04电力系统电磁暂态过程分析
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u j (t ) ZCi jk (t ) 2 f1 (l vt )
用上式与上上式第二项进行比较，可以到出：
uk (t ) ZCikj (t ) u j (t ) ZCi jk (t )
4.3 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路4
单根无损线路的暂态等值计算电路 上式可改写为
分别令 x 0 和 x l ，则 u(0, t ) u j (t ) i(l, t ) ikj (t ) ，于是得：
i(0, t ) i jk (t )
u(l, t ) uk (t )
u ( x, t ) ZC i( x, t ) 2 f1 ( x vt ) u ( x, t ) ZC i( x, t ) 2 f 2 ( x vt )
4.1 电磁暂态过程分析概2
电磁暂态过程分析的主要目的在于分析和计算故障或操作 后可能出现的暂态过电压和过电流，以便对电力设备进行 合理设计，确定已有设备能否安全运行，并研究相应的限 制和保护措施。此外，对于研究新型快速继电保护装置的 动作原理，故障点探测原理以及电磁干扰等问题，也常需 要进行电磁暂态过程分析。由于电磁暂态过程变化很快， 一般需要分析和计算持续时间在毫秒级以内的电压、电流 瞬时值变化情况，因此，在分析中需要考虑元件的电磁耦 合，计及输电线路分布参数所引起的波过程，有时甚至要 考虑线路三相结构的不对称、线路参数的频率特性以及电 晕等因素的影响。
电力系统稳定分析
第四章 电力系统电磁暂态过程分析
江全元
浙江大学 电气工程学院
小节目录
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
电磁暂态过程分析概述 集中参数元件的暂态等值计算电路 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路 暂态等值计算网络的形成及求解 开关操作处理及数值振荡问题 非线性元件的计算方法
3、电阻元件
1 i jk (t ) [u j (t ) uk (t )] R
j
i jk (t )
R
k
u j (t )
uk (t )
它直接描述了t时刻电压和电流之间的关系，因此，其电 路本身就是它的暂态等值计算电路。 以上给出了单个L、C、R元件的暂态等值计算电路。当一集 中参数元件同时含有几个参数（例如R、L串联）时，可以 分别作出它们的暂态等值计算电路，然后进行相应的连接。 另外．对于并联电抗器和并联电容器等接地元件，可以在 暂态等值计算电路中令其接地端电压为零。
4.2 集中参数元件的暂态等值计算电路3
2、电容元件 i jk (t )
j
I C (t - Vt )
u j (t )
C
k
i (t ) j jk
u j (t )
RC
k
uk (t )
uk (t )
仿照电感元件的方法可导出电 容元件的暂态等值计算电路
电容元件的暂态等值计算电路 其中
RC t / 2C 1 I jk (t ) [u j (t ) uk (t )] I C (t t ) IC (t t ) i jk (t t ) 1 [u j (t t ) uk (t t )] RC RC
4.2 集中参数元件的暂态等值计算电路2
1、电感元件
I L (t - Vt )
电感元件的暂态等值计算电路中，RL 是积分计算中反映电感L的等值电阻， 当步长t 固定时它为定值；
I L (t t )是 t 时刻的等值电流源，对于
i (t ) j jk
u j (t )
RL
k
uk (t )
小节目录
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
电磁暂态过程分析概述 集中参数元件的暂态等值计算电路 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路 暂态等值计算网络的形成及求解 开关操作处理及数值振荡问题 非线性元件的计算方法
4.2 集中参数元件的暂态等值计算电路1
1、电感元件
Ldi jk / dt = u j - uk
等值电流源的递推形式： 2 i j (t ) uk (t ) I k (t 2 ) ZC 2 ik (t ) u j (t ) I j (t 2 ) ZC
单根无损线路的 暂态等值计算电路
4.3 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路5
4.1 电磁暂态过程分析概3
