热力学统计物理课后习题答案
热力学与统计物理学课后习题及解答
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数T k 。
解：由理想气体的物态方程为 nRT PV = 可得: 体胀系数：TP nR V T V V αp 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 压强系数：TV nR P T P P βV 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=等温压缩系数：P P nRT V P V V κT 1)(112=−⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1.2 证明任何一种具有两个独立参量P T ，的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ，根据下述积分求得：()⎰−=dP κdT αV T ln 如果PκT αT 11==，，试求物态方程。
解： 体胀系数：p T V V α⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1，等温压缩系数：TT P V V κ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1 以P T ，为自变量，物质的物态方程为：()P T V V ,= 其全微分为：dP κV VdT αdP P V dT T V dV T Tp −=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=，dP κdT αV dV T −= 这是以P T ，为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得：()⎰−=dP κdT αV T ln 根据题设 ，将P κT αT 1,1==，代入：⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛−=dP P dT T V 11ln 得：C pT V +=lnln ，CT PV =，其中常数C 由实验数据可确定。
1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是()0£=T L f ，，，实验通常在1n p 下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为：£1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=T L L α，等温杨氏模量定义为：TL A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=£，其中A 是金属丝的截面积。
一般来说，α和Y 是T 的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常量。
热力学统计物理 课后习题 答案
第一章 热力学的基本规律1．1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为nRT pV =由此得到 体胀系数TpV nR T V V p 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=α， 压强系数T pV nR T P P V 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=β 等温压缩系数p p nRT V p V V T 1)(112=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=κ 1．2证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得()⎰-=dp dT V T καln ，如果P T T 1,1==κα，试求物态方程。
解： 体胀系数 pT V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α 等温压缩系数 TT p V V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=1κ 以T ，P 为自变量，物质的物态方程为 ()p T V V ,=其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T Tp κα-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= dp dT VdV T κα-= 这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得()⎰-=dp dT V T καln 根据题设 ， 若 pT T 1,1==κα ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dp p dT T V 11ln 则有 C pT V +=ln ln ， PV=CT 要确定常数C ，需要进一步的实验数据。
1．4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是(£,L,T)=0，实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为FT L L ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α ，等温杨氏模量定义为TL F A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= ，其中A 是金属丝的截面。
一般来说，α和Y 是T 的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常数。
假设金属丝两端固定。
热力学与统计物理课后习题答案
T
S T
V
；即
T T 0 S V CV
于是： 0>
p 正p数
V T V S
于是：
< 0p
V S
CP
T
S T
P
T
S , T ,
p p
T
S, p S,V
S,V T , p
T
p V
S
S,V T , p
T p V S
S T
,V ,V
T ,V T , p
化简。
解：由式(3.2.7)得：U TS pV ；又由式(3.4.6)得：
dp L dT TV
；L TS
Pa
U L L p dT T dp
L1
p T
dT dp
第四章 多元系的复相平衡和化学平衡
=0。
解： 由式(2.2.7)得：
(
U V
)T
p
=T
( T
)V
-p;
(
U V
)T
=0
;
p
T
( p T
)V
( U V
)T
=
(U ,T ) (V ,T )
(U ,T )
=
( p,T )
( p,T ) (V ,T )
U =0= ( p )T
(
p V
)T
∵
( p V
)T≠0
;
(
U p
)=T 0。
习题2.10 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无
)U
>0
证: 由式(2.1.2)得： dH TdS VdP
等H过程: (TdS )H (VdP)H
热力学与统计物理课后习题答案第一章
