形式逻辑 5复合命题及其推理

再如，曾国藩在围剿太平天军时曾经多
次失利。有一次，他在给慈禧太后的奏 章中，写有这么一句：屡战屡败。
奏章写完后，曾国藩又读了一遍，发现
“屡战屡败”有些不对劲儿。于是，他
把它改为：屡败屡战。
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(二) 联言推理
联言推理就是指根据联言命题的特征 而进行的命题推理。
联言推理有并且只有两种有效的形式：
说(science fiction)《我，机器人》(I,
Robert) 中，他提出著名的“机器人三大
定律”。
3
定律Ⅰ：机器人不能伤害人类，或者不能
袖手旁观而使人类受到伤害。
定律Ⅱ：机器人必须服从人类的命令，
除非该命令与定律Ⅰ相冲突。
定律Ⅲ：机器人必须保护自己的存在，只
要不与定律Ⅰ或定律Ⅱ相冲突。
q”。这类公式称为不相容析取式。
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不相容选言命题的特征是：当且仅当一
个选言支为真时，不相容选言命题是真 的；否则，就是假的。
不相容选言命题的特征可以用下面的真
值表显示出来：
28
p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
p 0 1 1 0
q
29
例如，17世纪法国寓言诗人拉·封丹
(Jeande La Fontaine)的《磨工卖驴》
25
(1) 武松打死老虎，或者被老虎吃掉。
(2) 要么玉碎，要么瓦全。 (3) 在选举中，一个人要么赞成，要么
反对，要么弃权。
(4) 定居国外的华人要么保留中国国籍，
要么取得外国国籍。
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包含两个选言支的不相容选言命题的命
题形式是：
p要么q
其符号化公式是：
p
q
读作“p不相容析取q”或者“p强析取
Fra Baidu bibliotek.
4.
联言命题是由联言支和联结词等两个部
分组成的。一个联言命题至少有两个联 言支。
（复合命题的支）命题一般用p, q,
r, …来表示。（proposition）
联言命题的联结词一般用“并且”或
“且”来表示。
8
因此，包含两个联言支的联言命题的
形式是：
p并且q
我们可以把它符号化为： p∧q
为电视机开着。如果我们进一步确认电
灯、电脑和电视机等三种电器都没有开，
那么就可以推出电冰箱在运转。
42
包含两个选言支的相容选言推理的否定
肯定式的形式是： p或者q 非p 所以，q p或者q 非q 所以，p
或
43
其符号化公式为：
(p∨q) ∧﹁p├ q (p∨ q) ∧﹁q├ p
或者
描述这样一个故事。
磨工和儿子一块儿去卖驴。路上，磨工 让儿子骑驴，自己跟着步行。有行人看 到说：“成何体统！儿子骑驴，让老子 步行！”磨工赶快让儿子下来，自己骑 到驴上。
30
走一段路，又有人说：“老子骑着驴，
让儿子步行，这不是虐待孩子吗！”磨
工一听，干脆，让儿子也骑上吧！
可是，走不多远，又有人替驴子抱不平： “简直一点都不知道爱惜动物！”磨工 和儿子就都下了驴子，跟着驴子后面步 行。
要肯定这个选言支。
(b) 肯定一部分选言支，不能否定其余
的选言支。
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（2）相容选言推理的附加式是指，以
一个命题为前提而推出一个相容选言命
题为结论的相容选言推理。其形式为：
p，所以p或者q。
其符号化公式为：
p├ p∨q 注意，p与p∨q不是互推的。
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2. 不相容选言推理 不相容选言推理，是指根据不相容选言 命题的特征而进行的选言推理。 不相容选言推理包括两种有效式：否定
• 这时，皇帝突然收到密报：有个使臣从 每锭黄金上割掉1钱黄金，中饱私囊； 但裸眼又看不出他的金锭不够分量。
51
• 第二天，皇帝命令5名使臣各自站到自
己征收的黄金面前，对大臣们说：“谁
能一秤就秤出是哪个使臣上缴的黄金不
够分量，定有重赏！”
• 皇帝的这个问题一时难住了大家。经过
思考，有位机智的大臣站了出来。
能两者都真。 我们可以用真值表来检验这个定义：
35
p qp 1 1 0
(p∨q)∧ q p∨q p∧q ﹁(p∧q) ﹁(p∧q) 1 1 0 0
1 0
0 1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0 0
0
0
0
1
0
36
使用选言命题注意事项
(1)正确区分相容析取与不相容析取，
还要正确区分合取与析取。
(2)要穷尽一切可能性，以保证选言命
(1)
这张表需要领导签字或者盖章。
(2)
作品大抵是作者借别人以叙自己，
或以自己推测别人的东西。（鲁迅）
(3)
（这是）老弱病残席。
21
