《含高考13套》黑龙江省牡丹江一中2020-2021学年高三4月考数学试题含解析
2020届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三4月线上线下教学检测数学(理)试题
2020届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三4月线上线下教学检测数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．若复数12a i i +-（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．22．已知集合{}|216x A x =∈≤N ，{}2|430B x x x =-+>，则AB =（ ） A ．{}4B ．{}0,4C ．[)(]0,13,4D ．()(],13,4-∞3．随机变量()2~,N ξμσ，若(1)0.3P ξ≤=，(15)0.4P ξ<<=，则μ=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 4．直线l 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，且与C 交于A ，B 两点，AB 4=，若AB 的中点到y 轴的距离为1，则p 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．斐波那契数列0，1，1，2，3，5，8，13，…是意大利数学家列昂纳多.斐波那契发明的.如图是一个与斐波那契数列有关的程序框图.若输出S 的值为88，则判断框中应该填入（ ）A ．6?i ≥B ．8?i ≥C ．10?i ≥D ．12?i ≥6．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．56π D ．6π 7．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，//m α，n β⊥，则下列正确的是（ ） A ．若//αβ，则m n ⊥B ．若//αβ，则//m βC ．若αβ⊥，则//n αD ．若αβ⊥，则m n ⊥8．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，则2020S =（ ）A ．201921-B ．202021-C ．2019122⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2020122⎛⎫- ⎪⎝⎭ 9．函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，()01f x x '>+，且(1)=-y f x 为偶函数，则（ ）A ．(2)(1)f f -<B ．(2)(1)f f -=C ．(2)(1)f f -> D ．|(2)||(1)|f f -> 10．在三棱锥A BCD -中，AB BC ⊥，AB BC =，CD DA =，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，以下三个结论：①AC BD ⊥；②//MN 平面ABD ；③AD 与BC 一定不垂直，其中正确结论的序号是（ ）A ．②B ．①②C ．②③D ．①②③11．已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P ．若12PF PF ⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 12．定义{},,max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩.若函数{}2()max 2,4f x x x =-+-，数列{}n a 满足()1n n a f a +=（*n ∈N ），若{}n a 是等差数列，则1a 的取值范围是（ ）A ．{}2,1-B ．(][),32,-∞-+∞C ．(]{},32,1-∞-- D ．(][){},32,2,1-∞-+∞- 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若286a a +=，则9S =______.14．将2名教师，6名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和3名学生组成，不同的安排方案总数为______.15．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）图象的一个对称中心为,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，一条对称轴为58x π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=______. 16．函数1()ln||1x f x a x x +=--有两个零点，则a 的取值范围是______.三、解答题17．在公差为d 的等差数列{}n a 中，221212a a a a +=+.（1）求d 的取值范围；（2）已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为1n n +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，11BC B C O =，AO ⊥平面11BB C C .（1）求证：1AB B C ⊥；（2）若160B BC ∠=︒，直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为30，求二面角111A B C B --的余弦值.19．本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别123,,p p p 123,,p p p ，假设123,,p p p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为123,,q q q ，其中123,,q q q 是123,,p p p 的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ；（3）假定1231p p p >>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．20．已知点A ，B 分别在x 轴，y 轴上运动，||3AB =，点P 在线段AB 上，且||2||BP PA =.（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）直线l 与Γ交于M ，N 两点，(0,1)Q -，若直线QM ，QN 的斜率之和为2，直线l 是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.21．已知函数()e 2e (2)x x f x a a x -=++-（a ∈R ，e 是自然对数的底数）.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()(2)cos f x a x ≥+，求a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）写出1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线04πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.23．设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-.（1）若62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围； （2）证明：x R ∀∈，1()|3|1f x a a ≥--+恒成立.参考答案1．D【解析】【分析】 利用复数除法运算化简12a i i +-，根据其为纯虚数，实部为零、虚部不为零，求得a 的值. 【详解】 依题意，12a i i +-()()()()()1222112125a i i a a i i i ++-++==-+为纯虚数，故20210a a -=⎧⎨+≠⎩，解得2a =. 故选：D【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.2．B【解析】【分析】解指数不等式求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集.【详解】由42216x ≤=得4x ≤，由于N x ∈，所以{}0,1,2,3,4A =.由()()243310x x x x -+=-->，解得1x <或3x >，所以()(),13,B =-∞+∞.所以A B ={}0,4.故选：B【点睛】 本小题主要考查指数不等式的解法、一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.3．C【解析】【分析】根据正态分布的对称性列方程，解方程求得μ的值.【详解】由于随机变量()2~,N ξμσ，满足(1)0.3P ξ≤=，(15)0.4P ξ<<=，(5)10.30.40.3(1)P P ξξ≥=--==≤，根据正态分布的对称性可知1532μ+==. 故选：C【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.4．B【解析】【分析】根据抛物线中，过焦点的弦长公式列方程，由此求得p 的值.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,由于AB 的中点到y 轴的距离为1，所以122x x +=.根据抛物线中过焦点的弦长公式12AB x x p =++得124x x p ++=，即24,2p p +==.故选：B【点睛】本小题主要考查抛物线中过焦点的弦长公式，属于基础题.5．C【解析】【分析】运行程序，根据输出的S 的值为88，判断出正确选项.【详解】运行程序，0,1,0,0a b S i ====，1S =，1,2,2a b i ===，判断否，4S =，3,5,4a b i ===，判断否，12,8,13,6S a b i ====，判断否，33,21,34,8S a b i ====，判断否，88,55,89,10S a b i ====，判断是，输出88S =.故应填10?i ≥故选：C【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图输出结果填写条件，属于基础题.6．D【解析】【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．【详解】∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22a b a b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ， 则0a b ⋅=，由2a b b +=， 平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得223a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||323a b a b cos a b a b bθ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6πθπθ≤≤∴=， ， 故选D.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键．7．A【解析】【分析】对选项逐一画出图象，由此判断真假性，从而确定正确选项.【详解】对于A 选项，当//αβ时，画出图象如下图所示，由图可知，m n ⊥，故A 选项正确.对于B 选项，当//αβ时，可能m β⊂，如下图所示，所以B 选项错误.对于CD 选项，当αβ⊥时，可能n ⊂α，//m n 如下图所示，所以CD 选项错误.故选：A【点睛】本小题主要考查线、面位置有关命题真假性的判断，考查空间想象能力，属于基础题. 8．B【解析】【分析】根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，由此求得2020S . 【详解】依题意21n n S a =-，当1n =时，1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-得1121n n S a --=-，两式相减并化简得12n n a a -=. 故数列{}n a 是首项为1，公比为1的等比数列，所以12n n a .所以202020202020122112S -==--.故选：B 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题. 9．A 【解析】 【分析】 根据()01f x x '>+以及(1)=-y f x 为偶函数判断出函数()f x 的单调性和对称性，由此判断出()2f -和()1f 的大小关系.【详解】由于(1)=-y f x 为偶函数，所以函数()f x 关于1x =-对称.由于()01f x x '>+，所以当1,10x x <-+<时()'0f x <，()f x 递减，当1,10x x >-+>时，()'0f x >，()f x 递增.所以(2)(1)f f -<. 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查函数的图像变换，考查函数的对称性，属于中档题. 10．B 【解析】 【分析】通过线面垂直的性质，证得①正确.通过线面平行的判定定理，证得②正确.当BC BD ⊥时，可推出BC AD ⊥，由此判断③错误. 【详解】对于①，设E 是AC 的中点，连接,BE DE ，由于AB BC =，CD DA =，所以,AC BE AC DE ⊥⊥，所以AC ⊥平面BDE ，所以AC BD ⊥，故①正确.对于②，由于M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，所以//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确.对于③，当BC BD ⊥时，由于BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC AD ⊥，故③错误.综上所述，正确的为①②. 故选：B【点睛】本小题主要考查线面平行、线线垂直的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 11．D 【解析】试题分析：取双曲线的渐近线为，因为，，所以过2F 作平行于渐近线的直线的方程为， 因为12PF PF ⊥，所以直线的方程为，联立方程组可得点的坐标为，因为点在双曲线上，所以，即，因为，所以，整理得，因为，所以.故选D.考点：双曲线的性质. 12．C 【解析】 【分析】求得()f x 的解析式，根据{}n a 是等差数列，取得1a 的取值范围. 【详解】由于定义{},,max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，而函数{}2()max 2,4f x x x =-+-，由224y x y x ⎧=-+⎨=-⎩解得37x y =-⎧⎨=-⎩或22x y =⎧⎨=-⎩，画出22,4y x y x =-+=-的图像如下图所示，由图可知()24,32,324,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩.由于数列{}n a 满足()1n n a f a +=（*n ∈N ），且{}n a 是等差数列.当13a ≤-时，()21147a f a a ==-≤-，()322411a f a a ==-≤-，……，推辞类推，数列 {}n a 是首项为1a ，公差为4-的等差数列，符合题意.当132a -<<时，21722a -<-+<，要使{}n a 是公差为4-的等差数列，则需2211124a a a a -=-+-=-，解得13a =-或12a =不符合.由22x x -+=，解得2x =-或1x =.则当12a =-时，2n a =-为常数列；当11a =时，1n a =为常数列.此时{}n a 为等差数列.当12a ≥时，由于2142a a =-≥-，故{}n a 不能构成公差为4-的等差数列，也不是常数列，不符合题意.综上所述，1a 的取值范围是(]{},32,1-∞--故选：C 【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查等差数列的知识的运用，属于中档题. 13．27 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，求得9S 的值. 【详解】由于数列{}n a 是等差数列，则19289699927222a a a a S ++=⨯=⨯=⨯=. 故答案为：27 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题. 14．40 【解析】先安排一个老师到甲地，然后安排三个学生到甲地，其余老师和学生到乙地，根据分步计数原理求得不同的安排方案总数. 【详解】先安排一个老师到甲地方法数有122C =种，再安排三个学生到甲地方法数有3620C =种，其余老师和学生到乙地，根据分步计数原理求得不同的安排方案总数为22040⨯=种. 故答案为：40 【点睛】本小题主要考查分步乘法计数原理，考查组合数的计算，属于基础题. 15．12π【解析】 【分析】根据()f x 的对称中心、对称轴和最小正周期的范围列方程和不等式，由此求得ϕ的值. 【详解】由于函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）图象的一个对称中心为,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，一条对称轴为58x π=，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2sin 0858222k πωϕππωϕπππω⎧⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪+=+⎨⎪⎪>⎪⎩12858201k k πωϕπππωϕπω⎧-+=⎪⎪⎪⇒+=+⎨⎪<<⎪⎪⎩，第二个式子减去第一个式子并化简得()214233k k ω=-+，由于01ω<<，所以取12k k =，23ω=，代回第一个式子得1128312k k ππϕππ=+⨯=+，由于||2ϕπ<，故取10k =，12πϕ=. 故答案为：12π本小题主要考查根据三角函数的对称中心、对称轴、周期求参数，属于中档题. 16．(,2)(2,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】令()0f x =，转化为1ln ,1xy y a x x+==-的图象有两个交点，结合导数与切线，求得a 的取值范围. 【详解】 由101x x +>-解得()f x 的定义域为()1,1-.令()0f x =，得1ln 1xa x x+=-，依题意 1ln ,1x y y a x x +==-的图象有两个交点.令()()1ln 111x g x x x+=-<<-，则()()11ln ln 11x xg x g x x x-+-==-=-+-，所以()g x 是奇函数，且()()122ln ln 111x g x x x --+⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭在区间()1,1-上递增，且()00g =.当0a =时，()1ln,01xg x y x+==-，只有一个交点()0,0，不符合题意. 当0a >时，画出图象如下图所示，()()()()'11ln 1ln 1,11g x x x g x x x=+--=++-，所以()'11021010g =+=+-，即()g x 在0x =处切线的斜率为2，切线方程为2y x =.要使()1ln ,1xg x y a x x+==-的图象有两个交点，则需2a >.同理，当0a <时，()g x 在0x =处切线的斜率为2，切线方程为2y x =，要使()1ln,1xg x y a x x+==-的图象有两个交点，则需2a <-. 综上所述，实数a 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2)(2,)-∞-+∞【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17．（1）[1,1]-（2）存在，通项公式为54n b n =- 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质，将21a a d =+代入221212a a a a +=+，化简整理即可求出结果；（2）根据1d =-求出1a ，再假设存在等差数列{}n b ，结合题意求出n b ，再由裂项相消法求出数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，即可求出结果.【详解】 解:（1）221212a a a a +=+，()221112a a d a d ∴++=+，整理得，()22112210a d a d d +-+-=则()()224180d d d ∆=---≥，解得11d -≤≤，则d 的取值范围为[]1,1-. （2）1d =-，2112420a a ∴-+=，即11a =，则2n a n =-.假设存在等差数列{}n b ，则2112211221121123a b a b a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，即12111211223b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1216b b =⎧⎨=⎩，从而54n b n =-.此时2211111n n a b n n n n ==-+++，2221122111n n a b a b a b ++⋅⋅⋅++++ 1111112231n n =-+-+⋅⋅⋅+-=+ 1111n n n -=++， 故存在等差数列{}n b ，且54n b n =-，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为1nn +. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与性质，以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.18．（1）证明见解析（2）7- 【解析】 【分析】（1）首先由AO ⊥平面11BB C C 证得1AO B C ⊥，根据四边形11BB C C 是菱形证得11BC B C ⊥，由此证得1B C ⊥平面1ABC ，进而证得1B C AB ⊥.（2）首先根据“直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为30”得到30ABO ∠=︒.以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，通过平面111B C A 的法向量和平面11B C B 的法向量，计算出二面角111A B C B --的余弦值.【详解】（1）证明：因为AO ⊥平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥， 因为1BC BB =，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥， 因为1AO BC O ⋂=，所以1B C ⊥平面1ABC ，所以1B C AB ⊥.（2）因为11A B 与平面11BB C C 所成的角为30，11//A B AB ， 所以AB 与平面11BB C C 所成的角为30， 因为AO ⊥平面11BB C C ，所以AB 与平面11BB C C 所成的角为ABO ∠， 所以30ABO ∠=︒，令2BC =，则12B C =，BO =，1OA =，以O 为坐标原点，分别以OB ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0)O，)B，1(0,1,0)B ，(0,0,1)A，()1C ，因为111OA OA AA OA BB =+=+()()()0,0,1=+=，所以()1A ，平面11B C B 的一个法向量为(0,0,1)OA =，设平面111B C A 的一个法向量为(,,)n x y z =，则11111100n A B n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00z y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 令1x =，则y =-z =(1,3,n =-，所以21cos ,n OA n OA n OA⋅==⋅， 所以二面角111A B C B --的余弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面位置关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、转化与化归思想.19．（1） 不变化；（2）121223q q q q --+；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小 【解析】 【分析】 【详解】（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()112123111P P P P P P P =+-+--123122331123P P P PP P P P P PP P =++---+． 若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()113132111P P P P P P P =+-+--123122331123P P P PP P P P P PP P =++---+， 发现任务能完成的概率是一样.同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化. （2）由题意得X 可能取值为1,2,3∴()()()()()()112121;21;311P X q P X q q P X q q ====-==--， ∴其分布列为:()()()11212121212131123EX q q q q q q q q q ∴=⨯+⨯-+⨯--=--+．