运筹学与最优化方法习题集
运筹学与最优化方法习题集
一．单纯性法1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）122121212max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩ 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）12121212max 2322..2210,0z x x x x s t x x x x =+-≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）1234123412341234max 24564282..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+≤⎧⎪-+++≤⎨⎪≥⎩4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）123123123123123max 2360210..20,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+-≤⎪⎪≥⎩ 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）12312312123max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）121212max 105349..528z x x x x s t x x =++≤⎧⎪+≤⎨7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分）12121212max 254212..3218,0z x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩二．对偶单纯性法1.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分） 12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 2.灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）121212212max 3510501..4,0z x x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ 3.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）1212121212min 232330210..050z x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≥⎪⎪-≥⎨⎪≥⎪⎪≥⎩4.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）124123412341234min 26..2335,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x =+-+++≤⎧⎪-+-≥⎨⎪≥⎩5.运用对偶单纯形法解下列问题（共 16 分）12121212max 24..77,0z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩ 6.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩三．0-1整数规划1.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）12345123451234512345123345max 567893223220..32,,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x or =++++-++-≥⎧⎪+--+≥⎪⎨--+++≥⎪⎪=⎩2.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）12312312323123min 4322534433..1,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x or =++-+≤⎧⎪++≥⎪⎨+≥⎪⎪=⎩ 3.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）1234512345123451234512345max 20402015305437825794625..81021025,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++≤⎧⎪++++≤⎪⎨++++≤⎪⎪=⎩或4.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）12345123451234512345max 2534327546..2420,,,,01z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+-+-+≤⎧⎪-+-+≤⎨⎪=⎩或 5.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）12341234123412341234min 25344024244..1,,,01z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+++≥⎧⎪-+++≥⎪⎨+-+≥⎪⎪=⎩或6.7.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）123451234513451245max 325232473438..116333z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x =+--+++++≤⎧⎪+-+≤⎪⎨-+-≥⎪⎪ 1231231231223max 3252244..346z x x x x x x x x x s t x x x x =-++-≤⎧⎪++≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪1.利用库恩-塔克（K -T ）条件求解以下问题（共 15 分）22121122121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2.利用库恩-塔克（K -T ）条件求解以下非线性规划问题。
最优化复习题及答案
最优化复习题及答案一、选择题1. 最优化问题中，目标函数的值随着决策变量的变动而变动，我们称之为：A. 约束条件B. 可行域C. 目标函数D. 决策变量答案：C2. 在线性规划问题中，如果所有约束条件和目标函数都是线性的，则该问题被称为：A. 非线性规划B. 整数规划C. 线性规划D. 动态规划答案：C3. 以下哪个算法是用于求解无约束最优化问题的？A. 单纯形法B. 梯度下降法C. 拉格朗日乘子法D. 分支定界法答案：B二、填空题4. 在最优化问题中，满足所有约束条件的解称为________。
答案：可行解5. 当目标函数达到最大值或最小值时的可行解称为________。
答案：最优解6. 拉格朗日乘子法主要用于求解带有等式约束条件的________问题。
答案：最优化三、简答题7. 简述单纯形法的基本思想。
答案：单纯形法是一种用于求解线性规划问题的算法。
它通过在可行域的顶点之间移动，逐步逼近最优解。
在每一步中，选择一个进入基的变量，使得目标函数值增加最多，同时选择一个离开基的变量，使得目标函数值不降低。