1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即000p V pV C T T ==（常量）， 或.pV CT = （5）式（5）就是由所给11,T T pακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
热力学与统计物理课后习题答案
第六章近独立粒子的最概然分布6.1试根据式（）证明：在体积V内，在到E+d£的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为解：式（）给出，在体积V L3内，在P x到P x dP x, P y到P y dP y,P x 到P xdP x的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为V /八3 dP x dP y dP z. （h用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在P到P dP范围内三维自由粒子可能的量子态数为4 n 2^ -P dp. h(2)上式可以理解为将空间体积元4 Vp2dp （体积V,动量球壳4nP2dp ）除以相格大小h3而得到的状态数.自由粒子的能量动量关系为因此将上式代入式（2）,即得在体积V内，在到d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D（）d - 2m 2 'd . （3）h6.2试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在到d的能量范围内，量子态数为解：根据式（），一维自由粒子在空间体积元dxdp x内可能的量子态数为在长度L内，动量大小在P到P dp范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为2Ldp.（1）h将能量动量关系代入，即得1D d 21卫為.（2）h 26.3试证明，对于二维的自由粒子，在面积L2内，在到d的D d 年 ch2d . (2)能量范围内，量子态数为解：根据式（），二维自由粒子在 空间体积元dxdydp x dp y 内的量 子态数为对d 积分，从0积分到2 n ，有可得在面积L 2内，动量大小在p 到p dp 范围内（动量方向任意） 维自由粒子可能的状态数为誓 pdp.h将能量动量关系 代入，即有D d M^md .h 26.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为试求在体积V 内，在 到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:式（）已给出在体积V 内，动量大小在p 到P dp 范围内三维 自由粒子可能的状态数为4 V 2^ 有 pdp.将极端相对论粒子的能量动量关系 代入，可得在体积V 内，在到d 的量子态数为12 dxdydp x dp y . h用二维动量空间的极坐标 p,描述粒子的动量，为用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为在面积L 2内，动量大小在p 到p dp 范围内，动量方向在 到 d 范 围内，二维自由粒子可能的状态数为L 2pdpd(1)P ，P ， 与P x ,P y 的关系(2)(3)(4)(1)的能量范围内，极端相对论粒子a i i ei(4)a ii ei6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为 N 和N .粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的.假设粒子可以分辨，处在一个 个体量子态的粒子数不受限制.试证明，在平衡状态下两种粒子的最 概然分布分别为 和其中i 和i 是两种粒子的能级，i 和i 是能级的简并度.解：当系统含有两种粒子，其粒子数分别为 N 和N ，总能量为 和a 必须满足条件 N ,(1)i a i系统的微观状态数Q 0为Q.（ 3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使Q 0或In Q 0为极大的分布.利用斯特令公式，由式（3）可得 为求使in Q 0为极大的分布，令a i 和a 各有a i 和a i 的变化，I n Q 0将 因而有亦Q 0的变化.使i n Q为极大的分布a i 和 即 但这些色和迥不完全是独立的，它们必须满足条件 用拉氏乘子，和 分别乘这三个式子并从 餉Q 0中减去，得 根据拉氏乘子法原理，每个 即拉氏乘子，和 由条件（1）确定.式（4）表明，两种粒子各自遵 从玻耳兹曼分布.两个分布的 和 可E ,体积为V 时，两种粒子的分布 a N ,a ii a i才有可能实现.在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情 形下，两种粒子分别处在分布 aN! a! i IN ! a !和a 时各自的微观状态数为aii ,aii(2)a 和a i 必使 E 和迥的系数都等于零，所以得以不同，但有共同的.原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数N,N 和能量E具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化.从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的.6.6同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？解：当系统含有N个玻色子，N个费米子，总能量为E,体积为V时，粒子的分布a i和a i必须满足条件Qi | Q E（1）l l才有可能实现.玻色子处在分布a i，费米子处在分布a i时，其微观状态数分别为系统的微观状态数Q 0为Q0Q Q.（3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使Q 0或in Q0为极大的分布.将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得令各a i和a i有词和込的变化，in Q 0将因而有3ln Q 0的变化，使用权in Q 0为极大的分布a i和Q必使即但这此致色和阳不完全是独立的，它们必须满足条件用拉氏乘子，和分别乘这三个式子并从餉Q 0中减去，得根据拉氏乘子法原理，每个色和迥的系数都等于零，所以得即iai ---- ,i e i1(4)ia i --------e i1拉氏乘子，和由条件（1）确定.式（4）表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中和不同，但相等.。
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第七章玻耳兹曼统计222 Un y n z ，( n x ,n y ,n z 0, 1, 2,)有 P3 V上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为个量子数。
