高三数学导数专题

导数专题

一、基本概念与基本方法

例1、已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10, 则(2)f =_______．

例2、（2016全国甲卷）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则

b =_____．

例3、（2016四川）设直线12,l l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩

图象上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直

相交于点P ，且12,l l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB ∆的面积的取值范围是（ ）

A ．(0,1)

B ．(0,2)

C ．(0,)+∞

D ．(1,)+∞

例4、（2016全国乙卷）若函数1

()sin 2sin 3

f x x x a x =-+在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是

（ ）

A ．[1,1]-

B ．1

[1,]3-

C ．11[,]33-

D ．1

[1,]3

-

例5、已知函数()x f x ax e =-，若存在实数x ，使得()0f x ≥，则a 的取值范围是_______．

例6、设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）

A ．3[,1)2e

- B ．33[,)24

e -

C ．33[

,)24

e D ．3[

,1)2e

例7、如图，直线y kx m =+与曲线(y f x =）相切于两点，令(=()F x f x kx -），则（ ） A ．()F x 有两个极大值点 B ．()F x 有三个极大值点 C ．()F x 有两个极小值点 D ．()F x 有三个极小值点

二、补充知识

1．极限 （1）常见极限

lim n C C →∞=（C 为常数），1lim 0n n →∞=，0||111lim 11n

n a a a a a →∞<⎧⎪=⎪=⎨∞

>⎪⎪≤-⎩不存在，1lim(1)n n e n →∞+=．

（2）各种函数增长速度的比较 1110ln n n x n n y x y a x a x a x a y e --=→=++

++→=

lim 0!n n a n →∞=，lim 0k n n n a

→∞=（1,a k >为常数），ln lim

0n n

n →∞=， 111011100()

lim

()()p p p p p

q q n q

q q p q a n a n a n a a p q b b n b n b n b p q ---→∞

-⎧<⎪

++++⎪==⎨++

++⎪⎪∞>⎩

（,p q 正整数）．

2．泰勒展式 若函数

()f x 在x a =处无穷阶可导，则

()2'()''()

()

()()()()()1!2!!

n n f a f a f a f x f a x a x a x a n =+-+-+

+-+

．

将函数()x f x e =在0x =处展开，得到23411112624

x

e x x x x =++

+++；

将函数()ln g x x =在1x =处展开，得到12

1ln (1)(1)2

x x x =---+

．

从而得到两个重要不等式．

3．洛必达法则 设函数

(),()f x g x 满足：

（1）lim ()lim ()0x a

x a

f x

g x →→==；

（2）'()f x 和'()g x 都存在，且'()0g x ≠；

（3）'()

lim

'()

x a f x A g x →=（A 可以为实数，也可以是±∞）， 则()'()

lim lim ()'()

x a

x a f x f x A g x g x →→==（可连环使用）． 其中条件（1）也可以换为lim ()lim ()x a

x a

f x

g x →→==∞．

三、结合代数其他知识

例8、已知函数2

1()1x f x ax -=

+，其中a ∈R ．

（Ⅰ）当1

4

a =-时，求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当0a >时，证明：存在实数0m >，使得对于任意的实数x ，都有|()|f x m ≤成立．

例9、（2017全国III 卷文）已知函数2

1

1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ）

A ．12

-

B ．13

C ．

12

D ．1

例10、已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(,2)x k f x x k k =--∈≥N ，求函数()f x 的极值点个数．

四、对导函数的处理方法

例11、求函数2

1()ln(1)2

f x kx x x =-++的单调区间．

例12、求函数22()ln (24)4f x x x kx kx x =-+-的单调区间．

例13、（全国I 卷）已知函数()()2e 2e x x

f x a a x =+--．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．

例14、设函数2()mx f x e x mx =+-，求单调区间．

例15、（2015山东文）设函数()()ln f x x a x =+，2()e

x x g x =. 已知曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线

与直线20x y -=平行.

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(1)k k +，内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设函数()min{()()}m x f x g x =，（min{}p q ，表示p q ，

中的较小值），求()m x 的最大值．