巧用向量共线充要条件解题
(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
2 第2课时 两向量共线的充要条件及应用
－8)．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．若三点 A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列
式子一定正确的是( )
A．2m－n＝3
B．n－m＝1
C．m＝3，n＝5 D．m－2n＝3
解析：选 A.因为三点 A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线
上，所以A→B＝λA→C，所以(1，m－3)＝λ(2，n－3)，所以 λ＝12，
解：(1)因为 a＝mb＋nc，所以(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝ (－m＋4n，2m＋n)． 所以－ 2mm＋＋n4＝n＝ 2，3，解得mn＝＝8959.， (2)因为(a＋kc)∥(2b－a)， 又 a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， 所以 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0. 所以 k＝－1163.
栏目 导引
因为A→M∥A→D，
第六章 平面向量及其应用
所以－72x－2(y－5)＝0， 即 7x＋4y＝20.①
又C→M＝x，y－54，C→B＝4，74， 因为C→M∥C→B，所以74x－4y－54＝0， 即 7x－16y＝－20.②
联立①②解得 x＝172，y＝2，故点 M 的坐标为172，2.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a－b)与(a＋kb)是反向还是 同向？ 解：由向量(3a－b)与(a＋kb)共线，得 k＝－13， 所以 3a－b＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a＋kb＝a－13b＝(1，－2)－13(3，4) ＝0，－130＝13(0，－10)， 所以向量(3a－b)与(a＋kb)同向．
又A→B＝(－2，－4)，A→C＝(x＋3，0)，
共线定理以及三点共线
共线定理以及三点共线一、向量共线定理平面向量共线定理：对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b aλ=例1.设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则A. 0B.C.D.【解答】 解：因为向量与共线，所以存在实数x 有，则，解得故选D ．例2.已知向量，，且与共线，，则 A.B.C.或D.或【解答】 解：与共线，，， ， 或．故选：D ．例3.若、是不共线向量，，，且，则k等于A. 8B. 3C.D.【解析】解：，是不共线向量，，，且，存在实数使得．．，解得．故选D．例4.向量，，若与共线且方向相反，则______．【解答】解：，，解得，又与方向相反，．故答案为．例5.已知点P在线段AB上，且，设，则实数______．【解析】解：如图所示，点P在线段AB上，且，；又，．故答案为：．例6.已知向量______．【解析】解：，，则有，解得，故答案为．例7.已知是平面内两个不共线向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为A. 2B.C.D. 3【解答】解：，，、B、D三点共线，与共线，存在唯一的实数，使得即解得．故选A．例8.已知、是两个不共线向量，设，，，若A，B，C三点共线，则实数的值等于A. 1B. 2C.D.【解答】解：，，，，，，B，C三点共线，不妨设，，，解得．故选C．例9.设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为A. B. 8 C. 6 D.【解答】解：，因为三点A，B，D共线，所以与共线，则存在实数，使得，即，由向量相等的条件得，所以．故选A．例10.设，是不共线向量，与共线，则实数k为______ ．【解答】解：与共线，且，是不共线向量，存在实数满足：，且，．故答案为．例11.设向量，不平行，向量与平行，则实数________．【解答】解：向量，不平行，向量与平行，，，解得实数．故答案为．二、三点共线定理在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB=+且1x y+=。
2024年高考数学复习培优讲义专题31--- 平面向量共线定理与等和线(含解析)
专题5-2 平面向量共线定理与等和线一、平面向量共线定理：已知PC PA PB λμ=+，1λμ+=是A B C 、、三点共线的充要条件 证明若点A,B,C 互不重合，P 是A,B,C 三点所在平面上的任意一点，且PC xPA yPB =+，证明：A ，B ，C 三点共线是1x y +=的充要条件.证明:(1)由1x y +=⇒A ，B ，C 三点共线.由1x y +=得(1)()PC xPA yPB xPA x PB PC PB x PA PB BC xBA =+=+−⇒−=−⇒=.即BC ，BA 共线，故A ，B ，C 三点共线. (2)由A ，B ，C 三点共线1x y ⇒+=.由A ，B ，C 三点共线得BC ，BA 共线，即存在实数x 使得BC BA λ=.故()(1)BP PC BP PA PC PA PB λλλ+=+⇒=+−.令,1x y λλ==−，则有1x y +=.AC二、等和线相关性质平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，OB OA OP μλ+=，若点p 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
1.当等和线恰为直线AB 时，k 等于1. 2.定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，OB OA OP μλ+=，若点p 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