电磁暂态过程的分析方法可以分为两类，一类是应用暂态 网络分析仪——TNA（Transient Network Analyzer）的 物理模拟方法，另一类是 数值计算 （或称数字仿真）方法， 即列出描述各元件和全系统暂态过程的微分方程，应用数 值方法进行求解。随着数字计算机和计算方法的发展，现 在已研究和开发出一些比较成熟的数值计算方法和程序。 其 中 由 H.W.Dommel 创 建 的 电 磁 暂 态 程 序 — — EMTP （Electromegnatic Transient Program），经过许多人 的共同工作进行不断改进和完善后，已具有很强的计算功 能和良好的计算精度，并包括了发电机、轴系和控制系统 动态过程的模拟，使之能用于次同步谐振问题的分析。这 一程序已得到国际上的普遍承认和广泛应用，并仍在继续 发展。
电 流 源 的 计 算
第一个时段
1 [u j (0) uk (0)] RC 其它时段 2 IC (t t ) I C (t 2t ) [u j (t t ) uk (t t )] RC IC (0) i jk (0)
4.2 集中参数元件的暂态等值计算电路4
式中，与 f1 ( x vt ) 有关的项反映速度为v的前行波，与 f2 ( x vt ) 有关的项反映速度为v的反行波， ZC L0 / C0 为线路的波阻抗。
4.3 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路3
单根无损线路的暂态等值计算电路
贝瑞隆应用以上两式所表示的任一点电压、电流线性关系，在已知边 界条件和起始条件下计算了线路上的电压、电流。这里并不直接应用贝 瑞隆法，而是用 以上两式推导线路两端的等值计算电路。
式中 v 1/ L0C0 为沿线电磁波的传播速度。
二阶波动方程的通解为：
u ( x, t ) f1 ( x vt ) f 2 ( x vt ) 1 1 i( x, t ) f1 ( x vt ) f 2 ( x vt ) ZC ZC
u ( x, t ) ZC i( x, t ) 2 f1 ( x vt ) u ( x, t ) ZC i( x, t ) 2 f 2 ( x vt )
1 ikj (t ) uk (t ) I k (t ) ZC
同理可得
其中 I k (t )
1 u j (t ) i jk (t ) ZC
1 1 I ( t ) uk (t ) ikj (t ) i jk (t ) u j (t ) I j (t ) 其中 j ZC ZC
I L (t - Vຫໍສະໝຸດ Baidu )
j
i jk (t )
RL
k
1 i jk (t ) [u j (t ) uk (t )] I L (t t ) RL
u j (t )
uk (t )
1 其中： RL 2L / t ，I L (t t ) i jk (t t ) [u j (t t ) uk (t t )] RL
j
i jk (t )
u j (t )
L
k
uk (t )
应用梯形积分公式转化为差分方程
i jk (t ) i jk (t t )
t [u j (t ) uk (t )] [u j (t t ) uk (t t )] 2L
由此可作出电感元件 的暂态等值计算电路
4.3 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路6
线路损耗的近似处理 如图所示线路被等分为 两段，并在无损线路 jⅱ - j ? 和 kⅱ - k? 两端接 入电阻（总电阻为R） 后的电路图。 将无损线用等值计算 电路表示后，可得暂 态等值计算电路
小节目录
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
电磁暂态过程分析概述 集中参数元件的暂态等值计算电路 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路 暂态等值计算网络的形成及求解 开关操作处理及数值振荡问题 非线性元件的计算方法
4.3 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路1
在电磁暂态过程分析中，输电线路分布参数的影响可以用两种方法处 理：一种是将线路适当地分成若干段，每段用Ⅱ型或T型集中参数电路 代替，再将基中的各个参数用前面介绍的暂态等值计算电路表示；另一 种方法是直接导出并采用线路的暂态等值计算电路。 单根无损线路的暂态等值计算电路 设单位长度的电感 L0 和电容 C0 均为常数，则可以列出下列 偏微分方程：
u ( x, t ) i ( x, t ) L0 x t i ( x, t ) u ( x, t ) C0 x t
单根无损线路
4.3 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路2
单根无损线路的暂态等值计算电路 将上式改写成二阶波动方程
