博弈论基础讲义-第三章
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27
1
1
最优战略为：
1 1 y 2 [2 ] 0.5 y y 跟： 2 2 2
1 1 1 [ y (1 y )] y 不： 2 2
由此可得 y
1 3
结论：贝叶斯纳什均衡：t1=好则加钱，t1=差则以 1/ 3 概率加钱，参与 人 2 以 2 / 3 概率跟进。
* 1 *
0, t1* t2*
1 4
0, 此时不完全信息博弈等价于完全信息博弈，此时贝叶斯纳什均
衡等价于完全信息的混合战略纳什均衡。
31
C.不完全信息公共物品提供 假设 …参与人 1 和 2 同时决定是否提供某项公共物品，提供公共物品是 0 —1 决策，如果任何一个参与人 i 已经提供公共物品，则每个参与 人 j 都可以得到效用 1； …参与人 i 提供公共物品成本 c 都是定义域在
..如果企业 1 认为企业 2 认为企业 1 边际成为 CH 的概率为 0.7 ，为 C 的
L
概率为 0.3 ，则企业 1 的最优决策为： …类型为 C 的企业 1 的最优战略：
H
qH arg max[a q2 qH CH ] qH
…类型为 CL 的企业 1 的最优战略：
13
wk.baidu.com
qL arg max[a q2 q2 CL ] qL
15
B.不完全信息 性别战 C2 C1 足 芭 足
3 t1 ,1
芭 0,0
1 , 3t2
0,0
16
——t1 和 t2 服从[0,1]均匀分布， 0 1 ； ——参与 1 知道 t1 的具体值，但是不知道 t2 的具体值，仅仅知道 t2 的分布，参与人也是仅仅知道 t2 ，但是 t1 的具体值； 问题： 以上博弈的标准式以及是否博弈开始所有参与人有相同的信息 如何在以上博弈之中利用纳什均衡概念
i
c , c ，分布函数为
F (.) ，而且提供成本是参与人私人信息。
C.1 如果成本服从 0, 2 均匀分布，求解其对称均衡。
32
C.2 如果满足条件 c 1 F (1), c 1 c ，则存在非对称均衡。
不完全信息公共物品提供
S1
提供 提供
S2
不提供
1 c1 ， 1 c2
L
则企业 2 的最优化问题为：
12
q2 arg max[ a q2 qL c ]
q2 q [ a q2 q H c ] 2 2 2
qH arg max[a q2 qH CH ] qH
qL arg max[a q2 q2 CL ] qL
一阶条件为：
a c 2 q2
H
qH qL 0 2
..类型为 C 的企业 1 的最优战略：
qH arg max[a q2 qH CH ] qH
一阶条件为： a CH 2qH q2 0
8
..类型为 CL 的企业 1 的最优战略：
q2 arg max[a q2 q2 CL ] qL
..如果企业 2 认为企业 1 认为企业 2 认为企业 1 边际成为 CH 的概率 为 0.5 ，为 C 的概率为 0.5 ， …...以此类推，无穷反复，但是实际上
L
以上最优化问题等价于 B 中问题。 非一致信念 ..如果企业 2 认为企业 1 边际成为 CH 的概率为 0.5 ，为 C 的概率为 0.5 ，
26
跟： 2 2 2 2 0 不： 1 参与人 2 此时最优选择为跟进，与 x 2 / 3 矛盾。
1
1
..t1=好
1
加钱，t1=差
1
不加，则
跟： 2 2 2 1 0.5 不： 2 1 2 1 0 所以此时参与人 2 最优选择为不跟，与 x 2 / 3矛盾 .. x 2 / 3 ，t1=知：加钱，以及 t1=不采用混合战略，则此时参与人 2
..如果企业 2 认为企业 1 认为企业 2 认为企业 1 边际成为 CH 的概率为
0.8 ，为 CL 的概率为 0.2 ，则企业 2 的最优决策：
..以此类推， 每参与人一个信念对应一个不同的最优化问题， 无穷反复， 如何加以处理呢？
14
2.性别战 A.完全信息： 性别战 C2 C1 足球 芭蕾 足球 3,1 0,0 芭蕾 0,0 1,3
第三章
静态不完全信息博弈
第一节、贝叶斯纳什均衡 一.问题的提出 1.古诺博弈 2.性别战 二.海萨尼转换 1.基本不确定性 2.贝叶斯博弈
1
3.共同分布 三.贝叶斯均衡的内涵 1.定义 2.计算 a.赌钱博弈 b.性别战博弈
第二节、贝叶斯纳什均衡的应用 一.不完全信息古诺博弈
2
1.假设 2.分析 二.不完全信息价格博弈 1.假设 2.分析 三.拍卖理论初步 1.一级价格拍卖 2.二级价格拍卖 3.公共价值拍卖
Ti Ci
19
3.贝叶斯博弈 ——任何参与人对于博弈结构的不确定性都可以转换为对参与人效 用函数的不确定性； ——根据贝叶期法则，参与人对于不确定性可以形成一个主观判断， 而且所有主观判断都是共同知识； ——几个参与人的几个主观判断一般都是一个共同先念分布产生， 而 且几个主观判断对应的先念分布是唯一的 所以，任何不完全信息博弈都可以用一个贝叶博弈表示：