1.当等和线恰为直线AB 时，k 等于1. 2.定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.2017全国3卷（理）T12 1．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．22 C ．5D ．22020年江苏省高考2．在中，，，，在边上（不与端点重合）．延长到，使得．当为中点时，的长度为 ；若为常数且，则的长度是 ．ABC ∆3BC =4AC =90ACB ∠=︒D AB CD P 9CP =D AB PD 3()(2PC mPA m PB m =+−0m ≠3)2m ≠BD题型一 向量共线定理：构造方程组求系数2023·深圳二模1．已知OAB 中，OC CA =，2OD DB =，AD 与BC 相交于点M ，OM xOA yOB =+，则有序数对(,)x y =（ ）A ．11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)2．在ABC 中，已知2BD DC =，CE EA =，BE 与AD 交于点O .若CO xCB yCA =+(),R x y ∈，则x y += .3．在ABC 中，3BC BD =，2CF FA =，E 是AB 的中点，EF 与AD 交于点P ，若AP mAB nAC =+，则m n +=（ ） A ．37 B ．47 C ．67D ．1题型二 向量共线定理：结合不等式求最值2024届·湖南师大附中月考（二）4．ABC 中，D 为AC 上一点且满足13AD DC =，若P 为BD 上一点，且满足,,AP AB AC λμλμ=+为正实数，则下列结论正确的是（ ）A ．λμ的最小值为116B ．λμ的最大值为1C ．114λμ+的最小值为4D ．114λμ+的最大值为165．如图，在ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N .若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则1λμ−的最小值是 .重点题型·归类精讲2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考6．（多选）在三角形ABC 中，点D 足AB 边上的四等分点且3AD DB =，AC 边上存在点E 满足()0EA CE λλ=>，直线CD 和直线BE 交于点F ，若()0FC DF μμ=>，则（ ）A ．1344CD CA CB =+B ．4λμ=C ．2164λμ+的最小值为17D ．49CF EA CD CA ⋅≤⋅的延长线交于点F,若BC CE λ=，ED DA μ=，3(,0)AB BF λμ=>，则（ ）A. 3144EB EF EA =+ B. 14λμ=C. 11λμ+的最大值为1 D. 49EC AD EB EA⋅≥−⋅题型三 等和线：求系数和最值，范围8．如图正六边形ABCDEF 中，P 点三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AF AB AP y x +=，则y x +的取值范围是________．FEDCB AFED9．如图，在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，//AB DC ，1AD DC ==，2AB =，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设(,R)AP AD AB λμλμ=+∈，则λμ+取值范围是 ．10．给定两个长度为3的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°，如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若=OC xOA yOB +，其中,x y R ∈，则x y +的最大值是_____；2x y +的最大值是______.11．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE xAD y AP x y R =+∈，则2x+y 的最小值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．312．在直角ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==，以BC 为直径的半圆上有一点M （包括端点），若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）OACE BDCPA ．4B ．3C ．2D ．213．直角梯形中ABCD ,ABD BC AD CD CB ∆⊥，，//是边长为2的正三角形，P 是平面上的动点，1||=CP ，),(R AB AD AP ∈+=μλμλ设，则μλ+的值可以为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.3专题5-2 平面向量共线定理与等和线一、平面向量共线定理：已知PC PA PB λμ=+，1λμ+=是A B C 、、三点共线的充要条件 证明若点A,B,C 互不重合，P 是A,B,C 三点所在平面上的任意一点，且PC xPA yPB =+，证明：A ，B ，C 三点共线是1x y +=的充要条件.证明:(1)由1x y +=⇒A ，B ，C 三点共线.由1x y +=得(1)()PC xPA yPB xPA x PB PC PB x PA PB BC xBA =+=+−⇒−=−⇒=.即BC ，BA 共线，故A ，B ，C 三点共线. (2)由A ，B ，C 三点共线1x y ⇒+=.由A ，B ，C 三点共线得BC ，BA 共线，即存在实数x 使得BC BA λ=.故()(1)BP PC BP PA PC PA PB λλλ+=+⇒=+−.令,1x y λλ==−，则有1x y +=.AC二、等和线相关性质平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，OB OA OP μλ+=，若点p 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。
向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。
向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.