7. 2根据公式Pa iiL证明，对于极端相对论粒子V2 2 22 12n z ,n x ,n y ,n z0, 1, 2,有 P1 Ucp cn x n y3VL上述结论对于玻尔兹曼分布， 玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为 L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为2 2 2 2 12n x ,n y ,n zCL "x山n x ,n y ,n z 0, 1, 2, -------(1)为书写简便，我们将上式简记为aV ----------------- -——(2)其中V=L 3是系统的体积，常量 a2 2 22 c n xn yn z‘2 ,并以单一指标 i 代表 n x ,n y ,n z个量子数。
7. 1试根据公式a i—证明，对于非相对论粒子VP 2 1 2m 2m2 nx2 2P 21 2n x ，n y ,n z2m 2m L2 nx2 2n y n z ( n x ,n y ,n z 0, 1, 2,) (1)为书写简便，我们将上式简记为aV(2)其中V=L 3是系统的体积，常量(2 )2 2n x 2m2 nyn ；，并以单一指标I 代表 n x ,n y ,n z由（2）式可得」-aV 353(3)代入压强公式,a i2 3Va i2U 3 V(4)式中Ui上述证明未涉及分布的具体表达式， 都成立。
注：（4 ）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其他的自由度，式（ U 仅指平动内能。
a i i是系统的内能。
因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布4）中的由（2）式可得L1aV 43 V31 I 3 V -------- (3)代入压强公式，有Pa I -IV1 a I I3V I1 U (4 )3V- (4丿式中Ua , II 是系统的内能。
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第六章 近独立粒子的最概然分布6．1试证明，在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D(ε) d ε =()εεπd m hV2123322证明：由式子（6-2-13），在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为Z Y X dP dP dP h V3-----------------（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为dP P hV 234π-------------（2） 上式可以理解为将相空间（μ空间）体积元4πVP 2dP （体积V ，动量球壳4πP 2dP ）除以相格大小h 3而得到的状态数。
自由粒子的能量动量关系为mP 22=ε因此 εm P 2=， εmd PdP =将上式代入（2）式，即得到在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =()εεπd m hV2123322------------（3）6．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =εεd m h L 2122⎪⎭⎫⎝⎛证明：对于一维自由粒子，有n Lhn L p ==π2 dn Lhdp =∴由于p 的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在范围内的量子态数p d p p +→ p d hLd 2n = 再由 εεm mp 2p 22==得 所以 ()εεεεεd m h L m d h L dn 212222 d D ⎪⎭⎫⎝⎛===， 证毕6．3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επm d hL 222证明：对于二维自由粒子，有y y x x n Lh p n L h p ==, y y x x dn Lhdp dn L h dp ==∴,所以，在面积L 2内，在y y y x x x dp p p dp p p +→+→,内的量子态数为y x y x dp dp dn dn 22hL ＝换为极坐标，则动量大小在dp p p +→内的量子态数为ϕϕd dp hL pdpd h L dn 222222==对φ从0至2π积分，并利用mp 22=ε则可得在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επm d hL 222，证毕6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，试求在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =εεπd ch V 23)(4 证明：在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为Z Y X dP dP dP h V3-----------------（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为dP P hV 234π-------------（2） 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，代入，可得在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =εεπd ch V 23)(4-------------------（3） 6．6同6.5题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何? 解：两种粒子的分布{}{}'l l a a 和必须满足：∑=llN a， ∑=llN a''，∑∑=+llllll E aa ''εε，其中E 为系统总能量。
热力学统计物理(第四版汪志诚)答案及习题解答
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即00p V pV C T T ==（常量）， 或.p V C T=（5） 式（5）就是由所给11,T Tpακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
热力学 统计物理 答案
CV T
dT RT ln V b
a V
U 0 TS 0
F S T V
CV T
V
dT R ln V b S 0
U F TS
C
dT
a V
U0
例8、由麦氏关系之一导出其余三个关系，如由
S V T p p T
( p ,V )
p ( S ,V ) S V
∴
T p V S S V
T V P S S p
引入变量S, p可得 引入变量T, V可得
S p V T T V
dp p
)
ln T ln p C
∴ 物态方程为：
pV CT
C为常数
习题1.4 解： (1)选择T、p为状态参量，则V=V（T, p)
V V dp V的全微分为： dV dT T p p T
两边同除以V： dV
1 V 1 V dT V V T p V p
Tf Ti
C p Ldx ln
Tf T1 T1 T2 L x
C p L dx ln(
T1 Tf
T1 T2 LT f
x)
均匀杆总熵变为：
S
L
0
S i
L
0
C p L dx ln(
1
T1 Tf
T1 T2 LT f
x)
根据积分公式
ln( a bx)dx b (a bx)[ln( a bx 1)
