三角形的中位线(2)

B
C
四边形BCFD是平行四边形吗? 为什么？
A
四边形BCFD是平行四边形
D
E
F
B
C
自主学习
自学课本P.89第8，9两行，解答下列问题。
连接三角形两边中点的线段
1、 线，一个三角形有
三
叫做三角形的中位 条中位线。
2.在练习本上画出一个三角形,并画出它的一
条中位线。
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 A
x
1 15+ x
4 3 5+ x 4
??
练习
1.梯形的上底长8cm,下底长10cm,则中位线长_______; 梯形的上底长8cm,中位线长10cm,则下底长_______.
正确答案:9cm;12cm.
2.梯形的中位线长能不能与它的一条底边长相等?为什 么?
答:不能.如果和一条底边长相等,那么和另一条底边长也 相等,这时四边形的对边平行且相等,这是平行四边形而 不是梯形.
2
有一个木匠想制作一个木梯，共需5根横
木共200cm，其中最上端的横木长为20cm，
求其它四根横木的长度。（每两根横木的距离
相等）
1
1
3
20
20+15+ x+10+ x+5+ x+x=200
4
2
4
解 得 ： x=60
1 10+ x
2
∴ 其它四根横木的长度分别为
30cm , 40cm , 50cm , 60cm
BD于点F、G，连结AC交BD于点O，连结
OF .
求证：AB＝2OF.
A
D
O G
B
F
C
E
梯形的中位线
有一个木匠想制作一个木梯，共需5根横 木共200cm，其中最上端的横木长为20cm， 求其它四根横木的长度。（每两根横木的距离 相等）
??
1、梯形中位线：
梯形两腰中
点的连线叫做梯 形的中位线。
A E
B
D
F
A
E
C
8.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选
一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点
的实际距离？根据是什么？
A
C
B
10.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、 BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在 图中画出多少个平行四边形？
A
D
F
B
E
C
挑战自我
A
H
E
B
F
已知：如图，在四边形ABCD中，
是 5.2 ㎝.
D
E
C
F
B
3.若△ABC的周长为12, 则△DEF的周长为 __
4.若△ABC的面积为20, 则△DEF的面积为 _ . 5.若△ABC的周长为a, 面积为S，则△DEF 的周为 ___ ，面积为 ___ .
A
D
F
B
C
E
7、如下图：在Rt △ ABC中， ∠A=90°,D、E、F分别是各边 中点, AB=6cm，AC=8cm，则 △DEF的周长= 12 cm。
D
F
G
C
B
（4）在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、
BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH
的周长是
。
11
练习：如图所示，在△ABC
中，点D在BC上且CD=CA，CF
平分∠ACB，AE=EB，求证：
EF=
BD．
练习：
6、如图，已知E为□ABCD中DC延长线上的
一 点，且CE＝DC，连结AE，分别交BC、
D
巩固新知
A
１.三角形的中位线_平__行__于__第三边,并
且__等__于__第三边的____一__半______
E 2．如图：在△ABC中，DE是中
位线。
C （1）若∠ADE=60°，则∠B=60° ;
（2）若BC=8cm，则DE= 4 cm.
（3）DE +BC=12cm,则BC=8—c—m
3．若等腰△ABC的周长是 40cm,AB=AC=14cm,则中位线DE ＝—６—cm—
2
2
MN= 1 (AD＋BC) 2
梯形的中位线
梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于
两底和的一半
A
D
∵AD ∥BC AM＝MB,DN＝NC
M
N
∴ MN ∥ BC MN＝1（BC＋AD）
B
C
（梯形的中位线平行于两底，
并且等于2 两底和的一半）
梯形的中位线
一、填空：
1、如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC 中位线EF分别交BD、AC于点M、N，
且AD=10cm，那么OE= cm。 5
A
D
E
O
B
C
1.已知: 在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点.
求证:四边形AFDE的周长等于AB+AC.
