立体图形表面展开图
4.1.1.3立体图形的表面展开图
圆 展开
柱
展开
圆锥
展开
长方体
长方体的展开图
底面
侧侧 侧
面面 面
长 方
底面
底 侧面 面
体
侧 侧 侧侧
面 面 面面
底面
下面图形都是由4个三边都相等的三角形组成 的,哪一个可以折叠成多面体呢?动手做做看。
(1)
(2)
(3)
下面4个图是一些多面体的表面展 开图,你能说出这些多面体的名字吗?
正方体
坚 持就是
胜 利
下列的三幅平面图是三棱柱的表面展开 图的有（ ）
甲
乙
丙
形展如开有图的，一形上种状面牛？的把奶图它形包们分装用别盒线是连如下起面图来哪所。个示立。体图 为了生产这种包装盒，需要先画
出展开图纸样。如图给出的三种
纸样1 ，它们2都正确吗？3
4
A甲
B
C
乙
丙D
下面几个图形是一些常见几何体的展开图， 你能正确说出这些几何体的名字么？
长方体
四棱锥
三棱柱
考考你的空间想象力:
下列图形是哪些多面体的展开图？
(1)
长方体
(Байду номын сангаас) (3)
三棱柱 五棱锥
下面是一些立体图形的展开图，用它们能围成什么样的 立体图形，把它们画在一张硬纸片上，剪下来，折叠、粘 贴，看看得到的图形和你想象的是否相同.
zxxk
学.科.网
制作立体模型的方法：
1．画出展开图；
么规律？ 2、小组讨论这些正方体展开图可以分为几类
？哪几号展开图可以分为一类,为什么?
-
-
相 对 两 面 不 相 连
上左
下右
(华东师大版)七年级数学上册精品教学课件：4.3 立体图形的表面展开图
将一个正方体的表面沿某些棱剪开,能展成哪些平面图形？
友情提示： 沿着棱剪 展开后是一 个平面图形
正方体的展开图
1
2
34
5
6
7
8
9
10
11
思考：
1.这些正方体展开图可以分为几种？ 2.观察上面的11种正方体的展开图有没有什么规律？ 3.哪几号展开图可以分为一类，为什么？
一四一型 6种
二三一型 3种
A
B
C
D
E
F
G
2. 下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的从正面、左面、上面看得
到的三个平面图形，这些相同的小正方体的个数是 ( B )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
3. 下列的三幅平面图是三棱柱的表面展开图的有(多选) ( AC )
A
B
C
4. 如图是一个立方体纸盒的展开图，使展开图沿虚线折叠成正方体后相对
二二二型 1种
蓝
三三型 1种
红 黄
相 对 两 面 不 相 连
上左
红 下右 隔隔
一一
?
行列
巧记正方体的展开图口诀：
正方体盒巧展开，
六个面儿七刀裁， 十一类图记分明； 一四一呈6种， 二三一有3种， 二二二与三三各1种； 对面相隔不相连.
红 蓝
黄
1. 下列图形中，不是正方体表面展开图的是 ( C )
面上的两个数互为相反数，求：a=－2 ；b=－7 ；c= 1 .