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第七章 玻耳兹曼统计7． 1 试根据公式 Pa lL证明，对于非相对论粒子lVP21 2 22 U 222n x , n y , n z2m 2mL n x n yn z ，（ 0, 1, 2, ）有P3 V上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明： 处在边长为 L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为P21 222 22n x , n y , n z 0, 1, 2, ） ------- （1）n x , n y ,n z2m 2mLn x n yn z（为书写简便，我们将上式简记为aV 23----------------------- （ 2）其中 V=L 3 是系统的体积，常量a(2 ) 2222l 代表 n x ,n y ,n z 三2m n xn y n z ，并以单一指标个量子数。
由（ 2）式可得L2aVV35 32l--------------------- （ 3）3 V代入压强公式，有 PL2 2 Ua lal l---------------------- （ 4）lV3V l3 V式中 Ual l是系统的内能。
l上述证明未涉及分布的具体表达式， 因此上述结论对于玻尔兹曼分布， 玻色分布和费米分布都成立。
注：（ 4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其他的自由度，式（ 4）中的U 仅指平动内能。
7． 2 根据公式 Pa lL证明，对于极端相对论粒子lVcp c2n x 2 n y 2 n z 2 11 U2 ， n x , n y , n z 0, 1, 2, 有PL3 V 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为2 n x 2 n y 2 n z 2 1c 2 ， n x , n y , n z 0, 1, 2,-------（ 1）n x ,n y ,n zL1为书写简便，我们将上式简记为aV 3 ----------------------- （ 2）其中 V=L 3 是系统的体积， 常量 a 2 c n x 2 n y 2n z 212，并以单一指标 l 代表 n x ,n y ,n z 三个量子数。
《热力学与统计物理》第四版(汪志诚)课后题答案精编版
若，式（3）可表为（4）选择图示的积分路线，从积分到，再积分到（），相应地体积由最终变到，有即（常量），或（5）式（5）就是由所给求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在和1下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为可近似看作常量，今使铜块加热至。
问：（a ）压强要增加多少才能使铜块的体积维持不变？（b ）若压强增加100，铜块的体积改变多少？解：（a ）根据1.2题式（2），有（1）上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差，温度差和压强差之间的关系。
如果系统的体积不变，与的关系为（2）在和可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得11,T T pακ==11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰00(,)T p ()0,T p ,T pV V000ln=ln ln ,V T pV T p -000p V pV C T T ==.pV CT =11,T T pακ==0Cnp 51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和10Cnp np .T dVdT dp Vακ=-dVdTdpdpdT.Tdp dT ακ=αTκ（1）（2）（3）根据1.13题式（6），对于§1.9中的准静态绝热过程（二）和（四），有（4） （5）从这两个方程消去和，得（6）故（7）所以在是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为（8）1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：假设在图中两条绝热线交于点，如图所示。
设想一等温线与两条绝热线分别交于点和点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在2111ln ,V Q RT V =3224ln,V Q RT V =32121214lnln .V V W Q Q RT RT V V =-=-1223()(),F T V F T V =2411()(),F T V F T V =1()F T 2()F T 3214,V V V V =2121()ln,V W R T T V =-γ2111.T WQ T η==-p V-CAB故电阻器的熵变可参照§1.17例二的方法求出，为1.19 均匀杆的温度一端为，另一端为，试计算达到均匀温度后的熵增。
热力学统计物理学答案第三版第一章
对于理想气体，上式变为
vcV T1 T0 vRT0
故有
cV T1 cV RT0
所以
T1
cP cV
T0
V0
对于等压过程
V1
V0 T0
T1
V0
习题 1.15 热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送扫温 度较高的物体上去。如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵 的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试求热泵的 效率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何？ 解：A→B 等温过程
ln
F
T
dT
1T
解：准静态绝热过程中： dQ 0 ，∴ dU pdV
(1)
对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为
物态方程 (2)，(3)代入(1)得：
dU Cv dT
(2)
pV nRT P nRT
(3)
V
CV dT
nRT V
dV
（其中 CV
nR ） 1
nR
dV V
CV nRT
dT
1 dT
nRT
1
1T
dT
dV V
1
1dT
关系式
F (T )V 1。
lnV
1
1
1dT
为 T 的函数
∴V-1 为 T 的函数。∴ F (T ) 1 V
Q1
M
RT1
ln
VA VB
B→C 绝热过程
C→D 等温吸热
Q2
M
RT2
ln VD VC
D→A 绝热， Q1 Q1 A Q1 Q2
由绝热过程泊松方程：
M
热力学统计物理 课后习题 答案
第四章 多元系的复相平衡和化学平衡4.1 证明：若将U 看作独立变量T,V ,n 1,⋅⋅⋅,n k 的函数，试证明 (1) VUVn U n U i ii∂∂+∂∂=∑ (2) VUv n U u ii i ∂∂+∂∂=解：（1）多元系的内能()k n n V T U U 1,,=是变量V ,n 1,⋅⋅⋅,n k 的一次齐函数。
根据εular 定理，()k n n V T U U λλλλ 1,,'=⋅，mf x fx iii=∂∂∑ 有U V U V n U n x f x j jn V T n V T i i ii i=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∑∑,,,, ------------------（1） 式子中偏导数的下标n i 指全部K 个组元，n j 指除i 组元外的其他全部组元。
