分式求值的常用技巧
专题训练(一) 分式化简求值常见题型归纳
专题训练(一) 分式化简求值常见题型归纳► 类型一 代入求值型一、直接代入型1．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －1＋11－a ·1a，其中a ＝－12. 二、选择代入型2．先化简：x 2＋x x 2－2x ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－1x ，再从－2＜x ＜3的范围内选取一个你喜欢的x 值代入求值．3．若a 满足－3≤a≤3，请你选取一个合适的数a 使得代数式a 2－1a ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 的值是一个奇数．三、整体代入型4．已知x ，y 满足x ＝5y ，求分式x 2－2xy ＋3y 24x 2＋5xy －6y 2的值． 5．已知a ＋b b ＝52，求a －b b的值． 6．若1a －1b ＝12，求a －b ab －ab a －b的值． 7．已知1x ＋1y ＝5，求2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y的值． 8．已知a 满足a 2＋2a －15＝0，求1a ＋1－a ＋2a 2－1÷（a ＋1）（a ＋2）a 2－2a ＋1的值． 9．已知t ＋1t ＝3，求t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2的值． 10．已知x ＋1x ＝4，求x 2x 4＋x 2＋1的值． ► 类型二 设比例系数或用消元法求值11．已知2a －3b ＋c ＝0，3a －2b －6c ＝0，abc ≠0，则a 3－2b 3＋c 3a 2b －2b 2c ＋3ac 2＝________． 12．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2的值．► 类型三 利用非负数的性质挖掘条件求值13．已知x 2－4x ＋4与|y －1|互为相反数，则式子⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x ÷(x ＋y)的值为________． 14．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12x －3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1y ＋42＝0，求32x ＋1－23y －1的值． ► 类型四 值恒不变形15．已知y ＝x 2＋6x ＋9x 2－9÷x ＋3x 2－3x－x ＋3，试说明不论x 为任何使原式有意义的值，y 的值均不变． 详解详析1．解：原式＝⎝⎛⎭⎫a 2a －1－1a －1·1a ＝a 2－1a －1·1a ＝（a ＋1）（a －1）a －1·1a ＝a ＋1a . 当a ＝－12时，a ＋1a ＝－12＋1－12＝－1. 2．解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2x －1. 由题意，可取x ＝2代入上式，得x 2x －1＝222－1＝4.(注意：x 不能为0和±1) 3．解：原式＝a ＋1.由原代数式有意义，得a ≠0且a ≠1，又代数式的值是奇数，且－3≤a ≤3，所以a ＝±2.4．解：由已知可得y ≠0，将分式的分子、分母同除以y 2，得原式＝⎝⎛⎭⎫x y 2－2·x y ＋34·⎝⎛⎭⎫x y 2＋5·x y－6. 又已知x ＝5y ，变形得x y ＝5，将其代入原式，得⎝⎛⎭⎫x y 2－2·x y ＋34·⎝⎛⎭⎫x y 2＋5·x y －6＝52－2×5＋34×52＋5×5－6＝18119. 5．[解析] 由a －b b ＝a ＋b －2b b ＝a ＋b b－2，再将已知条件代入该式即可求解． 解：a －b b ＝a ＋b －2b b ＝a ＋b b －2，又知a ＋b b ＝52，将其代入上式，得 a －b b ＝52－2＝12. 6．解：由1a －1b ＝12， 得b －a ab ＝12， 所以a －b ab ＝－12，ab a －b＝－2， 所以a －b ab －ab a －b＝－12＋2＝32. 7．[解析] 由条件1x ＋1y ＝5，通分化简，得x ＋y ＝5xy ，代数式可化为2（x ＋y ）－3xy x ＋2xy ＋y，从而整体代入求值．解：∵1x ＋1y ＝x ＋y xy＝5， ∴x ＋y ＝5xy ，∴2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y ＝2（x ＋y ）－3xy x ＋2xy ＋y ＝10xy －3xy 5xy ＋2xy＝1. 8．[解析] 对要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a 2＋2a －15＝0进行配方，得到a ＋1的值，再把它整体代入即可求出答案．