相容选言命题的联结词通常有“或者”、 “或”、“或许……或许……”、“也 许……也许……”等等。 有两个选言支的相容选言命题的形式： p或者q 它的符号化公式是： p∨q 读作“p（相容）析取q”。这种类型的 公式则称作（相容）析取式。
p, q├ p∧q
17
2. 分解式 联言推理分解式就是指，前提为联言 命题，结论为它的部分联言支的联言
推理。
例如，由“业精于勤，而荒于嬉”，
可以推出“业精于勤”。
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包含两个联言支的联言推理分解式，其
推理形式如下： p并且q 或者 p并且q 所以，q
所以，p
其符号化公式是：
p∧q├ p
p∧q├ q
或者
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三、选言命题及其推理
(一) 选言命题（析取命题）
选言命题，就是指至少有一个支命题为真
的复合命题。它由选言支和联结词等两个
部分组成。
根据联结词的特征，我们可以把选言命题
分为相容选言命题和不相容选言命题。
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1. 相容选言命题（相容析取命题）
它是指选言支可同真的选言命题。例：
• 乙想，甲不可能两只眼睛都是假的，否
则他就是瞎子！而他显然不是瞎子。于 是，乙又赌上100元。甲取下假牙咬了 咬自己的右眼。乙又输了。
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(二) 选言推理
选言推理就是根据选言命题的特征而进 行了复合命题推理。
选言推理包括相容选言推理和不相容选
言推理。
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1. 相容选言推理
相容选言推理，就是根据相容选言命题 的特征而进行的选言命题推理。 相容选言推理有两种有效式：否定肯定 式和附加式。
(p (p
或者
p要么q 非q 所以，p 和
50
这可以用符号化公式分别表示为： q)∧﹁ p├ q q) ∧﹁ q├ p
例如。古代有位皇帝派出5名使臣到全 国各地征收黄金，要求每个使臣在限期 内征收1000两黄金。
• 果然，每位使臣都如期完成任务。他们 把征得的黄金分装为10箱，每箱10锭 黄金，每锭10两。
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又走了一会儿，有人嘲讽道：“这是不
是新风尚，驴子也解放了？” 磨工听了，没有办法，只好和儿子抬着
驴子走。这样一来，马上就有人喊起来：
“快来瞧啊！这三个蠢驴之中看来最笨
的不是驴自己。”
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磨工一时感到计无所出。经过思考，磨
工大悟。选择其中一种方式，走自己的
路，让别人去说吧。
“儿子一人骑驴，磨工一人骑驴，两人 都骑驴，两人都不骑驴，两人抬驴”是 不相容的。当且仅当选择一个选言支时， 不相容选言命题为真。
题的真实性。
• 例如，甲对乙说：“我能用牙齿咬自己
的左眼，信不？我们赌100元。”
• 乙心想，哪有自己的牙齿咬自己的眼睛
的？因此就说：“赌就赌！”
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• 甲就把自己左边的假眼取出来放在嘴里
咬了咬。乙输了。
• 甲又说：“我现在给你一次赢回100元
的机会，我们再赌一次。我还能用牙齿 咬到自己的右眼。”
读作“p合取q”，而这种类型的公式则
称为合取式。
9
联言命题的特征是：当所有联言支都是
真的时，联言命题为真；否则，联言命 题就是假的。
这种特征可以用“真值表”揭示如下：
10
p
1
q
1
p∧q
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
11
联言支的前后次序可以调换，这不影响
联言命题的真值。请见下表： p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p∧q 1 0 0 0 q∧p
组合式和分解式。
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1. 组合式
联言推理的组合式就是指，前提是几个 支命题，而结论则是联言命题的联言推 理。 由联言命题的特征可知，当所有支命题
都为真时，联言命题就为真；否则，联
言命题就是假的。
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因此，包括两个支命题的联言推理的组
合式，可以概括为如下形式：
p q 所以，p并且q 其符号化公式是：
5
二、联言命题及其推理
(一) 联言命题（合取命题）
联言命题就是同时反映多种事物情况的
复合命题。 例如，
6
1.
胡适是新文化运动的主将，并且曾是 北京大学校长。 公民的职责是批评和监督政府，不 是拍马屁和唱赞歌。 不求与人相比，但求超越自己。
威武不能屈，富贵不能淫，贫贱不能 移。
7
2.
