2012高中数学复习讲义(通用版全套)第九章 圆锥曲线

2012高中数学复习讲义第九章圆锥曲线

【方法点拨】

解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。

1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.

2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.

3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.

4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程

第1课椭圆A

【考点导读】

1.掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性

质;

2.了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的

实际问题.

【基础练习】

1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆

2

2

13

x

y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在

BC 边上，则△ABC 的周长是

2.椭圆1422=+y x 的离心率为

23

3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是

2

2

116

4

x

y

+

=

4. 已知椭圆

19

8

2

2

=+

+y

k x

的离心率2

1=

e ，则k 的值为544

k k ==-

或

【范例导析】 例1.（1）求经过点35(,)22

-

，且22

9445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 （2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P （3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。 【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a 、b 、c 的方程组，解方程组求得a 、b 的值;③写出方程. 解：（1）∵椭圆焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为222

2

1y x a

b

+

=（0a b >>）

， 由椭圆的定义知，

2a =

+

=

+

=，

∴10a =，又∵2c =，∴222

1046b a c =-=-=，

所以，椭圆的标准方程为

2

2

110

6

y

x

+

=。

（2）方法一：①若焦点在x 轴上，设方程为

()222

2

10x y a b a

b

+

=>>，

∵点P （3,0）在该椭圆上∴

2

91a

=即29a =又3a b =，∴2

1b =∴椭圆的方程为

2

2

19

x

y +=.

②若焦点在y 轴上，设方程为

()222

2

10y x a b a

b

+

=>>，

∵点P （3,0）在该椭圆上∴

2

91b

=即29b =又3a b =，∴2

81a =∴椭圆的方程为

2

2

181

9

y

x

+

=

方法二：设椭圆方程为()2

2

10,0,Ax By A B A B +=>>≠.∵点P （3,0）在该椭圆上∴9A=1，即19

A =

,

又3a b =∴1181

B =或

，2

81a =∴椭圆的方程为

2

2

19

x

y +=或

2

2

181

9

y

x

+

=.

【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x 轴上，设方程为

()222

2

10x y a b a

b

+

=>>，若

焦点在y 轴上，设方程为

()222

2

10y x a b a

b

+

=>>，有时为了运算方便，也可设为2

2

1Ax By +=，其中

0,0,A B A B >>≠.

例2.点A 、B 分别是椭圆120

36

2

2

=+

y

x

长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x

轴上方，PF PA ⊥。 （1）求点P 的坐标；

（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。

【分析】①列方程组求得P 坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围.

解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)

设点P(x ,y ),则AP

=（x +6, y ）,FP =（x －4, y ）,由已知可得

22

213620(6)(4)0

x y

x x y ?+=?

??+-+=?

则22x +9x －18=0, x =23或x =－6.

由于y >0,只能x =

2

3,于是y =

2

35. ∴点P 的坐标是(

2

3,

2

35)

(2) 直线AP 的方程是x －3y +6=0. 设点M(m ,0),则M 到直线AP 的距离是

2

6+m .

于是2

6+m =6m -,又－6≤m ≤6,解得m =2. 椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d 有

2

2

2

2

2

2

549(2)4420()159

9

2

d

x y x x x x =-+=-++-

=

-

+,

由于－6≤m ≤6, ∴当x =2

9时,d 取得最小值15

点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.

【反馈练习】

1.如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（0，1）

2.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，

则椭圆的离心率是1

3.椭圆3

12

2

2

y

x

+

=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的7

倍

4.若椭圆

2

2

15x

y

m +

=的离心率5

e =

,则m 的值为2533

或

5.．椭圆

1342

2

=+

y

x

的右焦点到直线x y 3=

2

6.与椭圆

2

2

14

3

x

y

+

=具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是

2

2

18

6

x

y

+

=或

2

2

34125

25y

x

+

=

7.椭圆

14

16

2

2

=+

y

x

上的点到直线022=-+y x 的最大距离是10

8. 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为3

54和

3

52，过P 点作焦点所

在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出a 和b （或2a 和2b ）的值．从而求得椭圆方程．

