人教版八年级下册 第十八章 平行四边形 第14讲 菱形 讲义(无答案)

初中八年级数学下册

第14讲：菱形

一：知识点讲解

知识点一：菱形的定义

➢ 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

➢ 菱形的定义也是菱形的一种判定方法

➢ 菱形必备的两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等

例1：如下图所示，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗？试说明理由。

知识点二：菱形的性质

➢ 性质：菱形具有平行四边形的一切性质

➢ 边：菱形的四条边都相等

在菱形ABCD 中，AB=BC=CD=DA

➢ 对角线：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，则AC ⊥BD ，∠ADB=∠CDB ， ∠ABD=∠CBD ，∠BAC=∠DAC ，∠ACB=∠ACD

➢ 对称性：菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线

例2：在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是（ ）

A. AB ∥DC

B. AC=BD

C. AC ⊥BD

D. OA=OC 知识点三：菱形的面积

➢ 菱形的面积=底⨯高

➢ 若a ，b 表示菱形的两条对角线长，则ab S 2

1= ➢ 对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来表示 例3：如下图所示，菱形ABCD 的边长为5，对角线AC=6，则菱形ABCD 的面积为 。

知识点四：菱形的判定

➢ 边：

✧ 一组邻边相等的平行四边形是菱形

在平行四边形ABCD 中，若AB=AD ，则平行四边形ABCD 是菱形

✧ 四条边都相等的四边形是菱形

在四边形ABCD 中，∵AB=BC=CD=DA ，∴四边形ABCD 是菱形

➢ 对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

在平行四边形ABCD 中，∵AC ⊥BD ，∴平行四边形ABCD 是菱形

例4：如下图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 、AC 分别交于点E 、F 、O ，求证：四边形AFCE 是菱形

二：知识点复习

知识点一：菱形的定义

1. 如下图，若要使平行四边形ABCD 成为菱形，则需要添加的条件是（ ）

A. AB=CD

B. AD=BC

C. AB=BC

D. AC=BD 知识点二：菱形的性质

2. 在菱形ABCD 中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为（ ）

A. 5

B. 10

C. 6

D. 8

3. 已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC 的长等

于（ ） A. 36米 B. 6米 C. 33米 D. 3米

4. 如下图，点E 、F 分别在菱形ABCD 的边DC 、DA 上，且CE=AF 。

求证：∠ABF=∠CBE

知识点三：菱形的面积

5. 在菱形ABCD 中，AC=3，BD=6，则菱形ABCD 的面积为 。

6. 已知在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 的长分别是6cm 和8cm

1) 求菱形的周长

2) 求菱形的面积

知识点四：菱形的判定

7. 下列条件之一能使平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）

①AC ⊥BD ；②∠BAD=90°；③AB=BC ；④AC=BD

A. ①③

B. ②③

C. ③④

D. ①②③

8. 已知，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于

F ，当△ABC 再添加一个条件 时，四边形AEDF 为菱形（填写一个条件即可）

三：题型分析

题型一：利用菱形的性质计算

例1：如下图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB=10

1) 求∠ABC 的度数

2) 求对角线AC 的长度

3) 求菱形ABCD 的面积

题型二：菱形的性质和判定的综合应用

例2：如下图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB≠CD ，BD=AC

1) 求证：AD=BC

2) 若E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的重点，求证：线段EF 与线段GH 互

相垂直平分。

易错点：对菱形的判定方法理解不透而致错

例3：将平行四边形ABCD 按如下图所示的方式折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点D 处，折痕为EF ，求证：四边形AECF 是菱形

四：习题

1：选择题

1) 如下图，O 是菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，E 、F 分别是OA 、OC 的中

点。下列结论：①EOD ADE S S ∆∆=；②四边形BFDE 是菱形；③菱形ABCD 的面积为EF ·BD ；④∠ADE=∠EDO ；⑤△DEF 是轴对称图形。其中正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

2) 如下图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点。若四边形ADEF 是菱形，则△ABC 必须满足的条件是（ ）

A. AB ⊥AC

B. AB=AC

C. AB=BC

D. AC=BC

3) 如下图，在菱形ABCD 中，AB=4cm ，∠ADC=120°，点E ，F 同时由A ，C 两点出发，分别沿AB ，CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒，△DEF 为等边三角形，则t 的值为（ ）

A. 1

B. 31

C. 21

D. 3

4 4) 在菱形ABCD 中，AC=8，BD=6，则△ABC 的周长为（ ）

A. 14

B. 16

C. 18

D. 20

5) 如下图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，要判定四边形DBFE 是菱形，还需要添

加的条件是（ ）

A. AB=AC

B. AD=BD

C. BE ⊥AC

D. BE 平分∠ABC

6) 已知：四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O 。求证：AC ⊥BD 以下是排乱的证明过程：

① 又BO=DO,

② ∴AO ⊥BD ，即AC ⊥BD

③ ∵四边形ABCD 是菱形

④ ∴AB=AD

证明步骤正确的顺序是（ ）

A. ③→②→①→④

B. ③→④→①→②

C. ①→②→④→③

D. ①→④→③→②

7) 如下图，长方形ABCD 的面积为S 2cm ，对角线交于点O 。以AB 、AO 为邻边作

平行四边形B AOC 1，连接1AC 交BD 于1O ，以AB 、1AO 为邻边作平行四边形B C AO 21；……，依次类推，则平行四边形B C AO n n 1+的面积为（ ） A. S n 121-⎪⎭

⎫ ⎝⎛2cm B. S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛212cm C. S n 121+⎪⎭⎫ ⎝⎛2

cm D. S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛312cm