数学物理方法(王元明)第二章2
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z→∞时，可以只保留 f (z)–f (b) 的展开式中不为零的第一项，
即
f(z)f(b )1f(n )(b )(z b )2 o (z b )2
2 !
令 zbrie,f(b)aie 0代入(2-2-9)式，略去高次项，得到
f(z) f(b ) a 2 2c ro 2 s0 ) ( ia 2 2s ri2 n 0 () (2-2-10)
所谓“沿某一方向穿过 b 点”，就是先固定一个θ值，让 r从大于零减小到零，然后将θ加大π，让r从零增加到大于零。 如果对于相应的θ，(2-2-10) 式的实部取最大的正值，则在这 一方向附近，f (z)上升最陡；如果对于相应的θ，(2-2-10)式 的是不取绝对值最大的负值，则在这一方向附近，f(z)下降 最陡，因此：
解：我们用待定系数法求这个展开式。设在|z| <π /2 内， secz可展开成
secza 0 a 1 z a nzn
但另一方面，在 |z| <π /2 内，有
sezc 1
1
cozs 1z2 z4
2 4!
因此在 |z| <π /2 内，有
1 (a 0 a 1 z a nzn )1 ( z 2 2 !z 4 4 ! )
a. 幂级数在其收敛圆内解析； b. 解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的。 (2) 如果f(z)在D内有一阶导数存在，则f(z)可在D内每一点的 邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说，f (x) 的一
阶导数存在，它的二阶或高阶导数可能不存在，因此 f(x) 就不可能展开成泰勒级数。
f(k)(0)m (m1) (mk1)
k!
k!
代入 (2-2-4) 得
( 1 z ) m 1 m m ( m z 1 ) z 2 m ( m 1 ) ( m k 1 ) z k
【免费下载】数学物理方法讲义
0
ih t
复数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h2 2m
x, y, z, t
1. 数的概念的扩充
正整数（自然数） 1，2，…
负数
整数
运算规则 ＋，－，×，÷， 2 ，
－ 1 2 1
÷2
2
x2
0，-1，-2，…
…，-2，-1，0，1，2，…
2
y 2
1 0.5 1 0.333
有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数
无理数 无限不循环小数
实 数 有理数、无理数
虚数 复数
2. 负数的运算符号
2 1.414
1 i yi
实数、虚数、实数＋虚数
x2 1
x i
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
数学物理方法.PDF
第一章 典型的推导即基本概念本章讨论偏微分方程及其定解问题有关的基本概念和物理模型，讨论某些一般性的原理、方法。
这样，对从总体上了解课程的特点、内容、方法有重要的作用。
由于我们要讨论的这些偏微分方程都来自物理问题，因此我们先研究如何推导出这些方程，并给出相应的定解条件。
最后简单地介绍一下二阶线性偏微分方程的分类。
1.1弦振动方程与定解条件数学物理方程中研究的问题一般具有下面两个：一方面是描述某种物理过程的微分方程；另一方面是表示一个特定的物理现象的具体的表达式。
我们通过推导弦振动方程引入这些概念。
1.1.1方程的导出设有一根理想化的弦，其横截面的直径与弦的长度相比非常小，整个弦可以任意变形，其内部的张力总是沿着切线方向。
设其线密度为ρ，长度为l ，平衡时沿直线拉紧，除受不随时间变换的张力作用及弦本身的重力外，不受外力的影响。
下面研究弦作微小横向振动的规律。
建立坐标系如图1-1，所谓横向，是指运动全部在某一包含x 轴的xu 平面内进行，且在振动过程中，弦上各点在x 轴方向上的位移比在u 轴方向上的位移小得多，前者可以忽略不计。
因此用时刻t 、弦上的横坐标为x 的点在u 轴方向上的位移),(t x u 来描述弦的运动规律。
所谓“微小”，不仅指振动的幅度),(t x u 很小，同时认为切线的倾角也很小，即1<<∂∂xu， t 时刻，任选一段弦，其每一点的位置如图1-1所示。
其中MN t x u =),(，且弧s M M d =′现在建立位移),(t x u 满足的方程。
首先，我们将弦段M M ′上的运动，近似认为一个质点的运动。
根据牛顿运动定律，我们得到在x 轴方向，弦段M M ′受力总和为α′+α−=cos cos T T F x因为弦只作横向振动，在x 轴方向没有位移，因此合力为0，即0cos cos =α′+α−T T （1.1.1）由于是微小振动，因此α′α,近似为0，因此由泰勒公式L ++−=!4!21cos 42x x x当略去高阶无穷小时，有1cos cos ≈α′≈α代入（1.1.1）可以得到T T ′=在u 轴方向上，弦段N M ′受力的总和为s ρg T T F u d sin sin −α′′+α−=因为0≈α′≈α，所以x t x x u xt x u ∂+∂=α′≈α′∂∂=α≈α),d (tan sin ,),(tan sin x x xt x u s d d )),((1d 2≈∂∂+=图1-1弧段M M ′在t 时刻，沿u 方向运动的加速度近似为22),(tt x u ∂∂，x 为弧段M M ′的质心。
数学物理方法第二章课件
=
i r
n −1
∫
2π
0
2πi e −i ( n −1)ϕ dϕ = 0
n =1 n = 2,3L
Chapt.2 复变函数的积分
Chapt.2 复变函数的积分
Chapt.2 复变函数的积分
Chapt.2 复变函数的积分 单连通域的Cauchy定理：
单连通域
复连通域
Chapt.2 复变函数的积分
∆F 1 − f ( z) ≤ ∆z ∆z
∫
z + ∆z
z
f (ξ ) − f ( z ) ⋅ dξ
Chapt.2 复变函数的积分
Chapt.2 复变函数的积分
1 ∆F − f ( z) ≤ ∆z ∆z
∫
z + ∆z
z
f (ξ ) − f ( z ) ⋅ dξ
∆F 1 − f ( z) ≤ ⋅ ε ⋅ ∆z = ε ∆z ∆z
-πi/α
Chapt.2 复变函数的积分
Chapt.2 复变函数的积分
1 z + ∆z ∆F F ( z + ∆z ) − F ( z ) = f (ξ )dξ = ∆z ∆z ∆z ∫z
F ( z ) = ∫ f (ξ )dξ
z0 z
F ( z + ∆z ) = ∫
z z0
z + ∆z
z0
f (ξ )dξ f (ξ )dξ
l2
xdy = i 1 ⋅ dy = 2i
0
∫
2
∫ Re zdz = ∫ xdx + i ∫ xdy
l l l
Chapt.2 复变函数的积分
Chapt.2 复变函数的积分
数学物理方法2描述课件
z
r sin
r
采用球坐标系
x
r sin sin
y
r sin cos
Lˆ2
2
sin
sin
Lˆ2z
sin2
通过求解L2和Lz 的本征方程得到本征函数和本征值 如下(过程略):
Lˆ2Yl,m ( ,) L2Yl,m ( ,)
LˆzYl,m ( ,) LzYl,m ( ,)
L2 l(l 1) 2
考虑电子在 r～ r+dr 球壳的几率
Wnl (r)dr
Ylm
(
,
)
2
d
Rn2l
(r
)r
2dr
4
Ylm ( ,) 2 d 1 (球谐函数是归一的)
4
Wnl (r)dr Rn2l (r)r 2dr un2l (r )dr
Wnl (r)=u2nl(r)的意义呢？
Wnl (r)
电子径向几率密度与半径的关系
决定电子轨道角动量L(l)、能量 Enl
3) 轨道磁量子数ml: ml=0, 1, 2, …, l 决定轨道角动量的方向
4) 自旋磁量子数ms: ms= 1/2
决定自旋角动量的方向
二、泡利不相容原理
1. 费米子和玻色子 实验表明, 现在发现大多数微观粒子的自旋量 子数取半整数, 如电子, 中子, 质子, 中子自旋 均为s=1/2；