解：设两焦点为1F 、2F ，且3

541=PF ，3

522=

PF ．

从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=

a ．

从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ?中，2

1sin 1

221=

=

∠PF PF F PF ，

可求出6

21π

=

∠F PF ，3

526

cos

21=

?=π

PF c ，从而3

102

22=

-=c a b ．

∴所求椭圆方程为110

35

2

2

=+

y x

或

15

10

32

2

=+

y

x ．

第2课 椭圆B

【考点导读】

1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;

2. 能解决椭圆有关的综合性问题. 【基础练习】 1.曲线

()2

2

16106x

y

m m

m

+

=<--与曲线

()2

2

15959x

y

n n

n

+

=<<--的（D ）

A 焦点相同

B 离心率相等

C 准线相同

D 焦距相等 2.如果椭圆

116

25

2

2

=+

y

x

上的点A 到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是20

103，

3 离心率3

5=e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是

2

2

915

20

x

y

+

=

【范例导析】 例1.椭圆

122

2

2

=+b

y

a x

（a>b>0）的二个焦点F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，且021=?M F M F 。 求离心率e 的取值范围.

分析:离心率与椭圆的基本量a 、b 、c 有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.

解：设点M 的坐标为(x ，y)，则),(1y c x M F +=，),(2y c x M F -=。由021=?M F M F ，得x 2-c 2+y 2=0，即x 2-c 2=-y 2。 ① 又由点M 在椭圆上，得y 2

=b 2

222x a

b -

，代入①，得x 2-c 2

222

2b x a

b -=

，即2

2

22

2

c

b a a x

-

=。

∵0≤2x ≤2a ，∴0≤2

a 2

2

2

c

b a -≤2

a ，即0≤

2

2

2c

c a -≤1，0≤112

-e

≤1，解得2

2≤e ≤1。

又∵0＜e ＜1，∵

2

2≤e ≤1.

例2.如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程；

(2)求弦AC 中点的横坐标.

分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a ，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决.

解：(1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,故椭圆方程为9

25

2

2

y

x

+

=1.

(2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=5

9.因为椭圆右准线方程为x =

4

25,离心率为

5

4，根据椭圆定义，有

|F 2A |=

5

4(

4

25－x 1),|F 2C |=

5

4(

4

25－x 2)，

由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得5

4(

4

25－x 1)+

5

4(

4

25－x 2)=2×

5

9,由此得出：x 1+x 2=8.

设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=2

2

1x x +=4.

【反馈练习】

1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

2

2

2．已知F 1、F 2为椭圆

2

2

12

x

y +=的两个焦点，过F 1作倾斜角为

4

π的弦AB ，则△F 2AB 的面积为

43

3.已知正方形A B C D ，则以A B ，为焦点，且过C D ，1-

4.椭圆

136

100

2

2

=+

y

x

上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是 12

5.椭圆

19

25

2

2

=+

y x

上不同三点()11y x A ，，??

?

??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．

求证:821=+x x ；

证明：由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：

a

c x c

a

AF =

-1

2

，∴ 115

45x ex a AF -

=-=．

同理 25

45x CF -

=．

∵ BF CF AF 2=+，且5

9=

BF ，

∴ 518

54554

521=

??

? ??-+??? ?

?-x x ，即 821=+x x ．

第3课 双曲线

【考点导读】

1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质

2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题. 【基础练习】

1.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则14

m =-

2. 方程

13

3

2

2

=+-

-k y

k x

表示双曲线，则k 的范围是33k k ><-或

3．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为x y 2

1±

=，则此双曲线的离心率为5

4. 已知焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的一点P 到12,F F 的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为

2

2

19

16

x

y

-

=

【范例导析】

例1. (1) 已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点12,P P

坐标分别为9

(3,(,5)4-，求双曲线

的标准方程; （2）求与双曲线

19

16

2

2

=-

y

x

共渐近线且过()

332-，A 点的双曲线方程及离心率．

分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a 、b 、c 的方程组，解方程组求得a 、b 的值;③写出方程. 解：（1）因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为222

2

1(0,0)y x a b a

b

-

=>>①；

∵点12,P P 在双曲线上，∴点12,P P 的坐标适合方程①。

将9(3,(,5)4-

分别代入方程①中，得方程组：22

2

22

22(319()

2541

a b a

b ?--=??

