特征值与特征向量计算第六章演示文稿

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矩阵的特征值与特征向量(PPT)

更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧进行拉伸，变成四分之一椭圆。
MATLAB提供了一个eigshow命令，可以演示向量x和Ax之间的关系。用鼠标拖动绿色的单位向量x绕原点转动，图中同步出现蓝色的Ax向量。Ax的大小在变化，方向也在变化，而且Ax的方向与x不一定相同。在变化过程中，x与Ax共线的位置称为特征方向。在特征方向上有Ax等于λ x。
例2 已知大写字母M的各个结点坐标如表所示（第一行代表横坐标，第二行代表纵坐标）。
x
0
0.5 0.5
3
5.5 5.5
6
6
3
0
y
0
0
6
0
6
0
0
8
1
8
（1）绘制M的图形。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）设�� =
��
��. �� ，用A对M的结点坐标进行变换，并绘制变换后的图形。 ��
x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8]; A=[1,0.5;0,1]; y=A*x; subplot(2,2,1); fill(x(1,:),x(2,:),'r'); subplot(2,2,2); fill(y(1,:),y(2,:),'r');
定义变换矩阵A，再利用A对x进行变换，得到y矩阵，最后分别绘制变换前后的图形，M原来是正体，变换后改为斜体。
启示：在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。
例1 设
�� =

厦大《高代》讲义第6章+特征值

3. 对每个特征值0, 求齐次线性方程组 (0In A)X 0
的基础解系, Xs. 则k1 X1 +
k即2X20+的…特+征k子sX空s,即间是V对0的应基于, 特X1征, X值2, …λ0 ,
的全部特征向量, 其中ki为K上不全为零的数.
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• 掌握复数域上的矩阵可以相似于上三角矩阵并应用于讨论问题;
• 掌握判断和计算特征值和特征向量的方法; • 注意矩阵与线性变换的对应结论; • 注意特征值的概念与数域有关.
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特征值和特征向量_1
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例子
例5:设A Knn , g( x) K[x],
(1) 若是A的特征值, 则 g( )是 g( A)的特征值.
(2) 若1, 2 , ..., n是A的全部特征值, 则g(1 ),
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特征值和特征向量_2
定义: 设λ是的一个特征值, 则 V { V | ( ) }
是V的子空间, 且是称为子空间, 称为的
属于特征值λ的特征子空间.
注: 设α是的关于λ的特征向量, β是的关于
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例子
1
例2:
求
a
b
的特征值与特征向量,
其中
d
a d,b 0,a 1,d 1.
3 1 1
例3:
求
2
2
1的特征值与特征向量.

特征值与特征向量计算(第六章)ppt课件

lk im uk
1 max(1)
lk im mk 1
.
证: V 1A0 uA0,V u 1m V 1V a 1)x m (A a A 0V 0 x )V (
Vk Aku1 maAk A x Vk0 (1V0)
uk
Vk mk
AkV0
maxAk (V0)
1k[11
n
i
i2
(i 1
)i
]
max{1k[11
a11 a12
fxdeAtI
a21
a22
a1n
a2n
an1
an2 ann
令ｆ﹙ｘ﹚﹦0。通过求解上述高次多项式方程，所得根λ即为矩阵A
的特征值，然后求解方程组﹙Ａ﹣λＩ﹚Ｘ﹦0，就可得出特征值λ对应的特征向量X。
.
但众所周知，高次多项式求根是相当困难的，而且重根的计算精度较低。同时，矩阵A求特征多项式系数的过程对舍入误差十分敏感，这对最后计算结果影响很大。因此，从数
.
注意点：由于求逆非常费时。故在用迭代向量 Vk A1uk1
由uk-1求Vk时，可采用解方程组 AV k uk1
的办法。由于每次解方程组的系数矩阵都相同，故计算并不复杂。如果预先将作三角分解，这样使每次迭代仅仅求解两个三角方程组就更省时了。特别当n较大时，将大大地节省计算量。三、幂法小结：
k
Байду номын сангаас
Vk
01
1
1
1 274
95
-184
2 44.43277 14.84322 -29.64262
3 44.92333 14.97623 -29.95048
4 44.99572 14.99865 -29.99722

