微分几何 §2 曲面的第一基本形式

给出两族曲线
Adu Bdv 0,Cu D v 0,
如果他们正交，可以得出
E F ( dv v ) G dv v 0,
du u
du u
即 E F( A C ) G A C 0, B D BD
或 EBD F ( AD BC) GAC 0.
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另外如果给出一族曲线
§2 曲面的第一基本形式
2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 2.2 曲面上两方向的交角 2.3 正交曲线族和正交轨线 2.4 曲面域的面积 2.5 等距交换 2.6 保角变换
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2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长
给出曲面S ：r=r(u,v)
上的曲线C u：=u(t),v=v(t)
角
有表达式
cos
ru grv
E
ru rv
EG
注：曲面的坐标网正交的充要条件是F=0
。
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例3 证明旋转面
r {(t) cos,(t)sin, (t)}
的坐标网是正交的。
解：
r t
{（t），cos，（t），sin，（t），}
r {（t）sin，（t）cos，0}
F r grt 0
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2.3正交曲线族和正交轨线
则有 ds2 Edu2 2Fdudv Gdv2.
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设曲线（C）上两点 A(t0 ),B(t1)，则弧长为
s t1 ds dt t1 E( du )2 2F du dv G( dv )2 dt.
t0 dt
t0
dt
dt dt dt
（*）是关于微分 du,dv的一个二次形式，称
为曲面 S 的第一基本形式，用 表示：
rv usin v, ucosu, a
E ru ru 1, F ru rv 0, G rv rv u2 a 2
I du2 (u2 a 2 )dv 2
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2.2曲面上两方向的交角
前面提过曲面 r r(u, v上) 一点 (u0, v0的) 切方向
称为曲面上的方向，表示为
dr=r（u u0,v0）du r（v u0,v0）dv
给出一方向 dr 就等于给出一对值 du : dv，由于 方向和 dr 的长度无关，所以给出 du : dv就能确 定曲面上的一方向。以后用 (d), dr 或 du : dv
表示曲面上的一方向。
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给出曲面上两个方向 (du : dv) 和 ( u : ，v)我们
把向量 dr=rudu rvdv和 r=ru u rv v
或 r=r[u(t),v(t)].
对于曲线C 有
dLeabharlann Baidu dt
ru
du dt
rv
dv dt
或者 dr=rudu rvdv
若以s表示曲面上曲线的弧长,考虑C的弧长有
ds=|r，| dt
2
则有
ds2 =dr2 =(rudu rvdv)2 ru2du2 2rurvdudv rv2dv2.
令
E ru ru , F ru rv ,G rv rv ,
间的交角称为方向 (du : dv)和 （u :间v）的角。
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求方向 (d) 和 ( ) 间的角 。由于
drg r dr r cos,
所以 cos drg r . dr r
由于dr=rudu rvdv, dr2 Edu2 2Fdudv Gdv2,
r=ruu rv v, dr2 Eu2 2Fu v G v2, drg r (rudu rvdv)g(ruu rv v) Eduu F(du v udv) Gdvv,
sin，R cos
cos，0}
r {R sin cos， R sin sin，R cos}
E
r
gr
R2 cos2 ，F
r
gr
0，G
r gr
R2
I R2 cos2 d 2 R2d 2
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例 2 求正螺面的第一基本形式。
解： S : r {ucosv, usin v, av}
ru cosv,sin v,0,
I Edu2 2Fdudv Gdv2.
它的系数
E ru ru , F ru rv ,G rv rv ,
称为曲面 S 的第一类基本量。
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对于曲面的特殊参数表示 z z(x, y) ，有
r {x, y, z(x, y)},
则
rx
{1, 0,
p},
p
z x
,
由（2.19）有
z ry {0,1, q}, q y .
Adu Bdv 0,
则另一族和它正交的曲线称为这族曲线的正交轨线。
可以其看出正交轨线的微分方程是
E F ( A v ) G( A) v 0,
B u
B u
即
v BE AF . u BF AG
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因此第一基本量 E, F,G 满足不等式
E>0,G 0, EG F 2 0,
第一基本形式是正定的。也可有 ds2 直接得出。
注：曲面的第一基本形式 是不变量（参数变换下 不变）
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例1 求球面
r {R cos cos, R cos sin, Rsin}
的第一基本形式。
解：r
{R cos
E rx rx 1 p2, F rx ry pq,G ry ry 1 q2,
曲面的第一基本形式为
（1+p2）dx2 2 pqdxdy (1 q2 )dy2.
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由第一类基本量定义知
E ru ru 0,G rv rv 0,
又根据拉格朗日恒等式可知第一基本形式的判别
式 EG-F2 =ru2rv2 -(ru grv )2 =(ru rv )2 0.
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由此得 cos 的表达式
cos
Eduu F(du v dvu) Gdvv
.
Edu2 2Fdudv Gdv2 Eu2 2Fu v G v2
由上式推出曲面上两个方向(du : dv和) ( u : v垂) 直的
充要条件是 Eduu F(du v dvu) Gdv v 0
特别地有坐标曲线 u 曲线 和v 曲线 的交