空间几何体的表面积与体积考点与题型归纳

空间几何体的表面积与体积考点与题型归纳

一、基础知识

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.

②圆台、圆柱、圆锥的转化

当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：

2．空间几何体的表面积与体积公式

二、常用结论

几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 考点一 空间几何体的表面积

[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2

的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )

A ．122π

B ．12π

C ．82π

D ．10π

(2)(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )

A ．4＋4 2

B ．42＋2

C ．8＋4 2

D.83

[解析] (1)设圆柱的轴截面的边长为x ， 则x 2＝8，得x ＝22，

∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22

＝12π.故选B.

(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P ­ABCD ，如图所示，其中P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且P A ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和，即S ＝2×⎝⎛⎭

⎫12×2×2＋1

2×2×22＝4＋42，故选A. [答案] (1)B (2)A [题组训练]

1．(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )

A ．28

B ．24＋25

C ．20＋4 5

D ．20＋25

解析：选B 如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE ­DCMH ，则该几何体的表面积S ＝(2×2)×5＋⎝⎛⎭⎫1

2×1×2×2＋2×1＋2×5＝24＋2 5 .故选B.

2．(2018·郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )

A．20＋2π B．24＋(2－1)π

C．24＋(2－2)π D．20＋(2＋1)π

解析：选B由三视图知，该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积S＝6×22－π×12＋π×1×2＝24＋(2－1)π，故选B.

考点二空间几何体的体积

[典例](1)(2019·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()

A．4πB．2π

C.4π3

D ．π

(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1­BB 1D 1D 的体积为________．

[解析] (1)直接法

由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝

31＝3，得α＝π3，故底面面积为12×π3×22＝2π

3

，则该几何体的体积为2π

3

×3＝2π.

(2)法一：直接法

连接A 1C 1交B 1D 1于点E ，则A 1E ⊥B 1D 1，A 1E ⊥BB 1，则A 1E ⊥平面BB 1D 1D ， 所以A 1E 为四棱锥A 1­BB 1D 1D 的高，且A 1E ＝22

， 矩形BB 1D 1D 的长和宽分别为2，1， 故V A 1­BB 1D 1D ＝13×(1×2)×22＝1

3.

法二：割补法

连接BD 1，则四棱锥A 1­BB 1D 1D 分成两个三棱锥B ­A 1DD 1与B ­A 1B 1D 1，所以V A 1­BB 1D 1D ＝V B ­A 1DD 1＋V B ­A 1B 1D 1＝13×12×1×1×1＋13×12×1×1×1＝1

3

.

[答案] (1)B (2)1

3

[题组训练]

1.(等体积法)如图所示，已知三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1­ABC 1的体积为( )

A.312

B.34

C.612

D.64

解析：选A 三棱锥B 1­ABC 1的体积等于三棱锥A ­B 1BC 1的体积，三棱锥A ­B 1BC 1的高为

32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312

. 2.(割补法)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )

A ．13

B ．14

C ．15

D ．16

解析：选C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD ­A ′B ′C ′D ′所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个

三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3－2×12×3×3

2

×2＝15，故选C.

3.(直接法)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积