通过设一个角的度数为 x 的办法，通过内角和，列出方程，可以求解。

6、【最值问题】：
1、最小值：
①：一个动点的最小值问题：
一个动点 + 一次对称 （如：将军饮马）
如： 如上图，E 为正方形ABCD 的边AB 上的一点，AE =3，BE =1，P 为AC 上的动点，求PB +PE 的最小值 ．
②两个动点的最小值问题：
（1）两个动点 + 一次对称 + 一次垂直
如：
Ⅰ、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，AD 平分∠CAB 交BC 于D 点，
E ，
F 分别是AD ，AC 上的动点，求CE +EF 的最小值 ．
Ⅱ、如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，D 为BC 的中点，连结AD ．若M 、N
分别为AD 、AC 上的两点，求CM +MN 的最小值 ．
Ⅲ、如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，D 、E 分别是AB 、BC 边上的动点．
求AE +DE 的最小值 ．
（2）两个动点 + 两次对称
联想
（图1） （图2） （图3） （图4）
如图1：点M 、N 为两边动点。

问：当点M 、N 在何位置时， 三角形PMN 周长最小？
方法：分别作点P 关于AB 和AC 的对称点，将线段PM 和PN 转化为P'M 和P ”N ，连接P ’ P ”，即为所求。

图4中，若已知∠A = 30°，可以求出∠MPN 的度数 。

③三个动点的最小值问题：
三个动点 + 两次对称 + 一次垂直
如图：
当AP ⊥DE 时，周长最小。

若点P 也是动点，∠DAE = 45°，24AD ，AE=7，那么三角形PMN 的周长最小值是 。

仔细观察，分析 ③ 和 ② 的区别与联系？（你一定会有收获）
④蚂蚁找食物的路程最短问题：（原则是：把立体图形展开为平面图形处理）
（1）圆柱类（走一圈展开是一个圆周长，走两圈展开是两个圆周长，以此类推，通过勾股定理计算）
（2）长方体（从一个点到另一个点，有多种展开方式，每一种都要通过勾股定理计算，最后看结果最小的那种） ⑤可转化为其他线段的最小值
如：如图，30
AB=，F是射线BC上一动点，D在线段AF上，以
ABC
∠=︒，8
AD为腰作等腰直角三角形ADE（点A，D，E以逆时针方向排列），
且1
==，连结EF，则EF的最小值为．
AD DE
7、【轴对称作图问题】：
(1)如图，长方形台球桌面ABCD上有两个球P，Q．PQ∥AB，球P连续撞击台球
桌边AB，BC反射后，撞到球Q．已知点M，N是球在AB，BC边的撞击点，
PQ＝4，∠MPQ＝30◦，且点P到AB边的距离为3，则四边形PMNQ的周长
为,
(2)如图，DEFG为矩形的台球桌面，
现有球A、B位置如图，
按下列要求，画出击打后球的线路．
（1）击打球A，使它碰撞台边DG后再击中球B；
（2）击打球A，使它碰撞台边DG，再碰撞台边DE
后击中球B；
（3）击打球A，使它碰撞台边GF，再碰撞台边DE后击中球B；
（4）击打球A，使它碰撞台边GF，再碰撞台边DG，然后再碰撞台边DE后击中球B．
8、【多解问题】：
（1）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角，求顶角。

（分顶角为锐角和钝角的情况分别讨论）
（2）已知直角三角形的两边，求第三边。

（分两直角边和一直角边一斜边分别讨论）
（3）已知三角形两边和第三边上的高，求三角形的面积。

（分高在内部和高在外部两种情况分别讨论）
（高在内部）（高在外部）
（4）折叠问题（分对称点在线段和线段的延长线上等各种情况进行讨论，学案3.3以及试卷上有此类题目，需要关注）计算方法：①设一条边为x ，寻找图中全等三角形和等腰三角形，把其他边也用x的代数式表示出来，利用直角三角形，通过勾股定理，列出方程，解出x
②如果折叠中有垂线段的情况出现，可以通过面积法，得到关于x的方程，解出x
9、【动点问题】：
步骤：1、计算动点走完全程所需的时间，计算出时间范围
2、计算动点到达各线段端点所需要的时间，以此作为分类讨论的根据。

3、按照动点在各条线段上的情况画出草图，分析，计算。

10、【不能逆用的定理】：
1、三线（顶角的角平分线，底边上的高线，底边上的中线）合一：
条件（等腰三角形+三线中的一线）结论（三线中的其余两线）
反之，要用全等才能证明等腰三角形
2、直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。

3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

反之，要用两次等边对等角完成证明。

如右图：∵AD = CD ∴∠1 = ∠2，同理，∠3 = ∠4
∵∠1 + ∠2 +∠3 +∠4 = 180°∴∠2 + ∠3 = 90°。