（3）()()()12122123211E X q q q q q q =--+=--+,1231p p p >>> ∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小, 则只能先派甲、乙中的一人.∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则1121223EX p p p p =--+；若先派乙,再派甲,最后派丙, 则2122123EX p p p p =--+，()()12121212212123230EX EX p p p p p p p p p p ∴-=--+---+=-<，∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小．20．（1）2214x y +=（2）直线l 恒过定点(1,1) 【解析】【分析】（1）设(),P x y ，由此得出,A B 两点的坐标，根据||3AB =列方程，化简后求得P 点的轨迹方程.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，联立直线方程和轨迹Γ的方程，写出判别式和韦达定理，根据直线QM ，QN 的斜率之和为2列方程，求得,m k 的关系式，由此判断直线l 过点()1,1.当直线l 斜率不存在时，同样利用直线QM ，QN 的斜率之和为2列方程，由此求得直线l 的方程，此时直线l 也过点()1,1，由此判断出直线l 恒过定点()1,1.【详解】（1）设(,)P x y ，因为点P 在线段AB 上，且||2||BP PA =，所以3,02x A ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,3)B y ， 因为||3AB =，所以223(3)92x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2214x y +=， 所以点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当l 的斜率存在时，设l ：y kx m =+，由221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222418440k x kmx m +++-=，所以()()222(8)441440km k m ∆=-+->，即22410k m -+>，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+， 因为直线QM ，QN 的斜率之和为2，所以1212112y y x x +++=， 所以()1212(1)22m x x k x x +++=，即2(1)2221m km k m +⨯-=-，所以1m k =-， 当1m k =-时，满足22410k m -+>，即>0∆，符合题意，此时l ：1y kx k =+-恒过定点(1,1)，当l 的斜率不存在时，12x x =，12y y =-，因为直线QM ，QN 的斜率之和为2，所以122212222111122y y y y x x x x x ++-+++=+==， 所以21x =，此时l ：1x =，恒过定点(1,1)，综上，直线l 恒过定点(1,1).【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化思想.21．（1）答案不唯一，具体见解析（2）2a ≥【解析】【分析】（1）求得()f x 的导函数()'fx ，对a 分成0a ≤和0a >两种情况，分类讨论()f x 的单调区间.（2）首先判断0a >.解法一：构造函数()()(2)cos g x f x a x =-+，求得()g x 的导函数()'g x ，对a 分成2a ≥，02a <<两种情况进行分类讨论，结合()0g x ≥求得a 的取值范围.解法二：当2a ≥时，根据()f x 的单调性证得()(0)2(2)cos f x f a a x ≥=+≥+.当02a <<时，同解法一，证得此时不满足()(2)cos f x a x ≥+.【详解】（1）()e 2e (2)x x f x a a -'=-+-2e (2)e 2e x x x a a +--=()()e 2e 1e x x x a -+=， 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0f x '<得2ln x a <，所以()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 由()0f x '>得2ln x a >，所以()f x 在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）解法一： 当2x π=时，22e 2e (2)022f a a ππππ-⎛⎫=++-≥ ⎪⎝⎭，即222e 02e a ππππ⎛⎫+≥-> ⎪⎝⎭， 所以0a >，令()()(2)cos g x f x a x =-+e 2e (2)(2)cos x x a a x a x -=++--+，则()e 2e (2)(2)sin x xg x a a a x -'=-+-++2e 2(2)(2)sin e x x a a a x -=+-++ 若2a ≥，则当[]0,x π∈时，()0g x '≥，所以()g x 在[]0,π上单调递增；当(,)x π∈+∞时，()e 2e (2)(2)sin x x g x a a a x-'=-+-++e 2e (2)(2)x x a a a -≥-+--+2e 2e 44404a a ππ>--≥-->， 所以当[)0,x ∈+∞时，()g x 单调递增，所以()(0)0g x g ≥=.若02a <<，则(0)2(2)0g a '=-<，()e 2e (2)(2)sin x x g x a a a x-'=-+-++e 2e (2)(2)e 2e 4x x x x a a a a --≥-+--+=--，由e 2e 40x x a ---=得2ln 0x a+=>，所以ln 0g ⎛'≥ ⎝⎭，所以020,ln x a ⎛∃∈ ⎝⎦，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<， 所以()g x 在()00,x x ∈上单调递减，所以当()00,x x ∈时，()(0)0g x g <=，不合题意.综上，a 的取值范围为2a ≥.解法二： 当2x π=时，22e 2e (2)022f a a ππππ-⎛⎫=++-≥ ⎪⎝⎭，即222e 02e a ππππ⎛⎫+≥-> ⎪⎝⎭， 所以0a >，若2a ≥，由（1）知：()f x 在2ln,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 因为2a ≥，所以2ln 0a≤，所以()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增， 所以当[)0,x ∈+∞时，()(0)2(2)cos f x f a a x ≥=+≥+.若02a <<，令()()(2)cos g x f x a x =-+e 2e (2)(2)cos x x a a x a x -=++--+，则()e 2e (2)(2)sin x xg x a a a x -'=-+-++2e 2(2)(2)sin e x x a a a x -=+-++ 所以(0)2(2)0g a '=-<，()e 2e (2)(2)sin x x g x a a a x-'=-+-++e 2e (2)(2)e 2e 4x x x x a a a a --≥-+--+=--，由240x x ae e ---=得ln 0x =>，所以2ln 0g a ⎛⎫'≥ ⎪ ⎪⎝⎭，所以020,ln x a ⎛∃∈ ⎝⎦，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<， 所以()g x 在()00,x x ∈上单调递减，所以当()00,x x ∈时，()(0)0g x g <=，不合题意.综上，a 的取值范围为2a ≥.【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性、最值等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论、函数与方程、化归与转化、数形结合思想.22．（1）4cos ρθ=（2）1tan 2α=【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=，消去1C 的参数将1C 的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.（2）将射线θα=分别于12,C C 的极坐标方程联立，求得,A B 两点对应的12,ρρ，由此求得AB 的表达式，求得AM 的表达式，根据||||AB AM =列方程，由此求得tan α的值.【详解】（1）∵22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数） ∴曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴24cos 0ρρθ-= ∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=（2）依题意设()1,A ρθ，()2,B ρθ，∴由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=.由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=. ∵04πα<<，∴12ρρ>.∴12||||||4cos 4sin AB OA OB ρραα=-=-=-.∵OM 是圆1C 的直径，∴2OAM π∠=.∴在直角Rt OAM ∆中，||4sin AM α=∵在直角Rt BAM ∆中，4AMB π∠=∴||||AB AM =，即4cos 4sin 4sin ααα-=∴4cos 8sin αα=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.23．（1）()(),04,-∞+∞（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）将不等式62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭化为|3||1|4a a -+->，利用零点分段法，求得不等式的解集. （2）将要证明的不等式转化为证x R ∀∈，12sin |1|1x a a ≥---+恒成立，由2sin x 的最小值为2-，得到只要证12|1|1a a -≥---+，即证1|1|12a a-++≥，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.【详解】（1）∵62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴2|3||1|6a a +-+->，即|3||1|4a a -+-> 当3a ≥时，不等式化为3143a a a -+->⎧⎨≥⎩，∴4a > 当13a <<时，不等式化为(3)(1)413a a a -+->⎧⎨<<⎩，此时a 无解 当1a ≤时，不等式化为(3)(1)41a a a -+->⎧⎨≤⎩，∴0a < 综上，原不等式的解集为()(),04,-∞+∞（2）要证x R ∀∈，1()|3|1f x a a ≥--+恒成立 即证x R ∀∈，12sin |1|1x a a≥---+恒成立 ∵2sin x 的最小值为－2，∴只需证12|1|1a a -≥---+，即证1|1|12a a -++≥又11|1|111a a a a -++≥-++11||2a a a a =+=+≥= ∴1|1|12a a -++≥成立，∴原题得证 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学12月月考试题文2
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学12月月考试题 文一、选择题：共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1、若全集R U =，集合),4()1,(+∞--∞=Y A ，{}2||≤=x x B ，则如图阴影部分所表示的集合为A.{}42<≤-x x B.{}42≥≤x x x 或 C.{}12-≤≤-x x D.{}21≤≤-x x 2、已知)1)(1(ai i -+0>（i 为虚数单位）,则实数a 等于（ ） A.1- B.0 C.1D.23、已知函数()xx x f )31(3-=，则()x f （ ）A ．是奇函数，且在 R 上是增函数B ．是偶函数，且在 R 上是增函数C ．是奇函数，且在 R 上是减函数D ．是偶函数，且在 R 上是减函数 4、b a ,是单位向量，“2)(2<+b a ”是“b a ,的夹角为钝角”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5、已知圆C 的圆心在坐标轴上，且经过点()0,6及椭圆141622=+y x 的两个顶点，则该圆的标准方程为（ ）A. ()16222=+-y xB. 72)6(22=-+y x C.91003822=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x D.91003822=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 6、古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ） A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天7、过点()1,1P 的直线，将圆形区域(){}4,22≤+y x y x 分两部分，使.这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A.02=-+y xB.1=yC. 0=-y xD.043=-+y x 8、若1cos()86απ-=，则cos(2)4α3π+=（ ） A ．1819 B ．1718 C ．1718- D ．1819-9、已知21,F F 是双曲线12222=-by a x 的左右焦点，P 是右支上的动点， M F 2垂直于21PF F ∠的平分线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（ ）A 、抛物线弧B 、双曲线弧C 、椭圆弧D 、圆弧 10、已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点,三棱锥ABC O -的高为22,且3π=∠ABC ,2=AB ,4=BC , 则球O 的表面积为( )A.π24B.π32C.π48D.π19211、抛物线()02:21>=p py x C 的焦点与双曲线136:222=-y x C 的右焦点的连线在第一象限内与1C 交于点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=P （ ） A.163 B. 82 C. 223 D. 334 12．函数()1,0252sin 2,0,6x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+<< ⎪⎪⎝⎭⎩，，若方程()f x a =恰有三个不同的解，记为123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是( ) A ．10102,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．552,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．10101,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．551,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.13、已知实数,x y 满足65125=+y x 22x y +的最小值等于 ．14、已知椭圆131222=+y x 的左右焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则1PF 是2PF 的 倍。
2020-2021学年黑龙江省牡丹江一中高三(上)开学数学试卷(理科)及答案
2020-2021学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1. 设集合M ={0, 1}，N ={x|0<x ≤1}，则M ∪N =( ) A.(0, 1] B.[0, 1] C.(−∞, 1] D.[0, 1)2. 下列不等式中，正确的是（ ） A.若a >b ，则a +c <b +c B.若a >b ，c >d ，则a +c >b +d C.若a >b ，c >d ，则ac>bdD.若a >b ，c >d ，则ac >bd3. 已知条件p:x >1，条件q:x ≥2，则p 是q 的( ) A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件4. 如图所示，曲线y =x 2和曲线y =√x 围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（ ）A.12 B.1C.13D.√225. 已知a √56，b ＝(16)0.2，c ＝log 3725，则（ ）A.b >a >cB.a >b >cC.c >b >aD.c >a >b6. 一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球，如果不放回的依次取出2个球．在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率是（ ） A.310 B.12C.25D.357. 已知函数f(x)的定义域为[3, 6]，则函数y =√12的定义域为（ ）A.[32, 2)B.[32, +∞)C.[12, 2)D.(32, +∞)8. 自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性．各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内．某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则分配方案共有（ ） A.24种B.12种C.36种D.72种9. 已知函数f(x)在定义域(0, +∞)上是单调函数，若对任意x ∈(0, +∞)，都有f[f(x)−1x ]=2，则f(17)的值是（ ） A.6 B.5 C.7 D.810. 函数f(x)=21n|x+1|(x+1)2的大致图象为（ ）A. B.C. D.11. 2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标ξ∼N(15, 0.0025)，单位为g ，该厂每天生产的质量在(14.9g, 15.05g)的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为（ ） 参考数据：若ξ∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)≈0.9973． A.22 750 B.158 700 C.1 350 D.2 70012. 已知函数y =a x (a >1)与y =log a x(a >1)的图象有且仅有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A.1<a <eB.1<a <e 1eC.a >eD.e 1e<a <e二、填空题（每题5分，共20分）命题p:∀x，y∈(0, 1)，x+y<2的否定为________．(1+x)5(1−1x)5的展开式中的x项的系数等于________．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x−1)，已知当x∈[0, 1]时，f(x)=(12)1−x，则：（1）2是函数f(x)的周期；（2）函数f(x)在(1, 2)上是减函数，在(2, 3)上是增函数；（3）函数f(x)的最大值是1，最小值是0；（4）当x∈(3, 4)时，f(x)＝(12)x−3．其中所有错误命题的序号是________．已知关于x的不等式e xx3−x−a ln x≥1对于任意x∈(1, +∞)恒成立，则实数a的取值范围为________．三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分）解下列不等式．（1）x(x−1)(x+2)(x−3)>0；（2）2x+1x−2≥1．已知函数f(x)＝log12(−x2−6x−5)．（1）讨论f(x)的单调性；（2）求f(x)的最值，并求取得最值时x的值．已知函数f(x)=x−a ln x(a∈R).(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》的有34人，统计图如图．（1）计算图中a，b，c的值；（2）文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人，进行观影体验的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用x表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数，求x的分布列及数学期望和方差．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，从产品中随机抽取了80个进行测量，根据所测量的数据画出频率分布直方图如下：注：尺寸数据在[63.0, 64.5)内的零件为合格品，频率作为概率．(Ⅰ)从产品中随机抽取4件，合格品的个数为ξ，求ξ的分布列与期望；(Ⅱ)从产品中随机抽取N件，全是合格品的概率不小于30%，求N的最大值；(Ⅲ)为了提高产品合格率，现提出A，B两种不同的改进方案进行试验．若按A方案进行试验后，随机抽取15件产品，不合格个数的期望是2；若按B方案试验后，抽取25件产品，不合格个数的期望是4，你会选择哪个改进方案？已知函数f(x)=e−x−a cos x，其中a∈R，e为自然对数的底数．)上恒成立，求实数a的取值范围；（1）若f(x)≥0在(0,π2（2）当a=1，x∈(0, π)时，①证明：函数f(x)恰有一个零点；．②设x0为f(x)的极值点，x1为f(x)的零点，证明：x1−x0<π−12参考数据：ln2≈0.6931参考答案与试题解析2020-2021学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1.【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】不等式射基本性面【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】定积分使简单应以定积分【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】条件概验强独立事件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】正态分来的密稳曲线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（每题5分，共20分）【答案】此题暂无答案【考点】命正算否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用函数水因期性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分）【答案】此题暂无答案【考点】其他不三式的解州【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】复合函表的型调性函根的萄送木其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程利来恰切研费函数的极值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】离散来随机兴苯的期钱与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】离散来随机兴苯的期钱与方差离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利来恰切研费函数的极值利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020-2021学年高一4月月考数学试题 答案和解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列 满足 ，且 ，那么 （）
A．8B．9C．10D．11
2．在 中，已知 ，则 （）
A． B． C． 或 D．
3．设 为数列 的前 项和，且 ，则 ()
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
三、பைடு நூலகம்答题
17．等差数列 中，已知 ，求数列 的通项公式.
18．在 中， ．
（1）求 的值．
（2）求 的值．
19．已知数列 的公差不为零的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列．
（ ）求数列 的前 项和 ．
（ ）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【详解】
由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45
∴a7+a8+a9=45
故选B．
【点睛】
在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：
若等差数列 的前 项和为 ，且 ，则
①若 ，则 ；
② 、 、 、 成等差数列．
8．A
20．如图，在 中， ， ，点 在 边上，且 ， .
（1）求 ；
（2）求 的长.
21．在锐角 中，角 所对的边分别为 ，已知向量 ， ，且 .