通过这种方法，单纯形法能够找到线性规划问题的最优解。
8. 解释什么是局部最优解和全局最优解。
答案：局部最优解是指在目标函数的邻域内没有其他解比当前解更优的解。
而全局最优解是指在整个可行域内没有其他解比当前解更优的解。
局部最优解不一定是全局最优解，但全局最优解一定是局部最优解。
四、计算题9. 假设有一个生产问题，需要最小化成本函数 C(x, y) = 3x + 4y，其中 x 和 y 分别表示生产两种产品的产量，且满足以下约束条件： - 2x + y ≤ 12- x + 2y ≤ 18- x, y ≥ 0请求解该最优化问题。
答案：首先，我们可以画出约束条件所形成的可行域。
然后，检查可行域的顶点，这些顶点分别是 (0,0), (0,9), (6,0), (3,6)。
计算这些顶点处的成本函数值，我们得到：- C(0,0) = 0- C(0,9) = 36- C(6,0) = 18- C(3,6) = 30成本函数的最小值为 18，对应的最优解为 (x, y) = (6, 0)。
最优化方法练习题(答案)
练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。
答：针对一般优化模型()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<，(1)()()k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等等。
练习题二1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。
如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。
解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。
确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。
确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。
因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++1231231235210..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。
答：略。
3、用单纯形法求解下列线性规划问题：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++12341232 =22 5 =3..13 6=41,2,3,4,5,60x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪⎨-++⎪⎪≥⎩因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。
运筹学20道习题
1．已知线性规划（15分）123123123max 3452102351,2,3jZ x x x x x x x x x x j =++⎧+-≤⎪-+≤⎨⎪≥=⎩0，（1）求原问题和对偶问题的最优解；（2）求最优解不变时c j 的变化范围36.解：（1）化标准型 2分 （2）单纯形法 5分（3）最优解X=(0，7，4)；Z ＝48 （2分） （4）对偶问题的最优解Y ＝（3.4，2.8） (2分)（5）Δc 1≤6，Δc 2≥-17/2，Δc 3≥-6，则 1235(,9),,13c c c ∈-∞≥-≥-(4分)2．某公司要将一批货从三个产地运到四个销地，有关数据如下表所示。
现要求制定调运计划，且依次满足：（1）B 3的供应量不低于需要量； （2）其余销地的供应量不低于85%； （3）A 3给B 3的供应量不低于200； （4）A 2尽可能少给B 1；（5）销地B 2、B 3的供应量尽可能保持平衡。
（6）使总运费最小。
试建立该问题的目标规划数学模型。
3、请用表上作业法解下题，得到最优解,并计算此时总运费：现在有运价表如下:产地销地B1B2B3产量A1 5 1 6 12A2 2 4 0 14A3 3 6 7 4销量9 10 11 30 答案：根据上面运价表以及销量和产量的要求，使用表上作业法：5 1 62 4 03 6 79 10 11得到下面运输方案：检验空格：空格A检验：6 –(0+3) = 3 > 0空格B检验：7 – (3-2) = 6 > 0空格C检验：6 - (1-2) = 7 > 0空格D检验：4 – (1-3)= 6 > 0 故全部符合要求。
总运输费用：2×5 + 3× 2 + 4 × 3 + 10 × 1 + 11 × 0 = 38 答：上面的运输方案为最佳方案，总运费为38。
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运筹学与最优化方法习题集word文档良心出品max z =5x, <156x 十2x^ < 24 X ■X] + 兀 < 5x >0luax Z = +3A\X] - 2 A, > -22x^ + 2x, <10心兀> 0niax z = 2Xj - 4兀 + 5屯-6屯兀+ 4.V, - 2Xj + 8兀 S 2 sjJ -Xj + 2Xy + SXj + 4耳 S1[ 兀,?口,?5，兀>max z = 2x^- x, + .v,+ X. + 屯 < 60片.X' + ZXs<10SjJ ■X] +兀一兀 <20>0luax z = + 2x, + 尽2兀 + X, + Xj < 4兀 + 2兀 <6XpA.,Xj >0niax z = [Qx^ + 5Xy■ 3屯 + 4土S 9 5x^ + 2.V,< 8 -VpA. >0单纯性法1 ?用单纯形法求解下列线性规划问题156?用单纯形法求解下列线性规划问题（共152?用单纯形法求解下列线性规划问题（共15 3?用单纯形法求解下列线性规划问题（共15 4?用单纯形法求解下列线性规划问题15 5?用单纯形法求解下列线性规划间题（共157?用单纯形法求解下列线性规划问题（共16分） max z = 2x^ + 5x, X, <4 2x. <12sJ.i ■3X] +2兀 <18 -Vpj. >0二-对偶单纯性法1?灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共15分） max z = \ + 6兀F兀 + X）> 25Z < 兀 + 3-V, < 3心A >02.灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共15分）max乙=兀+ 3兀Xv^-lO-r, S50X] + A > 1SJ.<X, <4ApX, >03.用对偶单纯形法求解卜列线性规划问题（共15分） mm Z = 2-Vj + 3兀2x^ + 3x, S 30 舌十2壬210 sJ.< Xj - Xy > 0x^2 5X、2 0■ 4?灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共15分） min z =召+ 2兀-兀召+ X, + “s + 兀 < 65Z- 2x^ -“2 +- 3?口 > 5[ 屯>0 5?运用对偶单纯形法解下列问题（共16分） max z = x^ + -V.2Xi + X. > 4A； +7x^ >7>06?灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共15分） luax 乙=齐+ 6兀兀+兀> 25J.