等量同种电荷中垂线上最大场强位置的推导

等量同种电荷中垂线上最大场强的位置及大小推导

设两电荷间距为2L,中垂线上点P 离中点0的距离为x ，电荷到P 点连线与电荷连线夹角为θ。 一、推导：

一个电荷在P 点产生的电场强度E,

()

222

22

22

222

3

2

222cos 2sin 222 cos sin Q Q E k k r L x kQ L

P E E Q x k

L x L x x kQ

L x kQ

L

θθθθ==⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅'==++=⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅①②点的合场强为①

②

解法一：对①式，

()

()()()()()

2

3

223

2

222222

3223

223222

222

2

2-32026322

439x y L x x x L x x L x x

y L x y x L x x L x L x x x L KQ E L =

++⋅+⋅'=

⎡⎤+⎢⎥⎣⎦

'=+=++=='=

令对求导，令，有

整理：解得：代入①式求得：

解法二：对②式

()()22322332

cos sin -2cos sin cos cos -2sin cos cos 1-3sin 0cos 0,1-3sin 03

sin 32

cos 32

tan 2439u u u u KQ E L θθθθθθθθθθθθθθθ='=+=+='=≠==

=

=

'=

令对一阶求导得令，因得或代入求得

O

P

θE

E

L

解法三：对②式， (

)()()222222222223

222233223cos sin 0.cos cos sin 1

cos cos 2sin 2

cos cos 2sin 22cos cos 2sin 3cos 2sin 3a b c abc a b c a b c a b u c ab u u c u θθθθθθθθθθθθθθθθθ=≥=⋅⋅=⋅⋅⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++=⎛⎫⋅⋅≤ ⎪

⎝⎭

==

++≥++≥++==由不等式性质即若一定，时令，，最为锐角，变式 因为定值当，大时3

1242327

⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭则场强最大值

22

2 9kQ E u

L L '===

二、问题的结论及意义

1.对相距为2L 等量同种电荷Q 连线的

中垂线上，离连线中点距离为2

L 的点场强最大.且最大值为E=

2.对相距为L 的等量同种电荷Q 连线的

的点场强最大,

3.在两点电荷电量一定时.两点电荷的距离越近(L 越小),场强最大的点离它们连线的中点越近，场强的最大值却越大。

4场强最大的点与其中一个点电荷的连线与两点电荷的连线的夹角的正切值

为tan =

θ