2u ( x, t ) 1 2u ( x, t ) u ( x, t ) i ( x, t ) 2 L0 二阶波动方程 x 2 v t 2 x t 2 2 i ( x , t ) 1 i ( x , t ) i ( x, t ) u ( x, t ) 2 C0 2 2 x v t x t
线路损耗的近似处理
在一般情况下，线路绝缘的漏电损耗很小，常忽略不计。 至于电晕所引起的损耗则属于专门研究课题，有兴趣的 同学可以参考相关的文献。因此，这里限于考虑线路电 阻的影响。 当计及线路分布电阻时，就不能象无损线路那样导出其 简单的等值计算电路，而在工程计算中往往采用近似的 处理方法。例如，在EMTP中，将整个线路适当地分成几 段，每段视为无损线路，而将各段的总电阻进行等分后 分别集中在该段无损线路的两端。显然，分段数愈多， 则愈接近于分布电阻情况。 但根据计算经验，在一般线 路长度下，分为两段便可满足工程计算的精度要求。
4.1 电磁暂态过程分析概1
在电力系统发生故障或操作后，将产生复杂的电磁暂态过程 和机电暂态过程，前者主要指各元件中电场和磁场以及相应 的电压和电流的变化过程，后者则指由于发电机和电动机电 磁转矩的变化所引起电机转子机械运动的变化过程。虽然电 磁暂态过程和机电暂态过程同时发生并且相互影响，但是要 对它们统一分析却十分复杂。由于这两个暂态过程的变化速 度实际上相差很大，在工程上通常近似地对它们分别进行分 析。例如，在电磁暂态过程分析中，常不计发电机和电动机 的转速变化，而在静态稳定性和暂态稳定性等机电暂态过程 分析中，则往往近似考虑或甚至忽略电磁暂态过程。只有在 分析由发电机组轴系引起的次同步谐振现象，计算大扰动后 轴系的暂态扭矩等问题中，才不得不同时考虑电磁暂态过程 和机电暂态过程。
u j (t ) Z C i jk (t ) 2 f1 ( vt ) uk (t ) Z C ikj (t ) 2 f1 (l vt )
l / v 为电磁波由线路一端到达另一端所 令上式第一项中 t t , （ 需的时间）。可得上式第一项变为：
积分的第一个时段，即 t t 时，其 按下式计算： 1 I L (t ) i jk (0) [u j (0) uk (0)] RL
电感元件的暂态等值计算电路
而对于其它时段的等值电流源则可以由前一个时段的计算结果得到， 容易得出等值电流源在其它时段的下列递推形式： 2 I L (t t ) I L (t 2t ) [u j (t t ) uk (t t )] RL
用上式与上上式第二项进行比较，可以到出：
uk (t ) ZCikj (t ) u j (t ) ZCi jk (t )
4.3 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路4
单根无损线路的暂态等值计算电路 上式可改写为
分别令 x 0 和 x l ，则 u(0, t ) u j (t ) i(l, t ) ikj (t ) ，于是得：
i(0, t ) i jk (t )
u(l, t ) uk (t )
u ( x, t ) ZC i( x, t ) 2 f1 ( x vt ) u ( x, t ) ZC i( x, t ) 2 f 2 ( x vt )
4.1 电磁暂态过程分析概2
电磁暂态过程分析的主要目的在于分析和计算故障或操作 后可能出现的暂态过电压和过电流，以便对电力设备进行 合理设计，确定已有设备能否安全运行，并研究相应的限 制和保护措施。此外，对于研究新型快速继电保护装置的 动作原理，故障点探测原理以及电磁干扰等问题，也常需 要进行电磁暂态过程分析。由于电磁暂态过程变化很快， 一般需要分析和计算持续时间在毫秒级以内的电压、电流 瞬时值变化情况，因此，在分析中需要考虑元件的电磁耦 合，计及输电线路分布参数所引起的波过程，有时甚至要 考虑线路三相结构的不对称、线路参数的频率特性以及电 晕等因素的影响。
电力系统稳定分析
第四章 电力系统电磁暂态过程分析
江全元
浙江大学 电气工程学院
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4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
电磁暂态过程分析概述 集中参数元件的暂态等值计算电路 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路 暂态等值计算网络的形成及求解 开关操作处理及数值振荡问题 非线性元件的计算方法
3、电阻元件
1 i jk (t ) [u j (t ) uk (t )] R
j
i jk (t )
R
k
u j (t )
uk (t )
