常微分方程(王高雄)第三版

4e2x
c1 c3 c3 故yc1ex c2ex c3e2x 3是微分方程 y'"2y" y' 2y6.的通.解
注2: y (x,c1, ,cn)是微分方程的
F(x,
y,
dy, dx
,
dny dxn )
0
的通解,并不表示 y (x,c1, ,cn)包含了
该微分方程的所有 . 解
注3: 类似可定义方程的隐式通解,
(5) z z z ; x y
(6) 2u2uxyuz0. x2 y2
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1.常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，
则这样的微分方程称为常微分方程.
如 (1) dy 2x; (2x)d y yd0 x; dx
(3) dd22xt txddxt3x0;
d4x d2x (4) d4t5d2t3xsitn;
(c 8 3 8 c3 2 c3 2 c3)e .2x 6 6
故 yc1exc2exc3e2x3是 微分y方 '"2程 y"y' 2y6的.解
又由于
c1 '
c2 '
c3 '
ex ex
ex e x
e2x 2e2x 6e2x 0
c1 c2 c3 '' '' ''
ex ex
是非线性微分方程.
2.n阶线性微分方程的一般形式
d d x nn y a 1 (x )d d x n n 1 y 1 L a n (x )yf(x ) (2 )
这a 里 1(x) , an(x),f(x)是 x的已知 . 函数
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四 微分方程的解
定义4 如果y函 (x数 ),xI,满足:条件 (1y)(x)在 I上有直 n阶到 的连;续导数
y" y sinxsinx 0
故 ysixn 是微y分 "y方 0在 (程 , ) 上的.一
同y 理 co x是 s 微y" 分 y方 0在 (程 , ) 上的.
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1 显式解与隐式解
如果关系式(x, y) 0所确定的隐函数
y (x),xI为方程
F(x,y,
dy dx
,
,
dny dxn
)
0
的解,则称(x, y) 0是方程的一个隐式解.
都是常微分方程 .
2.偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程.
如 (5) z z z ; x y
(6) x2u2 y2u2xyuz0.
都是偏微分方程.
注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称 为微分方程或方程.
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二、微分方程的阶
定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数称为微分方程的阶数.
定义4所定义的解为方程的一个显式解. y (x)
注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.
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例如 对一阶微分d方y程x dx y
有显式解:
y 1x2和 y1x2.
和隐式解:
x2 y2 1.
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2 通解与特解
定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所 含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的 阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.
xIFx xx x ( 2 ) 对 有 : ( , ( ) ( , ) , ( n) ( ) 0 ) ,
则y称 (x为 ) 方F程 (xd d,yy x ,,,d Baidu Nhomakorabeann yx)0
在 I上的一 . 个解
.
例2 验证 ysinx,ycoxs都是微分方程 y" y0在(,)上的一个 . 解
证明: 对ysinx,由于 y' coxs,"ysin x 故 对 x ( , ),有
如: (1) dy 2x (2x)dyd0 x
dx
是一阶微分方程； (3) dd22txtxddxt3x0 是二阶微分方程；
(4) d d44 xt5d d22 xt3xsitn 是四阶微分方程.
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n阶微分方程的一般形式为
F(x,d d y,y x,d dnn yx)0 (1)
这里 F(x,ddyyx,,,ddnxyn )0是x,ydd,yx,,ddnxyn 的已知, 而且一定ddn含 xny,有 y是未知,函 x是数 自变 . 量
§1.2 基本概念
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一、常微分方程与偏微分方程
定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微 分）的关系式称为微分方程.
例1：下列关系式都是微分方程
(1) dy 2x; dx
(2x)d y yd0 x;
(3) dd22txtxddxt3x0;
(4) d4x5d2x3xsitn; d4t d2t
c1
c2 cn
(,, ,(n1)) (c1,c2, ,cn)
c1
c2 cn 0
(n1) c1
(n1) c2
(n1) cn
其中 (k)表示ddkxk .
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例3 验证 yc1exc2exc3e2x3是微分方
y'"2y"y' 2y6 的通. 解 证明: 由于 y' c1 exc2ex2c3e2x
如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所 含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的 阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解.
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定义6 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称为方程的特解.
例如: yc1sincx2cosc1,xc2为 , 任常数
是微分y"方 y程 0的通 . 解
n阶微分方程通解的一般形式为
y(x,c1,,cn)
其中c1, ,cn为相互. 独立的任.常数
注1: 称函 y数 (x,c1,,cn)含n有 个独立 ,是常 指
存(在 x,c1,,cn)的某一 ,使邻 得域 行列
y''c1 ex c2 e x4 c3 e2x, y'''c1 exc2e x 8 c3 e2x 故 y'"2y"y' 2y (1 c exc2ex8c3e2x) 2 (1 c exc2e x4 c3 e2x)
(1 c exc2ex2c3e2x) 21 e (x cc 2 e x c 3 e2 x 3 ) (c1 2 c1 c1 2 c1)ex (c 2 - 2 c 2 c 2 2 c 2 )e x
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三 线性和非线性
1.如果方程
F(x,ddyyx,,,ddnxny)0
的左端y为 及dy,, dx
ddnxny的一次有理 , 式
则称其n为 阶线性方. 程
如 (1) dy 2x (2x)dy yd0 x dx
d4x d2x (4) 5 3xsitn
是线性微分方程.
d4t d2t
.
不是线性方程的方程称为非线性方程 如 (3) dd22txtxddxt3x0