线性代数第六章特征值与特征向量课件

3）对于 (x) as xs a1x a0 ，()是( A) 的特征值，且是 () 属于( A)的特征向量；
4）当 A 是可逆矩阵时，1是 A1的特征值，且是 A1属于1的特征向量．
例4 设 A 是一个 4 阶方阵，且 2, -1, 1, 3 为 A 的特征值．
１）求 A 的伴随矩阵 A* 的特征值；２）求 A3 2A2 2A E 的特征值．定理5 设 1, 2, , s 是矩阵 A 的互不相同的 s 个特征值，1,2, ,s 为分别与之对应的特征向量，则 1,2 , ,s 线性无关．
定理13 设 V 是数域 F 上的一个线性空间，是 V 上的一个线性变换．那么是可对角化的充分必要条件是存在个线性无关的特征向量．
推论设 V 是数域 F 上的一个线性空间，是 V 上的一个线性变换．如果存在 n 个互不相同的特征值，那么是可对角化的．
定理14 设 1, 2, , s 是线性变换的 s 个互不相同的特征值，i1, i2 , , iri 是的属于特征值 i的线性
1 1, 2 2 , , n n 为 D 的全部特征值．
如果 A 是可对角化的，且与 A 相似的对角矩阵 D 如（10）所示，那么，由于相似矩阵具有相同的特征值，
1 1, 2 2 , , n n 也是 A 的全部特征值．若不考虑 1,2, ,n 的顺序， D 是唯一确定的．因此，也称对角矩阵 D 为 A 的相
定理3 互为转置的两个矩阵具有相同的特征值．
对一个 n 阶方阵 A，我们也可以定义矩阵的多项式．设
(x) as xs as1xs1 a1x a0
是一个以 x 为未知量的 s 次多项式， a0, a1, , as 为常数，且 as 0 ．