黑龙江牡丹江市第一高级中学2025届数学高三上期末学业质量监测试题含解析
黑龙江牡丹江市第一高级中学2025届数学高三上期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()eln mx f x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞ 2．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）A B C ．4- D ．23．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．己知全集为实数集R ，集合A ={x |x 2 +2x -8>0}，B ={x |log 2x <1}，则()R A B ⋂等于（ ） A ．[-4,2] B ．[-4,2) C ．(-4,2) D ．(0,2)5．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ）A ．()p q ⌝∨为真命题B ．p q ∨为真命题C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题 6．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，则23342122a a a a a a +++=（ ） A ．58 B ．34 C ．54 D ．52 7．已知直线y =k (x +1)(k >0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则|FA | =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116 D ．151610．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．25C ．6D ．2712．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( )A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学上学期开学考试检测试题理(含解析)
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学上学期开学考试检测试题 理（含解析）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1.设集合{}|A x x a =<，{}|3B x x =<，则“3a <”是“A B ⊆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将A B ⊆等价转化为范围问题，再利用集合关系判断充分不必要条件。
【详解】3A B a ⊆⇔≤，则“3a <”是“A B ⊆”的充分不必要条件 故选A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系判断是解决问题的关键，属于基础题。
2.下列函数中既是奇函数又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A. sin y x =B. 1y x =-+C. 2ln2xy x-=+ D.()1222xx y -=+ 【答案】C 【解析】y sinx =是奇函数,但是,[−1,1]上单调增函数。
1y x =-+不是奇函数，对于2ln2x y x -=+,因为()()22ln ln 22x x f x f x x x +--==-=--+,所以2ln 2xy x-=+是奇函数,24ln ln 122x y x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭在[−1,1]上单调减函数，()1222xx y -=+是偶函数,[−1,1]上单调递增。
故选：C.3.已知α是第四象限角，3sin 5α=-，则tan()4πα-=（ ） A. 5- B. 5 C. 7- D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】先根据α的正弦值和角所在的象限，求得cos ,tan αα的值，根据两角差的正切公式求得所求表达式的值.【详解】因为3sin 5α=-，且α为第四象限角，则4cos 5α=，3tan 4α=-，故选D. 所以1tan tan 41tan πααα-⎛⎫-=⎪+⎝⎭3147314⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于基础题.4.已知21log 3252,1log 3,cos6a b c π-=-=-=，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】C 【解析】由题得：222221log 3log 2log 3log 3-=-=，而222121log log log 1023-=<<=，所以21log 301221,2a -->=->-=-而5cos 6π=，又122221log log 232-<=-，所以c 最小，又221log 3log 3222()23a -=-=-=-，532222251log 3log 3log 2log 3,33b a -=-+=-=-又355333232,32723⎛⎫==⇒> ⎪⎝⎭，所以0b a ->，故选C 点睛：本题较难，主要是对对数和指数的运算的考察，在比较大小时，先判定各数的符号，然后可以借助中间值0或1进行比较，也可以作差或作商进行比较5.若正数a ，b 满足()25log log lg a b a b ==+，则11a b+的值为（ ） A.14B.12 C.34D. 1【答案】D 【解析】 【分析】引入新元x ，将a 用x 表示，b 用x 表示，a +b 用x 表示带入11a b+求出结果 【详解】设()25log log lg a b a b x ==+=，则2,5,10xxxa b a b ==+=1051112xx x a b a b ab ++=⋅== 【点睛】本题主要考查对数与对数函数。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
牡一中2017级高三学年上学期期末考试数 学 试 题(理)第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题（每小题5分，共12小题）1. 复数iiz +=1在复平面内对应的点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限2.己知命题p ：,21000nn N ∃∈>，则p ⌝为 （ ）A.,21000n n N ∀∈<B.,21000nn N ∀∉< C.,21000nn N ∀∈≤ D.,21000nn N ∀∉≤3. 已知双曲线2221(0)x y a a-=>，则a =（ ）B.2C.4D.124. 已知向量与夹角为3π，且1||=a ，3|2|=-b a ，则=|| （ ）A.3B.2C.23D.1 5.已知2cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A.19- B.19 C.59 D.59-6. 定义在R 上的函数2)31()(||-=-m x x f 为偶函数，)21(log 2f a =，))21((31f b =，)(m f c =，则( ) A.b a c << B.b c a << C.c b a << D.c a b <<7．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( ) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种8. 若函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ(0ϕ>)个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=( )A.3C. D.9. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种( ) A.60B.90C.120D.15010．已知两点)0,1(),0,1(B A -以及圆222)4()3(:r y x C =-+-，若圆C 上存在点P ，满足0=⋅，则r 的取值范围是( )A.[]3,6B.[]3,5C.[]4,5D.[]4,611．如左图所示，正四面体BCD A -中,E 是棱AD 的中点,P 是棱AC 上一动点，BP PE +的最) A.12πB.32πC.8πD.24π12．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q 在线段2PF 的延长线上，且,1QP QF ⊥135sin 1=∠PQ F ，则该椭圆离心率的取值范围是( )A.)1,2626(B.)35,51( C.)22,51( D.)22,2626(第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题（每小题5分，共4小题）13.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若66=a ，1515=S ，则公差=d __________14. 已知双曲线:C )0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为4,)3,2(A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________15.如右下图中F E D C B A ,,,,,六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色。
【一轮复习】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2021届高三上学期开学考试数学(文)试题(解析版)
2020-2021学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共12题）1．（5分）设集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x||x|≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（0，1] C．[﹣1，1] D．[0，1]2．（5分）设i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）＝2i，则|z|＝（）A．1 B．C．2 D．23．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∃x∈R，x2﹣x+1＜0C．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 D．∀x∈R，x2﹣x+1＜04．（5分）若sin（）＝﹣，α为第二象限角，则tanα＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，e]，a＞lnx”，命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a＝0””若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（1，4] B．（0，1] C．[﹣1，1] D．（4，+∞）6．（5分）甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”．假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（5分）设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且b＝2，A＝2B，则a的取值范围为（）A．B．C．D．（0，4）8．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+e x，则f'（2）的值等于（）A．﹣0 B．﹣2 C．﹣D．﹣﹣210．（5分）函数y＝log a（x+4）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ＝（）A．B．C．﹣D．11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f （1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．5012．（5分）已知函数f（x）＝x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共4题）13．（5分）曲线y＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为．14．（5分）设函数f（x）＝，则f（x）≤3成立的x的取值范围．15．（5分）已知，则cos（α﹣β）＝．16．（5分）设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是．三、解答题（17题10分，18-22题，每题12分）17．（10分）已知p：|2x﹣5|≤3，q：x2﹣（a+2）x+2a≤0．（1）若p是真命题，求对应x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．18．（12分）（文）已知函数f（x）＝（sinωx+cosωx）cosωx﹣（ω＞0）的最小正周期为4π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．19．（12分）在△ABC中，a，b，c，分别为角A，B，C的对边，且sinB﹣sinC＝sin（A﹣C）．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝3，求b+2c的最大值．20．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC．（Ⅰ）若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；（Ⅱ）若BD＝2DC，且AB＝，求AD的长．21．（12分）设函数f（x）＝x2+1﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x在区间上的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1时取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）当0＜a＜1时，求f（x）零点的个数．2020-2021学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共12题）1．【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，B＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]．故选：B．2．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝，∴|z|＝．故选：B．3．【分析】命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【解答】解：命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃x∈R，再将不等号＞变为≤即可．故选：A．4．【分析】由已知求得cosα，进一步得到sinα，再由商的关系求得tanα．【解答】解：由sin（）＝﹣，得cos，∵α为第二象限角，∴sin．则tanα＝．故选：A．5．【分析】先求出命题p，q成立的等价条件，利用命题“p∧q”为真命题，确定实数a的取值范围【解答】解：若命题p：“∀x∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，则a＞lne＝1，若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a＝0”为真命题，则△＝16﹣4a≥0，解得a≤4，若命题“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题，则，解得：1＜a≤4．故实数a的取值范围为（1，4]．故选：A．6．【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【解答】解：①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，综合①②③④得：读了该篇文章的学生是乙，故选：B．7．【分析】由题意可得0＜2B＜，且＜3B＜π，解得B的范围，可得cosB的范围，由正弦定理求得a＝4cosB，根据cosB的范围确定出a范围即可．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A＝2B，∴0＜2B＜，且B+A＝3B，∴＜3B＜π．∴＜B＜，∴＜cosB＜，∵b＝2，A＝2B，∴由正弦定理可得：a＝＝＝4cosB，∴可得：2＜4cosB＜2，则a的取值范围为（2，2）．故选：A．8．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．9．【分析】根据导数公式先求出f'（x），然后令x＝2即可得到f'（2）的值．【解答】解：∵f（x）＝x2+3xf′（2）+e x，∴f'（x）＝2x+3f'（2）+e x，令x＝2，则f'（2）＝4+3f'（2）+e2，即﹣2f'（2）＝4+e2，∴f'（2）＝﹣﹣2．故选：D．10．【分析】令对数的真数等于零，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2θ的值．【解答】解：对于函数y＝log a（x+4）+2（a＞0且a≠1），令x+4＝1，求得x＝﹣3，y＝2，可得函数的图象恒过点A（﹣3，2），且点A在角θ的终边上，∴tanθ＝＝﹣，则sin2θ＝＝＝﹣，故选：C．11．【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，12．【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据三角函数图象变换写出函数y＝g（x）的解析式，利用g（x1）•g（x2）＝9求得x1、x2满足的条件，再求|x1﹣x2|的可能取值．【解答】解：函数f（x）＝x+1＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin（4x﹣）的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）+1的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则4x﹣＝+2kπ，k∈Z；解得x＝+，k∈Z；其中x1、x2是三角函数g（x）最高点的横坐标，∴|x1﹣x2|的值为T的整数倍，且T＝＝．故选：B．二、填空题（每题5分，共4题）13．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）＝xlnx，得，∴f′（1）＝ln1+1＝1，即曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），整理得：x﹣y﹣1＝0．故答案为：x﹣y﹣1＝0．14．【分析】根据f（x）的解析式可看出，x＜1时，满足f（x）≤3；x≥1时，由f（x）≤3可得，，从而得出1≤x≤9，这样便可得出x的取值范围．【解答】解：①∵x＜1；∴x﹣1＜0；∴e x﹣1＜1；∴x＜1时，f（x）≤3成立；②x≥1时，由f（x）≤3得，；∴1≤x≤9；∴x≤9；∴x的取值范围为：（﹣∞，9]．故答案为：（﹣∞，9]．15．【分析】已知两等式两边分别平方，利用同角三角函数间的基本关系化简得到关系式，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：已知等式平方得：（cosα+cosβ）2＝cos2α+2cosαcosβ+cos2β＝①，（sinα+sinβ）2＝sin2α+2sinαsinβ+sin2β＝②，①+②得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝1，即cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣，则cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣．故答案为：﹣16．【分析】根据题意，做出函数的草图，利用数形结合判断a、b、c的范围与关系，然后求解2a+2b+2c的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数＝，其草图如图若互不相等的实数a，b，c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），设f（a）＝f（b）＝f（c）＝m，则函数y＝f（x）的图象与直线y＝m有3个不同的交点，分别为（a，m），（b，m），（c，m），且0＜m＜1，结合函数的图象：有a∈（﹣∞，0），b∈（0，1），c∈（4，5），当m→1时，表达式2a+2b+2c的值趋向最小值：0+2+24＝18，当m→0时，表达式2a+2b+2c的值趋向最大值：1+1+25＝34．则2a+2b+2c的取值范围是（18，34）．故答案为：（16，34）．三、解答题（17题10分，18-22题，每题12分）17．【分析】（1）由p：|2x﹣5|≤3是真命题，解含绝对值不等式的性质能求出x的取值范围．（2）由P：1≤x≤4，q：（x﹣2）（x﹣a）≤0，p是q的必要不充分条件得到：当a≥2时，q：2≤x≤a，当a＝2时，q：x＝2，当a＜2时，q：a≤x≤2，利用分类讨论思想能求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵p：|2x﹣5|≤3是真命题，∴|2x﹣5|≤3，∴﹣3≤2x﹣5≤3，解得1≤x≤4，∴x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知：P：1≤x≤4，q：x2﹣（a+2）x+2a＝（x﹣2）（x﹣a）≤0，p是q的必要不充分条件当a≥2时，q：2≤x≤a，故满足a≤4，即2＜a≤4，当a＝2时，q：x＝2，满足条件；当a＜2时，q：a≤x≤2，故满足a≥1，即1≤a＜2．综上所述a的取值范围是[1，4]．18．【分析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）＝sin（2ωx+），利用其最小正周期为4π可求得ω；（2）由（1）知，f（x）＝sin（x+），利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）＝sinωxcosωx+cos2ωx﹣＝sin2ωx+cos2ωx+﹣＝sin（2ωx+），∵T＝＝4π，∴ω＝．（2）∵f（x）＝sin∵﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣π+4kπ≤x≤π+4kπ，k∈Z∴f（x）的单调递增区间为[﹣+4kπ，+4kπ]（k∈Z）．19．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cosA＝，进而可求A的值；（Ⅱ）根据三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求可得b+2c＝2sin（B+φ），其中tanφ＝，φ∈（0，），结合范围B∈（0，），利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，sinB﹣sinC＝sin（A﹣C），∴sin（A+C）﹣sinC＝sin（A﹣C），即sinAcosC+cosAsinC﹣sinC＝sinAcosC﹣cosAsinC∴2cosAsinC＝sinC≠0，∴cosA＝，∴A＝．（Ⅱ）∵由，可得b+2c＝2（sinB+2sinC）＝2[sinB+2sin（120°﹣B）]＝2（2sinB+cosB）＝2sin（B+φ），其中tanφ＝，φ∈（0，），由B∈（0，），存在B使得B+φ＝，∴sin（B+φ）的最大值为1，∴b+2c的最大值为2．20．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DAC＝30°，在△ADC中，由正弦定理可得sin∠ADC＝，即可解得∠ADC＝120°．（Ⅱ）由已知在△ABC中，由勾股定理可得DC＝1，BD＝2，AC＝，令∠ADB＝θ，由余弦定理，即可解得AD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵∠BAD＝60°，∠BAC＝90°，∴∠DAC＝30°，…1分在△ADC中，由正弦定理可得：，…2分∴sin∠ADC＝sin∠DAC＝，…3分∴∠ADC＝120°，或60°，…4分又∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°…6分（Ⅱ）∵BD＝2DC，∴BC＝3DC，在△ABC中，由勾股定理可得：BC2＝AB2+AC2，可得：9DC2＝6+3DC2，∴DC＝1，BD＝2，AC＝，…8分令∠ADB＝θ，由余弦定理：在△ADB中，AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cosθ，…9分在△ADC中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos（π﹣θ），…10分可得：，∴解得：AD2＝2，可得：AD＝…12分21．【分析】（I）求出导函数，得出函数的单调区间；（II）求导函数，判断函数在区间上的单调性，然后求出最小值．【解答】解：（I）f（x）＝x2+1﹣lnx∴f'（x）＝2x﹣＝，∴当x在（，+∞）时，f'（x）＞0，函数递增，当x在（0，）时，f'（x）＜0，函数递减，故函数的增区间为（，+∞），减区间为（0，）；（II）由g（x）＝f（x）﹣x＝x2﹣x+1﹣lnx，得g'（x）＝，x∈，令g'（x）＝0，则x＝1，∴g（x）在上单调递减，在（1，2]上单调递增，∴g（x）min＝g（1）＝1，∴函数的最小值为1．22．【分析】（ I）求出函数的f（x）定义域为（0，+∞），导函数．通过导函数的符号判断函数的单调性然后求解函数的极值，推出a即可．（ II ）令，由0＜a＜1，得．求出函数的单调区间以及函数的极值，利用函数零点判断定理转化推出结果即可．【解答】（共14分）解：（ I）f（x）定义域为（0，+∞）.．由已知，得f'（1）＝0，解得a＝1．当a＝1时，．所以f'（x）＜0⇔0＜x＜1，f'（x）＞0⇔x＞1．所以f（x）减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．所以函数f（x）在x＝1时取得极小值，其极小值为f（1）＝0，符合题意所以a＝1．……………………………………………………………………（5分）（ II ）令，由0＜a＜1，得．所以．所以f（x）减区间为，增区间为．所以函数f（x）在时取得极小值，其极小值为．因为0＜a＜1，所以．所以．所以．因为，又因为0＜a＜1，所以a﹣2+e＞0．所以．根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．因为x＞lnx，f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx＞ax2+（a﹣2）x﹣x＝x（ax+a﹣3）．令ax+a﹣3＞0，得．又因为0＜a＜1，所以．所以当时，f（x）＞0．根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．所以，当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．………………………………（14分）。
黑龙江省牡丹江市重点高中2020届高三4月教学检测 数学(文)试题
、 、 、 1 D 2 B
3C
对于选项 A：观察五个灰色的条形图,可得 2013 年所对的灰色条形图高度最低,所以这五年，
2013 年出口额最少.故选项 A 正确;
对于选项 B:观察五组条形图可得,2013 年出口额比进口额稍低,但 2014 年—2017 年都是出口
额高于进口额,并且 2015 年和 2016 年都是出口额明显高于进口额，故这五年，出口总额比
以来，“一带一路”建设成果显著.下图是 2013-2017 年，我国对“一带一路”沿线国家进出口
情况统计图.下列描述错误的是（ ）
A. 这五年，2013 年出口额最少 B. 这五年，出口总额比进口总额多 C. 这五年，出口增速前四年逐年下降 D. 这五年，2017 年进口增速最快
已知 ， ， ，若 ，则 4. A(1,2) B (2,3) C (−1,m)
4
20.设椭圆 C
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1（ a
>
b
>
0
）的左右焦点分别为
F1，F2
，椭圆的上顶点为点
B
，
点 为椭圆 上一点，且 A
C
uuuv uuuv v 3F1 A + F1B = 0 .
