大学物理第二章 运动的守恒量和守恒定律

的物体A和B， m'大于m。B静止在地面上，当A自由下 落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体 的速度，以及能上升的最大高度。
解：作绳拉紧时的受力图。 绳子刚好拉紧前的瞬间，物体 A的速度为 v 2 gh 经过短暂的冲击过程，两物体速 率相等，对两物体分别应用动量 定理（取向上为正）：
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(3) 在 冲击、 碰撞问题中估算平均冲力（implusive force）。
F F(t)
t
(4) 动量定理是牛顿第二定律的积分形式，只适用于 惯性系。 (5) 动量定理在处理变质量问题时很方便。
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例2-2 质量m=0.3 t的重锤，从高度h=1.5 m处自由落到 受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间 (1) =0.1 s， (2) =0.01 s 。试求锤对工件的平均冲力。 以重锤为研究对象，分析受力， 解： 作受力图。
动量定理（theorem of momentum）： 质点在运动 过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。 说明
(1) 冲量 I 的方向是所有元冲量 Fdt 的合
矢量的方向。动量定理反映了力在时间上的累积作 用对质点产生的效果。
逆风行舟的分析：
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(2) 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量 叠加原理，或以分量形式进行计算：
FN mg
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解法二：研究锤从自由下落到静止的整个过程， 其动量变化为零。 重力作用时间为
2h / g
支持力的作用时间为
由动量定理：
FN τ mg(τ 2h / g ) 0
FN mg m 2 gh / τ
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例2-3
一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及m'
系统内，内力是成对出现的。
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§2-1 质点系的内力和外力
质心
质心运动定理
二、质心
质心（center of mass）是与质量分布有关的一个代表 点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。
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对于N个质点组成的质点系：
m1 , m2 ,, mi ,，mN r1 , r2 ,, ri ,，rN
3. 功是一个过程量，而动能是一个状态量。
4. 微分形式：
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例2-9 装有货物的木箱，重量G=980 N，要把它运上 汽车。现将长l=3 m的木板搁在汽车后部，构成一斜 面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30° 角，木箱与斜面间的滑动摩擦因数 =0.20，绳的拉力 与斜面成10°角，大小为700 N。 求：（1）木箱所受 各力所做的功；（2）合外力对木箱所做的功；（3） 如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不能少做些功？
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2x dx
2
三、质心运动定理
由质心位矢公式： 质心的速度为
d ri mi d rC d t mi vi vC dt mi mi 质心的加速度为 d vi mi d vC mi ai dt aC dt mi mi
mi ai F i
aC
F12 F21 0,, Fin Fni 0,
mi ai
m
Fi maC
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i
Fi maC
质心运动定理： 质心的运动等同于一个质点的运动， 这个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质 点系所受的所有外力的矢量和。
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说明 (1)动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内各个 质点的动量可以变化, 通过内力进行传递和交换。 (2)当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统 的总动量守恒。（如：碰撞、打击过程等） (3) 分量式
(4) 定律不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。
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*四、火箭飞行
设 t 时刻，火箭质量为 m，速度为 v (向 上)，在 dt 内，喷出气体 dm (<0)，喷气 相对火箭的速度(称喷气速度)为 u (向下)， 使火箭的速度增加了 dv。 若不计重力和其他外力，由动量守恒 定律可得
mv (m d m)(v d v) ( d m)(v u )
略去二阶小量，
dm dv u m
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dm dv u m
dm 设u是一常量， v1 d v m1 u m m1 v2 v1 u ln m2
v2 m2
设火箭开始飞行的速度为零，质量为m0 ，燃料烧尽时， 火箭剩下的质量为m ，此时火箭能达到的速度是
且三者都在同一平面内
135

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§2-3 功 能量 动能定理
一、功的概念
物体在力 F 的作用下发生一无限小的位移 d r (元
位移)时，此力对它做的功（work）定义为
d A F cos d r
d A F dr
（为力与位移的夹角）
可以写成两个矢量的标积（scalar product）： 单位：Nm = J(焦耳)
第二章 运动的守恒量和守恒定律
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理 §2-2 动量定理 动量守恒定律
§2-3 功 能量 动能定理
§2-4 保守力 成对力的功 势能 §2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律 §2-7 质点的角动量和角动量守恒定律
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理 一、质点系的内力与外力 内力（internal force） 质点系内各个质点间的相互作用。 外力（external force） 质点系外物体对系统内质点所施加的力。
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§2-2 动量定理 动量守恒定律
一、动量定理
由牛顿运动定律：

t2
t1
p2 F d t d p p2 p1 p1
t2 其中，I F d t
t1
表示力对时间的累积量，
叫做冲量（impulse of force)。
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I p2 p1
2 2
2
m1 m2 m, m3 2m
1 1 2 2 2 2 v3 v1 v2 30 30 21.2( m/s) 2 2
180