* Ci (ti ) arg max R* (t ) U i C ( t ), C -i (t i ), t -i , ti i i
如果 i, ti ，满足 P(ti / ti ) 1，贝叶斯纳什均衡与纳什均衡完全相同 2.计算
23
a.赌钱博弈 ——假定事前 t1 好和t1 差 的概率为 0.5
L
则企业 2 的最优化问题为：
q2 arg max[ a q2 qL c ]
而他认为企业 1 决策：
q2 q [ a q2 q H c ] 2 2 2
qH arg max[a q2 qH CH ] qH
qL arg max[a q2 q2 CL ] qL
17
二.海萨尼转换 1.三类基本不确定性 ——参与人不知 i 是否是参与人； ——参与人不知 i 的战略空间； ——参与不知 i 的从战略到实数的效用函数； 结论 1：任何不确定都可以转换以上三类中的一类
18
结论 2：任何不确定性都可以转换为效用函数不确定性； ——不知参与人 i 是参与→战略空间不确定性； ——不知参与人 i 战略→效用函数不确定性； ——其他参与人对于参与人 i 不的不确定类型空间 Ti 2.类型依存战略 ——在博弈开始，参与人 i 根据自己私人信息 ti 选择自身战略，即博 弈之中每个参与人选择类型依存战略 ——类型依存战略为： Ci (.) :
3
第三节、机制设计理论初步 一.问题的提出 1.背景 2.例子 二.显示机制 1.显示原理 2.非线性定价 a.假设 b.分析
4
第三章 静态不完全信息博弈
第一节、贝叶斯纳什均衡 一.问题的提出
1.古诺博弈 A.完全信息 假设
5
——两寡头同时选择产量 ——产品完全替代 ——边际成本为 c ，逆需求函数 P a Q 分析求解
10
..如果企业 1 认为企业 2 认为企业 1 边际成为 CH 的概率为 0.5 ，为 C 的
L
概率为 0.5 ，则企业 2 的最优决策为： …类型为 C 的企业 1 的最优战略：
H
qH arg max[a q2 qH CH ] qH
…类型为 CL 的企业 1 的最优战略：
qL arg max[a q2 q2 CL ] qL
L
的边际成本为 C ； ——市场逆需求函数： P a Q 问题：以上博弈标准式，是否博弈开始所有参与人都有相同信息？ 如何在以上博弈利用纳什均衡概念
7
分析求解： ..企业 2 的最优战略：
q2 q2 q2 arg max[ a q2 qL c ] [ a q2 qH c ] 2 2
而企业 1 认为企业 2 的最优决策：
q2 arg max 0.3[a q2 qL c] q2 0.7[a q2 qH c] q2
qH arg max[a q2 qH CH ] qH
qL arg max[a q2 q2 CL ] qL
t1=好 C2 C1 加 不 跟 2,-2 1,-1 不 1,-1 1,-1
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t1=差 C2 C1 加 不 跟 -2,2 -1,1 不 1,-1 -1,1
25
分析求解： ——假定参与人 2 的最优战略， x 的概率加钱 ——毫无疑问 t1=好，参与人 1 显然加钱，当 t1=差，参与人 1 的最 优战略取决于： 加： 2 x (1 x ) 1 3 x 不： 1 所以 x 2 / 3 时，则参与人 1 的最优战略为加钱。 ——验证均衡战略： ..t1=好和 t1=差，参与人 1 都选择加钱，则
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b.性别战 性别战 C2 C1 足 芭 足
3 t1 ,1
芭 0,0
1,3 t2
0,0
——t1 和 t2 服从[0,1]均匀分布， 0 1 ； —— t1 t1* 则选择足球， t2 t2* 则选择芭蕾；
29
——关于参与人 1 类型为 t1* 分析
* * * 选择足球的收益为： t2 [3 t1 ] 3t2 t1t2
22
b N , (Ci )iN , (Ti )iN , ( R* ), (U i )
iN
* Ci (ti ) arg max Pi (t ti / ti ) U i C ( t ), C -i (t i ), t -i , ti i i
给定其他人类型依存战略， 参与人选择自身类型依存战略最大化自 身期望效用 注意： 以上定义与下面完全相同
一阶条件为： a CL 2qL q2 0 ..联立以上三个等式则可以得到：
a 2c c q2 3 a 1.5cL 0.5c c qL 3 a 1.5cH 0.5c c qH 3
c 0.5cL +0.5c H
9
C.信念问题 一致信念： 为 C 的概率为 0.5 ， ..如果企业 2 认为企业 1 边际成为 CH 的概率为 0.5 ，
qi arg max qi [a c qi q j ]
一阶条件为：
a c 2qi q j 0
所以纳什均衡为： qi q j (a c) / 3