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若b =1，过点 F2 的直线交椭圆于 M，N 两点，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程.
12
+
π2 ω2
= 16
ω=π 2
再根据 ， ，可得 ， ． π 1 +ϕ = kπ k ∈ Z
ϕ = − π ∴ f (x) = 3 sin(π x − π )
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2020-2021学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高三(上)期末数学试卷(文科)(附答案详解)
2020-2021学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=2i31+i，则z=()A. −1−iB. 1−iC. 1+3i2D. 1+3i2.已知集合A={x|x2−2x<0,x∈Z}，集合B={−1,0，1，2}，则集合(∁Z A)∩B的真子集个数为()A. 3B. 4C. 7D. 83.命题“∃α∈R，sinα=0”的否定是()A. ∃α∈R，sinα≠0B. ∀α∈R，sinα≠0C. ∀α∈R，sinα<0D. ∀α∈R，sinα>04.已知向量a⃗=(2,−1)，b⃗ =(0,1)，(a⃗+k b⃗ )⋅b⃗ =3，则k=()A. −2B. 2C. −4D. 45.若x，y满足约束条件{x−y+2≤0x+y−3≤03x+y≤0，则z=2x+y的最大值是()A. 72B. 32C. 12D. 16.在等差数列{a n}中，a2，a14是方程x2+6x+2=0的两个实根，则a8a2a14=()A. −32B. −3C. −6D. 27.已知双曲线C1：x23−y24=1，双曲线C2的焦点在y轴上，它的渐近线与双曲线C1相同，则双曲线C2的离心率为()A. √73B. √72C. √3D. √73或√728.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. 16B. 13C. 12D. 19. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 的值的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 410. 若lga +lgb =0，且a ≠b ，则1a +2b 的取值范围为( )A. [2√2,+∞)B. (2√2,+∞)C. [2√2,3)∪(3,+∞)D. (2√2,3)∪(3,+∞)11. 已知四面体ABCD 是球O 的内接四面体，且AB 是球O 的一条直径，AD =2，BD =3，则下面结论错误的是( )A. 球O 的表面积为13πB. △OCD 的面积为定值C. 若N 为CD 的中点，则ON ⊥CDD. 四面体ABCD 体积的最大值为√13212. 已知函数f(x)=e 1+(x−1)2−11+|x−1|，则使f(2x)>f(x +1)成立的x 的取值范围是( )A. (−∞,13)∪(1,+∞) B. (−∞,−13)∪(1,+∞) C. (−∞,−1)∪(13,+∞)D. (−13,1})二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线x 2−y 2m=1的离心率是______．14. 设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式f(x)−f(−x)x<0的解集是______．15. 给出如下五个结论：①存在α∈(0,π2)使sinα+cosα=13②存在区间(a,b)使y =cosx 为减函数而sinx <0 ③y =tanx 在其定义域内为增函数④y =cos2x +sin(π2−x)既有最大、最小值，又是偶函数⑤y =|sin(2x +π6)|最小正周期为π 其中正确结论的序号是______ ．16. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且弦AB 的中点纵坐标为√22，则抛物线C 的方程为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知向量a ⃗ =(sin(π2−x),√3sin(3π2−x)),b ⃗ =(sinx,cosx)，f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ． (1)求f(x)的最大值及f(x)取得最大值时x 的取值集合M ；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若C2+π4∈M 且c =1，求△ABC 面积的最大值．18. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 6=16，S 3=15．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若b n =S n −S n+1S n ⋅S n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =120°，AC =2，BC =4，AA 1=6，D 为线段AB 的中点，E 为线段BB 1的中点，F 为线段A 1C 的中点． (1)证明：EF//平面ABC ；(2)求三棱锥A1−B1CD的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a<b<0)的离心率为√22，短轴长为4．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点N(0,2)作两条直线，分别交椭圆C于A，B两点(异于N)，当直线NA，NB 的斜率之和为4时，直线AB恒过定点，求出定点的坐标．21.已知函数f(x)=lnx−12ax2−x．(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在x=1处的切线平行于x轴，是否存在整数k，使不等式x[f(x)+x−1]>k(x−2)在x>1时恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3sinθ．(Ⅰ)写出曲线C 1的极坐标方程，并求出曲线C 1与C 2公共弦所在直线的极坐标方程； (Ⅱ)若射线θ=φ(0<φ<π2)与曲线C 1交于O ，A 两点，与曲线C 2交于O ，B 点，且|AB|=2，求tanφ的值．23. 已知函数f(x)=|x −1|−|2x +1|的最大值为M ．(1)求M ；(2)若a ，b ，c 均为正数，证明：ab+c +bc+a +ca+b ≥M ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵复数z=2i31+i =−2i1+i=−1−i，故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2−2x<0,x∈Z}={x|0<x<2,x∈Z}={1}，集合B={−1,0，1，2}，∴集合(∁Z A)∩B={−1,0，2}，∴集合(∁Z A)∩B的真子集个数为23−1=7．故选：C．求出集合A，从而求出集合(∁Z A)∩B，由此能求出结果．本题考查补集、交集、集合的真子集的个数的求法，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：特称命题的否定是全称命题，∴∃α∈R，sinα=0的否定为：∀α∈R，sinα≠0，故选：B．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．由平面向量数量积的坐标运算可得：(a ⃗ +k b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ +k b ⃗ 2=−1+k ，再解方程即可得解． 【解答】解：因为a ⃗ =(2,−1)，b ⃗ =(0,1)，所以(a ⃗ +k b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ +k b ⃗ 2=−1+k =3， 解得k =4， 故选D ．5.【答案】B【解析】解：由约束条件{x −y +2≤0x +y −3≤03x +y ≤0作出可行域如图，联立{x +y −3=03x +y =0，解得A(−32,92)，化目标函数z =2x +y 为y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过A 时， z 有最大值为z =2×(−32)+92=32．故选：B ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系及等差数列的性质的简单应用，属于基础题．由方程的根与系数关系可求a2+a14，a2a14，然后结合等差数列的性质可得，a2+a14= 2a8，可求a8，代入即可求解【解答】解：∵a2，a14是方程x2+6x+2=0的两个实根，∴a2+a14=−6，a2a14=2，由等差数列的性质可知，a2+a14=2a8=−6，∴a8=−3则a8a2a14=−32，故选：A．7.【答案】B【解析】解：双曲线C1：x23−y24=1，双曲线C2的焦点在y轴上，它的渐近线与双曲线C1相同，设双曲线C2的方程为y24−x23=λ(λ>0)，则双曲线C2的离心率为√4λ+3λ4λ=√72．故选：B．求出双曲线的方程，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的性质，注意渐近线相同，双曲线不同，不同的双曲线可以由相同的渐近线．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查三视图以及三棱锥的体积计算，属于基础题．由三视图，再结合三棱锥的体积公式计算，即可得到答案．【解答】解：由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A−BCD，将其放在长方体中如图所示，其中BD =CD =1，CD ⊥BD ，A 到底面BCD 的距离为1， 所以三棱锥的体积为13×12×1×1×1=16． 故选A ．9.【答案】C【解析】解：根据题意，该框图的含义是当x ≤2时，得到函数y =x 2−1；当x >2时，得到函数y =log 2x. 因此，若输出结果为3时，①若x ≤2，得x 2−1=3，解之得x =±2 ②当x >2时，得y =log 2x =3，得x =8因此，可输入的实数x 值可能是2，−2或8，共3个数． 故选：C ．根据题中程序框图的含义，得到分段函数y ={log 2x x >2x 2−1x ≤2，由此解关于x 的方程f(x)=3，即可得到可输入的实数x 值的个数．本题给出程序框图，求输出值为3时可能输入x 的值，着重考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：∵lga +lgb =0，∴lg(ab)=0， ∴ab =1，∴b =1a ， 又∵a >0，b >0，∴1a +2b =b +2b ≥2√b ⋅2b =2√2，当且仅当b =2b 即b =√2时，等号成立， 又∵a ≠b ，∴a ≠1，b ≠1，∴1a +2b≠3，∴1a +2b的取值范围为：[2√2,3)∪(3,+∞)．故选：C．由对数的运算性质可得b=1a ，所以1a+2b=b+2b，再利用基本不等式求结合a≠b的条件，即可求出结果．本题主要考查了对数的运算性质，基本不等式的应用，是基础题．11.【答案】B【解析】解：如图，∵AB是球O的一条直径，∴AC⊥BC，AD⊥BD，∴AB=√AD2+BD2=√22+32=√13，球O的半径为12AB=√132，球O的表面积为4π×(√132)2=13π，故A正确；OC=OD=√132，∠COD的大小是变化的，则△OCD的面积是变化的，故B错误；连接OC，OD，∵OC=OD，N为CD的中点，∴ON⊥CD，故C正确；点C到平面ABD距离的最大值为R=√132，∴四面体ABCD体积的最大值为13S△ABD⋅R=13×12×2×3×√132=√132，故D正确．故选：B．由已知求解AB，再求出球的表面积判断A；由OC=OD为定值，∠COD不定判断B；由等腰三角形底边的中线垂直于底边判断C；由C到平面ABD的最大距离为球的半径判断D．本题考查三棱锥外接球的相关问题，关键是求出球的半径，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：f(x)=e1+(x−1)2−11+|x−1|，所以f(1+x)=e1+(1+x−1)2−11+|1+x−1|=e1+x2+11+|x|，f(1−x)=e1+(1−x−1)2+11+|1−x−1|=e1+x2+11+|x|，所以f(1+x)=f(1−x)，即函数图象关于x=1对称，当x≥1时，f(x)=e1+(x−1)2−1x单调递增，由f(2x)>f(x+1)得，|2x−1|>|x+1−1|，即|2x−1|>|x|，解得，x>1或x<13，所以不等式的解集为{x|x>1或x<13}，故选：A．根据函数对称性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的对称性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．13.【答案】√5或√32【解析】解：m是2与8的等比中项，可得m=±4，则圆锥曲线x2−y2m =1是椭圆时为：x2+y24=1的离心率：√32，圆锥曲线为双曲线时，x2−y24=1，它的离心率为：√5．故答案为：√5或√32．利用等比数列求出m，然后求解圆锥曲线的离心率即可．本题考查圆锥曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.【答案】(−1,0)∪(0,1)【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性转化不等式及数形结合法解不等式问题．由函数f(x)是奇函数，将原等式转化为f(x)x<0，反映在图象上，即自变量与函数值异号，然后根据条件作出一函数图象，由数形结合法求解．【解答】解：∵函数f(x)是奇函数∴f(−x)=−f(x)∴不等式f(x)−f(−x)x<0可转化为：f(x)x<0根据条件可作一函数图象：∴不等式f(x)−f(−x)x<0的解集是(−1,0)∪(0,1)故答案为(−1,0)∪(0,1)15.【答案】④【解析】解：对于①，sinα+cosα=√2sin(α+π4)，∵α∈(0,π2)，∴α+π4∈(π4,3π4)，∴sinα+cosα>1.命题①错误；对于②，若y=cosx为减函数，则x∈[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，sinx≥0.命题②错误；对于③，y=tanx在其定义域内不是增函数，在其定义域内有无数增区间．命题③错误；对于④，y=cos2x+sin(π2−x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx−1，该函数既有最大、最小值，又是偶函数．命题④正确；对于⑤，∵y =sin(2x +π6)的最小正周期为π，∴y =|sin(2x +π6)|最小正周期为π2.命题⑤错误．∴正确的命题是④． 故答案为：④．把sinα+cosα化积后由α的范围求出其值域判断①； 求出y =cosx 的减区间判断②； 由正切函数的单调性判断③；利用倍角公式和诱导公式化简原函数后判断④；求出y =sin(2x +π6)的最小正周期后得y =|sin(2x +π6)|最小正周期判断⑤． 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的性质，是中档题．16.【答案】y 2=4x【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题意可知图象如图：抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE =FB ，cos∠BAE =AEAB =13：tan∠BAE =2√2， 直线AB ：y =2√2(x −p2)，中点M(x 1+x 22,y 1+y 22)，y 1+y 22=√22， y =2√2(x −p2)，代入y 2=2px ，消去x ，可得√2py 2−y −√2p =0， y 1+y 2=p√2，可得12×p √2=√22，所以p =2，所以，抛物线方程为：y 2=4x ． 故答案为：y 2=4x ．设出AB 坐标，利用AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出直线AB 的斜率，得到AB 方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合弦AB 的中点纵坐标为√22，求解p 即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)a ⃗ =(sin(π2−x),√3sin(3π2−π))=(cosx,−√3cosx),b ⃗ =(sinx,cosx)，f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =sinxcosx −√3cos 2x =12sin2x −√32cos2x −√32=sin(2x −π3)−√32， ∴f(x)的最大值为1−√32，此时2x −π3=2kπ+π2，即x =kπ+5π12,k ∈Z ， ∴M ={x|x =kπ+5π12,k ∈Z}；(2)∵C2+π4∈M ，∴C2+π4=kπ+5π12，C =2kπ+π3,k ∈Z ，∵C ∈(0,π)，∴C =π3，c 2=1=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−ab ≥ab ，∴ab ≤1， ∴S △ABC =12absinC =√34ab ≤√34， 所以△ABC 面积的最大值√34．【解析】(1)利用向量的数量积，结合两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数取得最大值时的x 的集合即可．(2)利用(1)求解C ，结合余弦定理求出ab 的范围，然后求解三角形的面积的最大值即可． 本题考查向量的数量积，余弦定理，三角形的面积的求法，考查转化思想以及数学运算的核心素养，属中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设数列{a n }的公差为d ，则{2a 1+5d =163a 1+3d =15，解得a 1=3，d =2， ∴a n =2n +1； (Ⅱ)由(Ⅰ)知S n =n(a 1+a n )2=n(3+2n+1)2=n 2+2n ，∵b n =S n −S n+1S n ⋅S n+1=1Sn+1−1S n，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =(1S 2−1S 1)+(1S 3−1S 2)+⋯+(1S n+1−1S n) =1S n+1−1S 1=1(n+1)(n+3)−13．【解析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．(Ⅰ)设数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；(Ⅱ)运用等差数列的求和公式和数列的裂项相消求和，化简可得所求和．19.【答案】证明：(1)取AC的中点为G，分别连接GF，BG．又∵F为线段A1C的中点，∴AA1//GF，且AA1=2GF．∵BB1=2BE，据三棱柱ABC−A1B1C1的性质知，BB1//AA1，BB1=AA1，∴GF//BE，且GF=BE，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF//BG．又∵BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF//平面ABC．(2)据题设知，S△ABC=12×2×4×sin120°=2√3，∵V三棱柱ABC−A1B1C1=2√3×6=12√3．又∵V A1−ACD =V B1−BCD=13×12×2√3×6=2√3，∴V C−A1B1C1=13×2√3×6=4√3，∴三棱锥A1−B1CD的体积：V=12√3−2√3−2√3−4√3=4√3．【解析】(1)取AC的中点G，分别连接GF，BG，可得四边形BEFG为平行四边形，从而得证；(2)求出棱柱的体积，利用分割的方法，求出V A1−ACD =V B1−BCD，V C−A1B1C1即可求解．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意知：c a =√22，2b =4，a 2−c 2=b 2．解得a =2√2，b =c =2，所以椭圆方程为x 28+y 24=1．(Ⅱ)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y =kx +m(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). 由由k NA +k NB =4，得kx 1+m−2x 1+kx 2+m−2x 2=4，整理可得2kx 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)=4x 1x 2(∗)联立{y =kx +m x 2+2y 2=8，消去y 得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0，由题意知二次方程有两个不等实根， ∴x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2．代入(∗)得2k(2m 2−8)1+2k 2−4km(m−2)1+2k 2=4(2m 2−8)1+2k 2，整理得整理可得(m −2)(k −m −2)=0，．∵∵m ≠2，∴m =k −2，∴y =kx +k −2，y +2=k(x +1)，所以直线AB 恒过定点(−1,−2)．当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，A(x 0,y 1)，B(x 0,y 2)，其中y 2=−y 1，∴y 1+y 2=0， 由k NA +k NB =t ，得y 1−2x 0+y 0−2x 0=y 1+y 2−4x 0=−4x 0=4，∴∴x 0=−1．∴当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 也过定点(−1,−2)． 综上所述，直线AB 恒过定点(−1,−2)．【解析】(Ⅰ)首先根据题中所给的条件，得到a ，b ，c 所满足的等量关系式，求解即可； (Ⅱ)分直线AB 的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，写出直线的方程y =kx +m ，将其与椭圆方程联立，根据题中的条件，求得m =k −2，从而求得直线所过的定点为(−1,−2)，当直线AB 斜率不存在时，验证也过该点，得证．该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆相交，动直线过定点问题，注意分类讨论思想的应用．21.【答案】解：(1)∵函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴f′(x)=1x −ax −1≥0在[1,+∞)上恒成立， ∴a ≤1x 2−1x =(1x −12)2−14，∴当x=2时，(1x −12)2−14有最小值−14，∴a≤−14；(2)∵f′(x)=1x−ax−1，∴f′(1)=1−a−1=−a，∵函数f(x)在x=1处的切线平行于x轴，∴a=0，∴f(x)=lnx−x，∵不等式x[f(x)+x−1]>k(x−2)在x>1时恒成立，∴xlnx−x>k(x−2)在x>1时恒成立，即xlnx−(k+1)x+2k>0在x>1时恒成立，令g(x)=xlnx−(k+1)x+2k，x>1，∴g′(x)=lnx−k，当k≤0时，g′(x)>0在(1,+∞)上恒成立，即g(x)在(1,+∞)上单调递增，g(x)>g(1)=k−1>0，则k>1，矛盾，当k>0时，令g′(x)=0，解得x=e k，令g′(x)>0，解得：x>e k，令g′(x)<0，解得：1<x<e k，∴g(x)在(1,e k)单调递减，在(e k,+∞)单调递增，∴g(x)min=g(e k)=ke k−(k+1)e k+2k=2k−e k>0，令ℎ(k)=2k−e k，k>0，∴ℎ′(k)=2−e k，当k<ln2时，ℎ′(k)>0，函数ℎ(k)单调递增，当k>ln2时，ℎ′(k)<0，函数ℎ(k)单调递减，∴ℎ(k)max=ℎ(ln2)=2ln2−2=2(ln2−1)<0，∴不存在整数k使得2k−e k>0恒成立，综上所述不存在满足条件的整数k．【解析】(1)利用导数，根据导数和函数的单调性的关系即可求出a的取值范围，(2)问题转化为即xlnx−(k+1)x+2k>0在x>1时恒成立，令g(x)=xlnx−(k+ 1)x+2k，x>1求导后分k≤0和k>0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法和函数构造法，考查推理能力和运算能力，属难题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cosθ，ρ=2√3sinθ，ρ=2cosθ，得tanθ=√33． 所在直线的极坐标方程θ=π6(ρ∈R)，(或θ=π6和θ=7π6).(Ⅱ)把θ=ϕ(0<ϕ<π)，代入ρ=2√3sinθ，ρ=2cosθ， 得|OA|=2cosϕ；|OB|=2√3sinϕ，又|AB|=2，则2√3sinϕ−2cosϕ=2，sin(ϕ−π6)=12,ϕ−π6∈(−π6,π3)． 所以ϕ=π3，tanϕ=√3．【解析】(Ⅰ)本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、 (Ⅱ)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)函数f(x)=|x −1|−|2x +1|={x +2,x ≤−12−3x,−12<x ≤1−x −2,x >1f(x)图象如图所示：由图象可知M =32，证明：(2)原不等式即证明ab+c +bc+a +ca+b ≥32， 令b +c =x ，c +a =y ，a +b =z ，联立可得a=y+z−x2，b=x+z−y2，c=x+y−z2，则不等式左边=12(y+z−xx +x+z−yy+x+y−zz)=12[(yx+xy)+(zx+xz)+(zy+yz)−3]≥12(2+2+2−3)=32，当且仅当x=y=z时取等号，故ab+c +bc+a+ca+b≥M．【解析】(1)利用零点分段取绝对值，结合图象可得m的值．(2)b+c=x，c+a=y，a+b=z，求出a，b，c，再代入根据基本不等式即可证明．本题主要考查了函数作图，恒成立问题的求解，转化思想的应用，基本不等式的构造思想的应用．。