2 c 7 -1 b
a
常见几何体的展开图：
圆锥
四棱锥 长方体
三棱柱
三棱锥 三棱柱
正方体
圆柱
A
B
C
D
表面展开图
例1、画出斜四棱柱的展开图。
B1
1. 以棱CC1为轴旋转棱面
CC1B1B，使其平行于V
C1
面。
作法：过b’作直线垂直
于c’c1’，以c’为圆心，
B
CB的水平投影cb（反映 CB的真长）为半径画弧
与上述所画垂线交于点
C
B，连c’B，且以c’B和
c’c1’为邻边作平行四边 形B1B,即为棱面CC1B1B 的展开图。
A1
B1 C1
D1
11’ 41’ 21’ 31’
I II III IV I
A
A
B
D
C
1. 任作PV垂直于棱线，求出截交线 I II III
IV(1234,1’2’3’4’)。
2. 求正截面ⅠⅡⅢⅣ的真形11213141。 3. 画展开图。
例3、求作正交三通的展开图。
1. 准确求出三视图中的相贯线。 2. 作圆柱 I 的展开图。
3. 作圆柱 II 的展开图。
πd2
0123456543210
πd1
M
C B A N A BC
5·2 可展表面展开图画法
图解作图的实质是求出各表面的真形。 常用方法：三角形法；正截面法；侧滚法。
三、侧滚法
基本原理：绕平行于投影面的旋转轴旋转各棱面，称为绕 平行轴旋转法。
展开条件：各棱线必须平行于某一投影面。 适用范围：棱线平行于投影面的斜棱柱和素线平行于投影
AB1
a’0 a0
DC1 DD1
B1
A1
2. 求出各三角形三条边真长 。 3. 从AB1边开始，以AB1 、 AA1、 A1B1三边的真长为边作ΔAA1B1。 A 4. 作出ΔABB1、ΔBB1C1、……、ΔAA1D1，完成四梯形表面的展开图 。
立体图形的表面展开图例题与讲解
立体图形的表面展开图例题与讲解(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--立体图形的表面展开图1．圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体，如圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图是什么形状呢(1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)．(2)圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)．(3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)．【例1】如图，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使AB，DC重合，则所围成的几何体图形是()．解析：此题可用排除法．因为阴影部分是个扇环，而圆柱的侧面展开图是长方形，所以排除A；圆锥的侧面展开图是扇形，所以排除B；长方体的侧面展开图是长方形，所以C 也要排除；故选D.答案：D2.正方体的表面展开图(1)正方体的表面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四种情形，各种类型的共同特点是行与行之间有且只有一个“日”型结构，由此可知正方体的展开图不会出现如下面图形所示的“凹”字型和“田”字型结构，因为这里的行与行之间出现了两组“日”型结构．(2)正方体展开图中相对面的寻找技巧：相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面，如图1中的A面和B面；‘Z’字两端处的小正方形是正方体的对面，如图2、图3的A面和B面．此种方法简称为“相间、‘Z’端是对面”．解技巧正方体的表面展开图的判断思路(1)是否满足四种阵型中的一种；(2)行与行之间有且只有一个“日”型结构．【例2】一个正方形的每一个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方形中，与“爱”相对的字是()．A．家B．乡C．孝D．感解析：本题以热爱家乡为素材，考查正方体的表面展开图．解题时可亲自动手剪一剪、折一折，即可得到与“爱”相对的字是“乡”；另外也可对展开图加以分析，根据展开图对面之间不能有公共边或公共的顶点，“爱”的对面不可能是“我”或“家”，折叠起来后“孝”、“感”与“爱”相邻，所以“爱”的对面不可能是“孝”、“感”，所以与“爱”相对的字是“乡”；但如果本题应用正方体展开图的对面寻找技巧——“相间、‘Z’端是对面”来解决，会非常简单，由相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面易知“爱”与“乡”相对．答案：B【例3】如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字和最小是()．A．4 B．6 C．7D．8解析：将展开图还原成正方体，2和6相对，3和4相对，1和5相对，则原正方体相对两个面上的数字和最小为6.答案：B谈重点解决正方体展开图问题的关键熟练掌握正方体展开图的对面寻找技巧可以有效降低解题的难度，起到事半功倍的效果．3．正方体表面展开图的应用如果不考虑由于旋转等造成的相对位置的不同，正方体表面展开图一共有11个．