高三数学专题 构造函数

构造函数

一、单选题

1．设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( )

A. (－∞，－1)∪(0，1)

B. (－1，0)∪(1，＋∞)

C. (－∞，－1)∪(－1，0)

D. (0，1)∪(1，＋∞) 【答案】A

考点：函数性质综合应用

2．若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ） A. 11f k k ⎛⎫<

⎪⎝⎭ B. 111f k k ⎛⎫

> ⎪-⎝⎭ C. 1111

f k k ⎛⎫

<

⎪

--⎝⎭ D. 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C

【解析】试题分析：令()()g x f x kx =-，则()()g'0

x f x k '=->，因此

()()1111g 001111111k k g f f f k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

>⇒->⇒>-= ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，所以选C. 考点：利用导数研究不等式

【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x

f x

g x e

=

， ()()0f x f x '+<构造

()()x

g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f x g x x

=

， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等

3．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)－f(x)＝xlnx ， 11

f e e

⎛⎫= ⎪⎝⎭

，则f(x)( ) A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值，又有极小值 D. 既无极大值，又无极小值 【答案】D

点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如()()f x f x '-构造

()()x

f x

g x e =

， ()()f x f x '+构造()()x

g x e f x =， ()()xf x f x '-构造()()f x g x x

=

，

()()xf x f x '+构造()()g x xf x =等

4．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意实数x ，都有()()2

6f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，

()2112f x x +'< 若()()222129f m f m m +≤-+-，则m 的取值范围为（ ）

A. [

)1,-+∞ B. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C. 2,3⎡⎫

-+∞⎪⎢⎣⎭

D. [)2,-+∞ 【答案】C

【解析】()()2

2

330f x x f x x -+--=,设()()2

3g x f x x =-，则()()()0,g x g x g x +-=∴为奇函数，

又()()()1

''6,2

g x f x x g x =-<-

∴在(),0x ∈-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，又()()22212129f m f m m m +≤-++-，等价于()()()()2

2

232232f m m f m m +-+≤----，即

()()22,22g m g m m m +≤-∴+≥-，解得2

3

m ≥-，故选C.

【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数求参数范围, 属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标

函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.

5．设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∈都有()()1

2f t f t +=，且(]0,4x ∈时， ()()f x f x x

'>，

则()()()2016,42017,22018f f f 的大小关系（ ）

A. ()()()22018201642017f f f <<

B. ()()()22018201642017f f f >>

C. ()()()42017220182016f f f <<

D. ()()()42017220182016f f f >> 【答案】C

6．已知函数()f x 在0,

2π⎛

⎫

⎪⎝

⎭

上单调递减， ()'f x 为其导函数，若对任意0,

2x π⎛⎫

∈ ⎪⎝

⎭

都有()()'tan f x f x x <，则下列不等式一定成立的是

A. 236f ππ⎛⎫⎛⎫

>

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 646f f ππ⎛⎫

⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

C. 6326f f ππ⎛⎫

⎛⎫>

⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

D. 346f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

【答案】D