2020届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上学期12月月考数学(理)试题(解析版)
2020届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|40}A x x =-<，{}2log 0B x x =，则A B ⋃= （ ） A ．()1,2 B ．()2,2- C ．()2,+∞ D ．()2,-+∞【答案】D【解析】先求出集合A ，B ，由此能求出A B U ． 【详解】解：Q 集合2{|40}{|22}A x x x x =-<=-<<，{}{}2|log 0|1B x x x x =>=>， {}()|22,A B x x ∴⋃=>-=-+∞．故选：D ． 【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．下列命题中的假命题是（ ） A ．x R ∀∈，120x -> B ．x N *∀∈，()210x -> C ．x R ∃∈，lg 1x < D ．x R ∃∈，tan 2x =【答案】B【解析】【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B 中的命题为假命题，故选B 。
【考点】特称命题与存在命题的真假判断。
3．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos56π)，则角x 的最小正值为( ) A ．56π B ．53πC ．116πD ．23π【解析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值． 【详解】 因为5sin 06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知5sin cos 6x π==，故角x 的最小正值为5233x πππ=-=． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3 B ．9C ．18D ．27【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵23109a a a ++=∴13129a d +=，即143a d += ∴53a = ∴1999()272a a S ⨯+==故选D.5．α、β、γ为不同的平面，m 、n 、l 为不同的直线，则m β⊥的一个充分条件是（ ）A ．n α⊥，n β⊥，m α⊥B ．m αγ=I ，αγ⊥，βγ⊥C ．αγ⊥，βγ⊥，m α⊥D ．l αγ=I ，αβ⊥，m l ⊥【答案】A【解析】根据线面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理对四个选项进行判断，从中找出可以判断m β⊥的选项即可.选项A, 由n α⊥,n β⊥可得α∥β，又m α⊥, 故m ⊥β,所以A 正确.选项B, αγ⊥，βγ⊥,m αγ=I ,则α与β可能平行、相交，m 与β可能相交，也可能平行得不出m β⊥，所以B 不正确.选项C, αγ⊥，βγ⊥,α与β可能平行也可能相交，当m α⊥时，则推不出m β⊥，所以C 不正确.选项D ，l αγ=I ，αβ⊥，m l ⊥，由于l 的位置不定，所以无法判断m 与β的关系，所以D 不正确. 故选：A. 【点睛】本题考查充分条件的判断，考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的性质的应用,属于基础题.6．函数(),,00,2s ()()in x xe ef x x xππ-+=∈-U 的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性可排除B ，再根据()0,x π∈时()f x 的符号可排除D ，再根据x π→时，()+f x →∞可排除C ，从而得到正确的选项. 【详解】函数的定义域关于原点对称，且()()()2sin x xe ef x f x x -+-==--， 故()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除B. 又当()0x π∈，时，sin 0,0xxx e e->+>，所以()0f x >，故排除D.又当x π→时，()+f x →∞，故排除C ， 综上，选A. 【点睛】的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．7．过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．2C ．12D ．13【答案】A 【解析】【详解】根据题意，焦点在x 轴上，设22221x y a b+= 左焦点(-c ，0)，故P 坐标可求为(-c ，±2b a )12F F =2c ，所以1F P2b a22a c a -=2103c ac +-=,同时除以a²，2103e e +-=,求得e =8．已知圆锥的顶点为P ，母线PA 、PB 所成角的余弦值为78，PA 与圆锥底面所成角为45︒，若PAB ∆的面积为 ）A ．)401πB ．C ．)85πD ．【解析】由PA 与圆锥底面所成角为45︒可得母线PA 与底面半径r 的关系，由PAB ∆的面积为515，可解得底面半径和母线的长，从而可求出该圆锥的侧面积. 【详解】设O 为圆锥底面圆的圆心,设底面圆的半径为r .PA 与圆锥底面所成角为45︒,即PAO ∠=45︒.所以2PA r =.母线PA 、PB 所成角的余弦值为78,即7cos 8APB ∠=. 则22715sin 1cos 1()88APB APB ∠=-∠=-=. 由21115||||sin 2515228PAB S PA PB APB r =⋅∠==△得：240r =.又底面圆的周长为：2r π. 圆锥的侧面积为:21(2)(2)24022r r r πππ⋅==. 故选：B. 【点睛】本题考查圆锥的侧面积，线面角和三角形的面积，属于中档题.9．已知P 是直线l ：()400kx y k ++=>上一动点，PA 、PA 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A 、B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k =（ ） A ．23B ．63C ．2D ．4【答案】C【解析】由题意四边形PACB 的面积为S =2PAC S AC PA =⋅△=PA 21CP -，根据面积的最小值，得到PC 的最小值，再转化为点到直线的距离，即可解决问题.由2220x y y +-=，即22(1)1y x +-=. 所以圆C 的圆心(0,1)C ,半径为1.根据条件PA 、PA 是圆C 的两条切线,如图：则,PAC PBC △△为两个全等的直角三角形.所以四边形PACB 的面积为S =2PAC S AC PA =⋅△=PA 21CP - 显然当PC 最小时，四边形PACB 的面积最小. 由四边形PACB 的最小面积为2,21CP -=2. 即PC 5又P 是直线l ：()400kx y k ++=>上一动点. 所以PC 的最小值为点C 到直线l 的距离：251d k==+(0)k >.解得：2k =. 故选： C. 【点睛】考查圆的切线的性质，点到直线的距离，本题找到四边形PACB 的面积最小的条件是解题的关键，结合图像分析，体现数形结合思想，属于中档题.10．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑M ABC -中MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为（ ） A ．(1242π+ B ．(1232π+C ．(2442π-D ．(2482π-【答案】DM ABC -补成正方体，正方体的一条对角线MC 为外接球的直径，内切球半径由等体积法可求. 【详解】由M ABC -的四个面都是直角三角形，MA ⊥平面ABC . 将该三棱锥M ABC -补成如图所示的正方体.则正方体的对角线MC 为三棱锥M ABC -的外接球的直径，且23MC =所以外接球的半径为3r =所以外接球的表面积为：243)12ππ=. 设三棱锥M ABC -的内切球的半径为：r '.三棱锥M ABC -的表面积为：ACM ABM BCM ABC S S S S S =+++△△△△.=1(2222222222)2⨯+⨯+⨯⨯=442+. 则11(442)33M ABC ABC V S AM r -'=⋅=+△.即1222(442)2r '⨯⨯⨯=+，解得：21r '=. 所以三棱锥M ABC -的内切球的表面积为：2421)1282πππ=-. 所以该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为：2482ππ- 故选：D. 【点睛】本题考查了多面体的球的外接与内切问题,考查了勾股定理的应用,等腰三角形中的三线合一的性质应用,考查空间想象力,求空间几何体的内切球的半径一般用等体积法,属于中档题.11．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l交C 于A ，B 两点．若12124,||||7AF AB AF F F ==u u u r u u u r ，则椭圆C 的离心率为( ) A ．27B ．37C ．47D ．57【答案】D【解析】利用椭圆的定义以及余弦定理，列出方程，转化求解椭圆的离心率即可． 【详解】椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点．12124,||||27AF AB AF F F c ===u u u r u u u r ，122AF a c =-，1332a c BF -=，232a cBF +=，12cos 2a cAF F c-∠=， 可得22233333()()4222222a c a c a c a cc c c+---=++⨯⨯⨯， 化简可得221014240a c ac +-=， 由ce a=可得271250e e -+=， 解得57e =，1e =（舍去） 故选D ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化与化归思想以及运算求解能力，注意椭圆离心率的范围是()0,1．12．已知点O 为ABC ∆外接圆的圆心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a =，若2BO AC ⋅=u u u r u u u r，则当角C 取到最大值时ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．CD ．【答案】A【解析】由意在可知()BO AC BO BC BA BO BC BO BA ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，代入数量积的运算公式求c =再根据正弦定理说明90A =o 时，sin C 也取得最大值sin 3C =，最后求面积. 【详解】()BO AC BO BC BA BO BC BO BA ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rcos cos BO BC OBC BO BA OBA =⨯⨯∠-⨯⨯∠u u u r u u u r u u u r u u u r2222111122222BC BA a c =-=-=u u ur u u u r ，3a =Q ，25c c ∴=⇒=sinsin a A c C ==Q，且A C >，当sin 1A =时，90A =o 时，sin C 也取得最大值sin C =此时，2b = ，11222ABC S bc ∆==⨯=.故选：A 【点睛】本题考查向量数量积和面积公式，意在考查转化与变形和分析问题，解决问题的能力，本题的关键是根据正弦定理sinsin a A c C ==，且A C >，说明90A =o 时，sin C 也取得最大值，后面的问题迎刃而解.二、填空题13．过三点()1,12A ，()7,10B ，()9,2C -的圆的方程为________. 【答案】()()2212100x y -+-=【解析】由圆的垂径定理有圆心一定在弦的垂直平分线上,所以求出弦AB 和BC 的垂直平分线,然后联立求出圆心,再求半径. 【详解】由()1,12A ，()7,10B 有：AB 中点为(4,11)，10121713AB k -==--； 所以AB 的中垂线为：113(4)y x -=-，即31y x =-. 由()7,10B ，()9,2C -有：BC 中点为(1,6)-，10217(9)2BC k-==--,所以BC 的中垂线为：62(1)y x -=-+，即24y x =-+.由3124y x y x =-⎧⎨=-+⎩ 解得：12x y =⎧⎨=⎩，即圆心为(1,2).所以22(11)(212)10R =-+-=. 所以圆的方程为：()()2212100x y -+-=. 故答案为：()()2212100x y -+-=. 【点睛】本题考查圆的方程的求法，已知圆上三点求圆的方程还可以用待定系数法，设出圆的一般方程，将点,,A B C 的坐标代入求解,属于基础题.14．已知实数,x y 满足2360204x y x y x +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-+的最大值为_______.【答案】-4【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得到答案. 详解：作出约束条件所表示的平面区域， 如图所示，联立236020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(0,2)A ，化目标函数32z x y =-+为112333y x z =-+， 由图可知，当直线112333y x z =-+过点(0,2)A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为03224z =-⨯+=-.点睛：本题考查了简单的线性规划的应用，着重考查了数形结合思想方法的应用，对于线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用.15．设P ()1,0是圆O ：224x y +=内一定点，过P 作两条互相垂直的直线分别交圆O于A 、B 两点，则弦AB 中点的轨迹方程是_________. 【答案】2222230x y x +--=【解析】设AB 的中点为(,)M x y ,设11(,)A x y ,22(,)B x y ，则12122,2x x x y y y =+=+,由题意,A B 均在圆O 上则有222211224,4x y x y +=+=.又由BP AP ⊥，得121212121x x y y x x x +=+-=-，再代入消去参数，得到M 的轨迹方程.【详解】设AB 的中点为(,)M x y ,设11(,)A x y ,22(,)B x y . 则12122,2x x x y y y =+=+. (1)由题意,A B 均在圆O 上则有：222211224,4x y x y +=+=. (2)又由条件有BP AP ⊥，即0BP AP ⋅=u u u r u u u r.即BP AP ⋅u u u r u u u r=1122(1,)(1,)x y x y --⋅--=1212121()0x x x x y y +-++= （3）将（1）代入（3）中有：121212121x x y y x x x +=+-=- （4）将（1）中两式平方相加得：2222121244()()x y x x y y +=+++. 即222222112211224422x y x x x x y y y y +=+++++ （5）将（2），（4）代入（5）得：224482(21)x y x +=+-.即弦AB 中点的轨迹方程是2222230x y x +--=. 故答案为：2222230x y x +--= 【点睛】本题考查动点的轨迹的求法，动点的轨迹的常见求法有：定义法、几何法、直译法、参数法、相关点法、交轨法等，解题时要认真审题，属于中档题.16．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 、G ，分别为BC 、1CC 、1BB的中点.则下列命题：①直线1A G 与平面AEF 平行；②直线1D D 与直线AF 垂直；③平面AEF 截正方体所得的截面面积为98；④点C 与点G 到平面AEF 的距离相等；⑤平面AEF 截正方体所得两个几何体的体积比为717.其中正确命题的序号为_______.【答案】①③⑤【解析】连结11,AD D F ,由E 、F 分别为BC 、1CC 的中点,则1AD ∥EF ,所以1,,,A E F D 四点共面,截面图形为等腰梯形，然后对各个命题进行逐一判断.【详解】连结11,AD D F ,由E 、F 分别为BC 、1CC 的中点.则1BC ∥EF ,又1AD ∥1BC ，所以1AD ∥EF 且1AD =2EF . 所以截面四边形形1AEFD 为等腰梯形.对①, F 、G ，分别为1CC 、1BB 的中点,所以GF ∥11A D ,且GF =11A D ，则四边形11AGFD 为平行四边形, 所以1A G ∥1D F ,所以1A G ∥平面AEF ，故①正确. 对②, 1D D ∥1CC ,在AFC △中，90ACF ∠=o ,显然1CC 与AF 不垂直，则直线1D D 与直线AF 不垂直，故②不正确.对③, 平面AEF 截正方体所得的截面为四边形1AEFA , 又四边形1AEFA 为等腰梯形,其中2EF =,12AD=,梯形1AEFA 的高为2215132()2484AD EF h AE -=-=-=, 则其面积为12329(2)2248S =+=.故③正确. 对④，点E 是BC 的中点，所以,B C 到面AEF 的距离相等.E 、F 分别为BC 、1CC 的中点,延长FE 交1B B 的延长线于点N ,即直线1B B 交平面AEF 于点N ,则B 为NG 的中点,如图, 分别过,B G 作平面AEF 的垂线，垂足分为1,O O ，所以1GO BO ，分别为点,B G 到面AEF 的距离,则三点1,,O O N 共线， 根据三角形的相似可得:12GO BO =,所以,B G 到面AEF 的距离不相等， 则点C 与点G 到平面AEF 的距离不相等,故④不正确. 对⑤, 由条件可知多面体1ADD EFC -为棱台， 其体积为111117()13828224V =+⋅⨯=, 平面AEF 截正方体所得两个几何体的体积比为7724717124=-,故⑤正确. 故答案为：①③⑤. 【点睛】本题考查了线面平行、线线的垂直的证明，考查了点面距离，截面面积和几何体的体积,考查空间想象和思维能力，属于中档题.三、解答题17．在等差数列{}n a 中，46a =-，且2a 、3a 、5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 的公差不为0，设3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）22n a n =-，或6n a =-；（Ⅱ）129988nn T n n -=-+-. 【解析】（Ⅰ）由2a ，3a ，5a 成等比数列,则2325a a a =,将{}n a 的通项公式代入，可解出{}n a 的公差d ,可得{}n a 通项公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）有22223n n b n -=-+，然后分组求和即可. 【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d .因为2a ，3a ，5a 成等比数列，所以2325a a a =，又46a =-，所以()()()26626d d d --=---+，即()20d d +=解得0d =或2d =-. 当0d =时，6n a =-.当2d =-时，()4422n a a n d n =+-=-.（Ⅱ）因为公差不为0，由（Ⅰ）知22n a n =-，则22223n n b n -=-+， 所以()1102291219nn n n T ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=+=-129988n n n --+-. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的求法和应用，用分组求和的方法求前n 项和，属于基础题.18．设函数()sin sin 2f x x x π⎛⎫=⋅++⎪⎝⎭2x （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，若()1f A =，且能盖住ABC ∆的最小圆的面积为4π，求ABC ∆周长的取值范围.【答案】（Ⅰ）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈；（Ⅱ）(6+. 【解析】（Ⅰ）利用诱导公式和降幂公式，二倍角公式以及两角和的正弦公式逆用将函数化简得到函数()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后由222()232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得单调增区间.