<<3 丹A >0max z = + 6x^ + 7x^ + + 9x^3齐-x^+x^ + x^-2Xj >2X + 3儿-X, - 2兀 + 2x, > 0■ S 5-X] -凡 + 3xj + 些 + 耳 > 2 XpX,,X3，A ：3，X^,Xj =O(frlnun 2 = 4兀 + 3儿 + 2旺2Xj - 5A + SA J < 44儿 + X. + 3Xs > 3 ?E + 旺 21= Qorlmax 2 = 20兀 + 40牙2+20?9 + 15兀 + 30?5召 + 4%, + 3屯 + + 8x3 < 25 兀 + 7儿 + 9? + 4R + 6x3 < 258叫 + lOx, + 2x 、+ 亠 + 10xj < 25兀心丹耳小=0或1max z = 2?* - A\ + 5X3 — 3耳 + 4屯3兀-2匕 + 7A "J - 5兀 + 4Xj S 6 S 打兀一儿 + 2A "J 一 4?口 + 2-Vj < 0min Z - 2孔 + 5儿 + 3屯 + 4?q-4X| + 召 + M + A '4 > 0■2X1 + 4r + 2X3 + 4q > 4 sJ.\ " -Vj + 心-Xj + E 215七,?丫3，兀=0或167用隐枚举法解下列0」型整数规划问题（共10分）max z = 3?可 + — 5^3 — 2x^ + 3x^X] + r + X3 + 2七 + 尤5 < 47xj + 3*3 —彳￡ + 3尤5 < 8 si. \ 11?Y] — 6匕 + 3x^ — 3x^ > 3 兀/"兀3，兀4，心=0或1 1 ?用隐枚举法解下列0?1型整数规划问题三.0-1幣数规划（共10 分）2?用隐枚举法解下列0?1型整数规划问题（共10 分） 3?用隐枚举法解下列0」型整数规划问题（共 10 4?用隐枚举法解下列0」型整数规划问题105?用隐枚举法解下列0」型整数规划问题（共 10 分）uiax z =+5X3 \ + 2兀一旺S2Aj + 4x, + .q S 4 Aj + 兀 S 3 4t + 心 S 61111U /(X) = xf +X ；SJ. X ； + 兀 > 13?利用库恩■塔克（K ?T ）条件求解以下非线性规划问题。
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第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
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销地
产地
1
2
3
产量
1
5
1
8
12
2
2
4
1
14
3
3
6
7
4
销量
9
10
11
表3-4
销地
产地
1
2
3
4
5
产量
1
10
2
3
15
9
25
2
5
20
15
2
4
30
3
15
5
14
7
15
20
4
20
15
13
M
8
30
销量
20
20
30
10
25
解：
（1）在表3-3中分别计算出各行和各列的次最小运费和最小运费的差额，填入该表的最右列和最下列。得到：
+ = + +
+ =
建立数学模型：
Max z=(1.25-0.25)*( + )+(2-0.35)*( + )+(2.8-0.5) -(5 +10 )300/6000-(7 +9 +12 )321/10000-(6 +8 )250/4000-(4 +11 )783/7000-7 *200/4000
s.t
2.确定 的范围,使最优解不变;取 ,求最优解;
3.确定 的范围,使最优基不变,取 求最优解;
4.引入 求最优解;
解1.由单纯形方法得
即,原问题的最优解为
例求下面运输问题的最小值解：
1
最全运筹学习题及答案
最全运筹学习题及答案共1 页运筹学习题答案）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）max z?x1?x25x1+10x2?50x1+x2?1x2?4x1，x2?0（2）min z=x1+1.5x2x1+3x2?3x1+x2?2x1，x2?0（3）+2x2x1-x2?-0.5x1+x2x1，x2?0（4）max z=x1x2x1-x2?03x1-x2?-3x1，x2?0（1）（图略）有唯一可行解，max z=14（2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4（3）（图略）无界解（4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
共2 页（1）min z=-3x1+4x2-2x3+5x4 4x1-x2+2x3-x4=-2x1+x2+3x3-x4?14 -2x1+3x2-x3+2x4?2x1，x2，x3?0，x4无约束（2zk?i??xk?1mxik?（1Max s. t .-4x1xx1,x2共3 页(2)解：加入人工变量x1，x2，x3，…xn，得：Max s=(1/pk)? i?1n?k?1m?ikxik-Mx1-Mx2-…..-Mxnm（1）max z=2x1+3x2+4x3+7x4 2x1+3x2-x3-4x4=8x1-2x2+6x3-7x4=-3x1,x2,x3,x4?0(2)max z=5x1-2x2+3x3-6x4共4 页x1+2x2+3x3+4x4=72x1+x2+x3+2x4=3x1x2x3x4?0（1）解：系数矩阵A是：?23?1?4??1?26?7? ??令A=(P1，P2，P3，P4)P1与P2线形无关，以（P1，P2有2x1+3x2=8+x3+4x4x1-2x2=-3-6x3+7x4令非基变量x3，x4解得：x1=1；x2=2基解0，0)T为可行解z1=8(2)同理，以（P=（45/13，0，-14/13，0)T是非可行解；3以（P1，P4X(3)=，，7/5)T是可行解，z3=117/5；(4)以（P2，P=（，45/16，7/16，0)T是可行解，z4=163/16；3以（P2，P4）为基，基解X(5)0，68/29，0，-7/29)T是非可行解；(6)TX以（P4，P）为基，基解=（0，0，-68/31，-45/31是非可行解；)3最大值为z3=117/5；最优解X(3)=（34/5，0，0，7/5)T。
运筹学习题集二
运筹学习题集二习题一1.1 用法求解下列线性规划问题并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
(1) min z ＝6x1＋4x2 (2) max z ＝4x1＋8x2 st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤103x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8x1, x2≥0 x1, x2≥0(3) max z ＝x1＋x2 (4) max z ＝3x1－2x2 st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤14x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥42x2≥4 x1, x2≥0x1, x2≥0(5) max z ＝3x1＋9x2 (6) max z ＝3x1＋4x2 st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8－x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12x2≤6 2x1＋x2≤162x1－5x2≤0 x1, x2≥0x1, x2≥01.2. 在下列线性规划问题中找出所有基本解指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数比较找出最优解。