第六章特征值

第六章特征值我们接着第四章进行讨论. 我们已经知道，对于n 维线性空间V 的一个线性变换A 来说，如果V 可以分解为一些不变子空间的直和，则可以通过选择适当的基12,,,n εεε，使得A 在这组基下的矩阵为准对角阵. 当然，这种分解是越细越好. 即各不变子空间的维数是越小越好. 最为理想的是能将V 分解为n 个一维不变子空间的直和，这样可通过选择适当的基，A 在这组基下的矩阵为对角阵：12n a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭此时，线性变换A 的许多性质便能一目了然. 例如，若12,,,r a a a 均不为零，但1,,r n a a +全为零，则A 的秩为r ，12Im (,,,)r L =A εεε，而1Ker (,,)r n L +=A εε.但能否这样分解，完全取决于所给的线性变换. 本章将对此展开讨论.§6.1 特征值和特征向量1. 特征值与特征向量概念定义 6.1.1 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果对于数域P 中一个数0λ，在V 中存在一个非零向量ξ，使得0()λ=A ξξ，（1.1）则称0λ是线性变换A 的一个特征值，向量ξ称为A 的属于特征值0λ的特征向量.说明从几何上来看，在经过线性变换后，特征向量的方向保持在同一条直线上，若00λ>，保持方向不变；若00λ<，保持方向相反；若00λ=，特征向量就变为了零向量.现在设A 在某组基下的矩阵是A ，向量ξ在这组基下可以表示为一个列向量α，此时（1.1）式等价于0λ=A αα.从而等价于0()n λ-=0E A α.定义6.1.2 设A 是数域P 上的n 阶方阵，如果存在0P λ∈及n 维非零列向量α，使得0λ=A αα，则称0λ是矩阵A 的一个特征值， α称为A 的属于特征值0λ的特征向量.关于特征值与特征向量，我们有下面三个命题：命题6.1.3 如果ξ是A 的属于特征值0λ的特征向量. 则对P 的任意数0k ≠，k ξ都是属于特征值0λ的特征向量.证明由于0()λ=A ξξ，≠0ξ，所以对0k ≠有k ≠0ξ，且00()()()()k k k k λλ===A A ξξξξ.故k ξ是属于特征值0λ的特征向量. 证毕命题6.1.4 一个特征向量只能属于一个特征值. 证明设≠0ξ是A 的一个特征向量，且0()λ=A ξξ， 0()λ'=A ξξ，则00λλ'=ξξ. 而≠0ξ，所以00λλ'=. 证毕. 命题6.1.5 向量≠0ξ生成的子空间()L ξ对A 不变⇔ξ是A 的一个特征向量. 证明若()L ξ对A 不变，则()()L ∈A ξξ. 所以存在0P λ∈，使得0()λ=A ξξ. 即ξ是A 的一个特征向量.反过来，若ξ是A 的一个特征向量. 则≠0ξ，且有0()λ=A ξξ，则由命题6.1.3，对于()L ξ的任意向量k ξ有00()()()()k k k L λλ==∈A ξξξξ，即()L ξ对A 不变，从而是关于A 的一维不变子空间. 证毕.2. 特征值与特征向量的求法读者自然会问：如何判断一个向量是不是特征向量呢？如果是，又如何求相应的特征值呢？下面对有限维线性空间来进行讨论.设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，A 在这组基下的矩阵是A . ξ是A 的属于特征值0λ的一个特征向量，即0()λ=A ξξ，≠0ξ，0P λ∈.设ξ在基12,,,n εεε下的坐标为12(,,,)n k k k ，则11221212()(,,,)(,,,)n n n n k k kkk k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A ξεεεεεε，11220012120(,,,)(,,,)n n n n k k k k k k λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξεεεεεε. 所以11220n n k k k k k k λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，即12000()0n n k k k λ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E A . 这就表明：12(,,,)T n k k k 是系数矩阵为0n λ-E A 的齐次线性方程组0()n λ-=0E A x的一个非零解. 因此，系数矩阵的行列式等于零，即00n λ-=E A .这也说明了特征值0λ是关于λ的n 次多项式()n f λλ=-E A 的一个根.反过来，坐标为0()n λ-=0E A x 的非零解的向量便是A 的属于特征值0λ的特征向量.我们引入下面的定义. 定义6.1.6 设111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A λ是一个符号或文字，则称矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a a a a λλλλ---⎛⎫⎪---⎪-= ⎪⎪---⎝⎭E A 为A 的特征矩阵. 称()f λλ=-E A为A 的特征行列式或特征多项式.于是上面的分析可以归纳为下面的定理.定理6.1.7 设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换，A 在V 的基12,,,n εεε下的矩阵是A . 若ξ是A 的属于特征值0λ的一个特征向量，即0()λ=A ξξ，≠0ξ，0P λ∈，则A 的特征值0λ是特征多项式()f λλ=-E A 的根，而属于0λ的特征向量ξ的坐标就是齐次线性方程组0()λ-=0E A x 的非零解. 反之，如果0λ是多项式()f λλ=-E A 的根，且0P λ∈，则0λ是线性变换A 的一个特征值. 而以0()λ-=0E A x 的非零解为坐标的向量便是A 的属于特征值0λ的特征向量.把上面的分析逆推回去即得定理的后一部分的证明.例6.1.8 设A 是数域P 上3维线性空间V 的一个线性变换，123,,εεε是V 的一组基，A 在这组基下的矩阵是122212221⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求A 的特征值及相应的特征向量.（分析）先求出特征值，即求出()f λλ=-E A 的根0λ；再将0λ代入到0()λ-=0E A x 中，求0()λ-=0E A x 的非零解，这非零解便是属于0λ的特征向量的坐标.解 1）先求特征值. 由于2122()212(1)(5)221f λλλλλλλ---=-=---=+----E A ，所以11λ=-（二重根），25λ=. 由于任何数域都包含有理数域，所以12,P λλ∈，从而1,5-都是A 的特征值.2）求属于特征值11λ=-的特征向量. 解方程组1()λ-=0E A x ，即112311231213(1)220,2(1)20,22(1)0.x x x x x x x x x λλλ---=⎧⎪-+--=⎨⎪--+-=⎩得到1231231232220,2220,2220.x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩容易求得它的基础解系是100,111⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 所以113=-ξεε，223=ξε-ε是属于特征值11λ=-的特征向量. 因而属于特征值11λ=-的全部特征向量为1122k k +ξξ. 其中12,k k P ∈，且不全为零.同样的，可以求得3123=++ξεεε是属于特征值25λ=的特征向量. 因而属于特征值25λ=的全部特征向量为3k ξ. 其中k P ∈，且不为零.例6.1.9 在n 维线性空间中数乘变换k A 在任一组基下的矩阵都是k E ，它的特征多项式是()n k k λλ-=-E E . 所以k A 的特征值只有k . 由数乘变换k A 的定义可知，每个非零向量都是属于k 的特征向量.例6.1.10设A 是实数域R 上3维线性空间V 的一个线性变换，123,,εεε是V 的一组基，A 在这组基下的矩阵是332112310⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，求A 的特征值及相应的特征向量. 