精心整理，仅供学习参考。
初中数学知识点向量的共线与垂直关系
初中数学知识点向量的共线与垂直关系在初中数学中，向量是一个重要的概念。
它不仅具有大小和方向，还有一些特殊的性质。
其中，向量的共线与垂直关系是我们常见的一种性质。
本文将详细介绍初中数学中关于向量的共线与垂直关系的知识点。
一、向量的定义与表示向量是空间中具有大小和方向的量。
在数学上，我们可以使用有向线段来表示向量，其中线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
二、向量的共线关系若两个向量的方向相同或相反，且不为零向量，则称它们为共线向量。
换句话说，两个向量共线意味着它们在同一条直线上。
为了判断两个向量是否共线，我们可以使用以下方法：1. 向量的比例法判断共线关系：如果有向线段AB和有向线段CD的方向相同，那么它们共线，且满足以下比例关系：AB/CD = k （k为非零实数）2. 向量共线的充要条件：向量AB与向量CD共线的充要条件是：AB = k * CD 或 CD = k * AB（k为非零实数）三、向量的垂直关系若两个向量的内积为零，则称它们为垂直向量，也叫正交向量。
换句话说，两个向量垂直意味着它们的夹角为90度。
为了判断两个向量是否垂直，我们可以使用以下方法：1. 向量的垂直判定：若向量AB与向量CD的内积为零，则它们垂直，记作AB⊥CD或CD⊥AB。
内积为零意味着两个向量的方向相互垂直。
2. 向量垂直的充要条件：向量AB与向量CD垂直的充要条件是：AB·CD = 0四、向量共线与垂直关系的应用向量的共线与垂直关系在几何问题中有广泛的应用。
在初中数学中，它们常常用于求解几何图形的性质、计算线段的长度等。
以下是一些典型的应用示例：1. 求解几何图形的性质：通过判断向量的共线与垂直关系，我们可以确定几何图形的性质。
比如，通过判断对角线的向量是否垂直，可以判断一个四边形是否为矩形或正方形。
2. 计算线段的长度：利用向量的共线关系，我们可以计算线段的长度。
假设有向线段AB与向线段CD共线，且AB = k * CD，已知AB的长度为l，我们可以通过等式 l = k * CD 来计算CD的长度。
平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理:在平面中A 、Ｂ、Ｐ三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x ，ｙ使得:OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点Ｐ在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段A Ｂ之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（0６年江西高考题理科第7题)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Ｓｎ，若1200OB a OA a OC =+,且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O),则S 20０=( ) A ．100ﻩﻩﻩﻩＢ.１01 ﻩＣ．2００ ﻩﻩﻩD.201解：由平面三点共线的向量式定理可知：ａ1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选Ａ。
点评:本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,则yx 41+ 的最小值是解:点P 落在ABC 的边ＢC 上 ∴B ，Ｐ,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y x x y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.例3(湖北省２０11届高三八校第一次联考理科）如图２,在△ABC 中，13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数ｍ的值为( ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4(０7年江西高考题理科)如图3,在△ABC 中,点O 是B Ｃ的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、ＡＣ于不同的两点M 、N,若AB = m AM ，AC ＝ｎAN ，则m ＋n 的值为 .解:因为O 是B Ｃ的中点,故连接ＡO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知:1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省２01０届高三六校第三次联)如图５所示：点G 是图3图4图2△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =,证明:yx 11+是定值; 证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线,11133x y∴+= 113x y ∴+= 11x y ∴+为定值3例6（汕头市东山中学20１3届高三第二次模拟考试)如图６所示,在平行四边形ＡＢＣD 中,13AE AB =,14AF AD =,CE 与B Ｆ相交于G 点，记AB a =，AD b =,则AG =＿＿＿____A.2177a b +B. 2377a b +C. 3177a b + Ｄ. 4277a b + 分析:本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题,所以我们很容易联想到点F 、G 、Ｂ以及Ｅ,Ｇ,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