它直接描述了t时刻电压和电流之间的关系，因此，其电 路本身就是它的暂态等值计算电路。 以上给出了单个L、C、R元件的暂态等值计算电路。当一集 中参数元件同时含有几个参数（例如R、L串联）时，可以 分别作出它们的暂态等值计算电路，然后进行相应的连接。 另外．对于并联电抗器和并联电容器等接地元件，可以在 暂态等值计算电路中令其接地端电压为零。
4.2 集中参数元件的暂态等值计算电路3
2、电容元件 i jk (t )
j
I C (t - Vt )
u j (t )
C
k
i (t ) j jk
u j (t )
RC
k
uk (t )
uk (t )
仿照电感元件的方法可导出电 容元件的暂态等值计算电路
电容元件的暂态等值计算电路 其中
RC t / 2C 1 I jk (t ) [u j (t ) uk (t )] I C (t t ) IC (t t ) i jk (t t ) 1 [u j (t t ) uk (t t )] RC RC
4.2 集中参数元件的暂态等值计算电路2
1、电感元件
I L (t - Vt )
电感元件的暂态等值计算电路中，RL 是积分计算中反映电感L的等值电阻， 当步长t 固定时它为定值；
I L (t t )是 t 时刻的等值电流源，对于
i (t ) j jk
u j (t )
RL
k
uk (t )
小节目录
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
电磁暂态过程分析概述 集中参数元件的暂态等值计算电路 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路 暂态等值计算网络的形成及求解 开关操作处理及数值振荡问题 非线性元件的计算方法
4.2 集中参数元件的暂态等值计算电路1
1、电感元件
Ldi jk / dt = u j - uk
等值电流源的递推形式： 2 i j (t ) uk (t ) I k (t 2 ) ZC 2 ik (t ) u j (t ) I j (t 2 ) ZC
单根无损线路的 暂态等值计算电路
4.3 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路5
4.1 电磁暂态过程分析概3
电磁暂态过程的分析方法可以分为两类，一类是应用暂态 网络分析仪——TNA（Transient Network Analyzer）的 物理模拟方法，另一类是 数值计算 （或称数字仿真）方法， 即列出描述各元件和全系统暂态过程的微分方程，应用数 值方法进行求解。随着数字计算机和计算方法的发展，现 在已研究和开发出一些比较成熟的数值计算方法和程序。 其 中 由 H.W.Dommel 创 建 的 电 磁 暂 态 程 序 — — EMTP （Electromegnatic Transient Program），经过许多人 的共同工作进行不断改进和完善后，已具有很强的计算功 能和良好的计算精度，并包括了发电机、轴系和控制系统 动态过程的模拟，使之能用于次同步谐振问题的分析。这 一程序已得到国际上的普遍承认和广泛应用，并仍在继续 发展。
电 流 源 的 计 算
第一个时段
1 [u j (0) uk (0)] RC 其它时段 2 IC (t t ) I C (t 2t ) [u j (t t ) uk (t t )] RC IC (0) i jk (0)
4.2 集中参数元件的暂态等值计算电路4
式中，与 f1 ( x vt ) 有关的项反映速度为v的前行波，与 f2 ( x vt ) 有关的项反映速度为v的反行波， ZC L0 / C0 为线路的波阻抗。
4.3 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路3
单根无损线路的暂态等值计算电路
贝瑞隆应用以上两式所表示的任一点电压、电流线性关系，在已知边 界条件和起始条件下计算了线路上的电压、电流。这里并不直接应用贝 瑞隆法，而是用 以上两式推导线路两端的等值计算电路。
式中 v 1/ L0C0 为沿线电磁波的传播速度。
二阶波动方程的通解为：
u ( x, t ) f1 ( x vt ) f 2 ( x vt ) 1 1 i( x, t ) f1 ( x vt ) f 2 ( x vt ) ZC ZC
u ( x, t ) ZC i( x, t ) 2 f1 ( x vt ) u ( x, t ) ZC i( x, t ) 2 f 2 ( x vt )
1 ikj (t ) uk (t ) I k (t ) ZC
同理可得
其中 I k (t )
1 u j (t ) i jk (t ) ZC
1 1 I ( t ) uk (t ) ikj (t ) i jk (t ) u j (t ) I j (t ) 其中 j ZC ZC
I L (t - Vຫໍສະໝຸດ Baidu )
j
i jk (t )
RL
k