解 1）先求特征值. 由于2332()112(4)(4)31f λλλλλλλ---=-=--=+-E A ，所以特征多项式的根为2i ±，4. 但2i ±不属于实数域R ，故不是特征值，所以只有4是A 的特征值.2）求属于特征值14λ=的特征向量. 解方程组1()λ-=0E A x ，即112311231213(3)320,(1)20,30.x x x x x x x x x λλλ---=⎧⎪-+-+=⎨⎪++=⎩ 得到123123123220,320,340.x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩ 容易求得它的基础解系是11,1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭.所以123=+-ξεεε，是属于特征值14λ=的特征向量. 因而属于特征值14λ=的全部特征向量为k ξ. 其中k P ∈，且不为零.我们再来介绍特征向量的一个重要性质. 定理6.1.11 属于不同特征值的特征向量线性无关.证明设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换，12,,,m λλλ是A 的m个互异的特征值，如果i ≠0ξ是属于(1,2,,)i i m λ=的特征向量，即()(,,1,2,,)i i ii i P i m λλ=≠∈=0A ξξξ.我们需要证明12,,,m ξξξ在P 上线性无关. 对m 用数学归纳法.当1m =时，因为1≠0ξ，所以1ξ线性无关，定理成立. 假设定理对1(1)m m ->成立，现在考虑m 的情形. 设112211m m m m k k k k --++++=0ξξξξ. （1.1）（1.1）式两边同乘以m λ有 112211m m m m m m m m k k k k λλλλ--++++=0ξξξξ. （1.2）再对（1.1）的两边同时作用线性变换A ，则有 111222111m m m m m m k k k k λλλλ---++++=0ξξξξ. （1.3）所以（1.2）-（1.3）有111222111()()()m m m m m m k k k λλλλλλ----+-++-=0ξξξ. 由归纳假设121,,,m -ξξξ线性无关，而12,,,m λλλ互异，所以1210m k k k -====.因而，再由（1.1）式有m m k =0ξ，而m ≠0ξ，故0m k =. 所以12,,,m ξξξ线性无关. 证毕.§6.2 特征多项式在上节里，我们介绍了特征多项式概念，本节我们要进一步讨论它. 设111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A 则A 的特征多项式为111212122212()n nn n nna a a a a a f a a a λλλλλ------=-=---E A11122()(1)n n n nn a a a λλ-=-+++++-A .因此我们有下面的结论.命题6.2.1 n 阶方阵A 的特征多项式是一个首项为1的n 次多项式.定义6.2.2 n 阶方阵A 的特征多项式()f λ在复数域内的根，称为A 的特征根.设A 的特征根为12,,,n λλλ，则由Vieta 定理我们又有下面的结论.命题6.2.3 设n 阶方阵()ij n na ⨯=A 的特征根为12,,,n λλλ，则1）112212Tr()nn n a a a λλλ=+++=+++A ；2）12n λλλ=A .注意，命题6.2.3中的1）并不意味着一定有111222,,,nn n a a a λλλ===.我们知道同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，那么相似的矩阵是否有相同的特征值呢？下面的定理作出了肯定的回答. 定理6.2.4 相似阵有相同的特征多项式. 证明设方阵,A B 相似，即存在满秩方阵P 使得1-=B PAP .所以，111λλλ----=-=-E B E PAP PP PAP11()λλλ--=-=-=-P E A P P E A P E A .证毕.说明 1）相似的方阵既然有相同的特征多项式，当然也就有相同的特征根. 因而结合命题6.2.3，相似的矩阵就有相同的行列式.2）定理6.2.4的逆不成立，即有相同特征多项式的矩阵却未必相似.如1011,0101⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E A .有相同的特征根，但并不相似. 因为和E 相似的矩阵只有它自身.3）由于一个线性变换A 在不同基下的矩阵是相似的，则由定理6.2.4，A 在任何基下的矩阵的特征多项式都是相同的. 于是我们给出下面的定义.定义6.2.5 设A 有限维线性空间V 的一个线性变换，A 在V 的任意一组基下的矩阵的特征多项式就称为线性变换A 的特征多项式，而其在复数域内的根称为A 的特征根.说明如果A 是数域P 上的有限维线性空间V 的一个线性变换，那么A 的特征值必是A 的特征根. 但A 的特征根未必是A 的特征值，只有属于P 的特征根才是A 的特征值. 对于矩阵的特征值与特征根的情形是相似的（如本章第一节例6.1.10）.最后，我们指出特征多项式的一个重要性质. 定理6.2.6（Hamilton-Caylay 定理）设()ij n na ⨯=A 是数域P 上的一个n 阶方阵，()f λλ=-E A 是A 的特征多项式，则11122()()(1)n n n nn f a a a -=-+++++-=0A A A A E .证明设()()λλ*=-B E A 是λ-E A 的伴随矩阵. 由伴随矩阵的性质，有()()()f λλλλ-=-=B E A E A E E .由于伴随矩阵()λB 中的元素都是λ-E A 的各个元素的代数余子式，因而也都是次数不超过1n -的多项式. 于是由矩阵的运算性质，可以把()λB 写成：120121()n n n n λλλλ----=++++B B B B B ，其中0121,,,,n n --B B B B 都是n n ⨯数字矩阵.设111()n n n n f a a a λλλλ--=-+++，则111()n n n n f a a a λλλλ--=-+++E E E E E . （2.1）又()()()120121()n n n n λλλλλλ-----=++++-B E A B B B B E A()()()1201021121n n n n n n B λλλλ-----=+-+-++--B B A B B A B B A B A . （2.2）将（2.1）与（2.2）进行比较得01012121211,,,,.n n n n n a a a a ----=⎧⎪-=⎪⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎪-=⎪⎩B E B B A E B B A E B B A E B A E （2.3）用1,,,,n n -A A A E 依次从右边乘（2.3）的第一式，第二式，，第n 式，第1n +式，得0111101121222122212111,,,,.n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a ------------⎧==⎪-==⎪⎪-==⎪⎨⎪⎪-==⎪⎪-=⎩B A EA A B A B A EA A B A B A EA A B A B A EA A B A E （2.4）把（2.4）的1n +个式子左边与右边分别相加，左边就变为了零，而右边即为()f A . 所以()f =0A . 证毕.设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换，由于P 上的线性变换的集合()M V 与n n P ⨯同构，又当A 在某组基下的矩阵为A 时，mA 的矩阵为m A ，从而由Hamilton-Caylay 定理有下面的推论.推论6.2.7 设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换，()f λ是A 的特征多项式，则()f =A 0. 其中0是零变换.例6.2.8 设,A B 是两个n 阶方阵，则AB 与BA 有相同的特征多项式，从而有相同的特征根. 