两向量共线的充要条件
两向量共线的充要条件
两向量共线的充
充要条件的含义是，如果两个向量共线，那么存在一个非零实数
λ\lambdaλ，使得b⃗=λa⃗\vec{b} = \lambda\vec{a}b=λa；反之，如果存在一个非零实数λ\lambdaλ，使得b⃗=λa⃗\vec{b} = \lambda\vec{a}b=λa，那么两个向量一定共线。
具体来说，如果两个向量a⃗\vec{a}a和b⃗\vec{b}b共线，那
么它们所在的直线互相平行，必然存在一个非零实数λ\lambdaλ，
使得b⃗=λa⃗\vec{b} = \lambda\vec{a}b=λa。
这是因为如果两
个向量所在的直线互相平行，那么它们之间的距离可以任意伸缩，可以通过平移使得其中一个向量变为另一个向量的倍数。
反过来，如果存在一个非零实数λ\lambdaλ，使得b⃗=λa⃗
\vec{b} = \lambda\vec{a}b=λa，那么两个向量一定共线。
这是因
为如果两个向量相等，那么它们所在的直线重合，一定互相平行；如果两个向量所在的直线互相平行，那么它们之间的距离可以任意伸缩，可以通过平移使得其中一个向量变为另一个向量的倍数，而倍数恰好是非零实数λ\lambdaλ。
因此，两向量共线的充要条件可以表示为：
a⃗//b⃗⇔∃λ∈R,b⃗=λa⃗\vec{a}//\vec{b}
\Leftrightarrow \exists\lambda \in \mathbf{R},\text{ } \vec{b}
= \lambda\vec{a}a//b⇔∃λ∈R,b=λa 其中，R\mathbf{R}R表示实数集合。
两向量共线的充要条件及应用课件 新人教A版必修第二册.ppt
(2)当 a≠0，b＝0 时，a∥b，此时 x1y2－x2y1＝0 也成立，即对 任意向量 a，b 都有 x1y2－x2y1＝0⇔a∥b.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
第六章 平面向量及其应用
第 2 课时 两向量共线的充要条件及应用
问题导学 预习教材 P31－P33 的内容，思考以下问题： 1．两向量共线的充要条件是什么？ 2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？
两向量共线的充要条件
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.则 a，b(b≠0)共线的充 要条件是___x_1y_2_－__x_2y_1_＝__0____． ■名师点拨
由A→B与C→D共线，所以 x2＝1×4， 所以 x＝±2. 又A→B与C→D方向相同，所以 x＝2. 所以当 x＝2 时，A→B与C→D共线且方向相同． 此时，A→B＝(2，1)，B→C＝(－3，2)， 而 2×2≠－3×1，所以A→B与B→C不共线， 所以 A，B，C 三点不在同一条直线上． 所以 A，B，C，D 不在同一条直线上．
(1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．(√ ) (2)已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 a∥b，则必有 x1y2＝x2y1.( √ )
下列各组的两个向量共线的是( ) A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6) B．a2＝(1，－2)，b2＝(7，14) C．a3＝(2，3)，b3＝(3，2) D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－4) 答案：D
－8)．
2．若三点 A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列
平面向量中“三点共线定理”妙用
的最小值是
3、在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，E是BC边的中点，连接DE交AC于点F。已知 ,则 （ ）
A． B． C． D．
4、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记 、 分别为a、b，则 ＝()
A． B. C. D.
解： 三点共线，又
，故选C
例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若 ＝m ， ＝n ，则m＋n的值为．
解： 因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：
，
又 三点共线，
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O），则S200=（ ）
A．100B．101C．200D．201
解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1,∴ ,故选A。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
8、如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若
则有：（ ）
变式：如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB的延长线交于圆外一点F，若
则有：（ ）
A． B. C. D.
分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
解： 三点共线， 由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得
12共线向量与共面向量
定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件
是有且只有一个实数 ，使得b a .