1 i jk (t ) [u j (t ) uk (t )] I L (t t ) RL
u j (t )
uk (t )
1 其中： RL 2L / t ，I L (t t ) i jk (t t ) [u j (t t ) uk (t t )] RL
j
i jk (t )
u j (t )
L
k
uk (t )
应用梯形积分公式转化为差分方程
i jk (t ) i jk (t t )
t [u j (t ) uk (t )] [u j (t t ) uk (t t )] 2L
由此可作出电感元件 的暂态等值计算电路
4.3 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路6
线路损耗的近似处理 如图所示线路被等分为 两段，并在无损线路 jⅱ - j ? 和 kⅱ - k? 两端接 入电阻（总电阻为R） 后的电路图。 将无损线用等值计算 电路表示后，可得暂 态等值计算电路
小节目录
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
电磁暂态过程分析概述 集中参数元件的暂态等值计算电路 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路 暂态等值计算网络的形成及求解 开关操作处理及数值振荡问题 非线性元件的计算方法
4.3 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路1
在电磁暂态过程分析中，输电线路分布参数的影响可以用两种方法处 理：一种是将线路适当地分成若干段，每段用Ⅱ型或T型集中参数电路 代替，再将基中的各个参数用前面介绍的暂态等值计算电路表示；另一 种方法是直接导出并采用线路的暂态等值计算电路。 单根无损线路的暂态等值计算电路 设单位长度的电感 L0 和电容 C0 均为常数，则可以列出下列 偏微分方程：
u ( x, t ) i ( x, t ) L0 x t i ( x, t ) u ( x, t ) C0 x t
单根无损线路
4.3 单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路2
单根无损线路的暂态等值计算电路 将上式改写成二阶波动方程
2u ( x, t ) 1 2u ( x, t ) u ( x, t ) i ( x, t ) 2 L0 二阶波动方程 x 2 v t 2 x t 2 2 i ( x , t ) 1 i ( x , t ) i ( x, t ) u ( x, t ) 2 C0 2 2 x v t x t
线路损耗的近似处理
在一般情况下，线路绝缘的漏电损耗很小，常忽略不计。 至于电晕所引起的损耗则属于专门研究课题，有兴趣的 同学可以参考相关的文献。因此，这里限于考虑线路电 阻的影响。 当计及线路分布电阻时，就不能象无损线路那样导出其 简单的等值计算电路，而在工程计算中往往采用近似的 处理方法。例如，在EMTP中，将整个线路适当地分成几 段，每段视为无损线路，而将各段的总电阻进行等分后 分别集中在该段无损线路的两端。显然，分段数愈多， 则愈接近于分布电阻情况。 但根据计算经验，在一般线 路长度下，分为两段便可满足工程计算的精度要求。
4.1 电磁暂态过程分析概1
在电力系统发生故障或操作后，将产生复杂的电磁暂态过程 和机电暂态过程，前者主要指各元件中电场和磁场以及相应 的电压和电流的变化过程，后者则指由于发电机和电动机电 磁转矩的变化所引起电机转子机械运动的变化过程。虽然电 磁暂态过程和机电暂态过程同时发生并且相互影响，但是要 对它们统一分析却十分复杂。由于这两个暂态过程的变化速 度实际上相差很大，在工程上通常近似地对它们分别进行分 析。例如，在电磁暂态过程分析中，常不计发电机和电动机 的转速变化，而在静态稳定性和暂态稳定性等机电暂态过程 分析中，则往往近似考虑或甚至忽略电磁暂态过程。只有在 分析由发电机组轴系引起的次同步谐振现象，计算大扰动后 轴系的暂态扭矩等问题中，才不得不同时考虑电磁暂态过程 和机电暂态过程。
u j (t ) Z C i jk (t ) 2 f1 ( vt ) uk (t ) Z C ikj (t ) 2 f1 (l vt )
l / v 为电磁波由线路一端到达另一端所 令上式第一项中 t t , （ 需的时间）。可得上式第一项变为：
积分的第一个时段，即 t t 时，其 按下式计算： 1 I L (t ) i jk (0) [u j (0) uk (0)] RL
电感元件的暂态等值计算电路
而对于其它时段的等值电流源则可以由前一个时段的计算结果得到， 容易得出等值电流源在其它时段的下列递推形式： 2 I L (t t ) I L (t 2t ) [u j (t t ) uk (t t )] RL