1 (电子径向波函数是是归一的)
Wnlm ( ,)d Ylm ( ,) 2 d
Wnlm ( ， )的意义呢？
规定: l=0, 1, 2 ,3,…分别对应 s, p, d, f, …轨道
电子在基态时角向几率分布是球对称分布的 电子在激发态时的角向几率分布亦有某种对称性
数学物理方法2
∂x ∂y
∂f ∂f 连续,则函数在该点可微分，即有 ∆f ≈ df = dx + dy . ∂x ∂y 因为复变函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的实部和虚部都是
/
∆u + i∆v e−iϕ ∂u ∂v / = −i ( +i ) 的导数为 f (z) = lim∆z→0 ∆z r ∂ϕ ∂ϕ
如果函数在点( x, y )解析, 以上两式相等,于是得到 极坐标中的 Cauchy-Riemann
∂u 1 ∂v 1 ∂u ∂v = =− . , 条件: ∂r r ∂ϕ r ∂ϕ ∂r
务必记住结论
补充还有一种推导极坐标下的CR条件： 从直角坐标系中的CR条件出发，利用 坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ和复合函数的求 导法则，变换到极坐标系中的CR条件。 这是一个作业题，同学们自己做。 讲解！！
f (z) = u + iv f / (z) = lim∆z→0
/
∆u + i∆v ∂u ∂v = +i ∆x ∂x ∂x （5）式
这表明 f (z) 在点 z 连续。
在 z 点连续的函数不一定在 z 点可导.
例如,函数 Re(z) = x 在复平面上连续,但不可导: ∆z= ∆ x+ i ∆ y Re(z + ∆z) − Re(z) ∆x 1 = = ,当 ∆z 趋于零时, ∆y ∆z ∆x + i∆y 1+ i ∆x 上式的极限与 ∆y / ∆x 的值有关,即与 ∆z 趋于零的路径(方式)有关, 因而是不确定的.
∂v ∂u ∂v ∂u =− . = , ∂x ∂x ∂y ∂y
(4)
这个关系叫做 Cauchy-Riemann 条件, 简写为 CR 条件,是函数 f (z) 在区域 G 上解析的必要条件。
数学物理方法(王元明)第二章1
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
a 2 n 2 2 T ''n (t ) Tn (t ) 0 2 l
n at n at Tn (t ) C 'n cos D 'n sin (n 1, 2,3, ) l l n a n a n un ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) sin x (n 1, 2,3, ) l l l
X (0)T (t ) 0, X (0) 0,
X (l
第2章分离变量法
特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题 特征（固有）值：使方程有非零解的常数值 特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解 分情况讨论： x x X ( x ) Ae Be 0 1）
令
u ( x, t ) X ( x)T (t )
带入方程： X ( x)T ''(t ) a2 X ''( x)T (t ) X ''( x) T ''(t ) 令 2 X ( x) a T (t ) X ''( x) X ( x) 0 T ''(t ) a2T (t ) 0 带入边界条件
第2章分离变量法
0 x 10, t 0 t 0 0 x 10
n X n ( x) Bn sin x 10
X X 0
T 104 T 0
T 104 T 0
Tn 100n 2 2Tn 0
cos10nt Dn sin 10nt Tn Cn n un X nTn Bn sin cos 10 nt Dn sin 10 nt ) x(Cn 10 n (Cn cos 10 nt Dn sin 10 nt ) sin x 10 n u u n (C n cos10nt Dn sin 10nt ) sin x 10 n 1 n 1
数学物理方法(王元明)第二章2
0 < x < l, t > 0 t>0 0≤ x≤l
nπ X n = Bn cos x, n = 0,1,2,3,⋯ l
∞
x
nπ u ( x,0) = ∑ vn (0) cos x=0 l n =0
′ v 0 (t ) = sin ωt
2 2 nπ 2 n π ∑ v n′ (t ) + a l 2 v n (t ) cos l x = sin ωt n=0
n =1
n=2
4π 2 2aπ v ′′(t ) + a t v 2 (t ) = sin 2 2 l l
第2章分离变量法
∂ 2u ∂ 2u 2π 2aπ = a 2 2 + sin x sin t 0 < x < l, t > 0 2 l l ∂x ∂t t>0 u (0, t ) = u (l , t ) = 0, ∂u ( x,0) 0≤ x≤l u ( x,0) = 0, ∂t = 0, ∞ nπ v n (t ) = 0 n≠2 u = ∑ vn (t ) sin x
T ′ + a 2 λT = 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X ′′ + λX = 0 T ′ + a 2 λT = 0
∂u (0, t ) = X ′(0)T (t ) = 0 ∂x ∂u (l , t ) = X ′(l )T (t ) = 0 ∂x
X ′′ + λX = 0 X ′(0) = 0,
0< x<l X ′(l ) = 0
λ = −β 2 < 0
X ′′ − β 2 X = 0
《数学物理方法》课件
弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程 ，通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$，其中 $sigma$ 是应力张量，$f$ 是体力密度，$nabla cdot$ 是散 度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数 等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程 中广泛应用于分析力学、 热传导、流体力学等问题 。
电子工程
在电子工程中，数学物理 方法用于描述电磁波的传 播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中，数学物理 方法用于分析结构力学、 地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于 建立复杂的金融模型，如期权定
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数学物理方法将进一步发展，以适应未来科技发展的需求 ，特别是在能源、环境、生物医学等领域。
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随着人工智能和机器学习的发展，数学物理方法将与这些 技术相结合，以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过求解该方程可以了解波的传播规律 。
这些概念在描述物理现象的变化规律 和求解物理问题中发挥着关键作用， 例如在描述速度、加速度、功和能量 等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续 性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，它表示一个或多个未知函数的导数 之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。
数学物理方法第二章 第二讲PPT课件
，设
L
为：
|
z
|
2a
(a 0) .