证明由于,λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭00E A E A E AB E B E B E 上式两边取行列式，并利用Laplace 定理有nn λλλλ=-EA E AB BE.又,λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭00EE A E A B E BE E AB 同理有nn λλλλ=-EA E BA BE.因而有n n λλλλ-=-E AB E BA .故λλ-=-E AB E BA .§6.3 对角化对于某个线性空间一个线性变换，我们关心的是：能否找到一组基，使得这个线性变换在这组基下的矩阵具有特别简单的形状？对角矩阵可以认为是最为简单的一种矩阵. 而同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的. 那么我们的问题就是：是否所有线性变换的矩阵都相似于对角阵呢？如果不然，哪些线性变换的矩阵可以相似于对角阵呢？在这一节里，我们主要讨论这个问题.1. 方阵的对角化定义6.3.1 如果数域P 上的方阵A 与P 上的一个对角矩阵相似，则称方阵A 在P 上可以对角化. 如果数域P 上的有限维线性空间V 的线性变换A 的矩阵在P 上可以对角化，则称线性变换A 可以对角化.说明从上面的定义可以看出，如果线性变换A 可对角化，那么通过选择适当的基，A 在这组基下的矩阵是对角阵.定理6.3.2 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，那么A 可以对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 证明设A 在基12,,,n εεε下的矩阵是A ，即1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.如果A 可以对角化，即存在可逆阵P 使得121n λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，则1212(,,,)(,,,)n n =P αααεεε也是V 的一组基，且11212(,,,)(,,,)n n -=P AP A αααααα1212(,,,)n n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ααα，则有 (),1,2,,i i i i n λ==A αα.这说明12,,,n ααα是A 特征向量，而它们显然是线性无关的.反过来，如果12,,,n ααα是A 的n 个线性无关的特征向量. 则它同时可以认为就是V 的一组基，而A 在12,,,n ααα下的矩阵是对角阵，即A 可以对角化. 证毕.说明定理6.3.2可以用矩阵的语言叙述：如果A 是n 阶方阵，则A 相似于对角阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量（这样的矩阵A 称为可对角化矩阵）.推论6.3.3设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果A 的特征多项式在P 中有n 个单根，则A 在P 上可以对角化.证明由于A 的特征多项式在P 上有n 个单根，即A 在P 上有n 个互异的特征值，而属于不同的特征值的特征向量都是线性无关的，所以A 有n 个线性无关的特征向量，从而由定理6.3.2知，A 在P 上可以对角化.推论6.3.4 设A 是复数域上的n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果A 的特征多项式没有重根，则A 可以对角化.说明上面的两个推论可以用矩阵语言来叙述. 即1）如果复数域上的矩阵A 有n 个单根，则A 在P 上可以对角化.2）如果复数域上的矩阵A 的特征多项式没有重根，则A 在P 上可以对角化.2. 特征子空间下面我们进一步讨论对角化定义6.3.5设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换，0λ是A 的一个特征值，则称{}00,()V V λλ=∈=A αααα为A 的属于特征值0λ的特征子空间.因为0()λ=A αα等价于0()()λ-=0E A α，则00Ker()V λλ=-E A . 所以0V λ的确是V 的子空间. 又因为00()()λλ-=-A E A E A A ，则再由第四章§4.4的例4.4.6，我们有下面的命题.命题6.3.6 特征子空间0V λ是A 的不变子空间.现在我们讨论特征值0λ的重数与特征子空间0V λ的维数之间的关系. 定理6.3.7设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换，0λ是A 的一个特征值，0V λ是属于A 的特征子空间，则00dim V λλ≤的重数.证明设0dim V m λ=，且12,,,m ααα是0V λ的一组基，现在将它扩充为V 的一组基：121,,,,,,m m n +ααααα.因为0V λ是属于A 的特征子空间，则0V λ是V 的不变子空间. 因而可设101202011,112,12,11122(),(),(),(),().m m m m m n m n n n n nn n a a a a a a λλλ++++====+++=+++A A A A A αααααααααααααα于是A 在基121,,,,,,m m n +ααααα下的矩阵为01,110,1m n n m nn a a a a λλλ++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A . 于是有0()()m g λλλλ-=-E A ，其中()g λ为A 中右下角小块的特征多项式. 故0λ在特征多项式()f λλ=-E A中的重数m ≥，亦即00dim V λλ≤的重数.证毕.定理6.3.8 如果12,,,k λλλ是线性变换A 的不同的特征值，而1,,i i ir αα是属于特征值(1,2,,)i i k λ=的线性无关的特征向量，那么向量组11111,,,,,,k r k kr αααα线性无关.（分析）根据线性无关的定义进行证明. 证明设1111111111k k r r k k kr kr l l l l ++++++=0αααα令11,1,2,,i i i i i i ir ir l l V i k λ=++∈=ααα. 则上式即为12k +++=0ααα.所以i α只可能是0，或者是属于i λ的特征向量. 如果12,,,k ααα不全为0，我们不妨设12,,,()s s k ≤ααα都不是0，即它们分别是属于12,,,s λλλ的特征向量，而其余的都是0，则有12s +++=0ααα.这说明12,,,s ααα线性相关，而属于不同特征值的特征向量线性无关，从而引出矛盾. 所以12,,,k ααα全为0，亦即11,1,2,,i i i i i ir ir l l i k =++==0ααα.又1,,i i ir αα线性无关，所以10,1,2,,i i ir l l i k ====.故向量组11111,,,,,,k r k kr αααα线性无关. 证毕.定理6.3.9设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换. 则A 可以对角化的充分必要条件是，A 的特征根都是特征值，而且对每个特征值i λ都有dim i i V λλ=的重数.证明充分性. 设A 的特征根都是特征值，也就是说A 的特征根都在P 中. 令12,,,k λλλ是A 的全部互异的特征根，重数依次为12,,,k r r r . 则12k r r r n +++=.又dim ,(1,,)i i V r i k λ==，则可设1,,i i ir αα是i V λ的一组基. 所以由定理3.8，这n 个特征向量11111,,,,,,k r k kr αααα线性无关. 于是由定理6.3.2，A 可以对角化.必要性. 设A 可以对角化，即A 在某组基下的矩阵是对角阵，则A 有n 个线性无关的特征向量. 这些特征向量经过适当的排列为：11111,,,,,,t s t ts εεεε.其中1,,i i is εε是同一个特征值(1,,)i i t λ=的特征向量.显然，11111,,,,,,t s t ts εεεε也是V 的一组基. 