（2）根据体积和内能为广延量，有iii v n V ∑=，iii u n U ∑= --------------------（2）根据（1）结论 VUVn U n U i ii∂∂+∂∂=∑------------------（1） 将（2）式代入（1）式，有i ii u n U ∑=V UV n U n i ii∂∂+∂∂=∑V U v n n U n ii i ii i ∂∂+∂∂=∑∑------------------（3） 上式对n i 的任意取值都成立，故有VUv n U u ii i ∂∂+∂∂=4.2证明μi (T,P,n 1,⋅⋅⋅,n k )是n 1,⋅⋅⋅,n k 的零次齐函数,0)(=∂∂∑jiii n n μ。
证明：根据式jnP T i i n G ,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=μ------------------（1） μi 是第i 个组元的化学势。
G 是广延量，是n 1,⋅⋅⋅,n k 的一次齐函数，即()()k k n n p T G n n p T G 11,,,,λλλ=------------------（2）将上式对λ求导，有 左式=()()λλλλλλλλ∂∂∂∂=∂∂∑)(,,)(,,11i k i k n n n p T n G n n p T G()k i in n p T n Gn λλλ 1,,)(∂∂=∑()k i i n n p T n λλμ 1,,∑=---------------（3）右式=()()k k n n p T G n n p T G 11,,],,[=∂∂λλ()k i i n n p T n 1,,μ∑=------（4） 令式（3）与式（4）相等，比较后可以知道()()k i k i n n p T n n p T 11,,,,μλλμ= --------------（5）上式说明μi (T,P,n 1,⋅⋅⋅,n k )是n 1,⋅⋅⋅,n k 的零次齐函数，根据欧勒定理有0)(=∂∂∑jiii n n μ 4.4理想溶液中各组元的化学势为i i x RT P T ln ),(g i +=μ(1)假设溶质是非挥发性的。
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第三章 单元系的相变3.4求证 （1）VT n V n S T ,,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ （2）PT n T n V P ,,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ 证明：（1）由自由能的全微分方程dF=-SdT-PdV+μdn 及偏导数求导次序的可交换性，可以得到VT n V n S T ,,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ 这是开系的一个麦氏关系。
（2）由吉布斯函数的全微分方程dG=-SdT+VdP+μdn 及偏导数求导次序的可交换性，可以得到PT n T n V P ,,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂μ 这是开系的一个麦氏关系。
3.5求证μ-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂V T n U ,nV T T ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=μ 解：自由能TS U F -=是以n V T ,,为自变量的特性函数，求F 对n 的偏导数，有VT V T V T n S T n U n F ,,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ （1） 但自由能的全微分dn pdV Sdt dF μ=--=可得V T n F ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=μ， V T n S T ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂=-n V T ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ （2） 代入（1），即有V T n U ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-μ=-T nV T ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ 3.6两相共存时，两相系统的定压热容量C P =pT S T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂，体胀系数 P T V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α和等温压缩系数TP V V k T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=1均趋于无穷。
试加以说明。
解： 我们知道，两相平衡共存时，两相的温度，压强和化学式必须相等。
如果在平衡压强下，令两相系统准静态地从外界吸取热量，物质将从比熵较低的相准静态地转移到比熵较高的相，过程中温度保持为平衡温度不变。
两相系统吸取热量而温度不变表明他的热容量 C P 趋于无穷。
在上述过程中两相系统的体积也将变化而温度不变，说明两相系统的体胀系数PT V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α也趋于无穷。
热力学统计物理 课后习题 答案
则顶点在球心的立体角d,在太阳表面所张的面积为R2SUN d。
假设太阳是黑体，则根据斯特藩-玻耳兹曼定律，得到单位时间内在立
体角内辐射的太阳辐射能量为 T4 R2SUN d
第二步：题设给出单位时间内，投射到地球大气层外单位面积上的太阳
辐射能量为JSE=1.35103Jm-2s-1（该值称为太阳常数），
式子中的f(V)是体积V的函数.
故有 （2）
根据（2.2.7）式，在温度保持不变时，内能随体积的变化率与物态方程
的关系
（3）
得 （4）
说明：如果物质具有形式为P=f(V)T 的物态方程，则物质的内能与体积
无关，只是温度T的函数。
2.4 求证：1 2
解：1焓的全微分为 （1-1）
令=0，得 （1-2）
第二章 均匀物质的热力学性质
2.1温度维持为250C，压强在0至1000Pn之间，测得的水的实验数据如
下：
若在250C的恒温下，将水从1 Pn加压至1000Pn，求水的熵增和从外界
吸收的热量。
解：将题设定为=A+BP (1)
由吉布斯函数G的全微分dG= SdT+VdP
得麦氏关系
(2)
因此
(3)
将P1=1 Pn,P2=1000 Pn，代入得 S= 0.527Jmol1K1
和 描述。
熵函数的全微分为
在可逆绝热过程中=0有
焓H（T，P）的全微分为
节流过程中=0有 （2）
式（1）和式（2）相减，得
2.9证明，，并由此推出
和。
根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容量只是温度T的
函数。
解：式
（1）
以T，V 状态参量，将上式求对V的偏导数，
11热力学统计物理第四版汪志诚_答案.