6
B.不完全信息 假设 ——企业 1 的边际成本为 CH 的概率为 0.5 ，为 C 的概率为 0.5 ，企业 2
20
综合 1，2 和 3，任何不完全信息博弈都可以用一个贝叶斯博弈表示， 而贝叶斯具有共同先念分布：
b N , (Ci )iN , (Ti )iN , ( R* ), (U i )
iN
21
三.贝叶斯均衡的内涵
1.定义 a.纳什均衡定义 ——给定其他人战略，参与人选择战略最优化自己效用 b 例子 ——期望效用最大化 c.正式定义
1， 1 c2
1 c1 ，1
不提供
* 1 t 选择芭蕾的收益为： 2
t1 t1* 两者无差异，则可以得到： 3t2* t1*t2* 1 t2*
——关于参与人 2 类型 t 分析同样可以得到：
* 2
3t1* t1*t2* 1 t1*
30
——所以可以得到：
4 16 4 t t2 2
而企业 1 认为企业 2 的最优决策：
q2 arg max[a q2 qL c ]
q2 q [ a q2 q H c ] 2 2 2
11
qH arg max[a q2 qH CH ] qH
qL arg max[a q2 q2 CL ] qL
1
1
最优战略为：
1 1 y 2 [2 ] 0.5 y y 跟： 2 2 2
1 1 1 [ y (1 y )] y 不： 2 2
由此可得 y
1 3
结论：贝叶斯纳什均衡：t1=好则加钱，t1=差则以 1/ 3 概率加钱，参与 人 2 以 2 / 3 概率跟进。
* 1 *
0, t1* t2*
1 4
0, 此时不完全信息博弈等价于完全信息博弈，此时贝叶斯纳什均
衡等价于完全信息的混合战略纳什均衡。
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C.不完全信息公共物品提供 假设 …参与人 1 和 2 同时决定是否提供某项公共物品，提供公共物品是 0 —1 决策，如果任何一个参与人 i 已经提供公共物品，则每个参与 人 j 都可以得到效用 1； …参与人 i 提供公共物品成本 c 都是定义域在
..如果企业 1 认为企业 2 认为企业 1 边际成为 CH 的概率为 0.7 ，为 C 的
L
概率为 0.3 ，则企业 1 的最优决策为： …类型为 C 的企业 1 的最优战略：
H
qH arg max[a q2 qH CH ] qH
…类型为 CL 的企业 1 的最优战略：
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wk.baidu.com
qL arg max[a q2 q2 CL ] qL
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B.不完全信息 性别战 C2 C1 足 芭 足
3 t1 ,1
芭 0,0
1 , 3t2
0,0
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——t1 和 t2 服从[0,1]均匀分布， 0 1 ； ——参与 1 知道 t1 的具体值，但是不知道 t2 的具体值，仅仅知道 t2 的分布，参与人也是仅仅知道 t2 ，但是 t1 的具体值； 问题： 以上博弈的标准式以及是否博弈开始所有参与人有相同的信息 如何在以上博弈之中利用纳什均衡概念
i
c , c ，分布函数为
F (.) ，而且提供成本是参与人私人信息。
C.1 如果成本服从 0, 2 均匀分布，求解其对称均衡。
32
C.2 如果满足条件 c 1 F (1), c 1 c ，则存在非对称均衡。
不完全信息公共物品提供
S1
提供 提供
S2
不提供
1 c1 ， 1 c2
L
则企业 2 的最优化问题为：
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q2 arg max[ a q2 qL c ]
q2 q [ a q2 q H c ] 2 2 2
qH arg max[a q2 qH CH ] qH
qL arg max[a q2 q2 CL ] qL
一阶条件为：
a c 2 q2
H
qH qL 0 2
..类型为 C 的企业 1 的最优战略：
qH arg max[a q2 qH CH ] qH
一阶条件为： a CH 2qH q2 0
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..类型为 CL 的企业 1 的最优战略：
q2 arg max[a q2 q2 CL ] qL
..如果企业 2 认为企业 1 认为企业 2 认为企业 1 边际成为 CH 的概率 为 0.5 ，为 C 的概率为 0.5 ， …...以此类推，无穷反复，但是实际上
L
以上最优化问题等价于 B 中问题。 非一致信念 ..如果企业 2 认为企业 1 边际成为 CH 的概率为 0.5 ，为 C 的概率为 0.5 ，
