(word完整版)高三一轮复习《不等式》

第五部分：不等式专题（线性规划，一元二次不等式，基本不等式）
不等式是高中数学重要的知识，考试中涉及的考点也很多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证
明以外，其他形式的考察还是很多的。

就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式恒（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型。

高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式），涉及常规函数
的不等式恒（能）成立问题。

1、线性规划
（1）掌握好线性规划，首先需要知道，线性规划的考题特点：已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程，问题一般是求解一个含有两个变量式子的范围、最值。

所以，有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式，将所求解问题转化为线性规划问题。

比如：已知等差数列{}n a ，2,185≤≥a a ，则12a 的取值范围是
（2）线性规划性的常规考题相对简单一些，从问题来说有三个常见形式：（1）截距型：by ax +；（2）距离型：
()()2
2b y a x -+-；（3）斜率型：
a
x b
y --；如果直接考这几个类型倒还好。

比如：已知y x ,满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≥00120y y x x ，则y x +2的最大值是 ，
()()2212-+-y x 的最小
值是 ，
3
+x y
的取值范围是 。

（3）有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。

比如：
① 已知),(b a P 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥++≤+≥-040202y x y x y x ,则P 所在区域的面积是
② 已知y x ,满足条件⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤-+≥00120y y x x ，使得y ax +取得最大值的点有无数个，则实数a 的值是
③ 已知y x ,满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≥00120y y x x ，且y ax +在点（1,0）处取得最大值，则实数a 的范围是
（4）稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。

比如：已知y x ,满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≥0
0120
y y x x ，则2
2)1(652-++--x y y x xy 的取值范围是
2、解不等式
解不等式分为含参和不含参之分，普通解不等式倒还好，不管是解一元一次不等式，一元二次不等式，分数不等式（注意分母不为零），指数、对数不等式，还是需要用“换元”解决的一些复合不等式，都还不算难；有时候可以用函数单调性解不等式，但是需要考虑定义域，这个需要在解题的时候能够想到，一般会条件这么给“已知或者能求出单调性，知道函数的零点”。

另外需要注意的是，其实解不等式和解方程的过程是差不多的，所以不等式的解集中式“边界”和不等 式对应的根式有关系的，比如：已知不等式012
≥--bx ax 的解是3
1
21-≤≤-x ，则不等式02<-+a bx x 的解是________．
解含参不等式是相对难一点的，不过过了高一后，真正到后面的函数学习中，又不多见这种情况，只是作为不等式的内容之一，也要好好的学一学，理清楚分类讨论的思路和步骤。

而含参不等式中，最为重要的就是一元二次不等式的分类讨论，因为在高二所学的导数那部分知识中会涉及这个内容。

关于这个分类讨论，条理性要注意的：首先考虑是否是一元二次不等式，其次考虑对应的一元二次方程根的情况（是否有根，有几个根，大小怎么样，是否在定义域中），最后根据题目变量x 的取值范围去得出不等式的解集。

例1、解不等式)0( 01)1
(2
≠<++-a x a
a x
分析： 首先因式分解)1)((a x a x --，二次函数=y )1)((a x a x --的两根为a
x a x 1
,21==，解应该是两根之间，但是两根大小关系不确定，这就需要进行分情况讨论，
1°a a 1=
，解不存在；2°a a 1>，即1>a 或01<<-a ，a x a
<<1
；3°a a 1<，即1-<a 或10<<a ，a
x a 1<
<
例2、解不等式：()0112
>+++x a ax
分析：因式分解0)1)(1(>++x ax ，考虑到影响因素，到底解是在两根之间还是两根之外是由二次项系数决定的，所以a 的取值是关键，联系到二次函数)1)(1(++=x ax y ，两根为1,1
21-=-
=x a
x 1°0=a ，不等式变为01>+x ，解为1->x ， 2°0<a ，11->-
a ，12x x x <<，解为a
x 11-<<-，
3°0>a ，a 1
-和1-的大小关系不一定，这个时候就需要进行二者的讨论， 当a 1->1-时，即1>a ，a x 1->或1-<x ，当a 1-=1-时，即1=a ，1-≠x ，当a 1
-<1-时，1
->x 或a
x 1
-<
例3、解不等式()
()R m x x m ∈≥+-+01412
2
分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨
论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：
⑴ 当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵ 当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶ 当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程2
4410
x x -+=的根。

⑷ 当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

3、不等式恒成立、不等式有解常见方法
1) 恒成立问题
（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < （3）特别的，若上述的()()min max
x f x f 取不到，则最后的参数范围需要加上“=”.
（4）有一些可以转化为恒成立问题的，比如：“函数()x f 的图像横在()x g 的图像的上方()()x g x f >⇔恒成立”。

2) 能成立问题（也就是有解问题）
若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.
3) 恰成立问题（相对少见）
若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 以上题型和方法在函数解答题的材料中有涉及，这里就不具体展开了。

4、基本不等式 一、知识点总结
1、基本不等式原始形式:（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ （2）若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式：若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形：（1）若*
,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用：若*
,R b a ∈，则
22111
22b a b a ab b a +≤+≤≤+
二、题型分析
题型：利用不等式求最值 （一）（凑项） 1、已知2>x ，求函数4
24
42-+-=x x y 的最小值；
2、已知5
4x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值；
题型：巧用“1”的代换求最值问题或者两者相乘
1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b
=+11
的最小值； 法一：
法二：
变式：已知12,0,=+>b a b a ，求b
a 1
11++的最小值；
变式：已知12,0,=+>b a b a ，求b
a b 1
1++的最小值；
变式：已知12,0,=+>a ab b a ，求a
b 1
2+的最小值；
变式：已知0>>b a ，求2
2
12a ab
ab a ++-的最小值；
变式：已知2,0=+>b a b a ，，求
1
21222++
+b a
a b 的最小值；
变式：已知2,0=+>b a b a ，，求1
12
2+++b b a a 的最小值；
变式：已知0>>>z y x 且z
x n z y y x -=-+-11恒成立，如果+
∈N n ，求n 的最小值；（参考：4） （提示：分离参数，换元法）
变式：已知28
,0,
1x y x y
>+=，求xy 的最小值；
变式：已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,，使得14a a a n m =，求n
m 41+的最小值；
题型：分离换元法求最值（了解）
1、求函数)1(1
10
72-≠+++=
x x x x y 的值域；
变式：求函数)1(1
8
2>-+=
x x x y 的最小值；
2、求函数5
22
++=x x y 的最大值；（提示：换元法）
变式：求函数9
41
++=x x y 的最大值；
题型：基本不等式的综合应用
1、已知1log log 22≥+b a ，求b
a 93+的最小值
2、已知0,>b a ，求ab b a 211++的最小值；
3、已知0,>y x ，822=++xy y x ，求y x 2+最小值；
变式1：已知0,>b a ，满足3++=b a ab ，求ab 范围；
变式2：已知0,>y x ，3
12121=+++y x ，求xy 最大值；（提示：通分或三角换元）
变式3：已知0,>y x ，12
2
=++xy y x ，求xy 最大值；
4、设正实数z y x ,,满足0432
2
=-+-z y xy x ,则当
z
xy
取得最大值时,z y x 212-+的最大值为
（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）
变式：设z y x ,,是正数，满足032=+-z y x ，求xz
y 2
的最小值；
变式：设z y x ,,是正数，满足2,>>z y x ，求2
5
2-+
-+z z xy z y xz 的最小值；。