多元非线性回归资料

X1
GP
FP
XC
Q
P0
P1
(当年价) (当年价) (上年=100) (上年=100) (1990年价) (1990年价) (1990=100) (1990=100)
1981 456.8 420.4
102.5
102.7
646.1
318.3
70.7
132.1
1982 471.0 432.1
102.0
102.1

按同一比例变动时，需求量保持不变。
Q f ( X P0 , P1 P0 ),
(**)
为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式。
首先,确定具体的函数形式：
根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民 的总支出间呈幂函数的变化关系:
Q
=
AX
1
P 2 1
P03 e
,
对数变换:
ln Q = 0 +1 ln X +2 ln P1 +3 ln P0 +. (***) 考虑到零阶齐次性时，
lnQ = 0 +1 ln( X P0 ) +2 ln( P1 P0 ) +, (****)
(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得
1 + 2 + 3 = 0.
因此，对（****）式进行回归，就意味着原需求函数
满足零阶齐次性条件。
表 3.5.1 中国城镇居民消费支出（元）及价格指数
X
L 于是
ln Q ln A ln K (1 )ln L 1 (1 )ln2 k .
2
L
利用OLS估计参数δ1，ρ1，再以δ1，ρ1为初始值， 待入迭代方程，得到δ2，ρ2，如此循环，得到两组参数 估计的点列{δi}，{ρi}。
若点列收敛，则停止，极限值即为估计值；若发 散，则重选初始值。
3、复杂函数模型与级数展开法
有些模型非但不是线性的，而且也无法采取变量 替换的方法化为线性形式，如
Y
= 0
+1
X 1 1
+2 X22
+.
对这类模型的参数估计，一般采用高斯-牛顿迭代 法。即先将非线性模型在初始值处展开成泰勒级数， 略去高次项，用低次项近似替代，然后用OLS法估计 参数。重复上述两个步骤，得到参数估计值的收敛点 列，将收敛点列的极限作为最后估计的结果。
0
0 1
1
ln
X X
; ,
用于测量许多经济变量的增长率，故又称增长模
型。
双对数模型 lnY 0 1 ln X ,
设 Y * lnY , X * ln X , 则原方程变换为 Y * = 0 +1 X * +.
双对数模型由于弹性为常数β1 ，故称为不变弹性 模型，应用非常广泛。
2、间接置换法
lnY = ln 0 +1 ln X1 +2 ln X 2 +.
例如，Cobb-Dauglas生产函数模型 Q = A K L eμ,
Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动
方程两边取对数：
ln Q = ln A + ln K + ln L+μ.
（2）幂函数模型 Y = abX e ,
两边取对数， lnY = lna +X lnb+.
§3.5 回归模型的其他函数形式
一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例
前面我们学习的线性回归模型，解释变量和被解 释变量之间都呈现线性关系，但社会经济现象是极其 复杂的，有时解释变量和被解释变量之间的 依存关系 不一定是线性的，而可能存在某种非线性关系。
如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂函数 曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillips cuves）表现为双曲线形式等。
例如，常替代弹性CES生产函数模型
1
Q A[ K (1 )L ] e ,
Q:产出量, K:资本, L:劳动, :替代参数, :分配参数。
方程两边取对数后，得到：
ln Q ln A 1 ln[ K (1 )L ] ,
设 f ( ) ln[ K (1 )L ], 其在ρ=0 处展开，
（1）多项式模型 Y = 0 +1 X + 2 X 2 ++ k X k +,
设 Z1 = X , Z2 = X 2 , , Zk = X k , 原方程变换为 Y = 0 +1Z1 +2 Z2 ++k Zk +.
例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线
s = a + b r + c r2+μ ，
有
f (0) = 0,
f
'(0)
K
1
(1
) L
[
K
ln
K
(1
) L
ln
L] 0
ln K (1 )ln L,
f ''(0) [ ln K (1 )ln L]2 ln2 K (1 )ln2 L
(1 )(ln K ln L)2 (1 )ln2 K ,
这时，就需要选择适当类型的曲线模型拟合这种 关系，这就是非线性回归模型或曲线回归模型。
但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的 数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运 用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。
一、模型的类型与变换
1、直接置换法
这类模型通过简单的变量换元可直接化为线性回 归模型。由于这类模型的被解释变量没有变形，所以 可直接采用OLS估计回归系数并进行检验和预测。
二、非线性回归实例
例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致
为
Q f ( X , P1, P0 ),
(*)
Q: 居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额
P1: 食品价格指数，
P0：居民消费价格总指数。
零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额
659.1
325.0
71.5
132.9
1983 505.9 464.0
这类模型经常通过对数代换间接地化为线性回归 模型。由于这类模型在对数代换过程中改变了因变量 的形态，使得变形后模型的OLS估计失去了原模型的 残差平方和最小的意义，从而估计不到原模型的最佳 回归系数，可能造成回归模型与原数据之间的较大偏 差。
（1）指数函数模型
Y
=
0
X 1 1
X22e
,
两边取对数，
c<0
s：税收； r：税率，
设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b X1 + c X2 + μ ， c<0 .
（2）双曲线模型
Y
=
0
+1
1 X
+,
设
Z
=
1 X
,
原方程变换为
Y = 0 +1Z +.
例如，Y ：儿童死亡率； X：人均GDP。
（3）对数模型
半对数模型
lnY Y