•
2. 平面向量基本定理：
返回
平 面 向 量 基 本 定 理 ：如 果 e1 、e2 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 ，那 么 对 于 这 一 平 面 内 的任 一
向量 推 a 的论直：线如，果那l 为么经对过任已一知点点O，A 且点平P 行在于直已线知l 上非的零
充要条件是存在实数 t，满足等式
其中向量
a
OP OA ta . 叫做直线l 的方向向量
① .
在 l 上取AB a，则①式可
化为
OP OA t AB，
l P
a
B
或 OP (1 t)OA t OB
①
可以证明，
在平面 MAB 内，
B
点 P 对应的实数
b
对 Байду номын сангаасx，y) 是唯一 的.
M
a
A
①式叫做
平面MAB的向
量表示式.
O
P A'
例 2 对空间任一点O 和不共线的三点 A、B、 C，试问满足向量关系式
OP x OA y OB z OC (其中x y z 1) 的四点 P、A、B、C 是否共面.
②
A
当 t 1 时 ， 点P 是 线 段AB 的
2
中点，则
OP
1 2
(OA
OB
)
.
③
O
① 或②都叫做空间直线的向量参数表示式，
③ 是线段AB 的中点公式.
• （三）共面向量：
于 行平 于定面 平义 面，：记或 已作知aa在平∥面 内.，，作那O么A 我a们，就如说果A向直量线aO平A行平
《两向量共线的充要条件及应用》平面向量及其应用
推论三：向量的三角形法则
总结词
三角形法则是指两个向量共线时，可以通过第三个向 量形成一个三角形。
详细描述
如果向量$overset{longrightarrow}{a}$、向量 $overset{longrightarrow}{b}$和向量 $overset{longrightarrow}{c}$共线，那么这三个向量 可以形成一个三角形。具体来说，从起点出发，沿着 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$和 $overset{longrightarrow}{c}$的方向分别作相同长度 的线段，连接三个终点，形成一个三角形。这个三角形 满足三角形的法则，即任意两边之和大于第三边，任意 两边之差小于第三边。
《两向量共线的充要条件及 应用》平面向量及其应用
汇报人： 2023-12-29
目录
• 平面向量的基本概念 • 两向量共线的充要条件 • 两向量共线的应用 • 两向量共线定理的证明 • 两向量共线定理的推论
01
平面向量的基本概念
向量的定义
总结词ห้องสมุดไป่ตู้
向量是一个既有大小又有方向的量， 通常用有向线段表示。
定理的证明方法三
总结词
利用向量的模的性质证明
详细描述
第三种证明两向量共线的方法是利用向量的 模的性质。如果两向量共线，则它们的模之 比是一个常数。通过比较两个向量的模，我 们可以找到这个常数。如果两个向量的模之 比等于这个常数，则它们共线。
05
两向量共线定理的推论
推论一：向量的倍数关系
总结词
向量的倍数关系是指两个向量共线时，一个 向量是另一个向量的倍数。
03
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示_知识点总结
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示_知识点总结
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。
向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。
向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.。
平面向量中“三点共线定理”妙用讲解学习
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
平面向量中三点共线的证明及其应用
平面向量中三点共线的证明及其应用作者：高永亮来源：《考试·高考数学版》2012年第12期利用平面向量证明三点共线是一种常见的较为简单的方法（相对于用斜率、距离、直线、定比分点等的证明方法），但学生对三点共线的应用大都不太熟练，在这里做一个整理，共广大师生参考.定理1：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.定理2：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），其中b≠0，当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a与b（b≠0）共线.推论1：设： c与d为不共线向量，若向量a=x1c+y1d（x1，y1∈R）与b=x2c+y2d（x2，y2∈R）共线，则有x1y2=x2y1=0推论2：已知不共线向量OA，O B，O C，且OC=λO A+μO B，则A，B，C三点共线的充要条件为：λ+μ=1（λ，μ∈R）一、证明三点共线例1 已知三点A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），证明A，B，C三点共线.