??-=?? 将21a 和21b 看着整体，解得22

1

116

119a b

?=????=??， ∴22

16

9

a b ?=??=??即双曲线的标准方程为

22

1169y x -=。 点评：本题只要解得22

,a b 即可得到双曲线的方程，没有必要求出,a b 的值；在求解的过程中也可以

用换元思想，可能会看的更清楚。

（2）解法一：双曲线

19

16

2

2

=-

y

x

的渐近线方程为：x y 4

3±

=

当焦点在x 轴时，设所求双曲线方程为

12

22

2=-

b

y a

x ()0,0a b >>

∵34

a b

=，∴a b 4

3= ①

∵()

332-，A 在双曲线上 ∴

19122

2

=-

b

a

②

由①－②，得方程组无解 当焦点在y 轴时，设双曲线方程为

12

22

2=-

b

x a

y ()0,0a b >>

∵4

3=a

b ，∴a b 3

4= ③

∵()

332-，A 在双曲线上，∴11292

2

=-

b

a

④

由③④得4

92

=

a ，42=b

∴所求双曲线方程为：

14

4

92

2

=-

x

y

且离心率3

5=

e

解法二：设与双曲线

19

16

2

2

=-

y

x

共渐近线的双曲线方程为：

()09

16

2

2

≠=-

λλy

x

∵点()

332-，A 在双曲线上，∴4

19

916

12-

=-=

λ

∴所求双曲线方程为：

4

19

16

2

2

-

=-

y

x

，即

14

4

92

2

=-

x

y

．

点评：一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程()02

22

2≠=-

λλb

y a

x 求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数λ．

例2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 解：如图:

以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）

设P （x ,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y =－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12

22

2=-

b

y a

x

上，

依题意得a =680, c =1020， 1

340

5680340

56801020

2

2

2

22

22

2

22

=?-

?=-=-=∴y

x

a

c b

故双曲线方程为

用y =－x 代入上式，得5680

±=x ，∵|PB|>|PA|,

10680

),5680

,5680

(,5680

,5680

=-=-=∴PO P y x 故即

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处.

例3.双曲线)0,1(12

22

2>>=-

b a b

y a

x 的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ）

，且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.5

4c s ≥

求双曲线的离心率e 的取值范围.

解：直线l 的方程为

1=+

b

y a

x ，即 .0=-+ab ay bx

由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离2

2

1)1(b

a a

b d +-=

，

同理得到点（－1，0）到直线l 的距离2

2

2)1(b

a a

b d ++=

.222

2

21c

ab b

a a

b d d s =

+=

+=

由,5

42,5

4c c

ab c s ≥≥得 即 .252

2

2c a

c a ≥-

于是得 .025254,

2152

4

22≤+-≥-e e e e 即

解不等式，得 .54

52

≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.52

5≤≤e

点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.

例2

【反馈练习】 1.双曲线

14

2

2

2

-=-

y

x

的渐近线方程为x y 2±=

2.已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为

2

2

14

12

x

y

-

=

3.已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，2||||21=?PF PF ，则该双曲线的方程是

14

2

2

=-y

x

4. 设P 是双曲线

22

2

x y

19

a

－

＝上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，1F 、2F 分别是双曲线左

右焦点，若1P F =3,则2P F =7 5.与椭圆

2

2

125

5

x

y

+

=

共焦点且过点

2

2

1x

y

-

=

6. （1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点()31-，P 且离心率为2的双曲线标准方程．

（2）求以曲线0104222=--+x y x 和222-=x y 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．