1
【解法
1】显然被积函数
f
(z)
z 3a z2 a2
在积分区域
L
内部有两个奇点 z1 a, z2 a ．设 l1 仅含奇点 z1 ，l2 仅含
奇点 z2 ，利用复合闭路柯西积分定理和有界域的柯西
积分公式有
21
1
1
I
dz
(za)(z3a)dz (za)(z3a)dz
L(z2 a2)(z3a) l1
za
l2
za
1
1
2πi(za)(z3a) |za 2πi(za)(z3a) |za
2πi 1 2πi 1 πi 2a(2a) (2a)(4a) 4a2
22
【解法 2】 若将上式逆时针方向转化为顺时针方向
1
积分，则被积函数 f (z) z2 a2 在 L 外部仅有一个奇点
z 3a
z
3a ，且当|
z
|
时，
f
(z)
z2
1 a2
0
，满足无界区域
的柯西积分公式条件． 故有
I
dz
dz
L (z2 a2 )(z 3a)
L (z2 a2 )(z 3a)
1
L
(z2 a2) (z 3a)
dz
2πi
z2
1
a2
|z3a
πi 4a2
23
特别说明：显然当积分区域内部的奇点 多于外部的奇点时，考察是否满足无界区域 的柯西积分公式条件，如果满足则可简化计 算．
| z | 时 f (z) ；0
（3）应用有界区域公式的积分沿着逆时针方向进
工程数学-数学物理方程与特殊函数电子教案-王元明-2-4
ab 1 u 1 2 u 2 12 cos 2 2 2 0 2π u | u | 0 0 2π b a
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因子的常微分方程的初值问题(或另一单元函数的常微 分方程的边值问题),用参数变易法或拉氏变换法可求得
其解.
3.将所求得的解代入未知函数的展开式中,即得原定
解问题的解.这种分离变量的方法按其特点又叫特征函
数(或固有函数)法.
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弦的振动是由两部分干扰引起的,一是强迫力,一
是初始状态,所以此时振动可以看作为仅由强迫力引起
的振动和仅由初始状态引起的振动的合成.
可设解为:
U ( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t )
其中V ( x , t ) 表示仅由强迫力引起弦振动的位移,它满足:
A0 ( ) c0 d0 ln d0 ln B0 ( ) c0
An ( ) cn n dn n , n 2 n dn n , n 1, 2, 3,… Bn ( ) cn
由条件
(b) 0 An (a) An
可令上式的解为:
u( , ) [ An ( )cos n Bn ( )sin n ]
n 0
代入方程并整理,得到:
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2 1 n ( ) An ( ) 2 A （ An n ) cos n n 0 1 n2 2 B ( ) B ( ) B （ ) sin n 12 cos 2 n n n 2
数学物理方法第二章
证明：对 [ f (z)]n 应用柯西公式
[ f (z)]n 1 [ f ( )]n d
2 i l z
若 |f(z)| 在l上极大值为M，|z| 的极小值为，l的长为s
f (z) n M n s
2
1
f
(z)
M
s
2
n
n
f (z) M
21
Liouville定理：如 f(z) 在全平面上解析，并且是有界 的，即 |f(z)| N，则 f(z) 必为常数。
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
l
l1
l2
ln
13
柯西定理总结 1. 闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。
2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向 的积分和为零。
3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的 积分等于沿所有内境ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线逆时针方向的积分的和。
P Q y x
由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分
z2
z2
z2
f (z)dz udx vdy i vdx udy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
7
单连通区域柯西定理： 如果函数f (z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任
一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有
f (z) f ()dz
max f (z) f ()
2 0
C z
18
如果l是圆周z= +reiθ，
f () 1 2 f ( rei )d 2 0
这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它
在圆周的平均值。
数学物理方法
数学物理方法什么是数学物理方法，想必大家都有很多疑惑吧。
下面是由小编为大家整理的“数学物理方法”，欢迎大家阅读，仅供大家参考，希望对您有所帮助。
数学物理方法数学物理方法是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，也是海洋科学类、力学类、电子信息科学类、材料科学类等专业的重要公共基础课。
本课程定位于在高等数学和普通物理的基础上，以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当介绍近年来的新发展，为后继有关专业课程作准备。
所以，本课程受到了广大学生的高度重视。
数学物理方法是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，也是海洋科学类、力学类、电子信息科学类、材料科学类等专业的重要公共基础课。
本课程定位于在高等数学和普通物理的基础上，以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当介绍近年来的新发展，为后继有关专业课程作准备。
所以，本课程受到了广大学生的高度重视。
《数学物理方法》作者郭玉翠，由清华大学出版出版，该书是物理系本科各专业以及部分工科专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为学习物理专业课程提供基础的数学处理工具。