证明：∵A（-1，1），B（1，3），C（2，5）得A B=（2，4），A C=（3，6）又2×6=4×3 ∴ A B∥A C（由定理2），又直线AB，与直线AC有公共点A，故A，B，C三点共线例2 设A B=a+5b，B C=-2a+8b，C=3（a-b）求证：A，B，D三点共线证明：由A B=a+5b，B C=-2a+8b， C D=3（a-b）得A D=A B+BC+C D=2a+10b=2A B，故A D∥A B（由定理1）又直线AB，与直线AD有公共点A，故A，B，D三点共线二、三点共线的应用（一）题中共线条件明显，学生较为容易入手.例3 若a，b是两个不共线的向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，t b，13（a+b）三个向量的终点在同一条直线上？解设：O A=a，O B=t b，O C=13（a+b）则A C=O C-O A=-23a+13b，A B=O B-O A=-a+t b由于A，B，C三点共线，有-23t=-13（由推论1），即t=12因此，当t=12时，a，t b，13（a+b）三个向量的终点在同一条直线上.例4 设O A=（1，-2），O B=（a，-1），O C=（-b，0），（a>0，b>0），O 为坐标原点，若A，B，C三点共线，则1a+2b最小值为解由O A=（1，-2），O B=（a，-1），O C=（-b，0），得A B=（a-1，1），A C=（-b，-1，2），由A，B，C三点共线，得2（a-1）=-b-1（由定理2），即2a+b=1，又a>0，b>0故1a+2b=1a+2b（2a+b）=ba+4ab+4≥24+4=8，当且仅当ba=4ab，即a=14，b=12时取等号.∴1a+2b最小值为8.（二）题中共线条件不明显，学生较难入手.例5 如图，在△ABC中，A N=13N C，P是BN上的一点，若A P=m A B+211A C，则实数m的值为例5图解法1：设：A B=a，A C=b，则B P=A P-A B=（m-1）a+211b，B N=A N-A B=14A C-A B=-a+14b，由B，N，P三点共线，得14（m-1）=-211（由推论1），即m=311解法2：由A P=m A B+211A C，A N=13NC，得A P=m A B+211A C=m A B+811A N由B，N，P三点共线，得m+811=1（由推论2），即m=311说明：图中B，N，P三点共线是关键.例6 如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N，若A B=m A M，AC=n A N，则m+n=例6图解法1：令A B=a，A C=b，则A O=12（A B+A C）=12（a+b）M O=A O-A M=12（a+b）-1m a=12-1m a+12bM N=A N-A M=-1m a+1n b由M，Q，N三点共线，得12-1m1n=12-1m（由推论1），化简得12m+12n=1mn，即m+n=2说明：图中M，O，N三点共线是关键.解法2：∵O是BC的中点，∴A O=12（A B+A C）由题意A B=m A M，A C=n A N，得A O=m2A M+n2A N又∵M，O，N三点共线，∴m2+n2=1（由推论2）即m+n=2说明：巧妙灵活地使用三点共线的结论，在解题的过程中能起到事倍功半的作用.（例5，例6的解法2）。
向量共线的充要条件向量共线的判定方法向量共线的几何表示
一、向量共线的判定方法(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知，a与b共线．(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a 与b反方向时，有b=μa.(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.二、两向量共线能得出什么结论两向量方向相同或相反,都可以得到下面的结论：1、两向量平行或反平行；2、两向量可能重合；3、这两个向量不一定构成平面；4、两向量叉乘为零；5、互为线性组合；6、如果是具有物理上力性质的向量,则可以找到或算出等效作用点。
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。
如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。
在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。
在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。
许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。
与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。
一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。
三、向量共线的充要条件：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。
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巧用向量共线充要条件解题上犹中学数学教研组 刘道生随着向量在科学研究中的工具性应用，与它在社会生产生活中所起的巨大作用，所以近年来数学高考题中，命入了共线向量内容考题。
据有关专家分析，在今后的高考试题中，共线向量必将增长态势。
务必引起师生们重视与注意。