解：1a ＋1－a ＋2a 2－1÷（a ＋1）（a ＋2）a 2－2a ＋1＝1a ＋1－a ＋2（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋1）（a ＋2）＝1a ＋1－a －1（a ＋1）2＝2（a ＋1）2. ∵a 2＋2a －15＝0，∴(a ＋1)2＝16，∴原式＝216＝18.9．[解析] 利用t 2＋⎝⎛⎭⎫1t 2＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－2的形式，将已知条件整体代入求解． 解：因为t 2＋⎝⎛⎭⎫1t 2＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－2， 又t ＋1t＝3，将其代入上式，得原式＝32－2＝7. 10．解：因为x ＋1x＝4，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝42， 即x 2＋2＋1x 2＝16，所以x 2＋1x 2＝14. 因为x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1＋1x 2＝x 2＋1x 2＋1＝14＋1＝15， 所以x 2x 4＋x 2＋1＝115. 11.1142[解析] 由已知条件不能求出a ，b ，c 的具体值，但是我们可以把已知等式组成方程组，用其中一个字母(如c)来表示另两个字母，把分式转化为只含一个字母的分式，再约分．由已知，得⎩⎨⎧2a －3b ＝－c ，3a －2b ＝6c ， 解这个方程组得 ⎩⎨⎧a ＝4c ，b ＝3c ，代入原式，得a 3－2b 3＋c 3a 2b －2b 2c ＋3ac 2＝ （4c ）3－2·（3c ）3＋c 3（4c ）2·3c －2·（3c ）2c ＋3×4c·c 2＝11c 342c 3＝1142. 12．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，所以xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2＝6k 2＋12k 2＋8k 24k 2＋9k 2＋16k 2＝2629. 13.12[解析] 代数式x 2－4x ＋4＝(x －2)2.因为x 2－4x ＋4与|y －1|互为相反数，所以由非负数的性质，得x －2＝0，y －1＝0，解得x ＝2，y ＝1，所以⎝⎛⎭⎫x y －y x ÷(x ＋y)＝⎝⎛⎭⎫21－12÷(2＋1)＝12.14．解：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12x －3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1y ＋42＝0，得x －12x －3＝0，3y ＋1y ＋4＝0，所以x ＝1，y ＝－13， 所以原式＝32×1＋1－23×⎝⎛⎭⎫－13－1＝2. 15．[解析] 先化简分式，再通过分析化简结果得出结论．解：y ＝x 2＋6x ＋9x 2－9÷x ＋3x 2－3x－x ＋3 ＝（x ＋3）2（x ＋3）（x －3）·x （x －3）x ＋3－x ＋3 ＝x －x ＋3＝3.由化简结果，可知y 的值为常数3，与x 的取值无关，故不论x 为任何使原式有意义的值，y 的值均不变．。
分式求值的技巧点拨
在分式运算中．常遇到求值问Array题，这类问题题型多样．技巧性强．若根据题目中分式的结构特点．采用适当方法．则可巧妙获解．冀麟垮角髓努法求值熊一，妒1仞，已知石2—5x+l=0．求菇4+三的值．菇4解：由石2—5x+1=0知搿≠O．由此得菇+土=5．．．矿+当=(矿+吉)2—2=忙÷)2_22】2_28意黧曩=527．棼矛筹、．。
i，彩，j≯瓤I；每触∥％_≯?拶麟黟用因式分解撩隶僮嘎倒2先化简，，求值：(—E_m--2n_r n m nini一旦m芝詈)善n等．其中矾；’一二+。
一，旷，一l，、11=l…I～v丐一2‘、／丐+2÷，．．√解：原式=【嚣一百I笔满]：等。
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=-(一x,r 3—2)一(一、／3+2)=一4．’’，．·．原式三一竺：。
一土．，、、：'’“‘A“因式分解法是一种重要的数学方法j “躲决很多数学闻题都要甩●h_X 到它：尤其是在分式化简和分式的四则运算巾运用较多．阂此，希望’桫同学们对因式分解的各种方法熟练掌握．洛哆尊整体熊冬滞搴值紫+御了已知吉一i1_3，求专÷筹Z1．aO的值．二do8一一D解：由一1一_1：+3变荛得口一b ：一3ab ，代入所求式得：nD．原式：6兰!堡二垒i ±兰堂：二垒堂±兰尘。
～．一3ab 一2ab3，一=一．‘．．黛支≥喜篙姜簇篙焉篇篆勰霎裟釜_p 先把条件进行化筒荐采用上述方法求值。
