量子4德布罗意波

0e
i ( E t px )
y
o
x
对沿任意方向传播的自由粒子波函数
0e
i ( E t p r )
y
r
x
o
三、波函数的统计解释
概率波：1926年玻恩（M.Born,德国人1882~1970） 对比光波提出了关于德布罗意波的统计解释，认为
粒子在空间位置出现的概率具有波动性的分布。
( r, t ) 或 (x, y, z, t)
波函数的基本特点:
1、是复函数；
2、 没有直接的物理意义。
称为概率幅 (probability amplitude)
三、用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 1.光的双缝衍射实验
光的双缝衍射图样是两条缝都打开时，单缝衍射图样的相干 叠加。
2.机枪的双孔实验
若使一个电子反复多次通过双缝，会出现相同的衍射图样。
思考：怎样理解电子的双缝衍射实验呢?
(1)是一个电子的一部分通过一个缝，另一部分通过另一缝， 这两部分干涉形成衍射图样吗？ 这和电子的整体性(不可分割性)矛盾 (2)两个缝是否同时打开对衍射图样有影响吗？
· 双缝同时打开时，概率波预言的是同时存在电子通过两条缝的 概率，两条缝同时起作用，无法预言电子从哪条缝通过。
dw 0
2 *
2
又
dw d dxdydz
dw 0 d d d
2 * 2
选适当比例 系数，使
概率密度
dw w 2 * d
波函数必须满足的标准条件： 1、单值性 归一化条件： 2、有限性 3、连续性 。


2
dV 1
2.“波是由粒子组成的”
· 认为波是大量粒子组成的；
· 波动性是大量粒子相互作用而形成的，
· 但这和单个粒子就具有波动性相矛盾。
3.单电子双缝实验
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝。
使电子一个一个(间隔时间很长)地通过双缝，底片上出 现一个一个的点；开始时底片上的点似无规则分布，随着 电子增多，逐渐形成双缝衍射图样，来源于 “一个电子” 所具有的波动性，而不是电子间相互作用的结果。
德布罗意在1924.11.29年德布罗意把题为“量子理论的研 究” 的博士论文提交给巴黎大学。当时光的波粒二象性刚被 证实，他把这种二象性推广到物质粒子，解决了原子内的电子 运动问题，为此获1929年诺贝尔物理学奖。后来E.薛定谔将德 布罗意的物理概念用数学形式表示，而导出量子力学中最基本 的薛定谔方程，建立波动力学。
h h h 1 v2 / c2 p mv m0 v
m0c 2 E m c2 h h h 1 v2 / c2
或
p mv h / E m c2 h
实物粒子的运动，既可用动量、能量描述，也可以 用波长和频率描述。
实物粒子的波动既不是机械波也不是电 磁波，它被称为“物质波”或“德布罗意波”。
只开上缝时, 电子有一定的概率通过上缝，其状态用 1 描述,电子的概率分布为P1 =|1|2
(相应于上缝的单缝衍射图样) 只开下缝时, 电子有一定的概率通过下缝，其状态用2 描述,电子的概率分布为P2 =|2|2 (相应于下缝的单缝衍射图样) 两缝都开时，电子可通过上缝也可通过下缝，通过上、下缝各 有一定的概率 总的概率幅分布 12 = 1 + 2 (此时粒子的状态用1 + 2描述) 概率分布 |12 |2= |1 + 2|2 |1|2 + |2|2
写为复数形式
y ( x, t ) y0 cos 2 ( t )
x
y( x, t ) y0e
x i 2 (t )


对沿x方向传播的单能自由粒子， 相当于一个单色平面波 考虑到：
( x, t ) e
0
x i 2 ( t )

p
h

wk.baidu.com
E h
对沿x方向传播的自由粒子波函数
§1-4 德布罗意假设
一、德布罗意假设
电子衍射
德布罗意de Broglie，Louis Victor 法国物理学家。1892年8月15日生于下塞纳 的迪那普 ，卒于1987年3月19日。1924年获 得巴黎大学博士学位。1928年起任母校庞加 莱学院理论物理学教授直至 1962 年退休 。 1933年当选为法国科学院院士。
对光辐射(电磁波)，爱因斯坦1917年引入统计 性概念
波动观点：
光强