那么A 在这组基下的矩阵为 111ttt s s λλλλ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎬ ⎪⎪ ⎪⎭⎪ ⎪ ⎪⎫ ⎪⎪ ⎪⎬ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，则A 的特征多项式为1212()()()()t s s s t f λλλλλλλ=---，由于1t s s n ++=，这说明A 的特征根都是特征值. 而(1,,)i i t λ=互异，则i λ的重数为i s . 又由于11111,,,,,,t s t ts εεεε是V 的一组基，线性无关，所以dim i i V s λ≥.而由定理6.3.7，dim i i V s λ≤. 故dim i i V λλ=的重数.证毕 .说明 1）用矩阵语言来叙述：设A 是数域P 上的n 阶方阵. 则A 可以对角化的充分必要条件是，A 的特征根都是特征值，而且对每个特征值i λ都有dim i i V λλ=的重数.2）这个定理给出了一个线性变换A 可对角化的充分必要条件.对于可对角化矩阵A ，现在我们来详细讨论如何求出P ，使得1-P AP 为对角阵.由于A 可对角化，则可设A 的特征值为12,,,n λλλ. 因为P 是可逆阵，不妨设12(,,,)n =P ααα是对P 按列进行分块. 由于121n λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭AP P . 因此121122(,,,)(,,,)n n n λλλ=A A A αααααα.即有,i i i λ=A αα所以，可以认为i α就是属于特征值i λ的特征向量. 因此P 的n 个列向量就是A 的n 个线性无关的特征向量. 这表明只要我们求出A 的n 个线性无关特征向量，将它们放在一起组成的矩阵就是所要求的P .说明因为特征向量不唯一，所以P 不唯一. 另外第i 个列向量对应于第i 个特征值.例6.3.10 判断矩阵100252241⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A是否相似于对角阵，如果是，求出可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角阵. （分析）首先需要求出特征值，并根据相应的特征向量来判断A 是否相似于对角阵. 解由于23100252(1)(3)241λλλλλλ--=--=--+E A .所以A 特征根1（二重）及3（一重），并且都是特征值. 将1λ=代入()3λ-=0E A x 有1231232420,2420.x x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩ 容易求得该齐次线性方程组的基础解系为12211,001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭εε.将3λ=代入()3λ-=0E A x 后，容易求出这个方程组的基础解系为301.1⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ε这说明A 有3个线性无关的特征向量，则它可以对角化. 因而根据上面的讨论有1210100101,010011003--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P AP .推论6.3.11 设A 是数域P 上的n 阶方阵. 则A 在P 上可对角化的充分必要条件是A 的特征根都在P 中，并且对每个特征根i λ都有()i i R n r λ-=-E A ，其中i r 是特征根i λ的重数.证明对于A 的每个特征根i λ，齐次线性方程组()i λ-=0E A x的解空间的维数为()i n R λ--E A . 而该齐次线性方程组的解空间实际上就是相应于i λ的特征子空间i V λ，所以dim ()i i V n R λλ=--E A .又由定理6.3.9，A 可对角化的充分必要条件是，每个特征根i P λ∈，且dim i i V λλ=的重数i r =.故()i i R n r λ-=-E A . 证毕.例6.3.12 判断下面方阵能否对角化：452221111-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A .解容易求得1是A 的三重特征根；又容易看出(1)033R ⋅-≠=-E A .故A 在任何数域上都不能对角化. 习题A1. 求下列矩阵的特征值与特征向量：1）110143202⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 2）010100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； 3）1100230000230014-⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭. 2. 已知()()1212,,,,,,,n n a a a b b b ==αβ是两个非零向量且'=0αβ，求矩阵'=αβA 的全部特征值.3. 设A 使线性空间V 上的线性变换，V 有一个直和分解：12m V V V V =⊕⊕⊕，其中每个i V 是A 的不变子空间. 设A 限制在i V 上的特征多项式为()i f λ，求证：A 的特征多项式12()()()()m f f f f λλλλ=.4. 证明：n 阶矩阵A 以任一非零n 列向量为特征向量的充分必要条件是c =A E ，其中c 是常数.5. 设15310ac b c a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A .如果1=-A ，*A 有一个特征值0λ且属于0λ的一个特征向量为()1,1,1T--. 求0,,,a b c λ的值.6.判断下列矩阵是否相似于对角阵，如果是，求出可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角阵.1）212533102-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ；2）142340313--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A .7. 矩阵A 是3阶方阵，其特征值为1，1，3，对应的特征向量依次为()()()2,1,0,1,0,1,0,1,1T T T -，求出矩阵A .8. 设3221423kk -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角阵. 求出P 和对角阵.9. 设12,λλ是A 的两个不同的特征值，12,ξξ分别是12,λλ的特征值，则12+ξξ必不是A 的特征向量.10. 设V 使复数域上的n 维线性空间，A 与B 是V 的两个线性变换，且=A B B A .证明：1）如果0λ是A 的一个特征值，那么0V λ是B 的不变子空间.2）A 与B 至少有一个公共的特征向量.习题B1. 设T =B AA ，其中12(,,,)T n a a a =A ，且(1,2,,)i a i n =为非零实数.1）证明：k l =B B ，并求出数l ，这里k 是正整数；2）求可逆阵C ，使得1-C BC 为对角阵，并写出该对角阵.2. 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且m n ≥. 求证：m n m n λλλ--=-E AB E BA .3. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换且可逆. 证明：1）A 的特征值不为零；2）如果0λ是A 的特征值，则10λ-是1-A 的特征值.4. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换，证明：A 的行列式为零的充分必要条件是A 的一个特征值为零.5. 设A 是一个n 阶下三角阵，证明：1）如果当i j ≠时，ii jj a a ≠，,1,2,,i j n =，那么A 相似于一个对角阵. 2）如果1122nn a a a ===，而至少有一个00000,()i j a i j ≠>，那么A 不相似于对角阵.6. 证明：对任一n 阶复方阵A ，存在可逆矩阵P ，使得1-P AP 为上三角矩阵.。