(1) max z ＝3x1＋5x2 (2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3st. x1 ＋x3 ＝4 st. x1 ＋3x3－x4 ＝32x2 ＋x4 ＝12 2x2＋2x3 －x5＝53x1＋2x2 ＋x5 ＝18 xj ≥0 （j＝1, (5)xj ≥0 （j＝1, (5)1.3. 分别用法和单纯形法求解下列线性规划问题并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于法可行域中的哪一个顶点。
(1) max z ＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8x1, x2≥0(2) max z ＝100x1＋200x2st. x1＋x2≤500x1 ≤2002x1＋6x2≤1200x1, x2≥01.4. 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题并指出问题的解属于哪一类：(1) max z ＝4x1＋5x2＋x3 (2) max z ＝2x1＋x2＋x3st. 3x1＋2x2＋x3≥18 st. 4x1＋2x2＋2x3≥42x1＋x2 ≤4 2x1＋4x2 ≤20x1＋x2－x3＝5 4x1＋8x2＋2x3≤16xj ≥0 （j＝1,2,3）xj ≥0 （j＝1,2,3）(3) max z ＝x1＋x2 (4) max z ＝x1＋2x2＋3x3－x4 st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋2x2＋3x3＝154x1＋6x2≥－12 2x1＋x2＋5x3＝202x2≥4 x1＋2x2＋x3＋x4＝10x1, x2≥0 xj ≥0 （j＝1, (4)(5) max z ＝4x1＋6x2 (6) max z ＝5x1＋3x2＋6x3 st. 2x1＋4x2 ≤180 st. x1＋2x2＋x3≤183x1＋2x2 ≤150 2x1＋x2＋3x3≤16x1＋x2＝57 x1＋x2＋x3＝10x2≥22 x1, x2≥0x3无约束x1, x2≥01.5 线性规划问题max z＝CXAX＝bX≥0如X*是该问题的最优解又λ0为某一常数分别讨论下列情况时最优解的变化：（1）目标函数变为max z＝λCX；（2）目标函数变为maxz＝（C＋λ）X；（3）目标函数变为max z＝X约束条件变为AX＝λb。
第4章最优化方法运筹学
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 x51 = 1.1x41+ 1.25x32 xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 ) x33 ≤ 80 x24 ≤ 100 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ
1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元
资源限制
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能 使工厂获利最多？
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解 （Excel，lingo）
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目 投资。已知：
项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回 本利110%；
项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回 本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；
B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的
决策变量：
1
2345
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C
x33
Байду номын сангаасD
x24
例题分析5：投资问题
Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11(第二年的投资与第一年投资
(完整版)《运筹学》习题集
第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
最优化方法习题答案
习题一1.1利用图解法求下列线性规划问题： （1）21x x z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 5x 2x 2x x 3.t .s 212121 解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在A 点取得最优值，最优值z=5（2）21x 6x z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+0x ,x 7x x 1x x 2.t .s 212121 解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点A 处取得最优值，最优值z=-6.（3）21x 2x 3z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤+-0x ,x 4x 2x 1x x .t .s 212121 解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。
（4）21x 5x 2z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 2x x 6x 2x .t .s 212121 解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。
1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。
（1）4321x 6x 3x 2x 5z min -+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++0x ,x ,x ,x 3x 2x x x 27x 4x 3x 2x .t .s 432143214321 解：易知1x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21p 1，2x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12p 2，3x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13p 3，4x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=24p 4。
①因为21p ,p 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=+43214321x 2x 3x x 2x 4x 37x 2x ，令非基变量为0x x 43==，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=311x 31x 21，所以得到一个基解)0,0,311,31(x )1(-=是非基可行解； ②因为31p ,p 线性无关，可得基解)0,511,0,52(x)2(=，543z 2=；③因为41p ,p 线性无关，可得基解611,0,0,31(x )3(-=，是非基可行解；④因为32p ,p 线性无关，可得基解)0,1,2,0(x )4(=，1z 4-=；⑤因为42p ,p 线性相关，42x ,x 不能构成基变量； ⑥因为43p ,p 线性无关，可得基解)1,1,0,0(x )6(=，3z 6-=；所以)6()4()2(x ,x ,x是原问题的基可行解，)6(x 是最优解，最优值是3z -=。