正方体表面展开图的特点是每一个顶点周围的棱不超过三条．(1)“1–4–1”型有6个，其中通过“1”的移动可以由一个得到另外的5个，如图．(2)“1–3–2”型有3个，其中通过“1”的移动可以由1个得到另外的2个，如图．(3)“3–3”型有一个，“2–2–2”型有一个，如图．【例3－1】一个正方体的每一个面上都写着一个汉字，其表面展开图如图所示，那么，在该正方体中和“超”所对的汉字是__________．解析：这是“1–3–2”型的正方体表面展开图．根据展开图可知对面之间不能有公共边或公共顶点，所以“超”字的对面不能是“沉”、“着”、“越”，根据上下相对和左右相对，由于“信”和“着”相对，“着”和“超”相邻，所以“信”和“超”相邻．这样和“超”相对的字只能是“自”．答案：自【例3－2】六一儿童节时，阿兰准备用硬纸片通过裁剪、折叠制作一个封闭的正方体礼盒．她先在硬纸片上设计了一个如图1所示的裁剪方案(实线部分)，经裁剪、折叠后成为一个封闭的正方体礼盒．请你参照如图，帮她设计另外两种不同的裁剪方案，使之经裁剪、折叠后也能成为一个封闭的正方体礼盒．图1 图2分析：阿兰设计的是正方体的11种展开图中的一种，可以从剩下的10种展开图中任选两种在如图的小方格中画出．解：如图2所示．4.其他立体图形展开图的应用由平面图形围成的立体图形叫多面体，其表面展开图可以有不同的形状．应多实践，观察，并大胆想象立体图形与表面展开图的关系．立体图形的表面展开图包括侧面展开图和底面展开图，画立体图形的展开图时，一定先观察立体图形的每一个面的形状．圆柱的侧面展开图是长方形，底面是圆；圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆；n棱柱的侧面展开图是n个高相等的长方形，底面是n边形；n棱锥的侧面展开图是n个三角形，底面是n边形．【例4】小新的茶杯是圆柱形，如图所示．左边下方有一只蜘蛛，从A处爬行到对面的中点B处，如果蜘蛛爬行路线最短，请画出这条最短路线图．分析：先画出圆柱的侧面展开图，再连接得到最短路线．解：如图所示．5．立体图形展开图的应用立体图形展开图的考查一般以选择题为主要方式，答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟(想象)折纸、翻转活动，较好地考查了学生的空间观念．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号和各种图案的面的特点及位置，解题时，先正确画出立体图形的表面展开图，再仔细观察图案以及符号的不同特点，从而选出正确的答案．有时，根据图案的位置和方向可以先把一些很明显的不符合题目要求的选择项先排除掉，再一步步的寻找正确的选项．要想灵活解决此类问题，一要熟练掌握立体图形展开图的基本知识和解题技巧；二要充分发挥自己的空间想象力；三要不断积累生活经验和解题经验．【例5－1】如图所示的正方体的展开图是()．解析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．选项A和选项D折叠后，箭头不指向白三角形，C项折叠后与原正方体不符．B折叠后与原正方体相同．故选B.答案：B【例5－2】图1是由白色纸板拼成，将其中两面涂上颜色，如图2所示．下列四个中哪一个是图2的表面展开图()．解析：由图中阴影部分的位置，首先可以排除B，D，又阴影部分正方形在左，三角形在右．故选A.答案：A。
正方体的11种展开图
将正方体的表面沿棱适当剪开，观察它的展开图 是怎样的，然后画出示意图.（沿着不同的棱剪开，会 得到不同的展开图，比一比，看谁得到的结果多！）
5.正方体(含长方体-四棱柱)展开图
第一类，中间四连方，两侧各一 个，共六种。
1 2 3
4
5
6
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
结果: 共有 11 种情况
正方体的展开图有11种基本情况：
一四一型
二三一型
二二二型
三三型
好课件(华师大)七数上立体图形的表面展开图
A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
11 有一个正方体，在它的各个面上分别涂 了白、红、黄、兰、绿、黑六种颜色。甲、乙、 丙三位同学从三个不同的角度去观察此正方体， 结果如下图，问这个正方体各个面的对面的颜 色是什么？
黑 红兰
白 黄红
绿 兰黄
甲
乙
丙
红---绿（甲`乙） 黄---黑（乙`丙） 兰---白（甲`丙）
13 下面几个图形是一些常见几何体的 展开图，你能正确说出这些几何体的 名字么？
棱锥的展开图是
由一个多边形(作底)和 几个三角形(作侧面)组成的
［例］下面图形经过折叠能否围成棱柱？
(1)侧面数(4个)≠底面边数(3条)，不能围成棱柱． (2)两底面在侧面展开图的同一端,不在两端,所以也不能 围成棱柱．
(3)可以折成棱柱
小结：
1、棱柱的所有侧棱长度都__相__等__，棱柱有上 下两个底面，且形状_相__同___、大小__相__等_. 2、判断一个平面展开图是否能折叠成一个棱柱， 一般情况下应该具备两个条件： （1）底面图形的边数=侧棱的个数 （2）棱柱的两个底面分别在侧面展开图的两端。
(11) (12)
(10) (13)
哪些图是正方体的表面展开图(2)?