A
A
F
E
F
E
B
D
C
B
D
C
2.求证:三角形的一条中位线与第三边上 的中线互相平分.
4.已知:已知三角形各边长分别是8cm,10cm和1A2cm.
证 法 三 ： 过 点 C 作 AB 的 平 行
A
线交DE的延长线于F
D
E
∵CF∥AB， F ∴∠A=∠ECF
又AE=EC，∠AED=∠CEF
B
C
∴△ADE≌△CFE
∴ AD=FC
又DB=AD，
∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，DF＝BC 即DE∥BC
还有另外的证又法∵吗D？E
1 2
DF
DE 1 BC 2
证明：如图，延长DE至F,
使EF=DE，
A
连接CD、AF、CF
D
E
F
∵AE=EC ∴DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形
B
C
∴AD FC
又D为AB中点，
∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
6.2平行四边形的判定（2）
复习巩固
1.平行四边形的性质:
边____对__边__平___行__,_对___边__相__等___________ 角____对__角__相___等___
对角线互相平分
对角线_____________
2.判定一个四边形是平行四边形的四种方法:
边___两__组__对__边__分__别___平__行__的__四__边__形__是__平, 行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4.如图, MN 为△ABC 的中位线,若 ∠ABC =61°则∠AMN = , 61° 若MN =12 ,则BC = 24 .
A
M
N
B
C
5. 如图, △ABC 中,
D ,E 分别为AB,
AC 的中点,当BC =10㎝时,则
DE = 5㎝ .
B
D
A
E
C
6.如图,已知△ABC中,
AB = 3㎝,BC=3.4 ㎝ AC=4㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的 中点,则△DEF的周长 A
B
D F C
请同学们测量出∠AEF与∠B的度数， 并测量出线段AD、EF、BC的长度，试猜测 出EF与AD、BC之间存在什么样的关系？
梯形的中位线
A
D
E
F
连结梯B 形两腰中点C的线段叫做梯形的中位线
已知：如图，在梯形ABCD中，AD ∥BC，点E、F分别是各对应边
上的中点，其中，EF是梯形中位线的有哪几个？B
求证：MN ∥ BC，MN＝（1 BC＋AD）
2
A
D
证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E
AD ∥BC 即: AD ∥BE
M
N
∠DAN=∠E
∠AND=∠ENC DN=CN
△ADN ≌ △ECN
B
CE
AM=BM
MN ∥ BE 即： MN ∥ BC
AN =EN AD=CE
1
MN= BE
即：MN= 1 (BC+CE)
若AD＝4cm，BC＝8cm，则EF＝ 6 cm，EM＝ 2 cm，MN＝ 2 cm
A4 D
E
F
MN
B
8
C
A 8D
2、已知：梯形上底为8,中位线为10, M
高为6，下底＝12 面积＝ 60
B
10 N 6
E
C
梯形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直
相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求证：
2. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=___6_0°_.
A
A
D
E
B
C
(1)
D
E
B (2)
C
例1：口答 （1）三角形的周长为18cm，这个三角形的三
条中位线围成三角形的周长是多少？为什么？
9cm
（2）如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，
A
D
E
B
C
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
求证：DE
∥
BC，且DE=
1 2
BC
。
证明：如 图，延 长DE 到 F，使
A
EF=DE ，连 结CF.
∵DE=EF ∠1=∠2 AE=EC
D
1E
∴△ADE ≌ △CFE F ∴AD=FC 、∠A=∠ECF
2
∴AB∥FC
又AD=DB
B
C
∴BD∥ CF且 BD =CF
2
AO+CO=
1
(AD+BC)
即：
AC=
1
(AD+BC)
同理： CO= 1 BC
2
2
MN是梯形ABCD的中位线
2
1
MN= (AD+BC)
2
AC＝MN
梯形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直
相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求证：
AC＝MN
证明：过点D作DE ∥AC交BC延长于点E
____________________________
角___两__组__对__角__分_别__相__等__的__四_边__形是平行四边形
对角形对__角__线__互__相__平___分__的__四__边__形是平行四边形
平行四边形的判定方法
从边来判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
AED
AED
E
F
A
B
F
C
不是中位线
B
C
不是中位线
D
C 是F中位线
梯形的中位线
一堆粗细均匀的钢管，堆成三层， 上层为3根，中层为5根，下层为7根
这三层钢管之 间有何关系呢?