最优化习题集
1 •已知优化问题的数学模型为2 2min f (X)=(为-3) (x 2 -4),5 g^X)=为—X 2 -一 >0, 2s. t. * g 2 (x) = -X i - X 2 + 5 A 0,g 3(X) =Xi 亠0, g 4(X) =X 2 =0・试用图解法求出：(1) 无约束最优点，并求出其最优值； (2) 约束最优点，并求出其最优值；(3) 如加上一个等式约束 h(X) =X i -X 2 =0，其约束最优解是什么？ 2 •当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ,怎样设计可使油箱的容量最大?试列出这个优化问题的数学模型，并回答： (1) 属于几维的优化问题？ (2) 是线性规划还是非线规划问题？ 3. 用图解法求例1.3的最优解.1. 用矩阵符号表示下列二次型：2 2 2(1) f (X 1, X 2, X 3) =X 1 4X 1X 2 4X 2 2X 1X 3 X 3 4X 2X 3 ；2. 判别下列二次型是否正定：2 2 2 2(1) f (X 1,X 2, X 3, X 4)=疋3x 2 9x 3 19x 4 - 2x 1 X 2 4x 1 X 31f (X) = —X T AX +b T X +c3.计算一般二次函数 2 的梯度.22T T4. 计算二元函数f (X) =X 1 -X 1X 2 *5x 1 -6在点X 0 =[1,1]处沿方向I = [T, 2]的所(X)方向导数 日 X%和沿梯度方向新(X )g 0=£f (X0)的方向导数cg0 XX .5. 求下列函数的梯度和 Hesse 矩阵： (1) f(X)=x ； 2x ； 3x| -4X 1X 3 . (2)f(X) -3x 1x | e X1X2 .'6. 判断下列函数是凸函数、凹函数，还是既不凸也不凹: (1) f (X 1,X 2)- -X 2 2x ； 3X 1X 2 ；(2) f (X 1,X 2, X 3) = X ；X ； 「7x 1「2^X 2「4^X 3「4X 2X 3 (2)-6X 2X 4 - 12X 3X 4 2X 1X 4;222f (x 1, x 2, x 3) = 5x 1 x 2 5X 3 4X 1X ^8X 1X 3-4X 2X 3(1)max f (X) = 10x i 5x 2,3x 4x 2 - 9, s.t 祐为+2x 2兰8,X1， x 2 - 0,(2) max f (X) = 2x 「5x 2,人辽4,2x 2 < 12, 3x-| 2x 2 二 18, x 1, X 2 - 0.3•分别用单纯形法中的大 M 法和两阶段法求解下列线性规划问题:2 2(2) f (x 1, x 2 2x 1 - 4% x 2 3x 2 -5x 1 - 6 ； (3) f X, x 2, x 3) = x ； 2xf - 3x f - 4x 1x 2 7.设约束优化问题的数学模型为2 2min f (Xx 1 4x 1 x 2 - 4x 2 10,Q(X) =% _X 2 +2^0,2 2g 2 (X)二-x 〔 - x ? - 2 x 〔 ■' 2 X 2 —0* X 二［-1,1］T是否为最优点. S ・t ・丿试用K -T 条件判别点&设约束优化问题它的当前迭代点为 X k min f (X)二(％ -2)2 xf, gdX) = -% 兰 0, s.t, g 2(X)=-花兰0,g 3(X) = —1 + x ； +X 2 兰0. T 二［1, 0］，试用K -T 条件判定它是不是约束最优解. 习题二1.对下列线性规划问题找出所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解. (1) max f (X) =3x x 2 2沧, 12x 1 3x 2 6X 3 3x 4 =9, 8x 1 x 2 —4x 3 2x 5 =10, s ，H 3x 1 * =0, i 为 A 0 (j =1,2, (6)(2) m in f (X) =5x 1「2屜 3x 3 2x 4,x i +2冷 +3x 3 +4& =7, s.t 2x 「2x 2 x 3 2x 4 =3,X j ^0(j =1,2,3,4〉2 •用单纯形法求解下列线性规划问题:(1)min f (X) =5%「2X 2 3X 3「6心x 2x 2 3% 4x 4 = 7, s.t < 2^ +x 2 +x 3 +2x 4 =3,为,X 2，X 3, X 4 _ 0;(3 ) m cfxX (二)X j 1 0 x 2 1 5x ,35x 13< 2 x 正 9「5x 「& 2 1 拓臣2x 1 x 2 x 3二5, x-|, x 2 x 3- 0.4.某糖果厂用原料 A 、B 、C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙，已知各种牌号 糖果中A 、B 、C 含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费 及售价如下表所示.问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克， 使该厂获利最大？试建7. 已知线性规划问题max f （X ） = 2%「x 2X 1 X 2 X 3 乞 6, s.t 二一为 2x 2 乞 4,N, X 2, X 3 —0,先用单纯形法求出最优解，再分别就下列情况进行分析：⑵min f (X) = 4x 1 X 2,'+ x 2 = 3,4x*i + 3x 2 — X 3 — 6, s.t 彳 x 1 2x 2 = 4,X 1, X 2, X 3, X 4_0；s.t.5•写出下列线性规划问题的对偶问题：(1)min f (X) =2x 1 2x 2 4x 3,‘2% +3x 2 十5冷 M2,3x 1 X 2 7x 3 -3, x ( 4x 2 6X 3 乞 5, X 1, X 2, X 3 — 0;6•用对偶单纯形法求解下列线性规划问题:(1)min f (X) =4为 12x 218x 3,X 1 3x 3 - 3, s.t « 2x 2 +2x 3 色5,为 X 2, X 3 工0;=m xa x 1 + 2x + 2< =2 , —X 1 +5x 4x 1 +7x 台无约束， -X 2 二3, 3x 辽 8,x > 02 x3 < 0.⑵ min f (X3x-| 2x 2 x 3 4x 4,2x 1 4x 2 5x 3 X 4 亠 0,3为—x 2 + 7x 3 - 2x 4 K 2,s.t.15捲 + 2 x 2 + x 3 + 6X 4 H 15,X 1, X 2, X 3, X 4 - 0.X3,（1） 目标函数中变量 X 1, X 2, X 3的系数分别在什么范围内变化，问题的最优解不变; (2)两个约束条件的右端项分别在什么范围内变化，问题的最优解不变.习题四1•用加步探索法确定一维最优化问题3min '(t) =t -2t 1t 0 的搜索区间，要求选取 t o =0, h o 二1，=2.2. 用对分法求解min ®(t) =t(t -3), 已知初始单谷区间［a,b ］二［-3,5］，按精度；=0.1计算.3. 用Newton 法求解mi n®(t) =t 3 —2t+1 ,用第1题求得的区间，按精度• < -0.01计算.4. 用黄金分割法求解min (t) =t(t 2), 已知初始单谷区间［a ,b ］二［-3,5］，按精度，=0.001计算.5. 用抛物线插值法求解min f (x) =8x 3 -2x 2 -7x 3 , 已知初始单谷区间［a ,b ］二［°,2］, ； = 0.001 .习题五.22T1.用最速下降法求解min f (X)=儿*25x 2, X 0 =[2,2] , = 0.01 .2. 用Newton 法求解min f (X) =60仲"x ? x ； £ -牡，初始点X 0 =[0,0]T , ； =0.01 .223.用修正 Newton 法求解min f (X)=4* 1)2区 -1)x 1x 210，初始点 x 0=[0,0]T, ；： =0.01 .4. 用共轭梯度法求解得min(x 2 4x 2)取初始点X 。
