指数函数连续性证明的探讨

Ｖ ｓ＞ ０ ， ｊ ６ ＞ ０ ， 使得ｌ Ｉ ＜ ６ ， ｌ 口 一 １ Ｉ ＜ ８ ， 由ｌ ｎ 一 ｌ ｌ ＜ ｓ得
１ 一 ＜口 ＜１十 ， 于是有ｌ ｏ ｇ 。 （ １一 ）＜ ＜ｌ ｏ ｇ 。 （ １＋ ） ．
指 数 函数 连续 性证 明 的 两 种 方 法 ， 并将其 与文献 ［ １ ］ 中 的 证
明方 法 进 行 了 比 较 ， 这 样 更 有 利 于 学 生 学 习 和 掌 握 指 数 函 数 的连 续 性 ．
Fra Baidu bibliotek
只需比较 Ｉ ｌ ｏ ｇ 。 （ １ 一 ｓ ） Ｉ 和Ｉ ｌ ｏ （ １ ＋ ） Ｉ 的大小． 事实
２ ． 理 论 基 础 定义 １ 若 函数 ｆ （ ） 在 ‰ 的某邻域有定 义， 并 且 ｌ ｉ ｍ ｆ （ ） ＝ ， （ 。 ） ， 称， （ ） 在 点 。 连续．
０＜１时 ， ｌ ｉ ｍａ ＝ ．
… ０
‰
定义 ２ 若 ｌ ｉ ａ， ｒ （ ） ＝ ， （ ） ， 则 称厂 （ ） 在 点 。 左连 续 ；
…
若ｌ ｉ ａ， ｒ （ ）＝ ， （ 。 ） ， 则称 ， （ ） 在点 ‰ 右连续．
矿
其次 ， 证 明对 任 意 的 ， ｌ ｉ ｍａ ＝ｏ ． 因为 ｏ ＝ｏ 。 …。
●
解 题 技 巧 与 方 法
● ●
・ ・
●
搞数函数连续懂谖 明 ； 渤探赫
◎刘 晓伟 王 超 （ １ ． 河 北 工程 大学理 学院 ， 河北 邯郸 ０ ５ ６ ０ ３ ８ ； ２ ． 河 北工程 大学经 济与 管理 学院 ， 河北 邯郸 ０ ５ ６ ０ ３ ８ ）
【 摘要 】 给出 了指数 函数连 续性证 明 的两种 方法 ， 并将
连 续 性 的证 明 有 着 非 常 重 要 的 意 义 ． 本 文 利 用 定 义 法 给 出
续 性的证明 ， 下 面 利 用 定 义 法 给 出 指 数 函 数 连 续 性 的 两 种
证 明方 法． 方 法一 ： 不 妨 设 。＞１ ， 先证ｌ ｉ ａｏ ｒ ＝ｎ 。＝１ ， 即 只 需 证
… ０
上 ， ｌ ｌ ｏ ｇ
＋ 连 酷 ， ＝ － 、 续 Ｉ —ｌ ｏ ｇ 一 ｓ ） ＝ ｌ ０ ｇ Ⅱ ， 半 ＝ （ １ ＋
１一 占
即
三
８ ） （ １— ）＜１ ， 所以 １ ｌ ＜ｌ ｏ ｇ （ １＋ ８ ） ， 即取． 同 理 可 证 ０＜
３ ． 指 数 函数 连 续性 证 明
ｎ … ｏ ＿ １ ） ｎ ａ 一 。 １ ｎ （ 嘉“ ） ， （ ） ｌ ｎ ｎ ｃ ｌ ｎ
：
在参考文 献［ １ ］ 中 第 二 章 第 三 节 给 出 了 指 数 函数 在 其
定 义 域 内是 连 续 的 证 明 。 过 程 如下 ：
ｊ６＞ ０ ， 使 得 一 ０＜占时 ， 口 一 。＜ ． 事实上， 口 一口 叼＝
， （ ） 在（ ｏ ， ｂ ） 内 连续 ． 。 定义 ４ ， （ ） 在［ ｎ ， ｂ 】 上 连续 指 ｆ （ ） 在（ 。 ， ｂ ） 连 续 且
ｌ ｉ ａ， ｒ （ ）＝ ， （ 口 ） ， ｌ ｉ ａ， ｒ （ ）＝ ， （ ｂ ） ．
所以ｌ ｉ ｍａ ＝口 ．
… ０
定义 ３ 若 ， （ ） 在开区间 （ ｏ ， ｂ ） 内每一点都 连续 ， 也 就
是说对 （ ａ ， ｂ ） 内任 何 一 点 。 ， ｌ ｉ ｍ ｆ （ ）＝ ， （ ‰） 都 成立 ， 则 称
… ０
方法二 ： （ １ ） 当 口＞１时 ， 先证 右连续． 只需 证 Ｖ ＞ ０，
【 关键 词 】 指 数函数； 连续性 ； 证明
１ ． 引 言
数 学 分 析 的研 究 对 象 是 函 数 ， 更 确 切 地 说 主 要 研 究 的
是 连 续 函数 ， 因 此 函 数 的 连 续 性 是 数 学 分 析 的 一 个 重 要 概 念． 而 指数 函 数 是 基 本 初 等 函数 的 一 种 ， 所 以 讨 论 指 数 函 数
朋
可
设 ａ＞１ ， 先来证明 ｏ 在 零 点 的 连 续 性 ， 分 析 分 两 步
进行．
１
（ ２ ） 当 ０＜口＜１时 ， 先证右 连续． 只需证 Ｖ ＞０ ， 了 占 ０ ， 使 得 —Ｘ ０ ＜ 占时 ， 口 蜘一 ０ ＜ ． 事实 上， 。 。一口 ＝口 （ １一口 …。 ） ＜ｓ ， ｌ ｎ ａ 。＞
其 与文献［ １ ］ 中的 证 明 方 法 进 行 了 比较 ， 这样更有 利于学 生 学 习和 掌 握 指 数 函数 的 连 续 性 ．
ｂ ＞ １ ， ｏ ： 寺 ， 由ｂ 在定义域内连续， 按照连续函数的运算 Ｄ
法则便 得到 ｏ 在 定 义 域 内连 续 ． 上边的证明用到 了两边 夹定 理及 一些运 算技 巧 ， 对 于 基 础较为薄弱的初 学数 学分 析的学 生 ， 理 解 并 掌 握 整 个 过 程 较为困难． 为 了 使 学 生 较 为 容 易 地 理 解 掌 握 指 数 函 数 连
（ １ ）设 ０＜ ＜ ， ｎ为 某 个 正 整数 ， 因为 。＞１ ， 那 么０＜
１
口 一１ ＜ 口 一１ ， 我们知道ｌ ｉ ａａ ｒ ； － ＝ １ ， 这样 便 证 明 了 ｌ ｉ ｍ ０ ＝１ ＝
ｎ一 ∞ －＋ ＋０
：
．
…
。
。
，
所以 ｎ 在零 点右连续． （ ２ ） 以 下再 证 明 口 在零点左连续． 设 ＝ 一Ｙ ， 那么 ｎ ＝ 通过实际的教学 过程发 现 ， 学 生 更 容 易 接 受 方 法 一 和 方法二 ， 并 能从 中 更 深 入 的 学 习 理 解 指 数 函数 的连 续 性 ．