大家知道，共线向量定理：对空间任意两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=,或如果设),(11y x a = ,),(22y x b = ,则b a//的充要条件是21y x -12y x =0。
本条件多用于求轨迹方程与证明较难的平面几何或立体几何题。
可以说已形成较为完备的思维定式，十分有利于快速地形成正确的解题思路。
（一）在平面几何证明题中的应用很多平面几何证明题的说理过程十分繁杂，牵涉的平面几何知识面宽，解题过程冗长，但当我们将条件进行向量处理，变图形中线段为向量，特别是根据实际需要建立直角坐标系，则可将平面几何的推理过程便转化为向量代数的计算过程，从而显得方便快捷，简单明了。
例1、如图点G 是三角形ABO 的重心,PQ 是过G 的分别交OA 、OB 于P 、Q 的一条线段，且mOA OP =，nOB OQ =,（m 、R n ∈）。
求证311=+nm分析：本题是一道典型的平面几何证明，如果用平几方法则过程很复杂，如果我们将题目中的已知条件作向量处理便能使证明过程简单得多。
因为注意到P 、G 、Q 三点在一条直线上，所以我们可以考虑PQ 与PG 共线，于是可以用共线定理得方程组求解。
证明：设a =，b =，则a m=，b n =∵)(21)(21b a OB OA OD +=+=，∴)(3132b a OD OG+==∴b a m a m b a 31)31()(31+-=-+=-=，即a m b n OP OQ PQ-=-=，又P 、Q 、G 三点在同一直线上，则与共线 ∴存在一个实数λ使得λ=O ABQGP D∴a m b n b a mλλ-=+-31)31(，即：0)31()31(=-++-b n a m m λλ∵a 与b 不共线，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-031031n m m λλ消去λ得311=+n m例2、如图在三角形ABC 中,AM ﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN 与CM 相交于点P ，且a=，b =，试用a、b 表示分析：本题是以向量为载体的平面几何题，所以我们很容易联想到点M 、P 、C 三点在一条直线上，可用共线定理的充分必要条件求解。
解∵AM ﹕AB=1﹕3,AN ﹕AC=1﹕4,∴∴a AM 3131==，b4141==，∵M 、P 、C 三点共线，可设)(R MC MP ∈=λλ于是a λ+=+=31∴a b AM AC MC31-=-=∴b aλλ+-=)3131(二、在求动点轨迹中的应用轨迹方程的很多题目可以用向量共线的充要条件来探求解，这样可简化分类讨论和运算繁琐，也弥补这两种题缺陷，使解题优化。
用向量共线的充要条件解决求轨迹问题，最理想的情形是题设中有“向量的数量积”“平行”即共线。
向量成为我们处理问题的基本工具。
例3、如图,过A(-1,0),斜率为k 的直线l 与抛物线C:24y x =交于P 、Q 两点，若曲线C 的焦点F 与P 、Q 、R 三点按图中顺序构成平行四边形，求点R 的轨迹方程。
分析:本题若不用向量法，一般采用联立方程，考虑判别式，结合韦达定理的方法，尽管思路清晰，但计算量大，且技巧性强，不易掌握，而利用向量法解答，简单明快，容易接受。
解：设P 、Q 、R 三点坐标分别为2111(,)4y y ， 2221(,)4y y ，(,)x y ，则有AP = 2111(1,)4y y +，AQ = 2221(1,)4y y +，FP = 2111(1,)4y y -，2221(,)4QR x y y y =-- 。
PA BCMN由A ，P ，Q 三点共线知：AP //AQ ，∴22121211(1)(1)44y y y y +=+，∴1212121()()4y y y y y y -=- 12y y ≠，∴124y y =。
由四边形PFQR 为平行四边可知：FP = QR，∴22112211(1,)(,)44y y x y y y -=-- ∴()[]()34112411)(41221212212221-+=--+=-+=y y y y y y y y x 12y y y =+,∴2412y x =+.又22121211()11144x y y y y =+->-=。
∴点R 的轨迹方程是2412y x =+(1)x >例4、已知椭圆1162422=+y x ，直线1812=+y x ，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ|∙|OP|=2||OR ，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？分析:本题我们注意到点Q 在OP 上，于是存在OQ 、OR 、OP 共线，因此可借助两个非零向量共线的充要条件，巧设参数λ、μ转化已知条件|OQ|∙|OP|=2||OR 为2λμ=，使得消元过程异常简捷。
向量与解题交汇的综合题已成为高考命题的热点解析：设(,)Q x y （其中x 、y 不同时为0）由非零向量OQ 、OR、OP 共线，可设OR OQ λ= ，Op OQ μ= ，则(,)OR x y λλ= ,(,)Op x y μμ=,分别代入椭圆方程、直线方程得：22212416x y λ+= （1） 1128x y μ+= （2）由||∙||=2||得：λ=， 即2μλ= （3）由（1）、（2）、（3）消去λ，μ整理得：22(1)(1)15523x y --+=（其中x 、y 不同时为0） 所以点Q 的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为2和3且长轴与x 轴平行的椭圆。