一、出版信息清华大学出版书名：数学物理方法ISBN：9787302140047作者：郭玉翠定价：34元出版日期：2006-12-29出版社：清华大学出版社定价: 33.00元二、清华版本书是在北京邮电大学出版社出版的《数学物理方法(研究生用)》的基础上修订而成的.此次修订除了对一些章节的内容作了调整，以便更适合教学外，主要增加了计算机软件Maple在求解定解问题中的应用，以及用Maple将一些结果可视化的内容.全书内容分为10章，分别介绍矢量分析与场论的基础知识、数学物理定解问题的推导、求解数学物理问题的分离变量法、行波法与积分变换法、Green函数法、变分法、二阶线性常微分方程的级数解法与Sturm?Liouville本征值问题、特殊函数(一)——Legendre多项式、特殊函数(二)——Bessel函数以及积分方程的基本知识.本书从理论到实例都考虑了电子、通信类各专业的特点，兼顾数学理论的严谨性和物理背景的鲜明性，体现了数学物理方法作为数学应用于物理和其他科学的桥梁作用.本书可以作为高等学校工科硕士研究生的教材，也可以供对这门课程要求较高的专业的本科生使用，或作为教学参考书.前言本书第1版于2003年1月出版后，曾蒙广大师友和读者的关怀与厚爱，于2005年9月进行了第2次印刷.此次修订主要是增加了应用数学软件Maple来辅助求解数学物理定解问题，并将部分结果用Maple进行可视化的内容.因为“数学物理方法”这门课程作为众多理工科学生的基础课之一，在后续课程和完成学业后的科研工作中都有许多应用，需要学生清楚地理解其中的概念，娴熟地掌握解题方法，并且了解结果的物理意义.但是由于课程本身的内容多而难，题目繁而杂，被公认为是一门难学的课程，主要体现在公式推导多，求解习题往往要计算复杂的积分或级数等.随着计算机的深入普及，功能强大的数学软件(如Maple等)为复杂数学问题的求解提供了有力的工具，目的在于：(1)将繁难的数学运算，比如求解常微分方程、计算积分、求解复杂代数方程等借助于计算机完成，可使读者更专注于模型(数学物理方程)的建立、物理思想的形成和数学方法应用于物理过程的理论体系;(2)借助于计算机强大的可视性功能，把一些抽象难懂但又非常有用的知识变成生动的、“活”的物理图像展现在读者面前，这无疑有益于读者对知识的理解和掌握.数学软件Maple的符号运算功能强大，它的最大好处是不用编程，可以直接进行符号运算，因此读者不用另外学习编程的知识，更不要求以会编程为学习基础，这会带来极大的方便，读者只要在计算机上装上Maple软件，直接输入命令即可.本次修订除了增加上述内容外，还对原版的内容作了以下调整：将第1章“场论初步”改成“矢量分析与场论初步”，增加了矢量分析的内容，删去了矢量场的梯度、张量及其计算，以及并矢分析两节内容;将第5章“特殊函数”分成两章“特殊函数(一)——Legendre 多项式”和“特殊函数(二)——Bessel函数”;在“变分法”一章中，增加了复杂泛函Euler方程的推导，因为在数学物理问题中经常会遇到求解复杂变分的问题;在“积分方程的一般性质和解法”一章中，按照积分核的类型讲解相应的解法，以便使内容更加清晰和系统.全书的文字内容进行了重写或修改，也改正了第1版中几处印刷错误.书中加“*”号内容可作为选学内容，读者可根据需要取舍.编著者十分感谢清华大学出版社对本书再版的大力支持和帮助，尤其感谢刘颖和王海燕两位编辑，其严谨、辛勤的敬业精神令人钦佩.目录第1章矢量分析与场论初步1.1矢量函数及其导数与积分1.1.1矢量函数1.1.2矢量函数的极限与连续性1.1.3矢量函数的导数和积分1.2梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系中的表达式1.2.1直角坐标系中的“三度”及Hamilton算子1.2.2正交曲线坐标系中的“三度”1.2.3“三度”的运算公式1.3正交曲线坐标系中的Laplace算符、Green第一和第二公式1.4算子方程第2章数学物理定解问题2.1基本方程的建立2.1.1均匀弦的微小横振动2.1.2均匀膜的微小横振动2.1.3传输线方程2.1.4电磁场方程2.1.5热传导方程2.2定解条件2.2.1初始条件2.2.2边界条件2.3定解问题的提法2.4二阶线性偏微分方程的分类与化简2.4.1两个自变量方程的分类与化简2.4.2常系数偏微分方程的进一步简化2.4.3线性偏微分方程的叠加原理第3章分离变量法3.1(1+1)维齐次方程的分离变量法3.1.1有界弦的自由振动3.1.2有限长杆上的热传导3.22维Laplace方程的定解问题3.3高维Fourier级数及其在高维定解问题中的应用3.4非齐次方程的解法3.4.1固有函数法3.4.2冲量法3.4.3特解法3.5非齐次边界条件的处理第4章二阶常微分方程的级数解法本征值问题4.1二阶常微分方程系数与解的关系4.2二阶常微分方程的级数解法4.2.1常点邻域内的级数解法4.2.2正则奇点邻域内的级数解法4.3Legendre方程的级数解4.4Bessel方程的级数解4.5Sturm?Liouville本征值问题第5章特殊函数(一)Legendre 多项式5.1正交曲线坐标系中的分离变量法5.1.1Laplace方程5.1.2Helmholtz方程5.2Legendre 多项式及其性质5.2.1Legendre多项式的导出5.2.2Legendre多项式的性质5.3Legendre多项式的应用5.4一般球函数5.4.1关联Legendre函数5.4.2球函数第6章特殊函数(二)Bessel函数6.1Bessel函数的性质及其应用6.1.1柱函数6.1.2Bessel函数的性质6.1.3修正Bessel函数6.1.4Bessel函数的应用6.2球Bessel函数6.3柱面波与球面波6.3.1柱面波6.3.2球面波6.4可化为Bessel方程的方程6.5其他特殊函数方程简介6.5.1Hermite多项式6.5.2Laguerre多项式第7章行波法与积分变换法7.1一维波动方程的d′Alembert公式7.2三维波动方程的Poisson公式7.3Fourier积分变换法求定解问题7.3.1预备知识——Fourier变换及性质7.3.2Fourier变换法7.4Laplace变换法解定解问题7.4.1Laplace变换及其性质7.4.2Laplace变换法第8章Green函数法8.1引言8.2Poisson方程的边值问题8.2.1Green公式8.2.2解的积分形式——Green函数法8.2.3Green函数关于源点和场点是对称的8.3Green函数的一般求法8.3.1无界区域的Green函数8.3.2用本征函数展开法求边值问题的Green函数8.4用电像法求某些特殊区域的Dirichlet?Green函数8.4.1Poisson方程的Dirichlet?Green函数及其物理意义8.4.2用电像法求Green函数*8.5含时间的定解问题的Green函数第9章变分法9.1泛函和泛函的极值9.1.1泛函9.1.2泛函的极值与泛函的变分9.1.3泛函取极值的必要条件——Euler方程9.1.4复杂泛函的Euler方程9.1.5泛函的条件极值问题9.1.6求泛函极值的直接方法——Ritz方法9.2用变分法解数学物理方程9.2.1本征值问题和变分问题的关系9.2.2通过求泛函的极值来求本征值9.2.3边值问题与变分问题的关系*9.3与波导相关的变分原理及近似计算9.3.1共振频率的变分原理9.3.2波导的传播常数γ的变分原理9.3.3任意截面的柱形波导管截止频率的近似计算第10章积分方程的一般性质和解法10.1积分方程的概念与分类10.2积分方程的迭代解法10.2.1第二类Volterra方程的迭代解法10.2.2第一类Volterra方程的迭代解法10.2.3第二类Fredholm方程的迭代解法10.2.4叠核、预解核10.3退化核方程的求解10.4弱奇异核的Abel方程的解法10.5对称核的Fredholm方程10.6微分方程与积分方程的联系10.6.1二阶线性常微分方程与Volterra方程的联系10.6.2微分方程的本征值问题与对称核积分方程的联系参考文献三、西科大版第1章数学物理方程的定解问题1.1 基本概念1.1.1 偏微分方程的基本概念1.1.2 三类常见的数学物理方程1.1.3 数学物理方程的一般性问题1.2 数学物理方程的导出1.2.1 波动方程的导出1.2.2 输运方程的导出1.2.3 稳定场方程的导出1.3 定解条件与定解问题1.3.1 初始条件1.3.2 边界条件1.3.3 三类定解问题1.4 