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跟： 2 2 2 2 0 不： 1 参与人 2 此时最优选择为跟进，与 x 2 / 3 矛盾。
1
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..t1=好
1
加钱，t1=差
1
不加，则
跟： 2 2 2 1 0.5 不： 2 1 2 1 0 所以此时参与人 2 最优选择为不跟，与 x 2 / 3矛盾 .. x 2 / 3 ，t1=知：加钱，以及 t1=不采用混合战略，则此时参与人 2
..如果企业 2 认为企业 1 认为企业 2 认为企业 1 边际成为 CH 的概率为
0.8 ，为 CL 的概率为 0.2 ，则企业 2 的最优决策：
..以此类推， 每参与人一个信念对应一个不同的最优化问题， 无穷反复， 如何加以处理呢？
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2.性别战 A.完全信息： 性别战 C2 C1 足球 芭蕾 足球 3,1 0,0 芭蕾 0,0 1,3
第三章
静态不完全信息博弈
第一节、贝叶斯纳什均衡 一.问题的提出 1.古诺博弈 2.性别战 二.海萨尼转换 1.基本不确定性 2.贝叶斯博弈
1
3.共同分布 三.贝叶斯均衡的内涵 1.定义 2.计算 a.赌钱博弈 b.性别战博弈
第二节、贝叶斯纳什均衡的应用 一.不完全信息古诺博弈
2
1.假设 2.分析 二.不完全信息价格博弈 1.假设 2.分析 三.拍卖理论初步 1.一级价格拍卖 2.二级价格拍卖 3.公共价值拍卖
Ti Ci
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3.贝叶斯博弈 ——任何参与人对于博弈结构的不确定性都可以转换为对参与人效 用函数的不确定性； ——根据贝叶期法则，参与人对于不确定性可以形成一个主观判断， 而且所有主观判断都是共同知识； ——几个参与人的几个主观判断一般都是一个共同先念分布产生， 而 且几个主观判断对应的先念分布是唯一的 所以，任何不完全信息博弈都可以用一个贝叶博弈表示：
* Ci (ti ) arg max R* (t ) U i C ( t ), C -i (t i ), t -i , ti i i
如果 i, ti ，满足 P(ti / ti ) 1，贝叶斯纳什均衡与纳什均衡完全相同 2.计算
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a.赌钱博弈 ——假定事前 t1 好和t1 差 的概率为 0.5
L
则企业 2 的最优化问题为：
q2 arg max[ a q2 qL c ]
而他认为企业 1 决策：
q2 q [ a q2 q H c ] 2 2 2
qH arg max[a q2 qH CH ] qH
qL arg max[a q2 q2 CL ] qL
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二.海萨尼转换 1.三类基本不确定性 ——参与人不知 i 是否是参与人； ——参与人不知 i 的战略空间； ——参与不知 i 的从战略到实数的效用函数； 结论 1：任何不确定都可以转换以上三类中的一类
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结论 2：任何不确定性都可以转换为效用函数不确定性； ——不知参与人 i 是参与→战略空间不确定性； ——不知参与人 i 战略→效用函数不确定性； ——其他参与人对于参与人 i 不的不确定类型空间 Ti 2.类型依存战略 ——在博弈开始，参与人 i 根据自己私人信息 ti 选择自身战略，即博 弈之中每个参与人选择类型依存战略 ——类型依存战略为： Ci (.) :
3
第三节、机制设计理论初步 一.问题的提出 1.背景 2.例子 二.显示机制 1.显示原理 2.非线性定价 a.假设 b.分析
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第三章 静态不完全信息博弈
第一节、贝叶斯纳什均衡 一.问题的提出
1.古诺博弈 A.完全信息 假设
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——两寡头同时选择产量 ——产品完全替代 ——边际成本为 c ，逆需求函数 P a Q 分析求解
10
..如果企业 1 认为企业 2 认为企业 1 边际成为 CH 的概率为 0.5 ，为 C 的
L
概率为 0.5 ，则企业 2 的最优决策为： …类型为 C 的企业 1 的最优战略：
H
qH arg max[a q2 qH CH ] qH
…类型为 CL 的企业 1 的最优战略：
qL arg max[a q2 q2 CL ] qL
