高三数学专题 构造函数

构造函数
一、单选题
1．设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( )
A. (－∞，－1)∪(0，1)
B. (－1，0)∪(1，＋∞)
C. (－∞，－1)∪(－1，0)
D. (0，1)∪(1，＋∞) 【答案】A
考点：函数性质综合应用
2．若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ） A. 11f k k ⎛⎫<
⎪⎝⎭ B. 111f k k ⎛⎫
> ⎪-⎝⎭ C. 1111
f k k ⎛⎫
<
⎪
--⎝⎭ D. 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C
【解析】试题分析：令()()g x f x kx =-，则()()g'0
x f x k '=->，因此
()()1111g 001111111k k g f f f k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
>⇒->⇒>-= ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以选C. 考点：利用导数研究不等式
【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x
f x
g x e
=
， ()()0f x f x '+<构造
()()x
g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f x g x x
=
， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等
3．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)－f(x)＝xlnx ， 11
f e e
⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则f(x)( ) A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值，又有极小值 D. 既无极大值，又无极小值 【答案】D
点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如()()f x f x '-构造
()()x
f x
g x e =
， ()()f x f x '+构造()()x
g x e f x =， ()()xf x f x '-构造()()f x g x x
=
，
()()xf x f x '+构造()()g x xf x =等
4．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意实数x ，都有()()2
6f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，
()2112f x x +'< 若()()222129f m f m m +≤-+-，则m 的取值范围为（ ）
A. [
)1,-+∞ B. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C. 2,3⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
D. [)2,-+∞ 【答案】C
【解析】()()2
2
330f x x f x x -+--=,设()()2
3g x f x x =-，则()()()0,g x g x g x +-=∴为奇函数，
又()()()1
''6,2
g x f x x g x =-<-
∴在(),0x ∈-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，又()()22212129f m f m m m +≤-++-，等价于()()()()2
2
232232f m m f m m +-+≤----，即
()()22,22g m g m m m +≤-∴+≥-，解得2
3
m ≥-，故选C.
【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数求参数范围, 属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标
函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
5．设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∈都有()()1
2f t f t +=，且(]0,4x ∈时， ()()f x f x x
'>，
则()()()2016,42017,22018f f f 的大小关系（ ）
A. ()()()22018201642017f f f <<
B. ()()()22018201642017f f f >>
C. ()()()42017220182016f f f <<
D. ()()()42017220182016f f f >> 【答案】C
6．已知函数()f x 在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减， ()'f x 为其导函数，若对任意0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
都有()()'tan f x f x x <，则下列不等式一定成立的是
A. 236f ππ⎛⎫⎛⎫
>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 646f f ππ⎛⎫
⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C. 6326f f ππ⎛⎫
⎛⎫>
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
D. 346f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】D
点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，解题的关键是根据题意构造新函数()()f x g x sinx
=，并利
用导数分析()g x 的单调性．
7．已知定义在R 上的函数(f x ），其导函数为()f x '，若()()3f x f x '-<-， ()04f =，则不等式
()3x f x e >+的解集是（ ）
A. (),1-∞
B. ()1,+∞
C. ()0,+∞
D. (),0-∞ 【答案】D
点睛：利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.
8．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时， ()()0f x f x x
+
'>，若
1122a f ⎛⎫=
⎪⎝⎭， ()1b f =--， 11ln ln 22c f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则a ， b ， c 的大小关系正确的是（ ） A. a b c << B. c a b << C. b c a << D. a c b << 【答案】D
【解析】设h （x ）=xf （x ）， ∴h ′（x ）=f （x ）+x •f ′（x ），
∵y=f （x ）是定义在实数集R 上的奇函数， ∴h （x ）是定义在实数集R 上的偶函数， 当x ＞0时，h'（x ）=f （x ）+x •f ′（x ）＞0，
∴此时函数h （x ）单调递增．
∵a=12f （12）=h （12），b=﹣f （﹣1）=f （1）=h （1）， c=（ln 12）f （ln 12）=h （ln 1
2）=h （﹣ln2）=h （ln2），
又1>ln2>1
2
，
∴b ＞c ＞a ． 故答案为：D 。

9．设定义在R 上的函数()f x ,对任意的x ∈R ,都有()()f 1x f 1x +=--, 且()f 20=,当x 1>时,
()()´
f
x f x 0+>,则不等式()f x ln x 10⋅-<的解集为
A. ()(),00,1∞-⋃
B. ()()1,01,∞-⋃+
C. ()()1,,1∞∞+⋃--
D. ()()1,00,1-⋃ 【答案】A
点睛：本题主要考查导数、函数的性质,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用. 10．设函数()'f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，当0x >时， ()()1
ln 'x f x f x x
⋅<-
，则使得()
()2
10x
f x ->成立的x 的取值范围是（ ）
A. ()()1,00,1-⋃
B. ()(),11,-∞-⋃+∞
C. ()()1,01,-⋃+∞
D. ()(),10,1-∞-⋃ 【答案】D
【解析】设()()ln g x x f x =⋅，当0x >时， ()()()1
ln 0g x f x xf x x
=+'<'， ()g x 在()0,+∞上为减函数，且()10g =， 当()0,1x ∈时， ()0g x >， ()()
()2ln 0,0,10x f x x f x <∴-；
当()1,x ∈+∞时， ()()()
()20,
ln 0,0,10g x x f x x f x ∴<-<，
()f x 为其函数，
∴ 当()1,0x ∈-时， ()()
()20,10f x x f x >-< ；
当(),1x ∈-∞- 时， ()()
()20,10f x x f x >-> .