本章小结习题1第2章行波法2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式2.1.1 达朗贝尔(D’Alembert)公式的导出2.1.2 达朗贝尔公式的物理意义2.1.3 依赖区间和影响区域2.2 半无限长弦的自由振动2.3 三维波动方程的泊松公式2.3.1 平均值法2.3.2 泊松公式2.3.3 泊松公式的物理意义2.4 强迫振动2.4.1 冲量原理2.4.2 纯强迫振动2.4.3 一般强迫振动2.5 三维无界空间的一般波动问题2.6 本章小结习题2第3章分离变量法3.1 双齐次问题3.1.1 有界弦的自由振动3.1.2 均匀细杆的热传导问题3.1.3 稳定场分布问题3.2 本征值问题3.2.1 斯特姆-刘维型方程3.2.2 斯特姆-刘维型方程的本征值问题3.2.3 斯特姆-刘维本征值问题的性质3.3 非齐次方程的处理3.3.1本征函数展开法3.3.2 冲量原理法3.4 非齐次边界条件的处理3.4.1 边界条件的齐次化原理3.4.2 其他非齐次边界条件的处理3.5 正交曲线坐标系下的分离变量法3.5.1 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题3.5.2 正交曲线坐标系下分离变量法的基本概念3.5.3 正交曲线坐标系中的分离变量法3.6 本章小结习题3第4章特殊函数4.1 二阶线性常微分方程的级数解4.1.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点4.1.2 方程常点邻域内的级数解4.1.3 方程正则奇点邻域内的级数解4.2勒让德多项式4.2.1 勒让德多项式4.2.2 勒让德多项式的微分和积分表示4.3 勒让德多项式的性质4.3.1 勒让德函数的母函数4.3.2 勒让德多项式的递推公式4.3.3 勒让德多项式的正交归一性4.3.4 广义傅里叶级数展开4.4 勒让德多项式在解数理方程中的应用4.5 连带勒让德函数4.5.1 连带勒让德函数本征值问题4.5.2 连带勒让德函数的性质4.5.3 连带勒让德函数在解数理方程中的应用4.6 球函数4.6.1 一般的球函数定义4.6.2 球函数的正交归一性4.6.3 球函数的应用4.7贝塞尔函数4.7.1 三类贝塞尔函数(贝塞尔方程的解) 4.7.2 贝塞尔方程的本征值问题4.8 贝塞尔函数的性质4.8.1 贝塞尔函数的母函数和积分表示4.8.2 贝塞尔函数的递推关系4.8.3 贝塞尔函数的正交归一性4.8.4 广义傅里叶-贝塞尔级数展开4.9 其他柱函数4.9.1 球贝塞尔函数4.9.2 虚宗量贝塞尔函数4.10 贝塞尔函数的应用4.11 本章小结习题4第5章积分变换法5.1 傅里叶变换5.1.1傅里叶积分5.1.2 傅里叶变换5.1.3 傅里叶变换的物理意义5.1.4 傅里叶变换的性质5.1.5 δ函数的傅里叶变换5.1.6 n维傅里叶变换5.2 傅里叶变换法5.2.1 波动问题5.2.2 输运问题5.2.3 稳定场问题5.3 拉普拉斯变换5.3.1 拉普拉斯变换5.3.2 拉普拉斯变换的基本定理5.3.3 拉普拉斯变换的基本性质5.4 拉普拉斯变换的应用5.4.1 拉普拉斯变换解常微分方程5.4.2 拉普拉斯变换解偏微分方程5.5 本章小结习题5第6章格林函数法6.1δ函数6.1.1 δ函数的定义6.1.2 δ函数的性质6.1.3 δ函数的应用6.2 泊松方程边值问题的格林函数法6.2.1 格林函数的一般概念6.2.2 泊松方程的基本积分公式6.3 格林函数的一般求法6.3.1 无界空间的格林函数6.3.2 一般边值问题的格林函数6.3.3 电像法6.3.4 电像法和格林函数的应用6.4 格林函数的其他求法6.4.1 本征函数展开法求解边值问题的格林函数6.4.2 冲量法求解含时间的格林函数6.5 本章小结习题6第7章数学物理方程的其他解法7.1 延拓法7.1.1 半无界杆的热传导问题7.1.2 有界弦的自由振动7.2 保角变换法7.2.1 单叶解析函数与保角变换的定义7.2.2 拉普拉斯方程的解7.3积分方程的迭代解法7.3.1 积分方程的几种分类7.3.2 迭代解法7.4变分法7.4.1 泛函和泛函的极值7.4.2 里兹方法第8章数学物理方程的可视化计算8.1 分离变量法的可视化计算8.1.1 矩形区泊松方程的求解8.1.2直角坐标系下的分离变量法在电磁场中的应用8.2 特殊函数的应用8.2.1 平面波展开为柱面波的叠加8.2.2 平面波展开为球面波的叠加8.2.3 特殊函数在波动问题中的应用8.2.4 球体雷达散射截面的解析解8.3 积分变换法的可视化计算8.4 格林函数的可视化计算参考文献四、北理工版基本信息作者: 闫桂峰出版社: 北京理工大学出版社ISBN: 9787564023485装帧:平装页码: 279开本: 16中文:简体中文简介本书主要介绍了三类典型数学物理方程定解问题的多种求解方法。
数学物理方法第二篇第2章
第二章 数学物理方程和二阶线性偏微分方程分类§2.2.1数学物理方程数学物理方程（简称数理方程）通常是指从物理模型中导出的函数方程，特别是偏微分方程，我们这里着重讨论二阶线性偏微分方程.数学物理方程一般可以按照所代表的物理过程（或状态）分为三类：1.振动与波（机械的、电磁的）称为波动方程.例如，在各向同性的固体中传播的横波或者纵波的方程.有一维波动方程xx tt u a u 2=（自由振动方程），),(2t x f u a u xx tt +=（强迫振动方程），这里u =u (x ,t )代表平衡时坐标为x 的点在t 时刻的横向或者纵向位移，a 是波的传播速度.tt u 表示22t u ∂∂，xx u 表示22xu ∂∂；二维波动方程u a u tt ∆=2，∆是拉普拉斯算符2222y x ∂∂+∂∂≡∆（二维的），222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂≡∆（三维的）. 2.输运过程称为扩散方程，热传导方程.例如，有一维的热传导方程xx t u a u 2=其中u =u (x ,t )表示x 点在t 时刻的温度，2a 称为扩散率或温度传导率.方程),(2t x f u a u xx t +=表示有热源的传导方程.3.稳定（或者静止、平衡）过程（或状态）称为拉普拉斯方程.02222=∂∂+∂∂≡∆yu x u u . 在数学中，把二阶线性偏微分方程进行分类，其中有三种最重要的类型，分别称为双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程，而上面所指出的那些数理方程都是二阶线性偏微分方程.波动方程可以作为研究双曲型方程的模型，热传导方程可以作为研究抛物型方程的模型，拉普拉斯方程可以作为研究椭圆型方程的模型.对于仅有数理方程这类偏微分方程还不足以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到外界作用有关.从数学的角度考虑，物体运动的起始状态称为初始条件，物体运动的边界情况称为边界条件.求一个微分方程的解满足一定的初始条件或边界条件的问题称为定解问题.而初始条件、边界条件称为定解条件.若定解条件仅有初始条件的，则称该定解问题为初值问题，又叫哥西(Cauchy)问题；若定解条件为边界条件的，则称为边值问题.边界条件一般有三种类型，以一维的为例：在x =0点的第一边界条件：)(),0(t t u μ=；第二边界条件：)(),0(t v t u x =；第三边界条件：)(),0(),0(t t hu t u x θ=-，这里h 为已知常数，)(t μ，)(t v ，)(t θ为已知函数.