特征值与特征向量6.ppt

10
例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
(2次多项式)
3
I A 1
1
3
(
3)2
1
2
6
8
( 4)( 2) 0
所以A的特征值为 1 2, 2 4.
当1 2时, 解方程(2I A)X 0.由
2I
A
2
1
3
2
1
3
1 1
11
1 0
01
11
特征值为 1 2, 2 4.
1 , 1 ,
1
1
1 . 0
A
2 2
2
,3 k .
1
2,4是A的特征值, , 分别是A对应于特征值
2，4的特征向量, 不是A的特征向量.
4
定义设A是n阶方阵，
若数和n维非零列向量，使得 A 成立，
则称是方阵A的一个特征值，
是方阵A的对应于特征值的一个特征向量.
2 0
2 0
2 4 4 0 0 0
2
2
x1 2x2 2x3 基础解系
1 1 , 2 0.
对应特征值2的全部特征向量
0
1
k11 k22 (k1, k2不全为0)
16
1 2 2 2 2 4
当3 7时, 解方程(7I A)X 0 2 4 2
I
A
1
3
1
3
1 1
0 0 x1 x2 ,
基础解系 1 11
对应特征值1 2的全部特征向量k11 (k1 0)
当2 4时, 解方程(4I A)X 0.由
4I
A
4

特征值与特征向量的应用PPT

定义方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质推论１ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，则 1 为 A1 的特征值．推论２推论３则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４则 A 为 A 的特征值．
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T . , a1 a2 an bn
施密特（Schmidt）正交化法设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价，此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化令 1 1
则 1 , 2 ,, r 两两正交，且与 1 , 2 ,, r 等价. 2）标准化令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,, r 就是
1 2 P, ( p1 , p2 , , pn ) n 所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量．推论如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ可相似对角化．
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1

线性代数矩阵特征值与特征向量

将{|l1| , |l1| ,… , |ln|}的最大值称为A的谱半径,记作ρ(A),
即
( A)
max{|
1i n
li
|}
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例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
3l
1
1 (3 l)2 1
3l
8 6l l 2 (4 l)(2 l)
所以A的特征值为l1 2, l2 4. 当l1 =2时,对应的特征向量应满足
AlI 0
特征方程
特
a11 l a12
征多
| A l I |
a21
a22 l
项
式
an1
an2
a1n a2n 0
ann l
特征方程 | A−lI | = 0
特征多项式 f(l)=| A−lI | ( l 为未知数的一元 n 次多项式)
第4页/共16页
求特征值、特征向量的方法:
0 0
2
解得 x1
x2 ,
所以对应的特征向量可取为
p
1
1 1
.
当l1 =4时,
34
1
1 34
x1 x2
0 0
即
1
1
1 1
x1 x2
0 0
解得 x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为
p
2
1 1
.
第7页/共16页
1 1 0
例
求矩阵
A
4 1
(1) A l I 0 求出l即为特征值;
特征值就是特征方程的根．
(2) Ax l x A l I x O
把得到的特征值l代入上式, 求齐次线性方程组