不是
(17)
(19)
不是
(18)
不是
(20)
“坚”在下，“就”在后，胜利在哪里？
坚 持就是
胜 利
如果“你”在前面，那么谁在后面？
了！ 太棒 你们
KEY: 棒
5、右图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方 体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分）， 其中正确的是（ B ）
将一个正方体的表面沿某些棱剪开,
立体的表面展开图
2
平面立体的表面展开图
平面立体的表面都是平面多边形，因此将组成该立体表面的各平面多边形的 实形依次相连地画在一个平面上，即可得到其表面展开图。绘制表面展开图时经 常会遇到求作线段实长和平面实形的问题。求作线段实长和平面实形的方法很多， 除了前面所讲的换面法和已介绍过的直角三角形法外，常用的还有旋转法。
1.旋转法求一般位置直线的实长
投影面保持不变，将空间几何元素绕某一定轴旋转到有利于解题的位置，再求出其旋转后的投影，这种方法 称为旋转法。
如图（a）所示，直线AB是一般位置直线，过端点A作回转，然后将AB绕回转轴AC旋转至平行于V面的
AB1位置。此时，AB1是正平线，V面投影a′b1′反映AB1的实长，由于AB和AB1长
(a)
(b)
斜口四棱柱管的展开图
2.平面立体的表面展开图案例
【案例2】根据图（a）所示四棱台形管的主视图和俯视图，画出其表面展开图。
线面分析：该四棱台形管的四条棱线延长后交于一点S，因此其基本 形体为四棱锥，且锥顶S的水平投影落在上、下底面水平投影的中心处， 所以该四棱锥是正四棱锥。可以先将四棱锥展开，然后在四棱锥的展开 图上截取四棱台形管的展开图。
四棱台形管的展开图
(c)
2.平面立体的表面展开图案例
【案例2】根据图（a）所示四棱台形管的主视图和俯视图，画出其表面展开图。
作图步骤：
① 利用直角三角形法求四棱锥侧棱的实长。以水平投影se的长度作水
平线O1E1，自O1点作垂线S1O1，使S1O1等于四棱锥的高H0（E，S点的Z坐标
差），则直角三角形S1O1E1的斜边S1E1即为侧棱SE的实长，如图（b）所示。
机械制图
1
概述
将制件各理论表面按实际形状和大小展开，并画在同一平面上的图形 称为立体的表面展开图。
华师大版七年级上册立体图形的表面展开图课件
将一个正方体 的表面沿某些棱剪 开,能展成哪些平 面图形？
友谊提示： 1、沿着棱剪 2、展开后是一个图形
下面4个图是一些多面体的表 面展开图,你能说出这些多面体 的名称吗?
正方体
长方体
四棱锥
三棱柱
视察上面的14种图形都是 正方体的表面展开图吗？
1
2
34
5
6
7
8
9
10
11
12
正方体的展开图口诀 : “一四一”“一三 二”， “一”在同层可任意， “三个二”成阶梯， “二个三”“日”相 连正方，体的表面展开图，相对两面不相连， “左右凹隔”一“列田，”上不下能隔有一。行
（2）展开图中含有两个相同的多边形和n个长 方形时，立体图形是n棱柱；反之成立。 （3）展开图中含有一个n边形和n个三角形时， 立体图形是n棱锥；反之成立。
四棱锥 长方体 三棱柱
三棱锥 三棱柱
正方体
思考:
是不是所有的立体图形 都能展开图成平面图形呢？
总结 一下
立体图形是由面围成的，沿着立体图形 的一些棱将它剪开，展开成一个平面图形， 这个图形就是该几何体的平面展开图。同一 个立体图形，按不同的方式展开，可以得到 不同的平面展开图。 （1）展开图全是长方形或正方形时，立体 图形可能是长方体或正方体；长方体（正方 体）的展开图全是长方形或正方形（正方 形）；
13
14
这11种图 形是正 方体的 表面展 开图.