（Ⅱ）能盖住ABC ∆的最小圆的面积为4π,即三角形的外接圆，求出其外接圆的半径,则由正弦定理可以求出边a ，可以用角B 表示出边b c +，根据角B 的范围求出其范围即可. 【详解】（Ⅰ）因为()2sin cos f x x x x =+11cos2sin 2122x x +=++=1sin 212x x +sin 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由222232k x k πππππ-≤+≤+，解得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈. （Ⅱ）因为()1f A =，所以sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又因为ABC ∆为锐角三角形，所以02A π<<，42,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 所以23A ππ+=，故有3A π=.已知能盖住ABC ∆的最小圆为ABC ∆的外接圆，而其面积为4π.所以24R ππ=外，解得=2R 外，ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c . 由正弦定理2=4sin sin sin a b cR A B C===外.所以4sin3a π==4sin b B =，4sin c C =，4sin 4sin 4sin b c B C B +=+=+24sin 36B B ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由ABC ∆为锐角三角形，所以62B ππ<<.所以2363B πππ<+<，则sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，故6b c <+≤， 所以6a b c +++≤故此ABC ∆的周长的取值范围为(6+.【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换的应用，三角函数的单调性，考查正弦定理，三角形的周长的范围的求法，注意锐角三角形中角的范围,属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，AB//CD ，AB AD ⊥，AB=AD=2CD=2，△ADP 为等边三角形．(1)当PB 长为多少时，平面PAD ⊥平面ABCD?并说明理由；(2)若二面角P AD B --大小为150°，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）当22PB =PAD ⊥平面ABCD ，详见解析（2253【解析】(1)根据平面和平面垂直可得线面垂直，从而可得AB PA ⊥,利用直角三角形知识可得PB 的长；(2)构建空间直角坐标系，利用法向量求解直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）当22PB =PAD ⊥平面ABCD ，证明如下：在PAB ∆中，因为2,22AB PA PB ===AB PA ⊥， 又AB AD ⊥，AD PA A ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ， 又AB Ì平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）分别取线段,AD BC 的中点,O E ，连接,PO OE ，因为ADP ∆为等边三角形，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥，,O E 为,AD BC 的中点，所以//OE AB ,又AB AD ⊥，所以OE AD ⊥，故POE ∠为二面角P AD B --的平面角，所以150POE ∠=o ，如图，分别以,OA OE u u u v u u u v的方向以及垂直于平面ABCD 向上的方向作为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，因为3OP =150POE ∠=o ，所以33(0,,)22P -，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)C -. 可得(0,2,0)AB =u u u r ，7353(1,(1,,2222PB PC =-=--u u u r u u u r ,，设(,,)n x y z =r为平面PBC 的一个法向量，则有0,0PB n PC n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r ，即730225302x y z x y z ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令1x =， 可得(1,2,3)n =--r，设AB 与平面PBC 所成角为θ，则有||sin ||||AB n AB n θ⋅=u u u r r u u u r r 22221(2)(43)=+-+-53=所以直线AB 与平面PBC 253【点睛】本题主要考查平面和平面垂直的性质及线面角的求解，侧重考查逻辑推理，直观想象和数学运算的核心素养.20．已知椭圆：()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点为()1,0,F M 点的坐标为()0,b ，O 为坐标原点，OMF ∆是等腰直角三角形.（1）求椭圆Γ的方程；（2）经过点()0,2C 作直线AB 交椭圆Γ于,A B 两点，求AOB ∆面积的最大值； （3）是否存在直线l 交椭圆于,P Q 两点，使点F 为PQM ∆的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）2；（3）43y x =-.【解析】（1）由OMF ∆是等腰直角三角形，可得1,b a ===方程；（2）设过点()0,2C 的直线AB 的方程为2y kx =+，,A B 的横坐标分别为,A B x x ，求出A B x x -的最大值，即可求得AOB ∆面积122A B A B x x x x =⨯⨯-=-的最大值； （3）假设存在直线l 交椭圆于,P Q 两点，且使点F 为PQM ∆的垂心，设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程，利用韦达定理结合0MP FQ ⋅=u u u r u u u r，即可求得结论． 【详解】解：（1）由OMF ∆是等腰直角三角形，可得1,b a ===故椭圆方程为2212x y +=；（2）设过点()0,2C 的直线AB 的方程为2y kx =+，,A B 的横坐标分别为,A B x x ， 将线AB 的方程为2y kx =+代入椭圆方程， 消元可得222(1+2)860,16240k x kx k ++=∆=->，∴232k >， 2286,1212A B A B k x x x x k k∴+=-=++，A B x x ∴-== 令2k t =，则3,2A B x x t >-=令32u t =-，则0,A B u x x >-==≤2u =时取等号） 又AOB ∆面积122A B A B x x x x =⨯⨯-=-，∴△AOB 面积的最大值为2；（3）假设存在直线l 交椭圆于,P Q 两点，且使点F 为PQM ∆的垂心， 设()()1122,,,P x y Q x y ，因为(0,1),(1,0)M F ，所以1PQ k =．于是设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程， 消元可得2234220x mx m ++-=．由>0∆，得23m <，且21212422,33m m x x x x -+=-=, 由题意应有0MP FQ ⋅=u u u r u u u r，所以()()1221110x x y y -+-=，所以()212122(1)0x x x x m m m ++-+-=．整理得222242(1)033m mm m m -⨯--+-=．解得43m =-或1m =． 经检验，当1m =时，PQM ∆不存在，故舍去． ∴当43m =-时，所求直线l 存在，且直线l 的方程43y x =-【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，属于中档题． 21．已知函数()()21ln f x a x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，()212x x x <是()f x 的两个零点，求证：212ln 10e a x x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．【答案】（1）f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝．（2）证明见解析【解析】（1）先求函数的导数()23322a ax f x x x x --'=-+=()0x >，分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的结果可知0f <，即2a e >，利用分析法，将需要证明想不等式转化为证明1221ae x x ea--<-，只需证明1212ae x x e a -<<<，利用函数的单调性和122a x e -<，根据零点存在性定理和单调性证明. 【详解】（1）f （x ）的定义域为（0，＋∞），且()23322a ax f x x x x --'=-+=，①当a≤0时，f'（x ）≤0，f （x ）的单调递减区间为（0，＋∞）；②当a ＞0时，由f'（x ）＞0得x >f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝．（2）∵f （x ）有两个零点，∴由（1）知a ＞0且2ln 022a a f a =+<，∴a ＞2e ，要证原不等式成立，只需证明211ln 2e x x a a ⎛⎫-+<- ⎪⎝⎭，只需证明1221a e x x e a --<-，只需证明1212ae x x e a -<<<．一方面∵a ＞2e ，1<=，∴1111022111ln 0222a a a a f e e a e e e --⎛⎫=+=->-=> ⎪⎝⎭，∴120a f f e -⎛⎫< ⎪⎝⎭，且f （x ）在⎫+∞⎪⎪⎭122ax e -<；另一方面，令()1ln g x x ex=+，（x ＞0）， 则()22111ex g x x ex ex -'=-=，当10x e<<时，g'（x ）＜0；当1x e >时，g'（x ）＞0； 故()min 1110g x g e ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，故g （x ）≥0即1ln x ex ≥-时x ∈（0，＋∞）恒成立，令ex a=， 则2ln e a a e >-，于是222222ln 0e ae a af a a ea e e ⎛⎫=+>-= ⎪⎝⎭，而2222222240e e a e ea a a ---=<<，故0e f a ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，且f （x）在⎛ ⎝单调递减，故1e x a <<综合上述，1212a e x x e a -<<<<，即原不等式成立． 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和不等式的证明，重点考查了构造函数和讨论的思想，属于难题，本题的难点是再证明0e f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，需要构造函数()1ln g x x ex =+，（x ＞0），并且证明不等式时，经常使用分析法转化.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos ,sin x y αααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；（2）设射线:3OM πθ=与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长．【答案】（1）224x y += 2ρ=（2）2【解析】（1）结合三角函数的基本关系消去参数可得普通方程，结合公式cos x ρθ=，sin y ρθ=可得极坐标方程；（2）分别联立极坐标方程，求得交点的极径，从而可得线段AB 的长．【详解】解：（1）由题意得2222(cos )(sin )4x y αααα+=++-=，∴曲线C 的普通方程为224x y +=．∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴代入可得曲线C 的极坐标方程为2ρ=．（2）把3πθ=代入cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中， 可得cos 336ππρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得23ρ=﹐即B 点的极径23B ρ=， 由（1）易得2A ρ=， ∴||232A B AB ρρ=-=-．【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，参数方程化为普通方程一般是消去参数，普通方程化为极坐标方程主要利用cos x ρθ=，sin y ρθ=来实现，侧重考查数学运算的核心素养.23．选修4－5：不等式选讲 （改编，中等）已知函数，记的最小值为. （1）解不等式； （2）是否存在正数,同时满足：？并说明理由. 【答案】(1). (2)见解析. 【解析】试题分析：（1）把函数转化为分段函数即，分段求解，在求并集；（2）利用绝对值三角不等式求出的值，利用均值不等式可求出的最小值为8，可得结论.试题解析：（1）不等式化为设函数， 则，令，解得， 原不等式的解集是（2）当且仅当，即时取等号，故 假设存在符合条件的正数，则，当且仅当，即时取等号，的最小值为8，即不存在正数，使得同时成立.。
2020届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三4月线上线下教学检测数学试题(解析版)
2020届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三4月线上线下教学检测数学试题一、单选题 1．若复数12a ii+-（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．－2 B ．－1C ．1D ．2【答案】D【解析】利用复数除法运算化简12a ii+-，根据其为纯虚数，实部为零、虚部不为零，求得a 的值. 【详解】依题意，12a i i +-()()()()()1222112125a i i a a i i i ++-++==-+为纯虚数，故20210a a -=⎧⎨+≠⎩，解得2a =.故选：D 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.2．已知集合{}|216xA x =∈≤N ，{}2|430B x x x =-+>，则A B =I （ ） A ．{}4 B ．{}0,4C ．[)(]0,13,4UD ．()(],13,4-∞U【答案】B【解析】解指数不等式求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由42216x ≤=得4x ≤，由于N x ∈，所以{}0,1,2,3,4A =.由()()243310x x x x -+=-->，解得1x <或3x >，所以()(),13,B =-∞+∞U .所以A B =I {}0,4.故选：B 【点睛】本小题主要考查指数不等式的解法、一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 3．随机变量()2~,N ξμσ，若(1)0.3P ξ≤=，(15)0.4P ξ<<=，则μ=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据正态分布的对称性列方程，解方程求得μ的值. 【详解】由于随机变量()2~,N ξμσ，满足(1)0.3P ξ≤=，(15)0.4P ξ<<=，(5)10.30.40.3(1)P P ξξ≥=--==≤，根据正态分布的对称性可知1532μ+==. 故选：C 【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.4．直线l 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，且与C 交于A ，B 两点，AB 4=，若AB 的中点到y 轴的距离为1，则p 的值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据抛物线中，过焦点的弦长公式列方程，由此求得p 的值. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,由于AB 的中点到y 轴的距离为1，所以122x x +=.根据抛物线中过焦点的弦长公式12AB x x p =++得124x x p ++=，即24,2p p +==. 故选：B 【点睛】本小题主要考查抛物线中过焦点的弦长公式，属于基础题.5．斐波那契数列0，1，1，2，3，5，8，13，…是意大利数学家列昂纳多.斐波那契发明的.如图是一个与斐波那契数列有关的程序框图.若输出S 的值为88，则判断框中应该填入（ ）A ．6?i ≥B ．8?i ≥C ．10?i ≥D ．12?i ≥【答案】C【解析】运行程序，根据输出的S 的值为88，判断出正确选项. 【详解】运行程序，0,1,0,0a b S i ====，1S =，1,2,2a b i ===，判断否，4S =，3,5,4a b i ===，判断否，12,8,13,6S a b i ====，判断否，33,21,34,8S a b i ====，判断否，88,55,89,10S a b i ====，判断是，输出88S =.故应填10?i ≥故选：C 【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图输出结果填写条件，属于基础题.6．若两个非零向量a v ，b v 满足2a b a b b +=-=v v v v v ，则向量a b +v v 与a v 的夹角为( )A ．3πB ．23π C ．56π D ．6π 【答案】D【解析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可． 【详解】∵非零向量a v ，b v满足2a b a b b +=-=v v v v v ，∴平方得22a b a b v v v v +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅v v v v v v v v ，则0a b ⋅=v v ，由2a b b +=v v v ，平方得222||24||a b a b b ++⋅=v v v v v ，得223a b =v v，即3a b =v v 则2a b b +=v v v ，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=v v v v v v v （），则向量a b v v +与a v 的夹角的余弦值2323a b a cos a b a b bθ+⋅===+⋅⋅v v v vv v v v v （）， ，0.6πθπθ≤≤∴=Q ， ，故选D. 【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 7．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，//m α，n β⊥，则下列正确的是（ ） A ．若//αβ，则m n ⊥ B ．若//αβ，则//m β C ．若αβ⊥，则//n α D ．若αβ⊥，则m n ⊥【答案】A【解析】对选项逐一画出图象，由此判断真假性，从而确定正确选项. 【详解】对于A 选项，当//αβ时，画出图象如下图所示，由图可知，m n ⊥，故A 选项正确.对于B 选项，当//αβ时，可能m β⊂，如下图所示，所以B 选项错误.对于CD 选项，当αβ⊥时，可能n ⊂α，//m n 如下图所示，所以CD 选项错误.故选：A 【点睛】本小题主要考查线、面位置有关命题真假性的判断，考查空间想象能力，属于基础题. 8．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，则2020S =（ ） A ．201921- B ．202021-C ．2019122⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2020122⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，由此求得2020S .【详解】依题意21n n S a =-，当1n =时，1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-得1121n n S a --=-，两式相减并化简得12n n a a -=.故数列{}n a 是首项为1，公比为1的等比数列，所以12n n a -=.所以202020202020122112S -==--.故选：B 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题. 9．函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，()01f x x '>+，且(1)=-y f x 为偶函数，则（ ） A ．(2)(1)f f -< B ．(2)(1)f f -= C ．(2)(1)f f ->D ．|(2)||(1)|f f ->【答案】A 【解析】根据()01f x x '>+以及(1)=-y f x 为偶函数判断出函数()f x 的单调性和对称性，由此判断出()2f -和()1f 的大小关系.【详解】由于(1)=-y f x 为偶函数，所以函数()f x 关于1x =-对称.由于()01f x x '>+，所以当1,10x x <-+<时()'0f x <，()f x 递减，当1,10x x >-+>时，()'0f x >，()f x 递增.所以(2)(1)f f -<. 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查函数的图像变换，考查函数的对称性，属于中档题.10．在三棱锥A BCD -中，AB BC ⊥，AB BC =，CD DA =，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，以下三个结论：①AC BD ⊥；②//MN 平面ABD ；③AD 与BC 一定不垂直，其中正确结论的序号是（ ） A ．② B ．①②C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】通过线面垂直的性质，证得①正确.通过线面平行的判定定理，证得②正确.当BC BD ⊥时，可推出BC AD ⊥，由此判断③错误.【详解】对于①，设E 是AC 的中点，连接,BE DE ，由于AB BC =，CD DA =，所以,AC BE AC DE ⊥⊥，所以AC ⊥平面BDE ，所以AC BD ⊥，故①正确.对于②，由于M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，所以//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确.对于③，当BC BD ⊥时，由于BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC AD ⊥，故③错误.综上所述，正确的为①②. 