高中数学高考总复习复数习题及详解

高中数学高考总复习复数习题及详解

一、选择题

1．(2010·全国Ⅰ理)复数

3＋2i

2－3i

＝( ) A ．i B ．－i C ．12－13i D ．12＋13i [答案] A [解析]

3＋2i 2－3i ＝(3＋2i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )

＝6＋9i ＋4i －6

13＝i .

2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )

A ．4＋8i

B ．8＋2i

C ．2＋4i

D ．4＋i [答案] C

[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋3

2＝4，

∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.

3．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4

C ．－1和4

D ．－1和6 [答案] C

[解析] 由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.

[点评] 复数z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )对应点在虚轴上和z 为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．

4．(文)已知复数z ＝11＋i

，则z －

·i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B

[解析]z＝1－i

2，z

－

＝

1

2＋

i

2，z

－

·i＝－

1

2＋

1

2i.实数－

1

2，虚部

1

2，对应点⎝

⎛

⎭

⎫

－

1

2，

1

2在第二象限，

故选B.

(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1

z()

A．是纯虚数

B．是虚数但不是纯虚数

C．是实数

D．只能是零

[答案] C

[解析]解法1：∵z的对应点P在单位圆上，∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋i sinθ.

则z2＋1

z＝

cos2θ＋i sin2θ＋1

cosθ＋i sinθ

＝

2cos2θ＋2i sinθcosθ

cosθ＋i sinθ

＝2cosθ为实数．

解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)，

∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1，

∴z2＋1

z＝z＋

1

z＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R.

5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数

．．．．是()

A．－3＋i

B．－3－i

C．3＋i

D．3－i

[答案] A

[解析](3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.

6．(2010·湖南衡阳一中)已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为()

A．－4

B．4

C．－1

D．1

[答案] A

[解析]由(x－1)i－y＝2＋i得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.

7．(文)(2010·吉林市质检)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于() A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

[答案] D

[解析]∵z＝z1z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，∴选D.

(理)现定义：e iθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－

C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋b i等于()

A．cos5θ＋isin5θ

B．cos5θ－isin5θ

C．sin5θ＋icos5θ

D．sin5θ－icos5θ

[答案] A

[解析]a＋b i＝C50cos5θ＋iC51cos4θsinθ＋i2C52cos3θsin2θ＋i3C53cos2θsin3θ＋i4C54cosθsin4θ＋i5C55sin5θ＝(cosθ＋isinθ)5＝(e iθ)5＝e i(5θ)＝cos5θ＋isin5θ，选A.

8．(文)(2010·安徽合肥市质检)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位)，若复数a

b∈R，

则实数x的值为() A．－6

B．6

D．－8 3

[答案] C

[解析]a

b＝

3＋2i

4＋xi

＝

(3＋2i)(4－xi)

16＋x2

＝12＋2x

16＋x2

＋⎝

⎛

⎭

⎫

8－3x

16＋x2i∈R，∴

8－3x

16＋x2

＝0，∴x＝

8

3.

(理)(2010·山东邹平一中月考)设z＝1－i(i是虚数单位)，则z2＋2

z＝()

A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i [答案] C

[解析]∵z＝1－i，∴z2＝－2i，2

z＝

2

1－i

＝1＋i，