如果)(t μ，)(t v ，)(t θ恒为零的边界条件称为齐次边界条件，一般将边界条件写成)()],(),([t f t M nu t M u D M =∂∂+∂∈βα，D ∂表示区域D 的边界，n 是D ∂的外法线方向，这里α，β不同时为零的常数，则是这三种边界条件的综合表述.如果一个定解问题中既有初始条件又有边界条件，则称为混合问题.例1．在杆的纵向振动时，假设(1)端点固定；(2)端点自由；(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.设杆的两端的坐标分别为x =0与x =l ,(1)端点固定，表明端点无位移，所以有0),(,0),0(==t l u t u ,(2)端点自由，此时在端点处无外力作用，因此有边界条件0),0(=∂∂t xu 或0),0(=t u x , 因为在端点x =0点的拉力为S t xu E ⋅∂∂⋅),0()0(，E 为杨氏模量，S 为细杆的截面积.同理在端点x =l 处有边界条件0),(=∂∂t l xu 或0),(=t l u x . (3)端点固定在弹性支承上，此时端点受的外力与支承的变形成比例.例如，在杆的左端x =0处有弹性支承,支承的弹性系数为k ，支承对杆的作用力为S t xu E ⋅∂∂⋅),0()0(,且其正向与x 轴方向相反，因此杆对支承的作用力亦为S t xu E ⋅∂∂⋅),0()0(,但其正向与x 轴方向相同，支承的伸长与杆的位移一致，因此有),0(),0()0(t ku S t x u E =⋅∂∂⋅，亦即 0)(0=+∂∂-=x u x u σ， 其中S E k )0()0(==σσ.同理，对x =l 处弹性支承的情形，类似地有0)(=+∂∂=lx u x u σ， 这里S l E k l )()(==σσ. 例2．对于热传导问题的边界条件设物体所占的空间域为Ω，其边界为Σ，即Ω∂=∑.(1)如果边界Σ上的温度已知，则边界条件为第一边界条件， ),,(t M u ϕ=Σ Σ∈M这里ϕ为已知的函数.(2)如果边界Σ上流入的热流密度为已知),(t M Q n ψ=-Σ，这里n Q 代表热流密度在边界面的外法线方向n 的分量，ψ为已知的函数，按傅立叶定律，nu k Q n ∂∂-=，因而得第二边界条件 ),,(1t M kn u ψ=∂∂Σ Σ∈M 如果边界是绝热的.则0=ψ，即边界绝热的条件为0=∂∂Σn u . (3)如果物体的表面与外界通过辐射或者对流等过程交换热量，则得边界条件为第三边界条件0][hu hu nu =+∂∂Σ，这里0u 代表外界温度，h 是一个正的常数.§2.2.2二阶线性偏微分方程分类和简化2.2.2.1二阶方程的分类上一段我们讨论了三种典型的数理方程：波动方程：),(2t x f u a u xx tt +=,热传导方程或扩散方程：),(2t x f u a u xx t +=,拉普拉斯方程：0=+yy xx u u .这些方程各代表不同性质的物理过程，因此它们的解也各有不同的特性，但是这些方程都是二阶线性偏微分方程，这里以两个自变量的二阶线性偏微分方程02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx为例，讨论分类和简化，其中a ，b ，c ，d ，e ，f ，g 都只是自变量x 和y 的函数.二阶线性偏微分方程怎样进行分类和简化呢？我们通过作自变量的变换⎩⎨⎧==),(),(y x y x ψηϕξ 并假设在所考虑的平面区域内雅可比（Jacobi ）行列式0),(D ),(D ≠y x ηξ，将方程化为标准型，这里要求雅可比行列式不为零是为了保证这种变换是可逆的，从而对二阶线性偏微分方程进行分类，那么这样的),(),,(y x y x ψηϕξ==是如何确定的呢？为此，称一阶常微分方程02)(2=+-c xy b x y a d d d d 为二阶线性偏微分方程02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx 的特征方程.请注意，它的特征方程的系数与二阶线性偏微分方程的二阶偏导数yy xy xx u u u ,,的系数有一定的对应关系，xx u 的系数a 与特征方程中x y d d 的二次项系数相同，而xy u 的系数与特征方程中x y d d 的系数互为相反数，yy u 的系数与特征方程的常数项相一致.特征方程是关于xy d d 的一元二次方程，它的判别式ac b y x -≡∆2),( 的符号决定着特征方程解的情况.依据判别式),(y x ∆的符号对二阶线性偏微分方程进行分类：当0),(>∆y x 时称方程为双曲型方程；当0),(=∆y x 时称为抛物型方程；当0),(<∆y x 时称为椭圆型方程.2.2.2.2二阶线性偏微分方程的标准形式现在分别就三种类型的方程讨论它的简化问题(1)双曲型方程例3．把方程06232=++--y x yy xy xx u u u u u化为标准形式，并确定它的类型.解：写出它的特征方程032)(2=-+xy x y d d d d ， 解得 01=-x y d d ，或03=+x y d d . 积分得方程的通解1c x y =-，23c x y =+，21,c c 为任意常数.特征方程的解称为特征线，因此0),(2>-≡∆ac b y x 有两族实的特征线.这里0431>=+=∆，故这个偏微分方程属于双曲型方程. 作变量变换，令x y -=ξ，x y 3+=η， 它的雅可比行列式041311),(D ),(D ≠-=-=y x ηξ， 为方便仍用),(ηξu 记为),(y x u ，所以ηξηξu u u u u x 33)1(+-=⋅+-=, ηξu u u y +=,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx 9633)1(33+-=⋅+-+⋅-=,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xy 3233++-=++--=,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u yy ++=+++=2,把它们代入原方程，原方程就简化成012416=++-ηξξηu u u ，化简得双曲型方程的标准形式ηξξηu u u 4341+= (2)抛物型方程例4．确定方程02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ，（0≠a 常数） 的类型并把它化为标准形式.写出它的特征方程02)(2=+-a xy a x y a d d d d ， 判别式022=-=∆a a ，故方程是抛物型的，这时特征方程只有一族特征线 1c x y =-，那么做变量变换只有 x y -=ξ，另一个变量η怎么引进呢？可以做最简单的变换，只要保证这种变换的雅可比行列式不为零就可以.例如这里令x =η，那么有010111),(D ),(D ≠-=-=y x ηξ 记),(),(ηξu y x u =，就有ηξηξu u u u u x +-=⋅+-=1)1(, ξηξu u u u y =⋅+⋅=01,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx +-=+-+⋅-+--=2)1(1)()1(, ξηξξηηηξξηξξu u u u u u u xy +-=⋅+⋅+⋅-⋅-=0101,ξξξηξξu u u u yy =⋅+⋅=01,代入原方程中，化简为0)(=++--u bu u c b au ηξηη，得到这个方程的标准形式为u au a b u a c b u 1---=ηξηη. (3)椭圆型方程例5．试确定方程0254=++++y x yy xy xx u u u u u的类型，并把它化为标准型.