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分式化简求值解题技巧
分式化简求值解题技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII分式化简求值解题技巧一、整体代入例1、已知22006a b +=，求ba b ab a 421212322+++的值.例2、已知311=-y x ，求y xy x y xy x ---+2232的值.练一练:1.已知511=+y x ,求y xy x y xy x +++-2232的值.2.已知211=+y x ,求分式yx xy y y x x 33233++++的值3. 若ab b a 322=+,求分式)21)(21(222b a b b a b -+-+的值二、构造代入例3、已知2520010x x --=，求21)1()2(23-+---x x x 的值.例4已知a b c ，，不等于0，且0a b c ++=， 求)11()11()11(ba c c abc b a +++++的值.练一练：4. 若1=ab ,求221111ba +++的值5.已知xx 12=+,试求代数式34121311222+++-•-+-+x x x x x x x 的值三、参数辅助，多元归一例5 、已知432z y x ==，求222z y x zx yz xy ++++的值。
练一练6.已知23=-+b a b a ,求分式ab b a 22-的值四、倒数代入例6、已知41=+xx ，求1242++x x x 的值.练一练7. 若2132=+-x x x ,求分式1242++x x x 的值.8.已知211222-=-x x ,求)1()1111(2x x x x x +-÷+--的值.9. 已知51,41,31=+=+=+c a ac c b bc b a ab ,求bc ac ab abc ++的值.。
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简是指将一个分式写成一个最简形式的过程。
下面列举一些分式化简的方法与技巧：
1. 因式分解法：如果分子和分母都可以被一个公因子因式分解，可以先进行因式分解，然后约去公因子。
2. 公约法：将分子和分母的公因子约去，使分子和分母无公因子。
3. 分子与分母分别除以最大公约数法：先求出分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数，使得分子和分母互质。
4. 乘法逆元法：如果分子和分母互为乘法逆元，即分子和分母互为倒数关系，可以将分式化简为整数。
5. 积化和差法：对于有相同分子或分母的分式，可以将其化为积或差的形式，然后进行约分或运算。
6. 公倍数法：如果分式的分子和分母都是整数，可以找到一个公倍数使得分子和分母变为整数，然后约去公倍数。
7. 有理化法：对于含有根号的分式，可以通过有理化的方法将其转化为整数或分数。
8. 倒数法：对于一个分式，可以将其倒数的分子和分母对换位
置，然后约分。
以上是一些常见的分式化简的方法与技巧，根据具体的情况选择合适的方法进行求解。
分式求值的常用技巧
分式求值的常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：1、 应用分式的根本性质例1 如果12x x +=，那么2421x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得原式=.22221111112131()1x x x x===-+++-. 2、倒数法例2 如果12x x +=，那么2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得42222221111()1213x x x x x x x++=++=+-=-= ∴原式=13. 3、平方法例3 12x x +=，那么221x x+的值是多少？ 解：两边同时平方，得22221124,42 2.x x x x++=∴+=-= 4、设参数法例4 0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设235a b c k ===，那么 2,3,5a k b k c k ===.∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例5,a b c b c a ==求a b c a b c+--+的值. 解：设a b c k b c a ===，那么 ,,.a bk b ck c ak ===∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=，∴31,1k k ==∴a b c ==∴原式= 1.a b c a b c+-=-+ 5、整体代换法例6 113,x y -=求2322x xy y x xy y+---的值. 