运筹学与最优化方法第3章
1
T
2 f ( x * ) 1 g ( x ) g ( x )0 1 2 3 3 g ( x )0 1 g ( x ) 0 2
min f ( x1 , x2 ) 5 ( x1 x2 )
例3.1.2
2 x12 x2 20 s.t. x1 0 x 0 2
显然它是一个凸规划，它的K-T条件为：
* * * * ( 1, 1) 2 1* ( x1 , x2 ) 2 ( 1,0) 3 (0, 1) 0 * *2 *2 * * * ( x x 1 1 若x1 0, 则显然x2 0, 2 0, 代入 2 2) 0 * * * K T 条件的第一式得2 1 2 x1 0 * x* 0 * * 与2 0矛盾,所以x1 0 3 2 * 同理有x2 0
推广到多元情况，令
L( x, ) f ( x ) i hi ( x ) f ( x ) h( x )
i 1 m
其中 （1，2， ，m ), h( x ) （h1 ( x )，h2 ( x )， ，hm ( x ))T
若x*是(3-2)的l.opt. ,则存在λ*∈ Rm使 * h ( x ) 矩阵形式： * * f ( x ) 0 x 1 1 因为 f ( x ) 2 2( x 2 ) , g1 ( x ) 2x , g 2 ( 2) 2 2
* * 2( x1 2 1 3) 1 2 x1 2 0 * * 2( x 2) 3 2 x 3 2 2 * T 解之得 x ( 2 ， 1 ) 是其最优解 *2 *2 x1 x2 5 0 x* 2 x* 4 0 1 2
最全的运筹学复习题及答案-图文
最全的运筹学复习题及答案-图文5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量某i或某ij的值（i=1，2，…mj=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；（2）.表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；（3）.表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数第二章线性规划的基本概念一、填空题1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。
2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。
3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。
4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。
5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。
12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。
13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。
14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。
15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。
17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。
18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。
19.如果某个变量某j为自由变量，则应引进两个非负变量某j,某j,同时令某j＝某j－某j。
运筹学与优化方法考试试题
运筹学与优化方法考试试题一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 运筹学是以下哪个领域的子学科？A. 数学学科B. 经济学学科C. 工程学学科D. 心理学学科2. 运筹学的基本目标是：A. 最大化决策效益B. 最小化成本C. 优化系统性能D. 实现公平与平衡3. 以下哪个是运筹学的核心方法？A. 线性规划B. 蒙特卡洛模拟C. 人工神经网络D. 遗传算法4. 在线性规划中，目标函数和约束条件都必须是：A. 线性函数B. 非线性函数C. 渐进函数D. 二次函数5. 整数规划是线性规划的一个扩展，其特点是：A. 可以处理离散变量B. 可以处理连续变量C. 可以处理复杂的约束条件D. 可以处理非凸优化问题6. 整数规划的求解方法之一是分支定界法，其基本思想是：A. 将问题划分为较小的子问题B. 搜索解空间以找到最优解C. 构建决策树以确定可行解D. 利用动态规划算法求解7. 设有一个最短路径问题，其中顶点间的距离矩阵已知。
下列算法中，最适合解决此类问题的是：A. 迪杰斯特拉算法B. 克鲁斯卡尔算法C. 普里姆算法D. 弗洛伊德算法8. 贪心算法的基本策略是：A. 每步都选择局部最优解B. 每步都选择全局最优解C. 每步都选择次优解D. 每步都选择最差解9. 整数规划问题可以通过什么方法进行近似求解？A. 贪心算法B. 动态规划算法C. 近似算法D. 分支定界法10. 交通运输问题中，下列哪个方法适用于求解整数规划模型？A. 最小费用最大流算法B. simplex算法C. Dantzig-Wolfe分解D. 启发式算法二、简答题（共5题，每题10分，共计50分）1. 请简要介绍线性规划的基本思想和解题步骤。
2. 什么是敏感性分析？请说明敏感性分析在线性规划中的作用。
3. 请解释蒙特卡洛模拟方法的基本原理，并说明其在风险分析和决策中的应用。
4. 简要描述遗传算法的基本原理和步骤，并说明其在求解组合优化问题中的优势和应用。
运筹学与最优化方法试卷A(答案)
华南农业大学期末考试试卷（A 卷答案）2004学年第1学期 考试科目：运筹学与最优化方法 评卷人：1、 （25分）考虑函数 212212)1()(100)(x x x x f -+-=（1） 求出)(x f 的一阶导数（梯度）)(x f ∇和二阶导数（Hesse 矩阵）)(2x f ∇。
（2） 用二阶导数（Hesse 矩阵）)(2x f ∇的相关定理验证T x )1,1(*=为)(x f 的一个极小点。
（3） 求出)(x f 在点T x )1,1()0(-=处的最速下降方向和牛顿方向。
解：（1）)(x f ∇=[]TTx x x x x x x f x f )(200)1(2)(4002121212121-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂ 。
5分 )(2x f ∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂2004004002120040011212222122212212x x x x x f x x f x x f x f 。
5分 （2）)(x f ∇=[]T xT x x x x x x ]0,0[)(200)1(2)(400*21212121=-----)(*2x f ∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-20040040080220040040021200400*11212x x x x x 。