L
的边际成本为 C ； ——市场逆需求函数： P a Q 问题：以上博弈标准式，是否博弈开始所有参与人都有相同信息？ 如何在以上博弈利用纳什均衡概念
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分析求解： ..企业 2 的最优战略：
q2 q2 q2 arg max[ a q2 qL c ] [ a q2 qH c ] 2 2
而企业 1 认为企业 2 的最优决策：
q2 arg max 0.3[a q2 qL c] q2 0.7[a q2 qH c] q2
qH arg max[a q2 qH CH ] qH
qL arg max[a q2 q2 CL ] qL
t1=好 C2 C1 加 不 跟 2,-2 1,-1 不 1,-1 1,-1
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t1=差 C2 C1 加 不 跟 -2,2 -1,1 不 1,-1 -1,1
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分析求解： ——假定参与人 2 的最优战略， x 的概率加钱 ——毫无疑问 t1=好，参与人 1 显然加钱，当 t1=差，参与人 1 的最 优战略取决于： 加： 2 x (1 x ) 1 3 x 不： 1 所以 x 2 / 3 时，则参与人 1 的最优战略为加钱。 ——验证均衡战略： ..t1=好和 t1=差，参与人 1 都选择加钱，则
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b.性别战 性别战 C2 C1 足 芭 足
3 t1 ,1
芭 0,0
1,3 t2
0,0
——t1 和 t2 服从[0,1]均匀分布， 0 1 ； —— t1 t1* 则选择足球， t2 t2* 则选择芭蕾；
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——关于参与人 1 类型为 t1* 分析
* * * 选择足球的收益为： t2 [3 t1 ] 3t2 t1t2
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b N , (Ci )iN , (Ti )iN , ( R* ), (U i )
iN
* Ci (ti ) arg max Pi (t ti / ti ) U i C ( t ), C -i (t i ), t -i , ti i i
给定其他人类型依存战略， 参与人选择自身类型依存战略最大化自 身期望效用 注意： 以上定义与下面完全相同
一阶条件为： a CL 2qL q2 0 ..联立以上三个等式则可以得到：
a 2c c q2 3 a 1.5cL 0.5c c qL 3 a 1.5cH 0.5c c qH 3
c 0.5cL +0.5c H
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C.信念问题 一致信念： 为 C 的概率为 0.5 ， ..如果企业 2 认为企业 1 边际成为 CH 的概率为 0.5 ，
qi arg max qi [a c qi q j ]
一阶条件为：
a c 2qi q j 0
所以纳什均衡为： qi q j (a c) / 3
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B.不完全信息 假设 ——企业 1 的边际成本为 CH 的概率为 0.5 ，为 C 的概率为 0.5 ，企业 2
20
综合 1，2 和 3，任何不完全信息博弈都可以用一个贝叶斯博弈表示， 而贝叶斯具有共同先念分布：
b N , (Ci )iN , (Ti )iN , ( R* ), (U i )
iN
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三.贝叶斯均衡的内涵
1.定义 a.纳什均衡定义 ——给定其他人战略，参与人选择战略最优化自己效用 b 例子 ——期望效用最大化 c.正式定义
1， 1 c2
1 c1 ，1
不提供
* 1 t 选择芭蕾的收益为： 2
t1 t1* 两者无差异，则可以得到： 3t2* t1*t2* 1 t2*
——关于参与人 2 类型 t 分析同样可以得到：
* 2
3t1* t1*t2* 1 t1*
30
——所以可以得到：
4 16 4 t t2 2
而企业 1 认为企业 2 的最优决策：
q2 arg max[a q2 qL c ]
q2 q [ a q2 q H c ] 2 2 2
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qH arg max[a q2 qH CH ] qH
qL arg max[a q2 q2 CL ] qL