解：将变形，得3,y x xy -=即3x y xy -=-∴原式=2()32(3)333.()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===----- 6、消元代换法例7 1,abc =那么111a b c ab a bc b ac c ++=++++++ . 解：∵1,abc =∴1,c ab= ∴原式=111111a b ab ab a b ab b a ab ab++++⋅++⋅++ 1111a ab ab a ab a a ab =++++++++1 1.1ab a ab a ++==++ 7、拆项法 例8 假设0,a b c ++=求111111()()()3a b c b c a c a b++++++的值. 解：原式=111111()1()1()1a b c b c a c a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111111111()()()a b c a b c a b c a b c =++++++++ 111()()a b c a b c=++++ 0a b c ++=∵∴原式=0.8、配方法例9 假设11a b b c -=-=求2221a b c ab ac bc ++---的值.解：由11a b b c -=-=得2a c -=. ∴2222a b c ab ac b ++---2221()()()2a b b c a c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦11202=⨯= ∴原式=16.。
分式求值的常用技巧
分式求值的常用技巧分式是一种特殊类型的数学表达式，它包含有一个或多个数（称为分子）除以另一个数（称为分母）。
分式可以代表有理数和算术运算，例如加法、减法、乘法和除法。
在解决分式求值问题时，有一些常用的技巧可以帮助我们简化计算和得出结果。
1.化简分式首先，我们可以通过化简分式来简化计算过程。
化简分式的目的是找到分子和分母的最大公约数，并将分子和分母都除以它，使分式更简单。
例如，考虑分式12/24，我们可以找到最大公约数为12，并将分子和分母都除以12，得到1/2、这样，原分式就被化简为最简分式。
2.找到分子和分母的公因式在一些分式中，分子和分母可能有一个或多个公因式。
我们可以通过找到它们来简化计算。
例如，考虑分式16/24，我们可以发现分子和分母都可以被2整除。
我们可以将16除以2得到8，24除以2得到12，从而得到化简后的分式8/12、然后，我们可以继续找到8和12的最大公约数，并将它们化简为最简分式。
3.交换分子和分母的位置有时候，分式的分子和分母的位置可以互换。
我们可以利用这个性质来简化计算。
例如，考虑分式1/4，我们可以将分子和分母互换，得到4/1、然后，我们可以将4除以1得到4，从而得到最简分式44.将分式转化为小数形式有时候，将分式转化为小数形式可以更便于计算。
我们可以通过将分子除以分母来得到分数的小数形式。
例如，考虑分式3/5，我们可以将3除以5得到0.6、这样，我们就得到了分式的小数形式。
5.使用乘法和除法的性质在进行分式求值时，我们可以利用乘法和除法的性质来简化计算。
例如，考虑分式(2/3)*(4/5)，我们可以将分子和分母相乘得到8/15、同样的，如果我们考虑分式(2/3)/(4/5)，我们可以将分子乘以分母的倒数得到(2/3)*(5/4)，然后进行乘法操作得到10/12，最后化简为5/66.使用加法和减法的性质在进行分式求值时，我们还可以利用加法和减法的性质来简化计算。
例如，考虑分式(2/3)+(4/5)，我们可以找到两个分数的公共分母，然后将分子相加得到一个新的分数作为结果。
百分数的分式运算
百分数的分式运算
技巧一：约分计算法
在先通分比较麻烦的情况下，我们可以先分子分母因式分解。
因式分解后进行约分，最后再通分计算。
可以通过加括号或化为分母为1的分数，将整数部分看成一个整体。
再进行化简通分得出答案。
技巧三：换元通分法
在分式中有相同的复杂项时，（如例题）可以通过换元的方法，使计算更加简单。
注意，整理结束后要将原式转换回来。
技巧四：顺次相加法
当分式项数过多、分母不同，不容易通分时。
我们采用顺次相加的方法提高正确率。
先把前两个分式计算整理，将所得结果和第三个式子通分化简，最后再和第四个式子通分化简。
技巧五：裂项相消法 1/n(n+1)=1/n-1/n+1
根据公式把每一项写成两个分式差的形式。
分裂后各项相加减只剩下头和尾，即可求得结果。
技巧六：消元法
用于分式中未知数过多的情况。
通过各未知数之间的数量关系化简并达到消元的目的，（如例题）
将含未知数的代数式代入所求式，化简约分，得到结果。
技巧七：倒数求值法
当分母的次数大于分子的次数时，可把分子分母颠倒。
利用已知条件，将其分子分母颠倒得到化简后的式子。
整理并将式子代入所求分式的倒数，化简得出结果。
注意: 结果要再次颠倒回来!