v2 tan 1, 45 , v1 和 及 都成 ， 即 v1 v3 v2 135
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三、动能定理
设质点在变力 F 的作用下沿曲线从a点移动到b点，
变力所做的功为：
由牛顿第二定律：
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1 2 定义质点的动能（kinetic energy）： E mv k 2 则有 A E E E
ab kb ka k
动能定理（theorem of kinetic energy）：合外力对 质点所做的功等于质点动能的增量。 1. 2. 与参考系有关，动能定理只在惯性系中成立。
质心的位矢：
rC mi ri / m
直角坐标系中的分量式：
(m mi )
xC mi xi / m
yC mi yi / m
zC mi zi / m
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对于质量连续分布的物体 质心的位矢：
rC r d m / m
( m dm )
dm m0 v u u ln m0 m m
m
火箭的质量比
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多级火箭：
最终速度：vn
ui
Ni
ui ln N i
i 1
n
第 i 级火箭喷气速率 第 i 级火箭质量比
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例2-6 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和 炮弹的质量分别为m' 和m ，炮弹的出口速度为v，求 炮车的反冲速度v'。炮车与地面间的摩擦力不计。
解法一：研究锤对工件的作用过程，在竖 直方向利用动量定理，取竖直向上为正。
( FN mg ) τ 0 (mv0 ) m 2 gh
FN mg m 2 gh / τ
(1) τ 0.1 s, FN 1.92 105 N 6 (2) τ 0.01 s, FN 1.9 10 N
分量式：
xC x d m / m
线分布 面分布 体分布
yC y d m / m
zC z d m / m
d m dl dm dS d m dV
质心与重心（center of gravity）是两个不同的概 念，重心是地球对物体各部分引力的合力(即重力)的 作用点，质心与重心的位置不一定重合。
功是标量，没有方向，但有正负。 功率（power）：
d A F d r 单位：J/s(W) F v P dt dt
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二、能量 能量是反映各种运动形式共性的物理量，各种 运动形式的相互转化可以用能量来量度。各种运动 形式的相互转化遵守能量守恒定律。
能量是物体状态的单值函数。物体状态发生变化， 它的能量也随之变化。 与机械运动直接相关的能量是机械能，它是物 体机械运动状态（即位置和速度）的单值函数，包 括动能和势能。
( FT1 mg)Δt mv (mv) ( FT 2 mg )Δt mv 0
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( FT1 mg)Δt mv (mv) (T2 mg )t mv 0
考虑到绳不可伸长，有： FT1 FT 2 平均冲力FT1 、FT2>>重力，因而忽略重力。
解： 炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故 在爆炸中，可认为动量守恒。
m1v1 m2v2 m3v3 0 m3v3 m1v1 m2v2
(m3v3 ) (m1v1 ) (m2v2 )
2 2 2
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ห้องสมุดไป่ตู้
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(m3v3 ) (m1v1 ) (m2v2 )
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例2-1求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位 置。 解：取坐标轴如图，根据对称性分析 可知
yC 0
取宽度为dx的面积元，设薄板每单位 面积的质量为，则此面积元的质量 为
dm 2 ydx 2 xdx
a/ 2 0
xc
xdm dm
a/
0
2 a 2 3 2xdx
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由牛顿第二定律得
m1a1 F1 F12 F13 F1n m2 a2 F2 F22 F23 F2 n mn an Fn Fn 2 Fn3 Fnn
对于系统内成对的内力
解：选取炮车和炮弹组成系统 内、外力分析。
炮车与地面间的摩擦力不计， 系统水平方向动量守恒。
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系统水平方向动量守恒：
mv mv cos θ v 0
得炮车的反冲速度为
m v v cos θ m m
思考：竖直方向动量守恒吗？
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例2-7 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等， 且以相同速度30 m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块 的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速 度（大小和方向）。
根据质心运动定律： Fi maC
若 即
Fi 0
则
aC 0
vC
mi vi
m p mi vi mvC =常矢量
i
= 常矢量
如果系统所受的外力之和为零，则系统的总动 量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律（law of conservation of momentum）。
把物体与质元作为系统，由动量定理
(m d m)( v d v ) mv d m u F d t dm d 略去二阶小量， (mv ) uF dt dt
变质量物体运动方程
注意：dm可正可负，当dm取负时，表明物体质量 减小。
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三、动量守恒定律
mv m 2 gh v m m m m
即为绳子刚被拉紧 时两物体的速度。
绳子拉紧后，A、B系统的加速度为
m m a g m m
2
速度为零时，物体B达到最大高度H：
2aH v 0
m 2h H 2 m m 2
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*二、变质量物体的运动方程
设 t 时刻，某物体质量为 m，速度为 v (<<c)，另有一 质元dm ，速度为 u 。 t+dt 时刻合并后的共同速度为 v dv 。