第6章矩阵的特征值及特征向量的计算

特征值。特征值。当
λ
x
的特征值时，是矩阵 A 的特征值时，相应的方程组的特征向量。，称为矩阵 A 关于 λ 的特征向量。
(λ I − A) x = 0
的非零解
式及( 式看，它只是代数方程求根及线性方程组求解的问题。从 ( 6 . 1 ) 式及 ( 6 . 2 ) 式看，它只是代数方程求根及线性方程组求解的问题。当很小时（这种方法是可行的。稍大时，很小时（如 n = 2,3,4 ），这种方法是可行的。但当 n 稍大时，多项式方程是一个高次方程，求解它是一个很困难的问题。程是一个高次方程，求解它是一个很困难的问题。本章主要介绍四种目前在计算机上比较常用的计算矩阵的特征值和特征向量的幂法、反幂法、雅可比法及雅可比过关法。量的幂法、反幂法、雅可比法及雅可比过关法。
程序运行结果：程序运行结果： Matrix 2.000000 3.000000 10. 10.000000 3.000000 3.000000 6.000000 Max EigenValue 11. 11.000002 Max EigenVector 0.500000 1.000000 0.750000
▪ 反幂法的基本思想
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值和相应的特征向量的数值计算方法。可逆，量的数值计算方法。设某 n 阶矩阵 A 可逆， λ 和 ν 分别的特征值和相应的特征向量，为 A 的特征值和相应的特征向量，并设 λi ≠ 0, i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n ， 1 −1 得 A −1 ν = 对 Aν = λ ν 两边同乘 A ， ν ，可见 A 和 A −1 的 λ 特征值互为倒数，特征值互为倒数，而且 ν 也是 A −1 的特征值 1 λ 的特征向量。 A −1 的按模最大的特征值正是 A 的按模最小的特征值的倒数，的倒数，用幂法计算 A −1 的按模最大的特征值而得到 A 的按模最小的特征值的方法，称为反幂法。按模最小的特征值的方法，称为反幂法。

矩阵的特征值和特征向量-习题ppt课件.ppt

25
三、矩阵的相似及对角化
b c a
例11．设a,
b,
c均为复数，令A
c
a
b
,
a b c
c a b a b c
B
a
b
c
,
C
b
c
a
b c a c a b
(1)证明：A, B,C彼此相似
（2）若BC CB，则A, B,C的特征根至少有两个等于零．
26
0 1 0
0 0 1
证：（1）令T
其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和的值。 9
解：矩阵A的属于特征值的特征向量为，
由于矩阵A可逆，故A可逆。
于是 0，A 0，且A .
两边同时左乘矩阵A，得AA* A，
即A A ，亦即
2 1 11 1
1
1
2 1
1
b
a 1
A
b
1
10
A
3b
由此，得方程组
使得P1 AP 。(2003年数学2)
解 : 矩阵的特征多项式为:
2 2 0 | E A | 8 2 a
0 0 6
( 6)[( 2)2 16] ( 6)2 ( 2)
29
所以A的特征值λ1 λ2 6，λ3 2
由于A相似于对角矩阵，故对应于λ1 λ2 6，
应有两个线性无关的特征向量,
而r
，
1
，n是A的对应于特征值
0的特征向量，
从而1，2， n线性无关。
令P
（1，
，
2
，n），则P可逆，且
2
P1 AP
2 0
0
即A可对角化，且对角阵中2的个数为r。

5.1 特征值与特征向量的概念与计算

4 故 A 有一个特征值为 . 3
*
2
定理设n阶方阵A aij 的n个特征值为 1 , 2 , , n 则
1)

1＋2＋＋n a11 a22
n i 1
ann
aii tr ( A)
称为矩阵A的迹.（主对角元素之和）
2)

i 1
n
i
12
A A AA .
1
例设为矩阵 A 的特征值, 求 A 2 2A I 的特征值；若 A可逆，求 I A 1的特征值.
解
(A 2 2A I)的特征值为 2 2 1 ,
I A 的特征值为 1
1
1

.
例
2 1 2 设A 2 1 2 , 求 A 1 与 I A 1 的特征值 . 2 2 1
A 0, 分别求A, A1 , A的一个特征值 .
解由 A 3I 0知 3是 A 的一个特征值,
1 从而是 A 1的一个特征值. 3 又由AAT 2I得 AAT 2 I 16, 即
A 16, 于是 A 4, 但 A 0,因此 A 4,
1 1 0 A 4 3 0 1 0 2
k1 p1 ( k1 0 常数)是对应于1 2的全部特征向量.
齐次线性方程组为 I A X 0 当 2 1 二重时，
2 1 0 1 0 1 0 1 2 I A 4 2 0 1 0 1 0 0 0 1 x1 x3 得基础解系 p2 2 x 2 2 x 3 1