写出它的特征方程054)(2=+-xy x y d d d d ， 这时01522<-=-=∆，所以方程是椭圆型的.解特征方程 0)2(=--i x y d d ，或0)2(=+-i xy d d 积分得两组复特征曲线：12c ix x y =+-，22c ix x y =--，取实部、虚部，引进变量变换，令y x +-=2ξ，x =η， 这是实变量的实变换，且010112),(D ),(D ≠-=-=y x ηξ，记),(),(ηξu y x u =，于是有ηξηξu u u u u x +-=+-=2)2(, ξηξu u u u y =⋅+⋅=01,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx +-=+-+-=44)2(24,ξηξξηηηξξηξξu u u u u u u xy +-=⋅+⋅+⋅--=201022,ξξξηξξu u u u yy =⋅+=0,代入方程，化简得0=++ηηηξξu u u ，于是有椭圆型方程的标准形式ηηηξξu u u -=+应当指出，由于所取的自变量的变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=的形式不是唯一的，所以方程的标准形式也不是唯一的，但方程的类型是不变的，即判别式ac b -=∆2的符号与自变量变换的选取无关.因为判别式ac b -=∆2一般是),(y x 的函数，因此一个一般的线性方程02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx在不同区域内可以属于不同类型.例如特里谷米(Tricomi)方程0=+yy xx u yu的判别式y -=∆，因此，当0<y 时方程属于双曲型的；当0=y 时方- 11 - 程是抛物型的；当0>y 时方程为椭圆型的.由此可见，数理方程中的波动方程),(2t x f u a u xx tt =-是双曲型方程；一维热传导方程),(2t x f u a u xx t =-是抛物型方程；拉普拉斯方程是椭圆型方程，这三类方程所描述的物理现象的本质不同，因而这三类方程的性质也不同，而二阶线性偏微分方程的分类正是这种客观现象的实际反映.。
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
数学物理方程与特殊函数 第三版 课后答案 王元明
⎧ ∂ 2v ∂ 2v ⎪ 2 + 2 = f1( x, y), 0 < x < a, 0 < y < b, ⎪ ∂x ∂y ⎪ ⎨ v ( 0, y ) ) 0, v ( a ( y ) ) 0, 0 ≤ y ≤ b , = , = ⎪ ⎪ = = ⎪ v ( x ,0 ) ) ψ 1 ( x ); v ( x , b ) ) ψ 2 ( x ), 0 ≤ x ≤ a . ⎩
∞
∑ n
=1
d na n sin nθ = Tθ (π − θ )
d na
n
∫
π
0
sin nθ d θ = ∫ T θ (π − θ )sin nθ d θ
0
2
π
4T d n = n 3 (1 − cos nπ ), πa n 4T ∞ ρ n u ( ρ ,θ ) = [1 − (− 1)n ]sin nθ . ) ∑ n 3 π n=1 a n
解为:
其中
∞ 1 u ( x , t ) = a0 + ∑ ane ) 2 n=1
⎛ naπ ⎞ t −⎜ l ⎟ ⎝ ⎠
2
nπ cos x l
2 nπ an = ∫ ϕ ( x ))cos xdx， n = 0,1,2,... l l
0
l
练习：在矩形 (0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b ) 中求解拉普拉斯 方程的定解问题 :
极坐标系下的拉普拉斯方程的表达式
⎧ x = ρ cosθ ⎨ ⎩ y = ρ sinθ
∂ρ ∂θ ⎧ ⎪1 = ∂x ⋅ cosθ − ρ ∂x ⋅ sin θ ⎪ ⎨ ⎪ 0 = ∂ ρ ⋅ sin θ + ρ ∂ θ cos θ ⎪ ⎩ ∂x ∂x ∂ρ ∂θ − sinθ = cosθ , = u( ρ ,θ ) ∂x ∂x ρ
数学物理方法第二章
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
数学物理方法第二章
6
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
数学物理方法第二章
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
数学物理方法第二章
12
性质：
设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径，积分反号
z2
z2
f(z)dzudxvdyivdxudy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
数学物理方法第二章
24
单连通区域柯西定理：
如果函数f (z)在闭单连通域B 上解析，则沿B上任一分段光滑 闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
f (z)dz 0
数学物理方法教学Chapt2
由于f(z)的连续性，因而有f(z)→f(α),即maxI f(z)-f(α)I→0,于是，
由于(*)式左端与ε无关，故必有，
柯西公式 注意！
1.柯西公式将解析函数在任何一内点α的值f(α)用沿边界线l
的回路积分表示出来； 2.因为α是任意取的，所以通常将α记为z，积分变数改用ζ表 示，修改的柯西公式为：
其中沿同一割线两边缘上的积分值相互抵消，于是有
得证. 将上式求和项移到等号右边，改写成：
f(z)沿内外边界线逆 时针方向积分相等
柯西定理
柯西定理内涵：
1.若f(z)在单连通区域B上解析，在闭单连通区域 上连续，则沿
上 任一分段光滑闭合曲线(也可以是 的边界)的积分为0； 2.闭复连通区域上的解析函数沿所有内外边界正方向积分和为0；
带电金属平板的静电场(负实轴为截口)
第一章 复变函数
1.1 复数与复数运算 1.2 复变函数 1.3 导数 1.4 解析函数 1.5 平面标量场 1.6 多值函数
第二章 复变函数的积分
2.1 复变函数的积分 2.2 柯西定理 2.3 不定积分 2.4 柯西公式
第二章 复变函数的积分
2.1 复变函数的积分 2.2 柯西定理 2.3 不定积分 2.4 柯西公式
6.积分不等式2：
其中M是If(z)I在l上的最大值，L是l的全长.
复变函数的积分
例1. 试计算积分
l1,l2分别如右图所示.两条路径的起点以及终点相同，均 为z=0及z=1+i. 解：先计算I1，
再计算I2,
可见，两个积分，虽然被积函数相同，起点、终点亦相同，但由于积分路径 不同，其结果并不相同.
场、温度场等。场是物质存在的一种基本形式。这种形式的主要特征在 于场是弥散于全空间的。场的物理性质可以用一些定义在全空间的量描 述(例如电磁场的性质可以用电场强度和磁场强度或用一个三维矢势A (X,t)和一个标量势ψ(X,t)描述)。这些场量是空间坐标和时间的函数,它们 随时间的变化描述场的运动。空间不同点的场量可以看作是互相独立的 动力学变量，因此场是具有连续无穷维自由度的系统。 场的一个重要属性是它占有一个空间，它的物理状态可用空间和时 间的函数来描述，而且，在此空间区域中，除了有限个点或某些表面外， 场函数是处处连续的。若物理状态与时间无关，则为静态场/恒定场(静 电场、流体中的定常流速场)；反之，则为动态场或时变场(时变电磁场).