故选：B【点睛】本小题主要考查线面平行、线线垂直的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.11．已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P ．若12PF PF ⊥，则C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】D【解析】试题分析：取双曲线的渐近线为，因为，，所以过2F 作平行于渐近线的直线的方程为，因为12PF PF ⊥，所以直线的方程为，联立方程组可得点的坐标为，因为点在双曲线上， 所以，即，因为，所以，整理得，因为，所以.故选D.【考点】双曲线的性质.12．定义{},,max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩.若函数{}2()max 2,4f x x x =-+-，数列{}n a 满足()1n n a f a +=（*n ∈N ），若{}n a 是等差数列，则1a 的取值范围是（ ）A ．{}2,1-B ．(][),32,-∞-+∞UC ．(]{},32,1-∞--UD ．(][){},32,2,1-∞-+∞-U U【答案】C【解析】求得()f x 的解析式，根据{}n a 是等差数列，取得1a 的取值范围. 【详解】由于定义{},,max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，而函数{}2()max 2,4f x x x =-+-，由224y x y x ⎧=-+⎨=-⎩解得37x y =-⎧⎨=-⎩或22x y =⎧⎨=-⎩，画出22,4y x y x =-+=-的图像如下图所示，由图可知()24,32,324,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩.由于数列{}n a 满足()1n n a f a +=（*n ∈N ），且{}n a 是等差数列.当13a ≤-时，()21147a f a a ==-≤-，()322411a f a a ==-≤-，……，推辞类推，数列 {}n a 是首项为1a ，公差为4-的等差数列，符合题意.当132a -<<时，21722a -<-+<，要使{}n a 是公差为4-的等差数列，则需2211124a a a a -=-+-=-，解得13a =-或12a =不符合.由22x x -+=，解得2x =-或1x =.则当12a =-时，2n a =-为常数列；当11a =时，1n a =为常数列.此时{}n a 为等差数列.当12a ≥时，由于2142a a =-≥-，故{}n a 不能构成公差为4-的等差数列，也不是常数列，不符合题意.综上所述，1a 的取值范围是(]{},32,1-∞--U 故选：C 【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查等差数列的知识的运用，属于中档题.二、填空题13．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若286a a +=，则9S =______. 【答案】27【解析】根据等差数列的性质，求得9S 的值. 【详解】由于数列{}n a 是等差数列，则19289699927222a a a a S ++=⨯=⨯=⨯=. 故答案为：27 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题.14．将2名教师，6名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和3名学生组成，不同的安排方案总数为______. 【答案】40【解析】先安排一个老师到甲地，然后安排三个学生到甲地，其余老师和学生到乙地，根据分步计数原理求得不同的安排方案总数. 【详解】先安排一个老师到甲地方法数有122C =种，再安排三个学生到甲地方法数有3620C =种，其余老师和学生到乙地，根据分步计数原理求得不同的安排方案总数为22040⨯=种.故答案为：40【点睛】本小题主要考查分步乘法计数原理，考查组合数的计算，属于基础题. 15．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）图象的一个对称中心为,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，一条对称轴为58x π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=______. 【答案】12π【解析】根据()f x 的对称中心、对称轴和最小正周期的范围列方程和不等式，由此求得ϕ的值. 【详解】由于函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）图象的一个对称中心为,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，一条对称轴为58x π=，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2sin 0858222k πωϕππωϕπππω⎧⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪+=+⎨⎪⎪>⎪⎩12858201k k πωϕπππωϕπω⎧-+=⎪⎪⎪⇒+=+⎨⎪<<⎪⎪⎩，第二个式子减去第一个式子并化简得()214233k k ω=-+，由于01ω<<，所以取12k k =，23ω=，代回第一个式子得1128312k k ππϕππ=+⨯=+，由于||2ϕπ<，故取10k =，12πϕ=.故答案为：12π【点睛】本小题主要考查根据三角函数的对称中心、对称轴、周期求参数，属于中档题. 16．函数1()ln||1xf x a x x+=--有两个零点，则a 的取值范围是______. 【答案】(,2)(2,)-∞-+∞U【解析】令()0f x =，转化为1ln ,1xy y a x x+==-的图象有两个交点，结合导数与切线，求得a 的取值范围. 【详解】 由101x x +>-解得()f x 的定义域为()1,1-.令()0f x =，得1ln 1xa x x+=-，依题意 1ln ,1x y y a x x +==-的图象有两个交点.令()()1ln 111x g x x x+=-<<-，则()()11lnln 11x xg x g x x x-+-==-=-+-，所以()g x 是奇函数，且()()122ln ln 111x g x x x --+⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭在区间()1,1-上递增，且()00g =.当0a =时，()1ln,01xg x y x+==-，只有一个交点()0,0，不符合题意. 当0a >时，画出图象如下图所示，()()()()'11ln 1ln 1,11g x x x g x x x=+--=++-，所以()'11021010g =+=+-，即()g x 在0x =处切线的斜率为2，切线方程为2y x =.要使()1ln ,1xg x y a x x+==-的图象有两个交点，则需2a >. 同理，当0a <时，()g x 在0x =处切线的斜率为2，切线方程为2y x =，要使()1ln,1xg x y a x x+==-的图象有两个交点，则需2a <-. 综上所述，实数a 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞U . 故答案为：(,2)(2,)-∞-+∞U【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．在公差为d 的等差数列{}n a 中，221212a a a a +=+.（1）求d 的取值范围；（2）已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为1nn +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）[1,1]-（2）存在，通项公式为54n b n =-【解析】（1）由等差数列的性质，将21a a d =+代入221212a a a a +=+，化简整理即可求出结果；（2）根据1d =-求出1a ，再假设存在等差数列{}n b ，结合题意求出n b ，再由裂项相消法求出数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，即可求出结果. 【详解】解:（1）221212a a a a +=+Q ，()221112a a d a d ∴++=+，整理得，()22112210a d a d d +-+-=则()()224180d d d ∆=---≥，解得11d -≤≤，则d 的取值范围为[]1,1-.（2）1d =-Q ，2112420a a ∴-+=，即11a =，则2n a n =-.假设存在等差数列{}n b ，则2112211221121123a b a b a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，即12111211223b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1216b b =⎧⎨=⎩，从而54n b n =-.此时2211111n n a b n n n n ==-+++，2221122111n n a b a b a b ++⋅⋅⋅++++ 1111112231n n =-+-+⋅⋅⋅+-=+ 1111n n n -=++， 故存在等差数列{}n b ，且54n b n =-，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为1nn +. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与性质，以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，11BC B C O =I ，AO ⊥平面11BB C C .（1）求证：1AB B C ⊥；（2）若160B BC ∠=︒，直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为30°，求二面角111A B C B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）217-【解析】（1）首先由AO ⊥平面11BB C C 证得1AO B C ⊥，根据四边形11BB C C 是菱形证得11BC B C ⊥，由此证得1B C ⊥平面1ABC ，进而证得1B C AB ⊥.（2）首先根据“直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为30°”得到30ABO ∠=︒.以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，通过平面111B C A 的法向量和平面11B C B 的法向量，计算出二面角111A B C B --的余弦值. 【详解】（1）证明：因为AO ⊥平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥， 因为1BC BB =，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥， 因为1AO BC O ⋂=，所以1B C ⊥平面1ABC ， 所以1B C AB ⊥.（2）因为11A B 与平面11BB C C 所成的角为30°，11//A B AB ， 所以AB 与平面11BB C C 所成的角为30°， 因为AO ⊥平面11BB C C ，所以AB 与平面11BB C C 所成的角为ABO ∠， 所以30ABO ∠=︒，令2BC =，则12B C =，3BO =，1OA =，以O 为坐标原点，分别以OB ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，()3,0,0B，1(0,1,0)B ，(0,0,1)A ，()13,0,0C -，因为111OA OA AA OA BB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()()0,0,13,1,03,1,1=+-=-，所以()13,1,1A -，平面11B C B 的一个法向量为(0,0,1)OA =u u u r，设平面111B C A 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则11111100n A B n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u u vu v u u u u v ，即3030x z x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩， 令1x =，则3y =-，3z =，()1,3,3n =-r，所以21cos ,7n OA n OA n OA⋅==⋅r u u u rr u u u r r u u u r ，所以二面角111A B C B --的余弦值为21-.【点睛】本题主要考查直线与平面位置关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、转化与化归思想. 19．本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别123,,p p p 123,,p p p ，假设123,,p p p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为123,,q q q ，其中123,,q q q 是123,,p p p 的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ；（3）假定1231p p p >>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．【答案】（1） 不变化；（2）121223q q q q --+；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小 【解析】【详解】（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()112123111P P P P P P P =+-+--123122331123P P P PP P P P P PP P =++---+． 若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()113132111P P P P P P P =+-+--123122331123P P P PP P P P P PP P =++---+， 发现任务能完成的概率是一样.同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化.（2）由题意得X 可能取值为1,2,3∴()()()()()()112121;21;311P X q P X q q P X q q ====-==--， ∴其分布列为:X123P1q()121q q -()()()11212121212131123EX q q q q q q q q q ∴=⨯+⨯-+⨯--=--+．（3）()()()12122123211E X q q q q q q =--+=--+,1231p p p >>> ∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小, 则只能先派甲、乙中的一人.∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则1121223EX p p p p =--+； 若先派乙,再派甲,最后派丙, 则2122123EX p p p p =--+，()()12121212212123230EX EX p p p p p p p p p p ∴-=--+---+=-<，∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小．20．已知点A ，B 分别在x 轴，y 轴上运动，||3AB =，点P 在线段AB 上，且||2||BP PA =.（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）直线l 与Γ交于M ，N 两点，(0,1)Q -，若直线QM ，QN 的斜率之和为2，直线l 是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）直线l 恒过定点(1,1)【解析】（1）设(),P x y ，由此得出,A B 两点的坐标，根据||3AB =列方程，化简后求得P 点的轨迹方程.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，联立直线方程和轨迹Γ的方程，写出判别式和韦达定理，根据直线QM ，QN 的斜率之和为2列方程，求得,m k 的关系式，由此判断直线l 过点()1,1.当直线l 斜率不存在时，同样利用直线QM ，QN 的斜率之和为2列方程，由此求得直线l 的方程，此时直线l 也过点()1,1，由此判断出直线l 恒过定点()1,1. 【详解】（1）设(,)P x y ，因为点P 在线段AB 上，且||2||BP PA =，所以3,02x A ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,3)B y ， 因为||3AB =，所以223(3)92x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2214x y +=， 所以点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ， 当l 的斜率存在时，设l ：y kx m =+，由221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222418440k x kmx m +++-=， 所以()()222(8)441440km k m ∆=-+->，即22410k m -+>， 122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+，因为直线QM ，QN 的斜率之和为2，所以1212112y y x x +++=， 所以()1212(1)22m x x k x x +++=，即2(1)2221m kmk m +⨯-=-，所以1m k =-， 当1m k =-时，满足22410k m -+>，即>0∆，符合题意， 此时l ：1y kx k =+-恒过定点(1,1)， 当l 的斜率不存在时，12x x =，12y y =-， 因为直线QM ，QN 的斜率之和为2，所以122212222111122y y y y x x x x x ++-+++=+==， 所以21x =，此时l ：1x =，恒过定点(1,1)， 综上，直线l 恒过定点(1,1). 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化思想.21．已知函数()e 2e (2)x x f x a a x -=++-（a ∈R ，e 是自然对数的底数）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()(2)cos f x a x ≥+，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）2a ≥ 【解析】（1）求得()f x 的导函数()'fx ，对a 分成0a ≤和0a >两种情况，分类讨论()f x 的单调区间.（2）首先判断0a >.解法一：构造函数()()(2)cos g x f x a x =-+，求得()g x 的导函数()'g x ，对a 分成2a ≥，02a <<两种情况进行分类讨论，结合()0g x ≥求得a的取值范围.解法二：当2a ≥时，根据()f x 的单调性证得()(0)2(2)cos f x f a a x ≥=+≥+.当02a <<时，同解法一，证得此时不满足()(2)cos f x a x ≥+.【详解】（1）()e 2e (2)xxf x a a -'=-+-2e (2)e 2e x x x a a +--=()()e 2e 1ex x x a -+=， 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减； 当0a >时，由()0f x '<得2lnx a <，所以()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；由()0f x '>得2lnx a >，所以()f x 在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减； 当0a >时，()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）解法一：当2x π=时，22e 2e (2)022f a a ππππ-⎛⎫=++-≥ ⎪⎝⎭，即222e 02e a ππππ⎛⎫+≥-> ⎪⎝⎭， 所以0a >，令()()(2)cos g x f x a x =-+e 2e (2)(2)cos x xa a x a x -=++--+，则()e 2e (2)(2)sin xxg x a a a x -'=-+-++2e 2(2)(2)sin ex xa a a x -=+-++ 若2a ≥，则当[]0,x π∈时，()0g x '≥，所以()g x 在[]0,π上单调递增； 当(,)x π∈+∞时，()e 2e (2)(2)sin x x g x a a a x -'=-+-++e 2e (2)(2)x x a a a -≥-+--+2e 2e 44404a a ππ>--≥-->，所以当[)0,x ∈+∞时，()g x 单调递增，所以()(0)0g x g ≥=. 若02a <<，则(0)2(2)0g a '=-<，()e 2e (2)(2)sin x x g x a a a x-'=-+-++e 2e (2)(2)e 2e 4x x x x a a a a --≥-+--+=--，由e 2e 40x x a ---=得2ln0x a+=>，所以2ln 0g a ⎛⎫'≥ ⎪ ⎪⎝⎭，所以0x ⎛∃∈ ⎝⎦，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()00,x x ∈上单调递减，所以当()00,x x ∈时，()(0)0g x g <=，不合题意. 综上，a 的取值范围为2a ≥. 解法二：当2x π=时，22e 2e (2)022f a a ππππ-⎛⎫=++-≥ ⎪⎝⎭，即222e 02e a ππππ⎛⎫+≥-> ⎪⎝⎭， 所以0a >，若2a ≥，由（1）知：()f x 在2ln ,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 因为2a ≥，所以2ln0a≤，所以()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增， 所以当[)0,x ∈+∞时，()(0)2(2)cos f x f a a x ≥=+≥+. 若02a <<，令()()(2)cos g x f x a x =-+e 2e (2)(2)cos x xa a x a x -=++--+，则()e 2e (2)(2)sin xxg x a a a x -'=-+-++2e 2(2)(2)sin e x xa a a x -=+-++所以(0)2(2)0g a '=-<，()e 2e (2)(2)sin x x g x a a a x -'=-+-++e 2e (2)(2)e 2e 4x x x x a a a a --≥-+--+=--，由240x x ae e ---=得2ln0x a+=>，所以2ln 0g a ⎛⎫'≥ ⎪ ⎪⎝⎭，所以020,ln x a ⎛+∃∈ ⎝⎦，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<， 所以()g x 在()00,x x ∈上单调递减，所以当()00,x x ∈时，()(0)0g x g <=，不合题意. 