表达这三个定律的命题都是复合命题。现 在，这三大定律仍具有重要的现实意义。
4
复合命题的质是由联结词来决定的。
根据联结词的不同，复合命题可以分为 联言命题、选言命题、条件命题和负命 题等四种。 根据这些复合命题的逻辑性质而进行的
演绎推理分别称为联言推理、选言推理、
条件推理和负命题推理等四种。
肯定式和肯定否定式。
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(1) 不相容选言推理的否定肯定式
它是指由否定选言前提中某个选言支以 外的其他所有选言支，而推出那个没有
被否定的选言支为真的选言推理。
因为不相容选言命题为真，当且仅当， 它的选言支有一真并且只有一真。
49
包含两个选言支的不相容选言推理的否 定肯定式的形式是：
p要么q 非p 所以，q
33
换句话说，不相容选言命题要想为真，
当且仅当“肯定”一个选言支。不能连 一个选言支也不肯定。 不过，对于这个故事中的命题，有的选 言支可行性比较强，而有的选言支则根
本没有可选性。
34
不相容选言命题可以定义为：
p
q = (p∨q)∧﹁(p∧q)
为什么？一个不相容选言命题为真，当
且仅当，它的两个选言支有一真，但不
1
0
0
0
12
但是，必须注意，在日常语言中，调换 联言支的顺序有时会改变原命题的意义， 甚至改变原命题的真值。 例如，有位无良的法官在审判某个案件 时，最初拟给被告的判决词中有这么一 句：情有可原，理无可恕。后来，这位 法官收受了被告的贿赂，就把这句判词 改为：理无可恕，情有可原。于是，被 告无罪释放。 13
40
（1）相容选言推理的否定肯定式是指，
否定相容选言命题前提中的一个以外的 所有其他选言支、结论肯定那个没有被
否定的选言支的相容选言推理。
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例如，某家有电冰箱、电灯、电脑和电
视机等四种用电器。如果发现电表正在
转动，那么在正常情况下，电表转动或
者是因为电冰箱开着，或者是因为电灯
开着，或者是因为电脑开着，或者是因
第五章 复合命题及其推理（上）
1
一、复合命题概述
复合命题是包含其他命题的命题。
复合命题由支命题和联结词构成。
支命题就是复合命题所包含的命题。
联结词就是联结支命题的部分。
2
例如，上世纪40年代，美国著名科幻小说
家阿西莫夫(Isaac Asimov, 1920-92)就 开始探讨机器人问题。后来，在其科幻小
22
相容选言命题的特征是：只要有一个选
言支是真的，整个选言命题就是真的； 只有所有选言支都为假，那么相容选言
命题才是假的。
这种性质可以用如下示意图来显示：
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p
q
p∨q
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
24
2. 不相容选言命题（不相容析取命题）
这是指有并且只有一个支命题为真的选 言命题。
例如：
54
(2) 不相容选言推理的肯定否定式
不相容选言推理肯定否定式，就是由肯 定某个选言支而得出否定其余所有选言
支的选言推理。
因为不相容选言命题为真，当且仅当， 它的选言支有并且只有一真。
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注意，相容选言推理的肯定否定式是无 效的。 例如，在《韩非子》的“郑人买履”中， 郑人所用的推理就是一个相容选言推理 的肯定否定式，以致成为千古笑谈。其 推理过程如下： 或信度，或信脚 宁信度 所以，不信脚。
45
前提为相容选言命题的相容选言推理的 推理规则可以总结如下：
(a) 否定一个以外的其他所有选言支，就
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• 他在第一个使臣的黄金箱中取出1锭黄 金放在秤盘内，在第二个使臣的黄金箱 中取出2锭黄金也放入秤盘内，在第三、 四和五个使臣的黄金箱中分别取出3、4 和5锭黄金，都放入秤盘内，一起秤出 重量，发现差4钱不足150两。 • 于是，这位大臣就知道是第四个使臣贪 污了一些黄金。
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• 这位大臣在思维和推理中运用了不相容 选言推理的否定肯定式： 要么是第一个使臣贪污黄金，要么是第 二个使臣贪污黄金，要么是第三个使臣贪 污黄金，要么是第四个使臣贪污黄金，要 么是第五个使臣贪污了黄金。 不是第一个，不是第二个，不是第三个， 不是第五个。 所以，是第四个使臣贪污了黄金。