正态总体均值假设检验教学设计

时间：15分钟
2.大样本，总体分布和总体方差 未知：（15分钟）
教学意图
教学内容
教学环节
累计30分钟
在大样本的条件下，不论总体是否服从正态分布，由中心极限定理可知，样本均值 近似服从正态分布 ，（ 为总体均值， 为总体方差， 为样本容量）。总体方差未知时，可用大样本方差 代替总体方差 来估计。所以总体均值的检验量为：
解：由题意知，总体方差 未知，但两者相等。两样本均为小样本，故用 作检验统计量
1、提出假设，若 ，则表示两种工艺方法在所需时间上没有显着差异；若 ，则表示用新工艺方法所需， ，计算检验量的值：
，
。
。
3、当 时， 的自由度为 ，查 分布表，临界值为 ，拒绝域为 ，因 ∈ 落入拒绝域，所以拒绝 ，接受 ，认为新工艺流程组装产品所用时间更少。
解：从题意分析知道，该厂检验的目的是希望这批零件的抗热温度高于12500C，而低于12500C的应予拒绝，因此这是一个左边检验问题。
（1）提出假设： ：
： 。
（2）建立检验统计量为：
。
（3）根据给定的显着性水平 ，查表得临界值 ，因此拒绝域为 。
（4）计算检验量的数值
。
（5）因为 ，落入拒绝域，故拒绝原假设或接受备择假设，认为最近生产的这批零件的抗高温性能低于12500C，不能认为产品符合质量要求。
。
例某日用化工厂用一种设备生产香皂，其厚度要求为 ，今欲了解设备的工作性能是否良好，随机抽取10块香皂，测得平均厚度为 ，标准差为 ，试分别以 的显着性水平检验设备的工作性能是否合乎要求。
解：根据题意，香皂的厚度指标可以认为是服从正态分布的，但总体方差未知，且为小样本。这是一个总体均值的双边检验问题。
。
例某阀门厂的零件需要钻孔，要求孔径 ，孔径过大过小的零件都不合格。为了测试钻孔机是否正常，随机抽取了100件钻孔的零件进行检验，测得 ， 。给定 ，检验钻孔机的操作是否正常。
解：从题意可知，这是一个总体均值的双边检验问题。
（1）提出假设： ： ： 。
（2）建立检验统计量：
。
（3）由给定的显着性水平 ，查表得临界值 ，因此拒绝域为 及 。
教学重点
单个正态总体均值的假设检验;
教学难点
两个正态总体均值差的检验;
教学方法与策略
课堂教学设计思路
1.在实际工作中我们往往需要检验一个样本平均数与已知的总体平均数是否有显着差异，即检验该样本是否来自某一总体。已知的总体平均数一般为一些公认的理论数值、经验数值或期望数值。如畜禽正常生理指标、怀孕期、家禽出雏日龄以及生产性能指标等，可以用样本平均数与之比较，检验差异显着性。这类检验的假设共有3种，与例的3种相似。由第4章第7节，我们可以用 t 统计数进行假设检验，称为t检验（t test）。
（4）计算实际检验量的数值：
。
（5）因为 ，落入拒绝域，故应拒绝原假设 ，接受 ，认为零件的孔径偏离了 的合格要求，且偏小。这说明钻孔机的操作已不正常，应进行调试。
时间:15分钟
3.小样本，正态总体且方差 未知（20分钟）
教学意图
教学内容
教学环节
累计50分钟
当总体服从正态分布 ， 和 为未知参数，小样本时，要检验 时的统计量是自由度为 的 分布：
板书设计
1.方差已知单正态均值的假设检验；
2.方差未知单正态均值的假设检验；
3.两个正态总体均值差的检验。
教学进程
1．正态总体方差 已知（15分钟）
教学意图
教学内容
教学环节
累计15分钟
例某厂生产一种耐高温的零件，根据质量管理资料，在以往一段时间里，零件抗热的平均温度是12500C ，零件抗热温度的标准差是1500C。在最近生产的一批零件中，随机测试了100个零件，其平均抗热温度为12000C。该厂能否认为最近生产的这批零件仍然符合产品质量要求，而承担的生产者风险为。
1．假设为：
H0：??246，HA：?>246
2．统计数的计算
经计算得： = 252，S = 。所以
= = = ，df=n– 1 = 12 – 1 = 11
3．统计推断
因为|t| > 单侧(11)= ，而单侧(11)=，所以， <P< ，否定H0：??246，接受HA：?> 246，表明样本平均数与总体平均数差异显着，可以认为该批饲料维生素C含量符合规定要求。
例按饲料配方规定，每1000kg某种饲料中维生素C大于246g，现从工厂的产品中随机抽测12个样品，测得维生素C含量如下：255、260、262、248、244、245、250、238、246、248、258、270g/1000kg，若样品的维生素C含量服从正态分布，问此产品是否符合规定要求？
按题意，此例应采用单侧检验。
（1）提出假设： ： （合乎质量要求），
： （不合乎质量要求）。