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2）上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即000p V pV C T T ==（常量）， 或.p VC T = （5）式（5）就是由所给11,T Tpακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.4 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
《热力学与统计物理学》习题解答
《热力学与统计物理学》习题解答
热力学与统计物理学习题解答：
P1. 一个双分子物质中有两个粒子，其中一个是A粒子而另一个则是B
粒子。
当它们达到蒸汽相时，请估计它们各自的平均表面速度。
答：根据热力学原理，在蒸汽相中，A粒子和B粒子的平均表面速
度应该是相同的，且都等于Boltzmann常数乘以绝对温度的平方根
（kT^(1/2)）。
P2. 甲烷气体在室温下的布朗运动速度是多少？
答：甲烷气体的平均布朗运动速度等于Boltzmann常数乘以绝对
温度的平方根 (kT^(1/2))，在室温（293K）下，则为1.25×10^5 m/s。
P3. 为什么热力学第三定律的最终状态是均匀的熵？
答：热力学第三定律的最终状态是均匀的熵，这是因为概率分布
函数定义熵，而不断扩大分布函数来接近熵最大值，就可以最大化熵。
而这正是热力学第三定律所要求的。
热力学·统计物理答案 第一章(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第一章 热力学的基本规律习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。
解：由得：nRT PV =VnRTP P nRT V ==; 所以, TP nR V T V V P 11)(1==∂∂=αT PVRn T P P V /1)(1==∂∂=βP P nRT V P V V T T /111)(12=--=∂∂-=κ习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质p T ,,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T κ,根据下述积分求得:⎰-=)(ln dp dT V T κα如果1Tα= 1Tpκ=,试求物态方程。
解： 因为0),,(=p V T f ,所以,我们可写成),(p T V V =,由此,dp pVdT T V dV T p )()(∂∂+∂∂=, 因为T T p pVV T V V )(1,)(1∂∂-=∂∂=κα 所以,dp dT VdVdp V dT V dV T T κακα-=-=,所以,⎰-=dp dT V T καln ,当p T T /1,/1==κα.CT pV pdpT dT V =-=⎰:,ln 得到习题 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为1510*85.4--=K α和1710*8.7--=n T p κ，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至10°C 。
问（1压强要增加多少np 才能使铜块体积不变？（2若压强增加100np ，铜块的体积改多少 解：分别设为V xp n ∆;，由定义得：74410*8.7*10010*85.4;10*858.4----=∆=V x T κ所以，410*07.4,622-=∆=V p x n 错习题1.4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力η，物态方程是0),,(=T L f η实验通常在n p 1下进行，其体积变化可忽略。
线胀系数定义为ηα)(1T L L ∂∂=等杨氏摸量定义为T LA L Y )(∂∂=η其中A 是金属丝的截面积，一般说来，α和Y 是T 的函数，对η仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范不大，可看作常数。
热力学统计物理课后习题答案
1. 1试求理想气体的体胀系数 :，压强系数：和等温压缩系数：T解：已知理想气体的物态方程为 pV 二nRT 由此得到体胀系数-貯。
诵冷，1. 2证明任何一种具有两个独立参量 T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和 等温压缩系数，根据下述积分求得 InV =:・dT -：T dp ，如果：•二丄「.T -，试求物态方TP程。
解：体胀系数:=-—V 5丿p等温压缩系数K T =--—]V 2P 人这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得根据题设，若〉=丄，冷=丄T p则有InV =ln T C ， PV=CTp要确定常数C,需要进一步的实验数据。
1. 4描述金属丝的几何参量是长度 L ,力学参量是张力£，物态方程是（£丄,T ）=0，实验通 1 r 鬥）常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为a =丄丄| ，等温杨氏模量L 5丿F定义为Y -L 「匚 ，其中A 是金属丝的截面。
一般来说，：和Y 是T 的函数，对£仅有微A I^L 人第一章热力 学 的 基 本压强系数1 仔、_ n R _ 1 B JT 厂而=T等温压缩系数'-T =以T ，P 为自变量, 物质的物态方程为V =V T,p其全微分为 dV =eVdp 二 V ： dT -V T dp i印」n RT ) T~) p所以C n = C Vn -1弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常数。
假设金属丝两端固定。
试证明，当 温度由T1降至T2时，其张力的增加为厶£ = -YA/T 2-TJ 。
解：f ( £ 丄,T)=0, £ =F £ (L,T)d £=空；dT +( dL — i dT (dL=0)©丿Li 此丿T &T .丿L所以：£= -YA MT ? -TJ1. 6 1mol 理想气体，在27o C 的恒温下发生膨胀,其压强由20P n 准静态地降到1P n ,求气体 所做的功和所吸收的热量。
大学热力学统计物理第四版汪志诚答案
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.8 满足npVC =的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。
试证明：理想气体在多方过程中的热容量n C 为1n V n C C n γ-=- 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量0lim .n T n nnQ U V C p T T T ∆→∆∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪∆∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1） 对于理想气体，内能U 只是温度T 的函数，,V nU C T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 所以.n V nV C C p T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （2） 将多方过程的过程方程式n pV C =与理想气体的物态方程联立，消去压强p 可得11n TV C -=（常量）。