E2
粒子观点：光强 的概率
某处光子数 某处发现一个光子
E 2 某处发现一个光子的概率 对物质波，玻恩1927年提出德布罗意波的概率解释。 物质波 描述粒子在各处被发现的概率
德布罗意波是概率波
2.波函数(wave function) 量子力学中引入波函数
少女？ 老妇？
该图同时包含着两种 图象信息，你以某种 看法观察，会看到图 中是一位少女，你换 一种看法观察，则会 看到图中是一个老妇， 两种图象不会同时出 现在你的视觉中。此 画可以用来“比喻” 微观粒子的“二象 性”。
§1-7 波函数的统计解释
一、关于粒子和波的分析
1、波包说：认为粒子实为波包。
波包说夸大了波动性一面，抹杀了粒子性一面。 2、疏密波说：认为波动是大量粒子分布在空
间的一种疏密分布。
疏密波说夸大了粒子性一面，抹杀了波动 性一面。
二、波函数
用以描述物质波的数学表达式。
自由粒子：没有外场作用的粒子，它具有确定的能量值 E和确定的动量值p。其物质波的频率和波长也都不变。
对沿x方向传播的平面波
是 概率幅叠加而不是概率叠加
交叉项产生了干涉效果
可见，干涉是概率波的干涉，是由于概率幅的线性叠加产生的。 即使只有一个电子，当双缝都打开时, 它的状态就要用12 = 1 + 2来描述。两部分概率幅的叠加就会产生干涉。
微观粒子的波动性，实质上就是概率幅的相干叠加性
对经典粒子，则是概率直接叠加
(3)是同时通过两条缝的两个电子相互干涉吗？ 波动性是单个电子的属性，不是电子间相互作用形成的。 爱因斯坦对玻恩假设曾持不同观点，他认为完善的理论不 应是统计性的。他在给玻恩的信中写道，“在任何情 况下，我相信，上帝是不掷骰子的”。 玻恩对了，爱因斯坦错了！
若使一个电子反复多次通过双缝，会出现相同的 衍射图样。
7个电子在观察 屏上的图像 3000
100个电子在 屏上的图像
20000
70000 屏上出现的电子说明了电子的粒子性
随着电子数目的增多在屏上逐渐形成了 衍射图样。 说明 “一个电子”就具有的波动性
二、概率波 统计性把 波 和 粒子 两个截然不同的经典概念联 系了起来 1.概率波
实物粒子，v <<c,不考虑相对论效应
p2 Ek 2m
h h p 2m Ek
例： 以电子为例，电子质量 m= 9.110-31kg，加 速电压为U，电子动能
1 2 mv eU 2
2eU v m
h h 1.225 nm mv 2emU U
U 150V 0.1nm
1 2 mv 2
p mv 2m
2 1.67 10
4.55 10
24
27
6.17 10
1
21
m kg s
h 1.46 1010 m 0.146 nm p
§1－6 概率波(几率波)(probability wave)
· 怎样理解波粒二象性? 物质波的本质？ · 怎样把粒子性(颗粒性，集中于一点)与波动性 (连续性，扩展于空间)统一起来？ 一、历史上两种典型的看法 · 很容易把微观粒子看作是经典粒子和经典波的混合体。 1.“粒子是由波组成的” · 把粒子看作是由很多波组成的波包， · 但波包在媒质中要扩散、消失(与电子是稳定的矛盾)。
电子枪
电子束
金箔
屏
波函数的平方