3分 802>0；0)(*2>∇x f ，故)(*2x f ∇正定，结论成立。
。
2分（3）T xx f d ]0,2[)()0(=-∇= 。
5分=∇∇-=-)0()()]([12x x f x f d 。
5分2、 （30分）考虑最优化问题⎩⎨⎧=++≥+++11}min{23222132132x x x x x x x x（1） 给出其Kuhn —Tucker 一阶最优性条件、拉格朗日函数、外点惩罚函数、增广格朗日函数。
（2） 验证T x )0,0,1()0(=满足Kuhn —Tucker 一阶最优性条件，并求出相应的拉格朗日乘子。
2-9章运筹学课后题及答案
第二章决策分析2.1 某公司面对五种自然状态、四种行动方案的收益情况如下表：假定不知道各种自然状态出现的概率，分别用以下五种方法选择最优行动方案：1、最大最小准则2、最大最大准则3、等可能性准则4、乐观系数准则（分别取α=0.6、0.7、0.8、0.9）5、后悔值准则解：1、用最大最小准则决策S4为最优方案；2、用最大最大准则决策S2为最优方案；3、用等可能性准则决策S4为最优方案；4、乐观系数准则决策(1) α=0.6，S1为最优方案；(2) α=0.7，S1为最优方案；(3) α=0.8，S1为最优方案；(4) α=0.9，S2为最优方案；可见，随着乐观系数的改变，其决策的最优方案也会随时改变。
5、用后悔值准则决策S4为最优方案。
2.2 在习题1中，若各种自然状态发生的概率分别为P（N1）=0.1、P（N2）=0.3、P（N3）=0.4、P（N4）=0.2、P（N5）=0.1。
请用期望值准则进行决策。
解：期望值准则决策S1为最优方案。
3.3 市场上销售一种打印有生产日期的保鲜鸡蛋，由于确保鸡蛋是新鲜的，所以要比一般鸡蛋贵些。
商场以35元一箱买进，以50元一箱卖出，按规定要求印有日期的鸡蛋在一周内必须售出，若一周内没有售出就按每箱10元处理给指定的奶牛场。
商场与养鸡场的协议是只要商场能售出多少，养鸡场就供应多少，但只有11箱、12箱、15箱、18箱和20箱五种可执行的计划，每周一进货。
1、编制商场保鲜鸡蛋进货问题的收益表。
2、分别用最大最小准则、最大最大准则、等可能性准则、乐观系数准则（α=0.8）和后悔值准则进行决策。
3、根据商场多年销售这种鸡蛋的报表统计，得到平均每周销售完11箱、12箱、15箱、18箱和20箱这种鸡蛋的概率分别为：0.1、0.2、0.3、0.3、0.1。
请用期望值准则进行决策。
1、收益表2、用各准则模型求解（1）最大最小准则得S5为最优方案；（2）最大最大准则得S1为最优方案；（3）等可能性准则得S4为最优方案；（4）乐观系数（ =0.8）准则得S1为最优方案；（5）后悔值准则得S3为最优方案。
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一．单纯性法1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）122121212max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩ 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）12121212max 2322..2210,0z x x x x s t x x x x =+-≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）1234123412341234max 24564282..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+≤⎧⎪-+++≤⎨⎪≥⎩4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）123123123123123max 2360210..20,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+-≤⎪⎪≥⎩ 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）12312312123max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）12121212max 105349..528,0z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分）12121212max 254212..3218,0z x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩二．对偶单纯性法1.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分） 12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 2.灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）121212212max 3510501..4,0z x x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ 3.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）1212121212min 232330210..050z x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≥⎪⎪-≥⎨⎪≥⎪⎪≥⎩4.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）124123412341234min 26..2335,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x =+-+++≤⎧⎪-+-≥⎨⎪≥⎩5.运用对偶单纯形法解下列问题（共 16 分）12121212max 24..77,0z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩ 6.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩三．0-1整数规划1.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）12345123451234512345123345max 567893223220..32,,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x or =++++-++-≥⎧⎪+--+≥⎪⎨--+++≥⎪⎪=⎩2.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）12312312323123min 4322534433..1,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x or =++-+≤⎧⎪++≥⎪⎨+≥⎪⎪=⎩ 3.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）1234512345123451234512345max 20402015305437825794625..81021025,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++≤⎧⎪++++≤⎪⎨++++≤⎪⎪=⎩或4.