（三）在空间向量共线问题中的应用在空间几何问题中向量解法已是当今高考命题热点，今后的高考命题中也可能再度升温。
解这类题根据共线向量的充要条件解题很容易发现其解题的一般规律是，先选适当原点建立空间坐标系，再将向量用坐标法表示，然后再利用向量代数进行计算解题。
例5、（08湖南）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，060=∠BCD ，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，3=PA 。
（I ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ；（II ）求二面角A —BE —P 和的大小。
解：分析：本题的第一小题要证平面PBE ⊥平面PAB ，而E 是CD 的中点，即EB ⊥AB ，所以只要证平面PAB 的法向量与BE 共线即可。
解：如图所示,以A 为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是(000),A ，，(100),B ，，3(0),2C1(0),2D(0P(10).E （I ）因为0),BE = 平面PAB 的一个法向量是0(010),n = ，，所以BE 和0n 共线. P A BCED从而BE ⊥平面PAB. 又因为BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB. （II ）解略例6、（07安微）如图，在六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.（Ⅰ）求证：A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面； （Ⅱ）求证：平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1；（Ⅲ）求二面角A －BB 1－C 的大小（用反三角函数值圾示）.分析：本题是利用共面向量充要条件证明的典例，也就要求我问利用该条件说明DB 与11B D ，满足DB =λ11B D 即可。
解：以D 为原点，以1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)A B C A B C D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． （Ⅰ）证明： 1111(110)(220)(110)(220)AC AC D B DB =-=-== ，，，，，，，，，，，∵ 111122AC AC DB D B == ，∴． AC ∴与11AC 平行，DB 与11DB 平行， 于是11AC 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）（Ⅲ）解略。
例7、（08四川） 如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，090,BAD FAB BC∠=∠=//=12AD ，BE //=12AF（Ⅰ）证明：,,,C D F E 四点共面；（Ⅱ）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的大小；分析：本题要证C 、D 、F 、E 四点共面显然可通过CE ∥DF ，即证CE 与DF 共面来实现，要求二面角A —ED —B 的大小，显然可分别过A 、B 作DE 的垂线AN ，BM 通过求向量NA 、MB 的平面角求得，然后转化为求MN 点的坐标，而求MN点的坐标可注意到ME 与DE 共线NE 与DE 向量共线，从而可利用向量共线的充要条件求得。
于是有下面的解题过程。
解：由平面ABEF ⊥平面ABCD ，AF AB ⊥，得AF ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz - （Ⅰ）设,AB a BC b BE c ===,，则 ()()()()(),0,0,,0,,0,,0,2,0,0,0,2B a Ca b E a c D b F c , ()()0,,,0,2,2EC b c FD b c =-=-故12EC FD =，从而由点E FD ∉，得//EC FD故,,,C D F E 四点共面（Ⅱ）、设AB=1，则BC=BE=1∴B （1，00） C （1，1，0） D （0，2，0） E （1，0，1）过B 点作DE 的垂线垂足为M ，设M （000,,z y x ），注意到DM 与ME 共线，且BM ⊥DE ，则设DM =λME ，由⎪⎩⎪⎨⎧=∙=0λ，可求得5=λ，)653165(、、M ，⎪⎭⎫⎝⎛--=653161、、过A 点作DE 的垂线垂足为N ，设N （111,,z y x ），注意到DN 与NE 共线，且BM ⊥DE ，则设=1λ，由⎪⎩⎪⎨⎧=∙=01DE AN NE DN λ，可求得21=λ，)323232(、、N ，⎪⎭⎫⎝⎛--=653161、、因为⊥，⊥故MB 与NA的夹角等于二面角A DE B --的平面角，cos MB NA MB NA MB NA ⋅⋅==⋅所以二面角A DE B --的大小。