2、梯形中位线定理
A
D
E
F
B
C
梯形的中位线平行于两底，并且等 于两底和的一半。
问题：怎样证明呢？
梯形的中位线
已知:如图，在梯形ABCD中,AD ∥BC,AM＝MB,DN＝NC
D
E、F、G、H分别是AB、
BC、CD、DA的中点。
G 求证：四边形EFGH是平行四边
证明：连形结。AC C ∵ AE=EB、CF=FB,
(三角形中位线定理) 同理： HG∥AC，H∴G=E1F∥ACAC，EF=12 AC
2
∴EF ∥HG，且EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形
练一练
1.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， BC=10cm，则DE=__5c_m___.
三角形的中位线与三角形的中线有
什么区别？ A
A
D
E
B
CB
F
C
中位线是两条边中点的连线，而中线是一
个顶点和对边中点的连线。
三角形的中位线有什么性质？
如图，EF是△ABC 的一条中位线．
(1)量一量DE,BC的长是多少？你能作出什
么猜测？
(2)观察图形中的EF与BC,猜测DE 与BC 位置
关系吗？几何画板验证一下
的一半。 A
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
D
E
∴ DE∥BC， 位置关系
DE= 1 BC. 数量关系
B
C
2
三角形的中位线定理:三角形的中位线 平行于第三边，并且等于第三边的一半.
三角形的中位线定理的主要用途：
A
(1)证明平行
(2)证明一条线段是另一条线 D
E
段的2倍或 1
2
B
C
第三边
D B
从角来判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
怎样将一个三角形纸片剪成两部
分，使分成的两部分能拼成一个
平行四边形？
(1)剪一个三角形,记为△ABC; A
(2)沿中位线DE将
△ABC剪成两部分,
并将△ADE绕点E D
E
F
顺时针旋转180°
得四边形BCFD.
例如：DE是△ABC的中
E
位线
D
C
思考：
B
F
1、一个三角形有几条中位线？ 3条
2、这三条中位线把三角形分成几个三角形？ 四个
1、什么叫三角形的中线？有几条？
连结三角形的顶点和对边中点的线段叫三
角形的中线.
A
F
E
2、三角形的中线有哪些性质？ B
D
C
①三角形的每一条中线把三角形的面积平分. ②三角形的中线相交于同一点.……
求以各边中点为顶点的三角形的周长. F
E
B
D
C
3.已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分
别是边AB,CD,AC,BD的中点.
求证:四边形EGFH是平行四边形. F C D
G
H
A
E
B
（3）如图：如果AD=
1 4
AC，AE=
1 4
AB，
DE=2cm，那么BC= 8 cm。
A
A
DE
G
H
C
B
E
H
AC＝MN
A
D
o
M
N
??
1
B
C
梯形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求
证：AC＝MN
A
D
证明： AC⊥BD ∠AOD= 90 °
o
M
N
AD ∥BC ∠ADO= ∠ 1
∠ADO= 30°
∠1= 30 °
1
B
C
1
AO= AD
A
D
DE ∥AC ∠BDE= ∠ AOD
∠BDE=90 °
AC⊥BD
∠BDE= 90 °
∠1=30 °
DE= 1BE 即：DE= 1 (CE+BC)
2
2
AD ∥BC 即：AD ∥CE
DE＝AC
DE ∥AC
CE＝AD
MN是梯形ABCD的中位线
o
M
N
1
B
CE
1
AC= (AD+BC)
2
AC＝MN
1
MN= (AD+BC)