解：（1）设所求双曲线方程为：

()012

2

≠=-

k k

y

k

x

，则

()1312

=--

k

k

，

∴

191=-

k

k

，∴8-=k ，∴所求双曲线方程为

18

8

2

2

=-

x

y

（2）∵?????-==--+2

20

10422

2

2x y x y x ，∴???==23y x 或???-==23y x ，∴渐近线方程为x y 32±=

当焦点在x 轴上时，由

3

2=

a

b 且6=a ，得4=b ．

∴所求双曲线方程为

116

36

2

2

=-

y

x

当焦点在y 轴上时，由

3

2=b

a ，且6=a ，得9=

b ．

∴所求双曲线方程为

181

36

2

2

=-

x

y

7.设双曲线

12

22

2=-

b

y a

x )0(b a <<的半焦距为c ，直线l 过)0,(a 、),0(b 两点，且原点到直线l 的距离

为

c 4

3，求双曲线的离心率．

分析：由两点式得直线l 的方程，再由双曲线中a 、b 、c 的关系及原点到直线l 的距离建立等式，从而解出

a

c 的值．

解：由l 过两点)0,(a ，),0(b ，得l 的方程为0=-+ab ay bx ．

由点到l 的距离为c 4

3，得

c b

a a

b 432

2

=

+．

将2

2a c b -=代入，平方后整理，得0316)(

162

22

2

2=+?

-c

a c

a ．

令

x c

a =2

2，则0316162

=+-x x ．解得4

3=

x 或4

1=x ．

而a

c e =

，有x

e 1=

．故3

32=

e 或2=e ．

因b a <<0，故212

22

2

>+

=+=

=

a

b a

b a a

c e ，

所以应舍去3

32=

e ．故所求离心率2=e ．

说明：此题易得出错误答案：2=e 或3

32=

e ．其原因是未注意到题设条件)0(b a <<，从而离心率

2>e ．而

23

32<，故应舍去．

8.已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F (4,． （1）求双曲线方程；（2）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120M F M F ?=

；

（3）对于（2）中的点M ，求21MF F ?的面积．

解：（1）由题意，可设双曲线方程为22x y λ-=，又双曲线过点(4,，解得6λ=

∴ 双曲线方程为22

6x y -=；

（2）由（1）可知，a b ==

c =， ∴ ()10F -，()

20F

∴ ()13,M F m =-- ，()

23,M F m =-

， ∴ 2123M F M F m ?=- ，

又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 296m -=， ∴ 2

3m =， 即120M F M F ?=

；

（3）12121162

2

S F M F F F m ==

?= ∴21MF F ?的面积为6．

第4课 抛物线

【考点导读】

1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质.

2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题. 【基础练习】

1.焦点在直线x －2y －4=0上的抛物线的标准方程是28=-2=16或y x x y

2.若抛物线2

2y px =的焦点与椭圆

2

2

16

2

x

y

+

=的右焦点重合，则p 的值为4

3.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是__(a ,0)_

4.抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是(6,

5．点P 是抛物线x y 42

=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值2

【范例导析】

例1. 给定抛物线y 2=2x ，设A （a ，0），a ＞0，P 是抛物线上的一点，且｜PA ｜=d ，试求d 的最小值． 解：设P （x 0，y 0）（x 0≥0），则y 02=2x 0，

∴d =｜PA ｜=2020)(y a x +-

=0202)(x a x +-=12)]1([20-+-+a a x ． ∵a ＞0，x 0≥0，

∴（1）当0＜a ＜1时，1－a ＞0，

此时有x 0=0时，d m i n =12)1(2-+-a a =a ． （2）当a ≥1时，1－a ≤0， 此时有x 0=a －1时，d m i n =12-a ．

例2.如图所示，直线1l 和2l 相交于点M ，1l ⊥2l ，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形，7=AM ，3=AN ，且6=BN ，建立适当的

坐标系，求曲线段C 的方程．

分析：因为曲线段C 上的任一点是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C 所满足的抛物线方程．

解：以1l 为x 轴，MN 的中点为坐标原点O ，建立直角坐标系．

由题意，曲线段C 是N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为曲线段的两端点．

∴设曲线段C 满足的抛物线方程为：),0,)(0(22>≤≤>=y x x x p px y B A 其中A x 、B x 为A 、B 的横坐标

令,p MN =则)0,2

(),0,2

(p N p M -，3,17==AN AM

∴由两点间的距离公式，得方程组：???