（3）将上式微分，有12(1)0,n n V dT n V TdV --+-=所以.(1)nV V T n T ∂⎛⎫=- ⎪∂-⎝⎭ （4） 代入式（2），即得,(1)1n V V pV n C C C T n n γ-=-=-- （5） 其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量nC如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n p n VC C n C C -=-。
假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：根据热力学第一定律，有đđ.dU Q W =+ （1）对于准静态过程有đ,W pdV =-对理想气体有,V dU C dT =气体在过程中吸收的热量为đ,n Q C dT =因此式（1）可表为().n V C C dT pdV -= （2）用理想气体的物态方程pV vRT =除上式，并注意,p V C C vR -=可得()().n V p V dT dVC C C C T V-=- （3） 将理想气体的物态方程全式求微分，有.dp dV dT p V T+= （4） 式（3）与式（4）联立，消去dTT，有 ()()0.n V n p dp dV C C C C p V-+-= （5）令n p n VC C n C C -=-，可将式（5）表为0.dp dV n p V+= （6） 如果,p V C C 和n C 都是常量，将上式积分即得n pV C =（常量）。
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第一章 热力学的基本规律1．1 试求理想气体的体胀系数，压强系数和等温压缩系数T。
解：已知理想气体的物态方程为nRT pV = 由此得到 体胀系数TpV nR T V V p 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=α， 压强系数TpV nR T P P V 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=β 等温压缩系数p p nRT V p V V T 1)(112=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=κ 1．2证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得()⎰-=dp dT V T καln ，如果PTT 1,1==κα，试求物态方程。
解： 体胀系数 p T V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α 等温压缩系数 TT p V V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=1κ 以T ，P 为自变量，物质的物态方程为 ()p T V V ,= 其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T Tp κα-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=dp dT VdVT κα-= 这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得()⎰-=dp dT V T καln根据题设 ， 若 pT T 1,1==κα ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=dp p dT T V 11ln 则有 C pTV +=lnln ， PV=CT 要确定常数C ，需要进一步的实验数据。
1．4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是(£,L,T)=0，实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为FT L L ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α ，等温杨氏模量定义为TL F A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=，其中A 是金属丝的截面。
一般来说，和Y 是T 的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常数。
假设金属丝两端固定。
试证明，当温度由T1降至T2时，其张力的增加为)T -(T -Y A £12α=∆。
解： f (£,L,T)=0 ，£=F £(L,T) dT T dL L dT T d LT L ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=££££ (dL=0) 1££-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂TF L L L T T ααYA L AY L L T L T TF L -=-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂££ dT YA d α-=£所以 )T -(T -Y A £12α=∆1．6 1mol 理想气体，在27oC 的恒温下发生膨胀,其压强由20P n 准静态地降到1P n ，求气体所做的功和所吸收的热量。
解：将气体的膨胀过程近似看做准静态过程。
根据⎰-=VBVApdV W ，在准静态等温过程中气体体积由VA 膨胀到VB ，外界对气体所做的功为A B A B VBVAVBVAP P RT V V RT V dVRT pdV W ln ln -=-=-=-=⎰⎰ 气体所做的功是上式的负值， W =AB P P RT ln-= 300ln20J= 103J 在等温过程中理想气体的内能不变，即U=0 根据热力学第一定律U=W+Q ，气体在过程中吸收的热量Q 为 Q= W = 103J在25oC 下，压强在0至1000pn 之间，测得水的体积为V=103P+106P 2cm 3mol 1如果保持温度不变，将1mol 的水从1pn 加压至1000pn ，求外界所作的功。
解：将题中给出的体积与压强的关系记为 V=A+BP+CP 2由此得到 dV=(B+2CP)dP保持温度不变，将1mol 的水从1Pn 加压至1000Pn ，在这个准静态过程中，外界所作的功为⎰-=VB VA pdV W =⎰+-PBPAdp P 2CP)(B =1000132)CP 32BP 21(+-=mol 11．11满足PV n=C 的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。