综上所述：使得()
()210x f x -< 成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃
【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有x 与()f x 的积或商， 2x 与()f x 的积或商， x e 与()f x 的积或商， ln x 与()f x 的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式. 11．设()f x '为()f x 的导函数，已知()()()21
ln ,,x f x xf x x f e e
=='+则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 在()0,+∞上单调递增 B. ()f x 在()0,+∞上单调递减 C. ()f x 在()0,+∞上有极大值 D. ()f x 在()0,+∞上有极小值 【答案】B
【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数证明函数的单调性,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
12．已知定义在()0,∞+上的函数()f x ,满足①()0f x ＞;②
()()()1
32
f x f x f x '＜＜ (其中()f x '是()f x 的导函数, e 是自然对数的底数),则
()()
12f f 的取值范围为
A. 1231,e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 1
32e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 321,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. 1e,3e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A
13．已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()2,f x f x '<，则有 A. ()()()()4034403420170,20170e f f f e f - B. ()()()()4034
403420170,20170e f f f e f -<< C. ()()()()4034
403420170,20170e f f f e f ->> D. ()()()()4034
403420170,20170e
f f f e f -><
【答案】D
【解析】构造函数()()()()()
()()()222,20x
x
f x f x f x
g x g x f x f x g x e
e
-=
''''=
<∴<
即()g x 在R 上单调递减，所以()()()()4034
2017020170f f g g e
e
--->∴
>
∴ ()()403420170e f f ->，同
理得()()()()4034
2017020170f f g g e
e
>∴>
∴ ()()403420170f e f <
故选D
点睛：本题主要考察了函数的单调性与导数的关系，其中构造函数g （x ），并讨论其单调性是关键.
二、填空题
14．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数, ()1e f =,对任意实数x 都有()()20f x f x '->,则不等式
()1e e x x
f x -<的解集为___________.
【答案】()1,∞+
点睛：本题考查用构造函数的方法解不等式，即通过构造合适的函数，利用函数的单调性求得不等式的解集，解题时要注意常见的函数类型，如在本题中由于涉及到e x ，故可从以下两种情况入手解决：（1）对于()()0(0)f x f x +><'，可构造函数()()x h x e f x =；
（2）对于()()0(0)f x f x -><'，可构造函数()()x
f x h x e =
．
15．设f(x)是在R 上的奇函数，在()
,0-∞上()()2220xf x f x +<'且()20f -=， 则()20xf x <的解集为______________. 【答案】（-1,0）⋃ (0, 1）
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式, 属于难题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
16．()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x -'>， ()12018f =，则不等式()120171x f x e ->⋅+（其中e 为自然对数的底数）的解集为_______．
【答案】(),1-∞
【解析】设g(x)= ()()()11x x e
f x e -----， 则
g ′(x)=− ()1x e --f(x)+ ()1x e --f ′(x)+ ()1x e --=()1x e -- [f ′(x)−f(x)+1]，
∵f(x)−f ′(x)>1,∴f ′(x)−f(x)+1<0，
∴g ′(x)<0，
∴y=g(x)在定义域上单调递减,g(1)=2017，
∵()120171x f x e ->⋅+,∴()()()11x x e f x e ----->2017= g(1)，
得到g(x)>2017=g(1)，
∴g(x)>g(1)，得x<1，
∴()120171x f x e ->⋅+的解集为(),1-∞，
故答案为： (),1-∞.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有()()f x f x +'，就构造()()x g x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()
x f x g x e =，（3）()()2f x f x +'，就构造
()()2x g x e f x =，
（4）()()2f x f x -'就构造()()2x f x g x e =，等便于给出导数时联想构造函数。