????=+-=++9

2)2(172)2

(22A A A A px p x px p x 解得???==14A x p 或???==22A x p

∵△AMN 为锐角三角形，∴

A x p >2

，则4=p ，1=A x

又B 在曲线段C 上，4262

=-=-

=∴p BN x B

则曲线段C 的方程为).0,41(82

>≤≤=y x x y

【反馈练习】 1.抛物线2

8

y

x =

的准线方程是2x =-

2.抛物线)0(2

≠=a ax y 的焦点到其准线的距离是2

||a

例2

3.设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若4-=?AF OA ，则点A 的坐标

为(

2,2±

4.抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是43

5.若直线l 过抛物线2y ax =(a>0)的焦点，并且与y 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a =14

6.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长

.

解：以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，

如图，由题意知，|AB |=20，|OM |=4，A 、B 坐标分别为(－10，－4）、(10，－4） 设抛物线方程为x 2

=－2py ,将A 点坐标代入，得100=－2p ×(－4),解得p =12.5, 于是抛物线方程为x 2=－25y

.

由题意知E 点坐标为(2，－4)，E ′点横坐标也为2，将2代入得y =－0.16,从而|EE ′|= (－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.

7.已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴，且过点P （2,2），过F 的直线交抛物线于A ，B 两点.（1）求抛物线的方程；

（2）设直线l 是抛物线的准线，求证：以AB 为直径的圆与直线l 相切．

分析：可设抛物线方程为)0(22

>=p px y ．用待定系数法求得方程，对于第二问的证明只须证明1

2

MM

AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切.

第6题

解：（1）设抛物线的方程()2

20y px p =>，将（2，2）代入得1p =∴所求抛物线方程为22y x =

（2）证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：BF BB AF AA ==

11,

在直角梯形A A BB 11中：

AB BF AF BB AA MM

2

1)(2

1)(21111

=

+=+=

AB MM

2

11

=

∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．

点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．

第5课 圆锥曲线的统一定义

【考点导读】

1. 了解圆锥曲线的第二定义.

2. 能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题. 【基础练习】

1.抛物线26y x =的焦点的坐标是3

(,0)2, 准线方程是32

x =-

2..如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间

的距离是2

3.若双曲线

2

2

1x

y m

-=上的点到左准线的距离是到左焦点距离的

13

，则m =

8

1

4.点M 与点F (4,0)的距离比它到直线:50x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程是2

16y x =

【范例导析】

例1.已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，两条准线间的距离为

1313

16，求双曲线标准方程．

分析：（可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程． 解：∵双曲线渐近线方程为x y 3

2±

=，∴设双曲线方程为

()01942

2

≠=-

λλ

λ

y

x

①若0>λ，则λ42=a ，λ92

=b

∴准线方程为：λ13

1342

±

=±

=c

a

x ，∴

13

131613

138=

λ，∴4=λ

②若0<λ，则λ92-=a ，λ42-=b

∴准线方程为：13

1392

λ-±

=±

=c

a

y ，∴

13

131613

1318=

-λ，∴81

64-

=λ

∴所求双曲线方程为：

136

16

2

2

=-

y

x

或

1256

8164

92

2

=-

x y

点拨：求圆锥曲线方程时，一般先由条件设出所求方程，然后再根据条件列出基本的方程组解方程组得出结果.

例2.已知点()03，A ，()02，F ，在双曲线13

2

2

=-

y

x 上求一点P ，使PF PA 2

1+

的值最小．

解：∵1=a ，3=b ，∴2=c ，∴2=e

设点P 到与焦点()02，F 相应准线的距离为d 则

2=d

PF

∴d PF =2

1，∴d PA PF PA +=+

2

1

至此，将问题转化成在双曲线上求一点P ， 使P 到定点A 的距离与到准线距离和最小．

即到定点A 的距离与准线距离和最小为直线PA 垂直于准线时， 解之得，点????

?