试证明，理想气体在多方过程中的热容量为V C 1-n -n Cn γ= 解： nV n n T n dT dV P C dT PdV dU T V P U C ⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆+∆=→∆0lim理想气体多方过程 PV=RTPV n=C有 ⎩⎨⎧=+=+⋅=+-0,01VdP nPdV dP V ndV PV RdT VdP PdV nn dT n R PdV 1--=⇒ 所以 1--=n RC C V n 另一方面，理想气体 ⎪⎩⎪⎨⎧==-γVp V p C C R C C所以得 V C 1-n -n Cn γ= ， 证毕1．12 试证明，理想气体在某一过程中的热容量Cn 如果是常量，该过程一定是多方过程。
多方指数CvCpn --=Cn Cn 。
假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：根据热力学第一定律，dU=dQ+dW （1） 对于准静态过程 有dW= pdV 对于理想气体有 dU = Cv dT气体在过程中吸收的热量为 dQ = CndT则 热力学第一定律 （1）可表达为 (Cn Cv ) dT=pdV用理想气体的物态方程 RT= pV 去除 上式，以及代入Cp Cn= R得到VdVCv T dT Cv )(Cp )(Cn -=- （2） 理想气体的物态方程的全微分为 TdTV dV P dP =+ （3） 以上两式联立，消去T dT ，得0)(Cn )(Cn =---VdVCp P dP Cv （4） 令CvCp n --=Cn Cn ，上式（4）表示为 0=+VdV n P dP 若Cp,Cv,Cn 都是常量， 将上式积分得 PV n=C上式表明，过程是多方过程。
1．16假设理想气体的定压热容量和定容热容量之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T 和V 的关系。
该关系式中要用到一个函数F （T ），其表达式为()()⎰-=T dTT F 1ln γ。
解： PdV Tds dV -=, dT C dV V = 对准静绝热过程， dS ＝0， 得到 ()PdV dV dT C s V -==另一方面，理想气体 ⎪⎩⎪⎨⎧==-γVp V p C C RC C且 PV ＝RT 于是， 1-=γR C V ，VRT P = 即得到dV VRT dT R -=⋅-1γ ()01=-+T dT VdV γ 令 ()()⎰-=T dT T F 1ln γ ， ()T dTFdF 1-=γ 有 ()0ln =⋅F V d ， ()Const T F V =⋅温度为00C 的1kg 水与温度为1000C 的恒温热源接触后，水温达到1000C 。
试分别求水和热源的熵变，以及整个系统的总熵变。
欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从00C 升至1000C 已知水的比热容为g 1K 1解：00C 的水与温度为1000C 的恒温热源接触后，水温达到1000C 。
这一过程是不可逆过程。
为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样的变化。
通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。
为了求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。
其温度分布在00C 与1000C之间。
令水依次从这些热源吸收热量，使水温由00C 升至1000C 。
在这可逆过程中，水的熵变为1133732736.1304273373ln 18.410273373ln --⋅=⋅⨯⨯===∆⎰K J K J mC T dT mC S P P 水 (1) 水从00C 升至1000C 所吸收的总热量Q 为 Q=mC P T=103100J=105J为求热源的熵变，可令热源向温度为1000C 的另一热源放出热量Q 。
在这可逆过程中，热源的熵变为1156.11203731018.4--⋅-=⋅⨯-=∆K J K J S 热源(2)由于热源的变化相同，式子（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。
整个系统的总熵变为S 总=S 水+S 热源=184 J K 1为使水温从00C 升至1000C 而参与整个过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分布在00C 与1000C 之间的一系列热源吸热。
水的熵变S*水仍由式子（2）给出。
这一系列热源的熵变之和为1133732736.1304273373ln 18.410273373ln *--⋅-=⋅⨯⨯-=-=-=∆⎰K J K J mC T dT mC S P P 热源参与过程的整个系统的总熵变为S*总=S*水+S*热源=0 （5） 10A 的电流通过一个25的电阻器，历时1S 。
（A ）若电阻器保持为室温270C ，试求电阻器的熵增加值。
（B ）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为270C ，电阻器的质量为10g ，比热容C P 为g 1k 1，问电阻器的熵增加值为多少 解：（A ）以T ，P 为电阻器的状态参量，设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温270C 不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。
（B ）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q 将全部被电阻器吸收而使其温度由T 1升为T 2，所以有mC P T= mC P （T 2 T 1）=i 2RT故K K mC RT i T T P 600)1084.01012510300(322212≈⨯⨯⨯⨯+=+=- 电阻器的熵变可以参照1-17节例二的方法求出，为113212218.5)300600ln 1084.010(ln ---⋅=⋅⨯⨯===∆⎰K J K J T T mC T dT mC S P P T T 均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2，试计算达到均匀温度后的熵增。
解：0 l x第i 处的初温为 x lT T T T i 121-+= 设单位长度的定压热容量为Cx ， ()x p C l C ⋅=于是 ⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅=+⋅===⎰⎰++i x T T T i x x T T T x T T T C T T T C T dT C TdQS iiln 2ln 2ln 2122122121总熵变 ⎰=lxdx SS 0⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=l i x dx T T T C 021ln 2ln ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⋅⋅=l x x dx x l T T T C T T l C 012121ln 2ln⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+⋅=211221ln 2lnT T x p T T l dy y C T T C ()21ln 2ln 1221T T x p p y y y T T C T T C -⋅--+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+⋅=1ln ln 2ln 12112221T T T T T T T T C p。