技巧八：整体代入法
根据已知条件，不需要将所有未知数都求出来，只需要得到我们所需要的整体结果。
如例题：将3个已知式子整理得出1/a+1/b+1/c的值。
再把所求式子化简成含有1/a+1/b+1/c的式子，代入求值即可得出结果。
分式求值方法经典归纳
分式求值方法经典归纳分式是数学中常见的一种运算形式，其计算方法有很多种。
本文将介绍一种经典归纳的方法来求解分式的值。
一、基础概念在介绍具体的求值方法之前，先来回顾一下有关分式的基础概念：1.分子和分母：一个分式由一个比例组成，其中分子表示分式的上部分，分母表示分式的下部分。
2.真分式和假分式：如果分数的分子小于分母，则称这个分数为真分式；如果分数的分子大于等于分母，则称这个分数为假分式。
3.通分：当两个分数的分母相同时，我们称它们的分数为同分母的分数。
为了方便比较同分母的分数的大小，我们可以对它们进行通分，即将它们的分母变为相同的数。
4.约分：当一个分数的分子和分母都能被一个相同的数整除时，我们可以约去这个相同的数，使得分数的值不变。
这个过程称为约分。
二、分式求值方法对于分式的求值，我们可以通过以下步骤来进行计算：步骤一：将分数进行通分，即将两个分数的分母变为相同的数。
步骤二：将分数的分子和分母进行运算，得到一个新的分数。
步骤三：对新的分数进行约分，得到最简分数。
步骤四：对最简分数的分子和分母进行运算，得到最终的结果。
接下来，我们通过几个例题来说明这个过程：例题一：求分式的值计算分式 $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$ 的值。
解：首先，对于两个分数，我们可以将它们的分母进行通分，将它们的分子和分母进行运算：$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} =\frac{5}{4}$然后，对于新的分数 $\frac{5}{4}$ ，我们可以对其进行约分，得到最简分数：$\frac{5}{4} = \frac{1}{\frac{4}{5}}$最后，对最简分数的分子和分母进行运算，得到结果为$\frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}$。
所以，原分式的值为 $\frac{5}{4}$。
例题二：求分式的值计算分式 $\frac{2}{3} - \frac{1}{5}$ 的值。
分式求值的几种常用方法
巩固练习：选用适当的方法
1 − 1 2 2 1、若 a + 2 + b+1 +c -2c+1=0，则 = a + b + c 17 2a − b + 3c = 2、若a : b : c = 3 : 4 : 5，则 6 a − 2b + c
1 1 2a − ab − 2b 3、若 - =2，则 = a b a − 3ab − b
x2 + x + 1 1 x 1 =7,即:x+ =6 解：由 2 = ，可知x ≠ 0, ∴ x + x +1 7 x x
x4 + x 2 + 1 2 1 ∴ =x + 2 +1 2 x x
1 2 =(x+ ) -2+1 x
=62 -1=35
x2 1 ∴ 4 = 2 x + x + 1 35
还能怎样求解？
1
a 1 a2 4、若 2 = ，求 4 的值. 答案：7 a +1 3 a +1 a+b-c a-b+c -a+b+c (a+b)(b+c)(c+a) 5、若 = = ，求 的值. 8或-1 c b a abc
练习：
1 x 2 1、已知:x +4x+1=0，求: 4 的值 14 x +1
2
a 2、若a -3a+1=0，则 4 = 2 a + 3a + 1
2
2
1 10
非负代数式之和为0 四、非负代数式之和为0 ☞
a+b 例4、已知:a +b +4a-2b+5=0，求: 的值 a-b
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式，掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。
以下是一些分式运算的常用技巧和方法：一、化简与约分：化简和约分是分式运算的基本操作，可以简化分式，使其更容易处理。
化简分式的方法有：1.因式分解：将分子和分母同除以其最大公因数，化简为最简形式的分式。
2.合并同类项：对于分子或分母中含有多项的情况，将同类项相加或相减，化简为简单的形式。
3.分解为部分分式：一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简，如等式两端分别乘以一个分子时。
二、通分：当两个分式的分母不同时，我们需要将分母化为相同的公分母，这个过程称为通分。
通分的方法有：1.找到两个分母的最小公倍数，在分子和分母同时乘上适当的倍数，使得两个分母相等。
2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时，可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母，再进行通分。
三、分式的加减运算：分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。
具体的步骤如下：1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。
2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数，使得它们的分母相同。
乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。
3.合并同类项，将分子进行相加或相减。
四、分式的乘除运算：分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。
具体的步骤如下：1.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母后化简。
2.除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，得到新的分子和分母后化简。