总结 规律
正方体的展开图口诀 : “一四一”“一三二”， “一”在同层可任意， “三个二”成阶梯， “二个三”“日”相连， “凹”“田”不能有， 掌握此规律， 运用定自如。
黄
红
蓝
4.3立体图形的表面展开图
全体总动员:
下面几个图形是一些常见几何体的展开图， 你能正确说出这些几何体的名字么？
圆锥
四棱锥
长方体
三棱柱
三棱锥
三棱柱
正方体
圆柱
如果“你”在前面，那么谁在后面？
了 ！
太 棒 你们
KEY:
棒
课后反思:
通过本节的学习活动，你了解了 立体图形与平面图形的关系吗？有些 什么收获？
大多数的立体图形可以展开为平面图形, 平面图形可以折叠成立体图形。同一个立 体图形按不同的方式展开得到的表面展开 图是不一样的。
(1)
(2)
(3)
(4)
如图是一个立方体纸盒的展开图，使 展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两 个数互为相反数,求: -7 1 a ___, b ___, c ____ -2
2 c
7 -1 a b
“坚”在下，“就”在后，胜利在哪里？
坚
持 就 是 胜 利
方法总结
坚 持 就 是
一个多面体的展开图 中,在同一直线上的相邻 的三个线框中,首尾两个 线框是立体图形中相对的 两个面.
1.是不是所有的立体图形都 能展开图成平面图形呢？
2.球体能展开成平面图形吗？
做个小小设计师
如果你是一个小小设计师， 要帮客人设计礼品的包装。你 要如何设计？同学们，发挥你 的才华，放飞你的想象，把今 天学到的知识用到生活中去！
正方体
长方体
四棱锥
三棱柱
考考你的空间想象力:
下列图形是哪些多面体的展开图？
(1)
长方体
(2) (3)
三棱柱
五棱锥
将一个正方体的表面沿某些棱剪开, 能展成哪些平面图形？与同伴进行交流. 友情提示： 1、沿着棱剪 2、展开后是 一个图形
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学习目标
1.认识立体图形与平面图形的关系。 2.了解多面体可由平面图形围成。
快乐探究
1.理解什么是展开图。 2.动手完成做一做。 3.说出试一试中的图形是那些立体图形 的展开图。 4. 正方体表面展开图有几种不同的情况。
多面体是由平面图形围成的立 体图形，沿着多面体的一些棱 将它剪开，可以把多面体的表 面展开成一个平面图形，这就 是多面体的表面展开图。
么规律？ 2、小组讨论这些正方体展开图可以分为几类 ？哪几号展开图可以分为一类,为什么?
-
-
巧记正方体的展开图口诀 : “一四一”“一三二”， “一”在同层可任意, “三个二”成阶梯, “二个三”“日”相连, 异层必有“日”， “凹”“田”不能有， 掌握此规律，运用定自如。
红 蓝
黄
下面的图形那些是立方体的展开图？
2.同一个多面体沿不同的棱剪开,得 到的平面展开图是不一样的,就是说: 同一个立体图形可以有多种不同的 展开图.
将一个正方体的表面沿某些棱剪开, 能展成哪些平面图形？ 友情提示： 1、沿着棱剪 2、展开后是 一个图形
可以动手剪,也 可以想着画.
1 7
2 8
3 9
4
5 10
6 11
分一分：
要求：1、观察上面的11种正方体的展开图有没有什
3.你想到了什么？
如图是一个立方体纸盒的展开图，使 展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两 个数互为相反数,求: -7 1 a ___, b ___, c ____ -2 2
c
7
-1
b
a
作业：
下图是一个正方体纸盒的展开图，请把10， 5，－10，－5，3，－3分别填入每个正方 形，使得折成正方体后，相对面上的两数 互为相反数。
观察下列立体图形的表面展开图 是什么?
圆 柱
展开
圆锥
展开
棱柱
展开
长方体
展开
下面4个图是一些多面体的表面展 开图,你能说出这些多面体的名字吗?
正方体
长方体
四棱锥
三棱柱
下面图形都是由4个三边都相等的三角形组成 的,哪一个可以折叠成多面体呢?动手做做看。
(1)
(2)
(3)
发现规律
1.沿多面体的棱将多面体剪开成平 面图形,若干个平面图形也可以围成 一个多面体.
相 对 两 面 不 相 连 上左 下右 隔隔 一一 行列
蓝 黄
?
(1)
(2)
(3)
(4)
考考你的空间想象力:
下列图形是哪些多面体的展开图？
(1)
长方体
(2的三幅平面图不是三棱柱的表面展 开图的有（ ）
甲
乙
丙
如果“你”在前面，那么谁在后面？
了 ！
太 棒
你 们
KEY:
棒
1. 通过本节的学习活动，你了解了那 些知识？
2.你还有哪些疑惑？