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）12345123451234512345max 2534327546..2420,,,,01z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+-+-+≤⎧⎪-+-+≤⎨⎪=⎩或 5.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）12341234123412341234min 25344024244..1,,,01z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+++≥⎧⎪-+++≥⎪⎨+-+≥⎪⎪=⎩或6.7.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）12345123451345124512345max 325232473438..116333,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+--+++++≤⎧⎪+-+≤⎪⎨-+-≥⎪⎪=⎩或 1231231231223123max 3252244..346,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x x x =-++-≤⎧⎪++≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪⎪=⎩或四.K-T 条件1.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共 15 分）22121122121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
（共 15 分）2212212min ()..1f X x x s t x x =++≥3.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
（共 15 分）221121212min ()69420..,0f X x x x x x s t x x =+++--≤⎧⎨≥⎩4.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
（共 15 分）2min ()(3)..05f X x s t x =-≤≤5.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
（共 15 分）22121212121211min ()22223645..00f X x x x x x x x x s t x x =+--+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 6.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
（共 16 分）121212max ()ln()25..00f X x x x x s t x x =++≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩7.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共 15 分）22121122121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩五.内点法1.用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分）211212min ()6923..3f X x x x x s t x =-++≥⎧⎨≥⎩2.用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分）312121min ()(2)1220..0f X x x x s t x =++-≥⎧⎨≥⎩3.用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分）221221min ()10..10f X x x x s t x =+-+≤⎧⎨-+≤⎩4.用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分）122121min ()0..0f X x x x x s t x =+⎧-+≥⎨≥⎩ 5.用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分）312111min ()(1)310..0f X x x x s t x =++-≥⎧⎨≥⎩6.用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分）211212min ()6923..3f X x x x x s t x =-++≥⎧⎨≥⎩六．外点法1.用外点法求解下列非线性约束最优化问题（共 16 分）122121min ()0..0f X x x x x s t x =+⎧-+≥⎨≥⎩ 2.用外点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分）21212min ()..1f X x x s t x x =++=3.用外点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分）132131212max ()(2)(1)0..(1)(2)0,0f X x x x s t x x x x =⎧-+-≤⎪---≤⎨⎪≥⎩4.用外点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分）22121211min ()26..1f X x x s t x x =++=5.用外点法求解下列非线性约束最优化问题（共 16 分）122121min ()0..0f X x x x x s t x =+⎧-+≥⎨≥⎩七．最短路&最大流1.某公司有3个仓库1A ，2A ，3A 和4个零售店1B ，2B ，3B ，4B ，各仓库可提供的货量及零售店的最大零售量见下表，表中打圈的格子表示公司指定该店可向相应的仓库取货，现作一调运方案，使得各店从仓库得到的总货量最多。
（共 15 分）2.某产品从仓库运往市场销售。
已知各仓库的可供量、各市场需求量及i 仓库至j 市场的路径的运输能力见下表，试求从仓库可运往市场的最大流量，各市场的需求是否能满足？（共 15 分）4.某人需要购置一辆摩托车,他可以连续使用或任一年末将旧车卖掉,换一辆新车,已知各年初的新车价和不同役龄车的年使用维修费及年末处理价见下表（单位：万元）。
试据此确定该人最佳的更新策略，使四年内的各项费用的累计之和为最小。
（共 15 分）3.某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人。
有5人应聘。
已知乙懂俄文，甲、乙、丙、丁懂英文，甲、丙、丁懂日文，乙、戊懂俄文，戊懂法文。
用最大流问题解决最多有几人能得到招聘，又分别被聘任从事哪一种翻译。
（共 15 分）5.下表是某人每天从住处A 开车到工作地G ，途径B ，C ，D ，E ，F 各点时收阻的可能性，试问该人应选择哪条路线，使从家出发至工作地路上受阻的可能性最小。
（共 15 分）6.已知有六台机床126,,,x x x L ，六个零件126,,,y y y L 。
机床1x 可加工零件1y ；机床2x 可加工零件12,y y ；机床3x 可加工零件123,,y y y ；机床4x 可加工零件2y ；机床5x 可加工零件234,,y y y ；机床6x 可加工零件256,,y y y 。