五、分式的倒数和幂运算：分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。
分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。
六、一些特殊的分式运算：除了以上常见的分式运算方法，还有一些特殊的分式运算，如：1.分式的比较大小：将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。
2.分式的求值：将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。
例谈分式计算求值的16种技巧
)
一
．
、
丁
， =
c
。
．
15
D
一
．
13
解析
视
，
z
与 Y 为 主元
z
=
为 常数 解 由两 条件 式 组
，
值 ；( 2 ) 已 知
解析
÷
+
五
1
=
5
y
求
琶 筹
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一
石 十 二髫， 十 ' ， ，
的值
成 的方 程 组 得
． ．
3 z ，Y
2z
．
原式
5
=
( )
1
一
z
+
Y
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2
互 √ xy
1
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故原 式
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生 ±L
”
，
x
+
2y
一
7z
=
0
(x yz
# 0
0 ) 贝
，
不 得 要 领 常常 无 功 而 返 为 此 本 文 归 纳介 绍
，
，
16
种 常用
方 法 与 技 巧 供参 考
，
代数 式
A
．
技巧
1
整 体 代换 法
-
．
例
1
( 1 ) 已知
x
=
万
，
一
1 Y
，
=
A
+
1
，
求生
了
．
+
上
互
的
丢 糍 ÷
一
的值 等 于 (
B
19
分式的运算技巧
分式概念形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。
注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。
无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。
由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。
方法：数看结果，式看形。
分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
代数式分类整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无理式和有理式统称代数式。
分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：（A,B,C为整式，且B、C≠0）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
分式的乘法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
分式求值的几种常用方法
分式求值的几种常用方法分式求值是指解决一个分式的数值的过程。
分式由分子和分母组成，分数线表示两者的除法关系。
求解分式的数值可以使用几种常用的方法。
下面将介绍一些常用的方法。
1.分母与分子同乘（常用于消除分母中的变量）这种方法适用于分母中有变量的情况，为了简化计算，可以通过同乘一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同乘(a+b)，得到(a+b)*(a+b)/(a-b)。
这样，原先的分式变为了一个更简单的形式，可以更容易地求解。
2.分子与分母同除（常用于消除分子中的变量）这种方法适用于分子中有变量的情况，同样为了简化计算，可以通过同除一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同除(a+b)，得到(a+b)/(a+b)*(a+b)/(a-b)。
同样地，原先的分式变为了一个更简单的形式。
3.分解分子或分母（常用于将复杂的分式化简为简单的分式）当分子或分母中出现更复杂的表达式时，可以将其进行分解，将分式化简为简单的分式。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子展开为(a+b)=a+b，将分母展开为(a-b)=a-b，然后将其带入分式，得到(a+b)/(a-b)=(a+b)/(a-b)。
这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。
4.改变分割点（常用于化简复杂的分式）有时，将分式中的表达式写成更简单的形式，可以更好地进行计算。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将(a+b)分别分成a和b的和，将(a-b)分别分成a和b的差，即得到a/(a-b)+b/(a-b)。
这样，原先的分式变为了两个简单分式相加的形式，可以更容易地求解。
5.用分母的乘法倒数取代除法（常用于取消除法运算）当分式中存在除法运算时，可以用乘以分母的倒数来替代除法。
例如，对于分式1/(a+b)，可以将其写为1*(a+b)^（-1），然后使用指数的乘法法则将指数变为负数，得到(a+b)^-1、这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。
分式的运算技巧
分式概念形如〔A、B是整式，B中含有字母〕的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。
注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。
无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。