2
*
与光波类似，物质波的强度也应与波函数的平方成正 比。物质波强度大的地方，也即是粒子分布较多的地方。 粒子在某一点分布数目的多少，与单个粒子在该点处出现 的概率成正比。
波强∝A2 粒子出现的 2 概率∝
光源
粒子源
因此，在某一时刻，在空间某一地点，粒子出 现的概率正比于该时刻、该地点的波函数的平方。
2 2
粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置 和相应的动量
海森伯 Werner Karl Heisenberg 德国人 1901-1976 创立量子力学
获得1932年诺贝
尔物理学奖
二、不确定关系的简单导出
被加速的电子通过狭缝a
x


h P
粒子的动量值由加速电压决定
a
P
I
假设粒子均打在中央亮区(75%的粒子) 粒子进来往哪走？x方向的动量范围？ 单缝衍射第1级极小满足 sin a
d 1μ m
0.05 A
o
后来证实，原子、分子和中子等微观粒子也具有 波动性。可见，一切微观粒子都具有波动性。
德布罗意获1929年 诺贝尔物理奖
戴维逊、汤姆逊 共获1937年 诺贝尔物理奖
例题1：计算25℃时，慢中子的德布罗意波长。
3 3 23 21 解： kT 1.38 10 298 6.17 10 J 2 2
3.正确理解微观粒子的波粒二象性
1) 粒子性
•整体性，
具有集中的能量E和动量P
•不是经典的粒子 没有“轨道”概 念 2) 波动性 •“可叠加性”
有“干涉”“衍射”“偏振” 现象 •不是经典的波 不代表实在物理量的波动
3)结论： 微观粒子在某些条件下表现出粒子性 在另一些条件下表现出波动性 两种性质虽寓于同一体中 却不能同时表现出来
对量子化假设的解释：
当电子在某个圆轨道上绕核运动时，如果圆轨道长 度恰好是电子的德布罗意波长的整数倍，则可形成稳定 的驻波，此时电子的运动状态是稳定的，对应于原子的 定态。
2r n
n 1,2,3,

h h 2 r n n p mv
h mvr n n 2
正是轨道角动量量子化的条件
U 10 V 1.2210 nm
4 2
与x射线波长数量级相同 电子显微镜原理
二、电子衍射实验
1927年戴维孙和革末以电子射线代替x射 线进行了晶体的衍射实验。
电子枪
探测器
a


晶格常量a 晶面间距
d a sin

2
干涉加强的条件 或
2d cos 2a sin cos k 2 2 2 1.225 a sin k 代入 nm U
· 子弹对双孔乱射，观察屏上枪眼的强度分布。
两孔都打开时的强度分布是两孔分别打开时强度的直接相加 n12 = n1 + n2 无干涉现象。
以上即经典波和经典粒子两个截然不同的概念的具体体现。
3. 电子的双缝衍射实验
可使电子一个一个(间隔时间很长)地通过双缝，随着电子 增多，逐渐形成双缝衍射图样，来源于 “一个电子”所 具有的波动性，而不是电子间相互作用的结果。
§1-8 不确定度关系
一、不确定关系的表述和含义
二、不确定关系的简单导出
三、能量与时间的不确定性关系 四、不确定性关系的应用举例
一、不确定关系的表述和含义
海森堡（Heisenberg）在1927年提出微观 粒子运动的基本规律 包含多种表达式 其中两个是
ΔPx Δx Δt ΔE
第1个式子说明:
说明: 例：m=1g，v=1cm/s的实物粒子
h 6.62 10 29 3 6.62 10 m 2 mv 10 10
宏观物体的德布罗意波长极短，很难显示出 来，所以平时觉察不到宏观物体的波动性。
34
h 太小了 使得宏观物体的 波长小得难以测量 宏观物体只表现出粒子性
或说 h 量子物理过渡到经典物理
1924年德布罗意对比光的粒子性与波动性的关系式
h
德布罗意大胆假设：
p
h

实物粒子和光子一样，也具有波粒二象性。如 果用能量和动量p来表征实物粒子的粒子性，则可 用频率和波长来表示实物粒子的波动性。
德布罗意关系式：
p
h

E h
这样,对质量为m,以速度v运动着的实物粒子，应有
50
1.225 U k a sin
当U＝54V时在θ＝50.9°方 向有一极大值。 与实验值符合。
戴维孙－革末的实验结果
电子枪
电子束 金箔
屏
汤姆逊电子衍射实验
•约恩逊(Jonsson)实验（1961）
电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验
基本 数据
a 0.3μ m V 50kV