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n=0
l
x
∑ v ′′(t ) + a
n =1
n
l
2
v n (t ) sin x = sin x sin t l l l
nπ u ( x,0) = ∑ vn (0) sin x=0 l n =0
∞
vn (0) = 0
∂u ( x,0) ∞ nπ ′ = ∑ vn (0) sin x=0 ∂t l n =0 ′ vn (0) = 0
T ′ + a 2 λT = 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X ′′ + λX = 0 T ′ + a 2 λT = 0
∂u (0, t ) = X ′(0)T (t ) = 0 ∂x ∂u (l , t ) = X ′(l )T (t ) = 0 ∂x
X ′′ + λX = 0 X ′(0) = 0,
∂u 2 ∂ u 0 < x < l, t > 0 ∂t = a ∂x 2 ∂u (0, t ) ∂u (l , t ) = = 0, t > 0 ∂x ∂x 0≤ x≤l u ( x, 0) = 0,
2
u ( x, t ) = X ( x)T (t ) T ′X = a 2TX ′′ T′ X ′′ = = −λ 2 aT X X ′′ + λX = 0
X (l ) = B sin β l = 0 λn = β n2 = (nπ / l )2
当 λ =0 时 当 λ = β 2 > 0时
X ( 0) = A = 0 β n = nπ / l , n = 1,2,3, ⋯ nπ X n ( x) = Bn sin x l
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
v n (t ) ↔ Vn ( p)
2 2
nπ x l
f n (t ) ↔ Fn ( p)
2 ′ vn′ (t ) ↔ p 2Vn ( p ) − pvn (0) − v′ (0) = p Vn ( p) n
n 2π 2 p Vn ( p) + a Vn ( p) − Fn ( p) = 0 2 l
∞
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
V = ∑ vn (t ) sin
n =1
∞
n 2π 2 ′ v n′ (t ) + a 2 2 v n (t ) − f n (t ) = 0 l ∞ nπ ∂V ( x, 0) ∞ nπ V ( x, 0) = ∑ vn (0) sin x=0 ′ (0) sin = ∑ vn x=0 l l ∂t n =1 n =1 ′ vn (0) = 0 vn (0) = 0
∞
0 < x < l, t > 0 t>0 0≤ x≤l
nπ X n = Bn cos x, n = 0,1,2,3,⋯ l
∞
x
nπ u ( x,0) = ∑ vn (0) cos x=0 l n =0
′ v 0 (t ) = sin ωt
2 2 nπ 2 n π ∑ v n′ (t ) + a l 2 v n (t ) cos l x = sin ωt n=0
n =1
n=2
4π 2 2aπ v ′′(t ) + a t v 2 (t ) = sin 2 2 l l
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
四 非齐次方程的解法
求下列定解问题 ∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l, t > 0 ∂t 2 ∂x t >0 u (0, t ) = u (l , t ) = 0, ∂u ( x, 0) u ( x, 0) = ϕ ( x), = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l ∂t
XT ′′ = a 2 X ′′T X ′′ 1 T ′′ = 2 = −λ X a T
u (0, t ) = X (0)T (t ) = 0 u (l , t ) = X (l )T (t ) = 0 X (0) = 0, X (l ) = 0
X ′′ + λX = 0, 0 < x < l X (l ) = 0 X (0) = 0,
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
∂u ∂ 2u = a 2 2 + sin ωt ∂x ∂t ∂u (0, t ) ∂u (l , t ) = = 0, ∂x ∂x u ( x,0) = 0, ∞ nπ u = ∑ v n (t ) cos l n=0 =0
(1 − cos ωt )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
例16 求下列定解问题 ∂ 2u ∂ 2u 2π 2aπ = a 2 2 + sin x sin t 0 < x < l, t > 0 2 l l ∂x ∂t t>0 u (0, t ) = u (l , t ) = 0, ∂u ( x,0) 0≤ x≤l u ( x,0) = 0, ∂t = 0, 解：令 u ( x, t ) = X ( x )T (t )
Vn ( p) =
1 p2 + a2 n π l2
2 2
Fn ( p)
k ↔ sin kt 2 2 p +k
nπa ↔ sin t 2 2 nπa l 2 2 n π p +a l2 l t nπa l nπa vn (t ) = sin t ⊗ f n (t ) = ∫0 f n (τ ) sin l (t − τ )dτ nπa nπa l 1 l
第2章分离变量法
∂ 2u ∂ 2u 2π 2aπ = a 2 2 + sin x sin t 0 < x < l, t > 0 2 l l ∂x ∂t t>0 u (0, t ) = u (l , t ) = 0, ∂u ( x,0) 0≤ x≤l u ( x,0) = 0, ∂t = 0, ∞ nπ v n (t ) = 0 n≠2 u = ∑ vn (t ) sin x
0< x<l X ′(l ) = 0
λ = −β 2 < 0
X ′′ − β 2 X = 0
X ′(0) = Aβ − Bβ = 0 A= B=0
X = Ae βx + Be − βx
X ′(l ) = Aβ e βl − Bβ e − βl
λ =0
λ =β2 >0
X =0 X = B0 X = Ax + B X ′′ = 0 X = A sin βx + B cos βx X ′′ + β 2 X = 0 X ′(0) = Aβ = 0 X ′(l ) = − Bβ sin βl = 0 2 nπ nπ βn = λn = β n2 = , n = 1,2,3,⋯ l l nπ X n = Bn cos x l
数学物理方程与特殊函数
2 ∂ 2V 2 ∂ V ∂t 2 = a ∂x 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, t > 0, V (0, t ) = V (l , t ) = 0, ∂V ( x, 0) V ( x, 0) = = 0, 0 ≤ x ≤ l , ∂t
v n (0) = 0
n=0 n≠0
v0 (t ) = −
1
n 2π 2 v ′ (t ) + a 2 2 v n (t ) = 0 n l
ω
cos ωt + C
v 0 (t ) =
2 2 2n π −a t l2
1
ω
(1 − cos ωt )
vn (t ) = Ce
v n (t ) = 0
u=
1
ω
数学物理方程与 求下列定解问题
∂u ∂ 2u = a 2 2 + sin ωt 0 < x < l , t > 0 ∂x ∂t ∂u (0, t ) ∂u (l , t ) = = 0, t > 0 ∂x ∂x 0≤ x≤l u ( x,0) = 0, 解：先解对应的齐次问题
∂ 2u ∂ 2u 2π 2aπ = a 2 2 + sin x sin t 0 < x < l, t > 0 2 l l ∂x ∂t λn = (nπ / l )2 , n = 1,2,3,⋯ t>0 u (0, t ) = u (l , t ) = 0, nπ ∂u ( x,0) X n ( x) = Bn sin x 0≤ x≤l u ( x,0) = 0, ∂t = 0, l ∞ 2 2 ∞ nπ nπ 2π 2aπ 2 n π
n≠2 n=2
n 2π 2 nπ nπ ′′ (t ) + a 2 2 vn (t ) = 0 vn (t ) = A cos a vn t + B sin a t l l l v n (t ) = 0 4π 2 2aπ ′′(t ) + a 2 2 v 2 (t ) = sin v2 t l l
数学物理方程与特殊函数
令： u ( x, t ) = V ( x, t ) + W ( x, t )
∂ 2W ∂ 2W = a2 2 ∂t 2 ∂x W (0, t ) = W (l , t ) = 0, ∂W ( x, 0) W ( x, 0) = ϕ ( x), = ψ ( x) ∂t ∂ 2V ∂ 2V = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂t 2 ∂x t > 0, V (0, t ) = V (l , t ) = 0, ∂V ( x, 0) V ( x, 0) = = 0, 0 ≤ x ≤ l , ∂t