由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。
方法：数看结果，式看形。
分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
代数式分类整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无理式和有理式统称代数式。
分式的根本性质分式的分子和分母同时乘以〔或除以〕同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：〔A,B,C为整式，且B、C≠0〕运算法那么约分根据分式根本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
约分步骤：单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
分式的乘法法那么：〔1〕两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
用字母表示为：分式的加减法法那么：同分母分式的加减法法那么:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
分式求值的方法
分式求值的方法
分式求值是数学中比较常见的一种计算方法，它主要是指对于一个分数式子进行化简和计算的过程。
下面将介绍分式求值的基本方法和一些常见的技巧。
一、基本方法
1. 首先要对分式进行化简，把分子分母中的公因数约掉，使得分式的形式更加简单。
2. 然后要找到分式的最简公共分母，把分式统一为相同的分母，这样就可以进行加减乘除等运算了。
3. 进行加减乘除等运算后，最后还要对结果进行化简，把分式中的公因数约掉，得到最简形式。
二、常见技巧
1. 对于分式中含有多项式的情况，可以使用分解因式的方法进行化简。
2. 对于分式中含有根式的情况，可以使用有理化分母的方法进行化简。
3. 对于分式中含有三角函数的情况，可以使用三角恒等式进行化简。
4. 对于分式中含有指数的情况，可以使用指数运算的规律进行化简。
总之，分式求值是一种基本的数学技能，掌握了基本的方法和技巧，就可以轻松应对各种题目。
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分式求值的常用技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
分式求值的常用技巧
在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：
1、 应用分式的基本性质
例1 如果12x x
+=，则2421x x x ++的值是多少
解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=.
22221111112131()1x x x x
===-+++-. 2、倒数法
例2 如果12x x +=，则2421x x x ++的值是多少 例3
解：将待求分式取倒数，得
42222221111()1213x x x x x x x
++=++=+-=-= ∴原式=13
. 3、平方法
例4 已知12x x +=，则221x x
+的值是多少？ 例5
解：两边同时平方，得
22221124,42 2.x x x x
++=∴+=-= 4、设参数法
例6 已知0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc ac a b c
+-+-的值.
解：设235
a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===.
∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例7 已知
,a b c b c a ==求a b c a b c
+--+的值. 解：设a b c k b c a ===，则 ,,.a bk b ck c ak ===
∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=，
∴31,1k k ==
∴a b c ==
∴原式= 1.a b c a b c
+-=-+ 5、整体代换法
例8 已知113,x y -=求2322x xy y x xy y
+---的值. 解：将已知变形，得
3,y x xy -=即3x y xy -=-
∴原式=2()32(3)333.()23255
x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===----- 6、消元代换法
例9 已知1,abc =则
111
a b c ab a bc b ac c ++=++++++ . 解：∵1,abc =∴1,c ab =
∴原式=
111111a b ab ab a b ab b a ab ab
++++⋅++⋅++ 1111a ab ab a ab a a ab
=++++++++ 1 1.1
ab a ab a ++==++ 7、拆项法
例10 若0,a b c ++=求111111()()()3a b c b c a c a b ++++++的值. 解：原式=111111()1()1()1a b c b c a c a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111111111()()()a b c a b c a b c a b c =++++++++ 111()()a b c a b c
=++++ 0a b c ++=∵
∴原式=0.
8、配方法
例11
若11a b b c -=+-=求2221a b c ab ac bc
++---的值.
解：由11a b b c -=-=-得2a c -=. ∴2222a b c ab ac b ++---
2221()()()2
a b b c a c ⎡⎤=
-+-+-⎣⎦ 11202
=⨯= ∴原式=16
.
联系电话：。