（2）建立检验统计量。
由题目的条件，检验统计量为：
。
（3）当 和自由度 ，查表得 ，拒绝域为 及 ，接受域为 。
当 和自由度 ，查表得 ，拒绝域为 及 。
（4）计算实际检验量的值：
。
（5）当 时， ，落入接受域，故接受原假设 ，认为在 的显着性水平下，设备的工作性能尚属良好。当 时， ，落入了拒绝域，因此要拒绝原假设 ，认为在 的显着性水平下，设备的性能与良好的要求有显着性差异。
根据题意，本例应进行双侧t检验。
1．假设为：
H0：?= 114 ，HA：?≠ 114
2．统计数的计算
经计算得： = ，S= 。所以
= = =， =10-1=9
3．统计推断
由df= 9，查t值表（附表3）得双侧(9)= ，因为|t| < ，所以P> ，故不能拒绝H0，表明样本平均数与总体平均数差异不显着，可以认为该样本取自母猪怀孕期为114天的总体。
式中， 为样本含量， 为样本平均数差的标准误。
2.在实际工作中还经常会遇到推断两个样本平均数差异是否显着的问题，以了解两样本所属总体的平均数是否相同。对于两样本平均数差异显着性检验，因试验设计不同，一般可分为两种情况：一是两独立样本（independent samples）平均数的差异假设检验；二是配对样本（paired samples）平均数的假设性检。
，
。
在对两个总体均值之差进行假设检验时，假设的形式一般有以下三种：
： ：
： ：
： ：
例在一项社会调查中，要比较两个地区居民的人均年收入。根据以往的资料，甲、乙两类地区居民人均年收入的标准差分别为 5365元和 4740元。现从两地区的居民中各随机抽选了100户居民，调查结果为：甲地区人均年收入 30090元，乙地区人均年收入为 28650元。试问，当 时，甲、乙两类地区居民的人均年收入水平是否有显着性的差别。
概率论与数理统计教学设计
课程名称
经济应用数学C
课时
50+50=100分钟
任课教师
蔡东平
专业与班级
市营B1601班
人资B1601-02班
课型
新授课
课题
正态总体下均值的假设检验
学
习
目
标
知识与技能
1. 掌握单个正态总体均值的假设检验;
2.了解两个正态总体均值差的检验;
过程与方法
1.方差已知单正态均值的假设检验；
要求学生认真完成作业.
教学评价
使用“案例式教学”和“交互探究式教学”等教学手段与方法营造出了轻松活跃的教学氛围，将再次非常有效地激发学生的学习兴趣，加深学生正态总体下对均值的检验内容的学习印象.
在本节的教学过程中，学生均表现出较高的积极性和较大的情感投入，通过提问和交流说明学生已初步获得较理想的学习效果，也达到了本节的课的教学目标.
解：按题意需检验假设
(即设牛奶未掺水)，
(即设牛奶已掺水)
这是右边检验问题，其拒绝域为：
即为：
现在
所以 的值落在了拒绝域中，所以，在显着水平 下拒绝 ，即认为牛奶商在牛奶中掺了水。
例母猪的怀孕期为114天，今抽测10头母猪的怀孕期分别为116、115、113、112、114、117、115、116、114、113（天），试检验所得样本的平均数与总体平均数114天有无显着差异？
同样的检验数据，检验的结论不同，这似乎是矛盾的。其实不然，当在显着性水平 时接受原假设，只能是认为在规定的显着性水平下，尚不能否定原假设。接受 ，并不意味着有绝对的把握保证 为真。我们从此例看到，在95﹪的置信水平上否定原假设，但是却不能在99﹪的置信水平上否定原假设。
时间20分钟
下课休息10分钟
4. 两个总体均值之差的抽样分布（30分钟）
教学意图
教学内容
教学环节
累计30分钟
两个总体均值之差的分布一般有三种情形：
1、当两个正态总体方差已知时，两总体均值之差的抽样分布为：
2、当两个总体分布和总体方差未知，两个均为大样本时，两总体均值之差的抽样分布为：
3、当两个正态总体方差未知（但方差相等），两个均为小样本时，两总体均值之差的抽样分布为：
解：这是两个总体均值之差的显着性检验，没有涉及到方向，所以是双边检验。由于两个样本均为大样本且总体方差已知，因而可用检验统计量：
（1）提出假设： ：
：
（2）根据子样计算实际检验量的值
（3）当 时，查正态分布表得 。
（4）因为 ，故拒绝 ，认为甲、乙两类地区居民的人均年收入有显着性差异。
例某车间比较用新、旧两种不同的工艺流程组装一种电子产品所用的时间是否有差异，已知两种工艺流程组装产品所用的时间服从正态分布，且 。第一组有10名技工用旧工艺流程组装产品，平均所需时间 分钟，子样标准差 分钟，另一组有8名技工用新工艺流程组装产品，平均所需时间 分钟，标准差 分钟。试问用新、旧两种不同工艺流程组装电子产品哪一种工艺方法所需时间更少？（