流体流动特性

az

w t
u
w x
v
w y

w
w z
5
3.2 流体流动的速度场
表示成矢量形式，即
a DV V V V
3-7
Dt t
欧拉方法中，流体质点的加速度由两项构成
(a)当地加速度 V : 固定点上流体质点的速度随时间的变 t 化率，反映了流场的非定常性引起
(b) 迁移加速度V V : 流体质点运动改变了空间位置而引起
x，y，z值不变， 改变t，表示空间某固定点的速度随时间的变
化规律。
t不变 ，改变x，y，z，代表某一时刻，空间各点的速度分布。
2
3.1 流场及其描述方法
3. 两种方法的比较
拉格朗日法
欧拉法
表达式复杂
表达式简单
不能直接反映参数的空 直接反映参数的空间分
间分布
布
不适合描述流体元的运 适合描述流体元的运动
【例3-1】 已知用速度场u=2x，v=2y, w=0。求质点的加速度及流场中（1，
1）点的加速度。
【解】
ax

u t

u
u x
v
u y

w
u z

4x
ay

v t
u
v x
v
v y

w v z

4y
az 0
a 4xi 4 yj
在（1，1）点上， a 4i 4 j
类似的方法可得到该流体质点的加速度场
1
3.1 流场及其描述方法
2. 欧拉法
又称局部法，是以流体质点流过空间某个点上时的运动特性， 来研究整个流体的运动的。所以流体质点的流动是空间点坐标
（x，y，z）和时间t的函数，任一参量B可以表示为
B=B (x，y，z，t)
式中，x,y,z,t 称为欧拉变量。是与流体质点无关的空间坐标值。
u dx v dy
dt
dt
w dz dt
流体质点在x 方向上的加速度分量为：
所以
ax

Du Dt

u t

u x
dx dt

u y
dy dt

u z
dz dt
ax

u t

u
u x
v
u y

w
u z
同理
ay

v t
u
v x
v
v y

w v z
t
et
d
t


et
c2

(t
1)et


c2et

t
1
由t = 0时刻 x a, y b 可得 c1 a 1, c2 b 1
代回积分式，可得流体质点轨迹方程为
x (a 1)et t 1 y (b 1)et t 1
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3.2 流体流动的速度场
14
3.2 流体流动的速度场
【例3-2】 有一流场，其流速分布规律为：u= -ky，v= kx，w=0，试求 流线方程。 【解】 由于w=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为
的速度变化率，反映了流场的非均匀性
6
3.2 流体流动的速度场
当地加速度
迁移加速度
7
3.2 流体流动的速度场
D 称为随体导数（质点导数）——表示跟随流体质点的导数
Dt
用欧拉法求流体质点任意物理量的时间变化率：
DB B (V )B
3-8
Dt t
当地导数，局部导数或时变导数，表示流体质点没有空间
对于具体的流体质点来说x，y，z有双重意义：一方面它代表 流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。 也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位移的变量，它也 是时间t的函数
x= x (t) y= y (t) z= z (t)
——流体质点的运动轨迹方程
4
3.2 流体流动的速度场
上式对时间求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
3.1 流场及其描述方法
在t时刻，某质点a,b,c 的位置可表示为：
x x(a,b,c,t) y y(a,b,c,t) z z(a,b,c,t)
该流体质点的速度场为： u x u(a, b, c, t) t v y v(a, b, c, t) t w z w(a, b, c, t) t
dx dy dz u(x, y, z, t) v(x, y, z, t) w(x, y, z, t)
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3.2 流体流动的速度场
13
3.2 流体流动的速度场
流线的基本特性 (1) 在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间 变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线 和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间 变化，故流线和迹线不相重合。 (2) 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况 流线不能相交和分支。（驻点或奇点除外） (3) 流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。 (4) 流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的 地方，表示该处的流速较小。
动变形特性
变形特性
拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析 方法
分别描述有限质点的轨 同时描述所有质点的瞬
迹
时参数
3
3.2 流体流动的速度场
速度场——任一瞬时由空间点上速度矢量构成的场， 又称速度分布。
1. 流体质点运动的速度和加速度 在直角坐标系中采用欧拉方法描述的速度函数为
V u(x, y, z,t)i v(x, y, z,t) j w(x, y, z,t)k
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3.2 流体流动的速度场
2.迹线和流线 迹线——某一流体质点在不同时刻所占有的空间位置连接成 的空间曲线，或流体质点的运动轨迹。与拉格朗日法相对应
其数学表达式为：
dx u, dy v, dz w
dt
dt
dt
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3.2 流体流动的速度场
流线——某一时刻，各点的切线方向与通过该点的流体质点 速度方向相同的曲线。 其数学表达式为：
t
位移时，物理量对时间的变化率 (V ) 迁移导数或位变导数，表示流体处于不同位置时物理量
对时间的变化率。
注：1. 迁移导数虽然是参数在空间的分布，但并不是参数对 坐标的导数，变量仍然是t, 通过中间变量x,y,z 对时间求导。
2. 与拉格朗日坐标系下质点导数的比较
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3.2 流体流动的速度场
【例】已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 u wk.baidu.com x t, v y t
求：在t = 0时刻位于点（a, b）的流体质点的运动轨迹。
【解】由流体质点的运动轨迹方程得
u dx x t dt
v dy y t dt
积分得：
x et c1
t
et
d
t

et
c1

(t
1)e t


c1et
t
1


y et c2