?2321

，P ． 点拨：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．

【反馈练习】 1.若双曲线

12

2

=-y

m

x

上的点到左准线的距离是到左焦点距离的

3

1，则=

m 8

1

2.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

2

2

3.已知双曲线

)0( 12

2

2>=-a y a

x 的一条准线为2

3=

x ，则该双曲线的离心率为

2

3

双曲线

19

16

2

2

=-

y

x

右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左准线的距离为 8

第6课 圆锥曲线综合

【考点导读】

1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活地运

用解析几何的常用方法解决问题.

2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想.

3.

能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线

知识解决实际问题. 【基础练习】

1. 给出下列四个结论：

①当a 为任意实数时，直线012)1(=++--a y x a 恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是y x 3

42

=

；

②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为02=-y x ，则双曲线的标准方程是

120

5

2

2

=-

y

x

；

③抛物线a

y a ax y 41)0(2

-

=≠=的准线方程为

；

④已知双曲线

14

2

2

=+

m

y

x

，其离心率)2,1(∈e ，则m 的取值范围是（－12，0）

。 其中所有正确结论的个数是4 2.设双曲线以椭圆

19

25

2

2

=+

y

x

长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率

为2

1±

3.如果椭圆

19

36

2

2

=+

y

x

的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是082=-+y x

【范例导析】

例1. 已知抛物线2

4x y =的焦点为F ，A 、B 是热线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>

过A 、B 两点分别

作抛物线的切线，设其交点为M 。

（I ）证明.FM AB

为定值；

（II ）设A B M ?的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。

解：（1）F 点的坐标为(0,1)设A 点的坐标为211,4x x ?? ??? B 点的坐标为2

22,4x x ??

???

由(0).AF FB λλ=> 可得22

1212,1,144x x x x λ????--=- ? ?????

因此12

22121(1)44

x x x x λλ-=???-=-?? 过A 点的切线方程为2

111()4

2x x y x x -

=

- (1)

过B 点的切线方程为2

222()4

2

x x y x x -

=

- (2)

解(1)( 2)构成的方程组可得点M 的坐标,从而得到FM AB

=0 即为定值

（2）FM AB =0可得FM AB ⊥ 三角形面积()2

FM AB S f λ==

2

FM AB ==

所以3

3

11()242

2

2

FM AB

S f λ==

=

≥

?=

当且仅当1λ=时取等号

点拨：本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点 涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大

【反馈练习】

1.已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42

=的准线重合，则该双曲线与

抛物线x y 42

=的交点到原点的距离是21

2.设12F F ，分别是双曲线2

2

19

y

x +

=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =

，则

12PF PF +=

3.设P 是椭圆

2

2

19

4

x

y

+

=上一点，1F 、 2F 是椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠的最小值是19

-

4.已知以F 1（2,0），F 2（2,0）

为焦点的椭圆与直线40x ++=有且仅有一个交点，

则椭圆的长轴长为72 5. 双曲线C 与椭圆

2

2

149

24

x

y

+

=的焦点相同，

离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线的方程是x y 5

62±=

6.已知椭圆2

2

125

9

x

y

+

=与双曲线

2

2

19

7

x

y

-

=在第一象限内的交点为P ，

则点P 到椭圆右焦点的距离等于__2 _

7.如图，点A 是椭圆C ：

)0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x 的短轴位于x 轴下方的端点，

过A 作斜率为1的直线交椭圆于B 点，点P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AP AB ?＝9,若点P 的坐标为(0，1)，求椭圆C 的方程.

8.在平面直角坐标系xo y 中，已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标原点

O ．椭圆22

2

19

x y

a

+

=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．求圆C 的方程.

解：设圆心坐标为(m ，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x -m )2+(y -n )2=8已知该圆与直线y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

2

n m -=22

即n m -=4 ①

又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m 2+n 2=8 ②

联立方程①和②组成方程组解得

?

?

?=-=22

n m 故圆的方程为(x +2)2+(y -2)2=8

9.已知动圆过定点,02p

??

???

，且与直线2p x =-相切，其中0p >,求动圆圆心C 的轨迹的方程.

解：如图，设M 为动圆圆心，,02p

??

???

为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：

M F M N =即动点M 到定点F 与定直线2

p x =-

的距离相等

由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p

F ??

???

为焦点，2p x =-为准线

所以轨迹方程为22(0)y px P =>；

x =