静力平衡方程

32
1
A
A
F
解： 1、根据节点A的受力分析，可列出静力平衡方程：
Fx 0, FN1 sin FN3 sin 0
Fy 0, FN2 FN1 cos FN3 cos F 0
2、画出各杆件的变形 图，建立各杆件变形 之间的变形协调方程。
l1 l2 cos
3、写出物理方程
l1
FN1l EA
FBx
F 2
?
F FAx FBx 0
2、几何方面
lAC lCB 0
3、物理方面
l AC
FAx l1 EA
,
lCB
FBx l2 EA
4、支反力计算
何时
补充方程： FAxl1 FBxl2 0
二、装配应力
杆件在制造的过程中，总会存在一些微小误差。在静 定问题中，这种误差只会使结构的几何形状略有改变，并 不会在杆内产生附加应力。2杆加工短了。安装时，只要将
5-3=2 度静不定
q(x)
F
6-3 = 3 度静不定
多余约束 凡是多余维持平衡所必须的约束 多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩
• 相当系统
q
相当系统：受力与原静不
定梁相同的静定梁
A
B
相当系统1 相当系统2
例题4 等直杆AB，两端分别与刚性支撑连接。设两支撑间 的杆长为l，杆的抗拉压刚度为EA，线膨胀系数为α 。试 求温度升高 △ t℃时杆内的温度应力。
解：1、受力分析， 列平衡方程：
Fx 0, FNA FNB 0
2、进行变形分析，列写 变形协调方程。
l 0
3、根据变形产生的原因，列写物理方程：
M1 M2 Me
（a）
由于内、外轴紧密地粘和在一起，因此当该组合轴
在扭转力偶矩作用下发生扭转变形时，内轴左右两端截
面的相对扭转角与外轴左右两端截面的相对扭转角大小
相同、方向相同：
(1)
(2)
AB
AB
（b）
相对扭转角与扭转力偶矩间的物理关系为：
(1) AB
M1l G1I p1
,
(2) AB
lt l t
及
lF
FNB l EA
4、将物理方程代入变形协调方程，可得补充方程：
l t FNB l 0
EA
5、联立方程可求得：
FNA FNB EA t
E t
3、扭转超静定问题
一、实例 工程中的受扭构件也存
在超静定问题。 圆截面杆AB两端被固定，
在截面C处受一扭转力偶 作 用。对圆杆AB进行受力分析， 发现AB杆受到两个未知约束 反力偶作用，而这时只能列 一个独立的平衡方程。
l 2
FN2l cos
EA
4、由变形协调方程、物理方程，得到补充方程：
FN1 FN2 cos2
5、联立平衡方程和补充方程，求解可得：
FN1 FN3
F
2 cos
1
cos2
FN2
F
1 2 cos3
例题2 求杆两端的支反力。 解：1、静力学方面
l1
FAx
•
AC
l2
FBx F
B
问题
：FAx
1
23
aa
A BC
1
2
3
ll12
A'
B'
C'
A
B
C
例题3设1、2两杆的长度为l，三杆的抗拉压刚度均为EA， 2杆与1杆、3杆的距离均为为a，不计各杆自重。试求强 制装配后各杆内的装配应力。
解：1、以刚性杆ABC为研究 对象，进行受力分析，并列平 衡方程：
1
23
aa
A BC
Fy 0, FN1 FN2 FN3 0 （a）
M 2l G2 I p2
（c）
将（c）式代入（b）式可得补充方程：
M1 M2 G1I p1 G2 I p2
（d）
联立（a）式和（d）式，可得：
M1
G1I p1 G1I p1 G2 I p2
Me,
M2
G2 I p2 G1I p1 G2 I p2
Me
4、弯曲超静定问题
• 静不定度与多余约束
q(x) M
3 21 A
F
一次静不定
细长悬臂梁，为了减小其最大弯矩和最大挠度，通 常在自由端增加一个支座。这也构成了超静定问题。
（a）
（b）
二、 静不定问题的解法
静力平衡方程（1）
补充方程
变形协调方程（2） 物理关系方程（3）
联立求解
2、拉压超静定问题
一、拉压超静定问题的解法
例题1 如图所示超静定问题。 设1、2、3三杆的横截面积 及材料均相同，即 1、3两 杆的长度也相同， 试求在 铅垂方向的外力F的作用下 各杆的轴力。
AB杆稍微倾斜一下即可，并不会产生杆件的变形，当然也
不会产生附加应力。
1
2
1
2
A
B
A
B
如果上面的固定物与下面的ABC杆件通过三根杆件连 结，且其中的2杆被加工短了，强制安装后，显然2杆要被 拉长一点，1杆和3杆就要被缩短一点。因此2杆内存在着轴 向拉力，1、3杆内存在轴向压力。这种在载荷作用以前就 存在的轴力称为装配内力，与之相应的应力称为装配应力， 有时也称之为初应力。
知识点
1、基本概念及求解方法 2、拉压超静定问题 3、扭转超静定问题 4、弯曲超静定问题
1、基本概念及求解方法
一、基本概念
A
F
静定
*静定问题 ：由静力平衡方 程可确定全部未知力(包括支 反力与内力)的问题。
*静不定问题：根据静力平衡方程不能确定全部 未知力的问题。 *静不定度：未知力数与有效平衡方程数之差。
例题5一长为l的组合轴，铜制实心圆轴和钢制空心圆 轴套在一起并紧密粘和，其内、外轴的扭转刚度分别 为G1IP1 、 G2IP2 ，轴的两端受大小为的力偶Me 作用。 若内、轴均工作在线弹性范围内，问内、外轴分别承 担多大的扭转力偶矩？
解： 1、列出静力学方程：设内轴承担的扭转力偶矩
为M1 ，外轴承担的扭转力偶矩为M2 。
MB 0, FN1 a FN3 a 0 （b）
FN1 FN2
FN3
2、进行变形分析，列写变形协调方程。各杆变形如图所 示，由此可以列出变形协调方程：
l1 l2
（c）
3、根据变形与轴力的关系，列写物理方程：：
l1
FN1l EA
,
l2
FN2l EA
（d）
4、把（d）代入（c）
FN1
EA
l
FN2
（e）
ll12
1
2
3
A'
B'
C'
A
B
C
5、联立方程（a）、（b）和（e），求解可得：
FN1
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FN3
EA ,
l
FN2
2
EA
l
1
3
E l
,
2
2
E l
三、温度应力
在超静定结构中，由于“多余”约束的存在，构 件的变形会受到部分或全部的限制，从而将在构件中 产生内力，这种内力称为温度内力，与之相应的应力 则称之为温度应力。计算温度应力的方法与求解一般 超静定问题的方法也是类似的，要从静力学、变形和 物理三方面综合考虑 。