综上，a 的取值范围为2a ≥. 【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性、最值等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论、函数与方程、化归与转化、数形结合思想.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）写出1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线04πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=（2）1tan 2α=【解析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=，消去1C 的参数将1C 的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.（2）将射线θα=分别于12,C C 的极坐标方程联立，求得,A B 两点对应的12,ρρ，由此求得AB 的表达式，求得AM 的表达式，根据||||AB AM =列方程，由此求得tan α的值. 【详解】（1）∵22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）∴曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-= ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴24cos 0ρρθ-= ∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=（2）依题意设()1,A ρθ，()2,B ρθ，∴由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=.由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=. ∵04πα<<，∴12ρρ>.∴12||||||4cos 4sin AB OA OB ρραα=-=-=-.∵OM 是圆1C 的直径，∴2OAM π∠=.∴在直角Rt OAM ∆中，||4sin AM α=∵在直角Rt BAM ∆中，4AMB π∠=∴||||AB AM =，即4cos 4sin 4sin ααα-=∴4cos 8sin αα=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.23．设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-.（1）若62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围； （2）证明：x R ∀∈，1()|3|1f x a a≥--+恒成立. 【答案】（1）()(),04,-∞+∞U （2）证明见解析【解析】（1）将不等式62f π⎛⎫>⎪⎝⎭化为|3||1|4a a -+->，利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）将要证明的不等式转化为证x R ∀∈，12sin |1|1x a a≥---+恒成立，由2sin x 的最小值为2-，得到只要证12|1|1a a -≥---+，即证1|1|12a a -++≥，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.【详解】（1）∵62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴2|3||1|6a a +-+->，即|3||1|4a a -+-> 当3a ≥时，不等式化为3143a a a -+->⎧⎨≥⎩，∴4a > 当13a <<时，不等式化为(3)(1)413a a a -+->⎧⎨<<⎩，此时a 无解当1a ≤时，不等式化为(3)(1)41a a a -+->⎧⎨≤⎩，∴0a < 综上，原不等式的解集为()(),04,-∞+∞U（2）要证x R ∀∈，1()|3|1f x a a≥--+恒成立 即证x R ∀∈，12sin |1|1x a a≥---+恒成立 ∵2sin x 的最小值为－2，∴只需证12|1|1a a -≥---+，即证1|1|12a a -++≥又11|1|111a a a a -++≥-++11||2a a a a =+=+≥= ∴1|1|12a a -++≥成立，∴原题得证 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.。
黑龙江省牡丹江市数学高三文数第三次(4月)联考试卷
黑龙江省牡丹江市数学高三文数第三次（4月）联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·天河模拟) 已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（）A . 2B . 4C . 8D . 162. （2分）复数的共轭复数是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·汉台期中) 设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A . cos（A+B）=cosCB . sin（A+B）=sinCC . tan（A+B）=tanCD . sin =sin4. （2分）向量，则“x=2”是“"的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2015高二下·郑州期中) 对正整数n，设曲线y=xn（1﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an ，则数列的前n项和的公式是（）A . 2nB . 2n﹣2C . 2n+1D . 2n+1﹣26. （2分）已知，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）设α是第二象限角，且cos=﹣，则是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角8. （2分）已知椭圆双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A . x＝±B . y＝±C . x＝±D . y＝±9. （2分） (2017高一上·濉溪期末) 如图是某几何体的三视图且a=b，则该几何体主视图的面积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·瓦房店期末) 函数的零点个数为（）A . 3B . 2C . 1D . 011. （2分） (2016高二上·长春期中) 若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）A . 2B . ﹣2C .D .12. （2分）函数f（x）=9x﹣3x+1+2（﹣1≤x≤1）的值域为（）A .B . [﹣1，2]C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·昌平模拟) 已知 =（1，）， =（﹣1，0）， =（，k），若2 ﹣与垂直，则k=________．14. （1分） (2017高三上·济宁开学考) 曲线和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________．15. （1分） (2016高三上·苏州期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2﹣b2=2bc，sinC=3sinB，则A=________16. （1分） (2016高一上·运城期中) 函数f（x）的反函数为y=3x（x∈R），则f（x）=________三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2016高二上·济南期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，已知2Sn=3n+3．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an ，求{bn}的前n项和Tn ．18. （10分）(2018·潍坊模拟) 如图，在平行六面体中，，，.（1）证明：；（2）若，，求多面体的体积.19. （10分） (2016高二上·天心期中) 设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．20. （10分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，），且离心率等于，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，若直线l与y轴不重合，试求λ的取值范围．21. （10分） (2017高二下·沈阳期末) 已知直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 .直线l过点 .（1）若直线l与曲线C交于A,B两点，求的值；（2）求曲线C的内接矩形的周长的最大值.22. （5分）已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式：f（x+1）+f（x+2）＜4；（2）已知a＞2，求证：∀x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学12月月考试题理
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学12月月考试题 理第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题（每小题5分，共12小题）1. 已知集合{}{}2240,log 0A x x B x x =-<=>，则B A ⋃=（ ）A ．()2,-+∞B ．()2,2- C. ()1,2 D ．()2,+∞ 2. 下列命题中的假命题是（ ）A ．1,20x x R -∀∈> B ．2,(1)0x N x ∀∈-> C.00,lg 1x R x ∃∈< D ．00,tan 2x R x ∃∈= 3. 已知角α的终边上一点坐标为55sin ,cos66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则角α的最小正值为( ) A ．56π B ．116π C. 53π D ．23π4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ）A ．3B ．9 C. 18 D ．27 5. αβγ、、为不同的平面，m n l 、、为不同的直线，则m β⊥的一个充分条件是( ) A.,,n n m αβα⊥⊥⊥ B ．γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC ．,,m αγβγα⊥⊥⊥D ．l m l ⊥⊥=⋂,,βαγα6. 函数),0()0,(,sin 2)(ππ⋃-∈+=-x xe e xf xx 的图像大致是（ ）7. 过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．138. 已知圆锥的顶点为P ，母线PA PB 、所成角的余弦值为78，PA 与圆锥底面所成角为45o ，若PAB ∆的面积为515，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．()4021π+ B ．402π C ．()8105π+ D ．810π9．已知P 是直线:40(0)l kx y k ++=>上一动点，PA PB 、是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为A B 、，若四边形PACB 的最小面积为2，则k =（ ） A ．23 B ．6C ．2D ．4 10. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑M ABC -中MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为（ ） A. ()1242+π B. ()1232+π C. ()2442-π D. ()2482-π11. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交C 于,A B 两点，若→→=AB AF 741，212AF F F =，则椭圆C 的离心率为（ ） A.27 B. 37 C. 47 D. 5712．已知点O 为ABC ∆外接圆的圆心，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且3a =，若2=⋅→→AC BO ，则当角C 取到最大值时ABC ∆的面积为（ ）A ．5B ．25C ．10D ．23第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题（每小题5分，共4小题）13. 过三点A ()12,1，B ()10,7，C ()2,9-的圆的方程为 。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学10月月考试题文(最新整理)
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学10月月考试题 文一、选择题（单选，每题5分，共60分）1、已知全集R U =，集合{})1lg(-==x y x A ,{}522++==x x y y B ，则B C A U ＝( ） A ．（1，2） B ．[1,2) C ．（1，2] D ．[1,2］ 2、 已知i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数,若i z z -=+92则z =（ ） A 。
i +1 B 。
i -1 C 。
i +3 D.i -33、已知01a <<，log 2log 3a a x =+，1log 52a y =，log 21log 3a a z =-，则( ） A ．x y z >>B ．z y x >>C ．y x z >>D ．z x y >>4、已知角α的终边过点)5,12(-，则ααcos 21sin +的值等于（ ） A ．131-B ．131C ．121-D ．1215、若把半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为( )A 、361R πB 、363R πC 、333R πD 、3243R π6、已知等比数列{}n a 中,71134a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则95b b +等于( ）A ．2B ．4C ． 8D ．16 7、已知定义在R 上的函数()f x 满足),()(x f x f -=-)1()1(x f x f -=+,且当[]1,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则=)31(f （ ）A ．—1B ．0C ． 1D ．3 8、函数[]5,5,sin 2-∈=x x x y 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五人分五钱.令上两人所得 与下三人等.问各得几何？"其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。
2020年黑龙江省牡丹江一中高考(文科)数学(4月份)模拟试卷 含解析
2020年高考（文科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题1．已知集合A＝{x∈N|﹣x2+x+2≥0}，则满足条件A∪B＝A的集合B的个数为（）A．3B．4C．7D．82．已知i为虚数单位，a，b∈R，复数﹣i＝a+bi，则a﹣bi＝（）A．﹣B．+C．﹣D．+3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著．如图是2013﹣2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图．下列描述错误的是（）A．这五年，2013年出口额最少B．这五年，出口总额比进口总额多C．这五年，出口增速前四年逐年下降D．这五年，2017年进口增速最快4．已知A（1，2），B（2，3），C（﹣1，m），若||＝||，则2＝（）A．6B．2C．16D．205．已知命题p：“∃x0∈R，＞0”的否定是“”；命题q：“x＜2020”的一个充分不必要条件是“x＜2019”，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧q 6．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是：先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”．按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形（如图所示），按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（）A．35B．36C．37D．387．已知双曲线my2﹣x2＝1（m∈R）与椭圆+x2＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x8．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC＝4，则f（x）的单调递增区间是（）A．（2k﹣，2k+），k∈ZB．（2kπ﹣π，2kπ+π），k∈ZC．（4k﹣，4k+），k∈ZD．（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z9．函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．已知正方形ABCD的边长为2，点E为边AB中点，点F为边BC中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P点，则三棱锥P﹣DEF的外接球的表面积为（）A．B．3πC．6πD．12π11．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（）A．a（1+r）17B．[（1+r）17﹣（1+r）]C．a（1+r）18D．[（1+r）18﹣（1+r）]12．已知函数，k∈[4，+∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知，则＝．14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a＝，该几何体的表面积为．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A sin B cos C＝sin2C，则＝，sin C的最大值为．16．已知双曲线，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N，若△OMN为直角三角形，则|MN|＝．三、解答题17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S4＝4S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a m+a m+1+a m+2+…+a m+9＝180（m∈N*），求m的值．18．如图，多面体ABCDB1C1是正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得，BC ＝CC1＝1，点D为AA1的中点．（1）求证：BC1⊥平面B1CD；（2）求点B1到平面BCD的距离．19．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），……第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．20．设椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，椭圆的上顶点为点B，点A为椭圆C上一点，且3+＝．（1）求椭圆C的离心率；（2）若b＝1，过点F2的直线交椭圆于M，N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程．21．已知函数f（x）＝（x+1）lnx，g（x）＝a（x﹣1），a∈R．（1）求直线y＝g（x）与曲线y＝f（x）相切时，切点T的坐标；（2）当x∈（0，1）时，g（x）＞f（x）恒成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若M，N分别为曲线C1和曲线C2上的动点，求|MN|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+m|（m∈R）．（1）若m＝2时，解不等式f（x）≤3；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2x﹣3|在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合A＝{x∈N|﹣x2+x+2≥0}，则满足条件A∪B＝A的集合B的个数为（）A．3B．4C．7D．8【分析】可以求出集合A＝{0，1，2}，由A∪B＝A可得B⊆A，从而求集合A的子集个数即可．解：A＝{x∈N|﹣1≤x≤2}＝{0，1，2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴集合A的子集个数为23＝8个．故选：D．2．已知i为虚数单位，a，b∈R，复数﹣i＝a+bi，则a﹣bi＝（）A．﹣B．+C．﹣D．+【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．解：由﹣i＝a+bi，得，∴，则a﹣bi＝．故选：B．3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著．如图是2013﹣2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图．下列描述错误的是（）A．这五年，2013年出口额最少B．这五年，出口总额比进口总额多C．这五年，出口增速前四年逐年下降D．这五年，2017年进口增速最快【分析】观察五个灰色的条形图，可得2013年所对的灰色条形图高度最低，从而这五年，2013年出口额最少；观察五组条形图可得，2013年出口额比进口额稍低，但2014年﹣2017年都是出口额高于进口额，并且2015年和2016年都是出口额明显高于进口额，从而这五年，出口总额比进口总额多；从图中可知，红色的折线图是先上升后下降，从而2013年到2014年出口增速是上升的；从图中可知，蓝色的折线图2017年是最高的，从而2017年进口增速最快．解：对于选项A：观察五个灰色的条形图，可得2013年所对的灰色条形图高度最低，所以这五年，2013年出口额最少．故选项A正确；对于选项B：观察五组条形图可得，2013年出口额比进口额稍低，但2014年﹣2017年都是出口额高于进口额，并且2015年和2016年都是出口额明显高于进口额，故这五年，出口总额比进口总额多．故选项B正确；对于选项C：从图中可知，红色的折线图是先上升后下降，即2013年到2014年出口增速是上升的．故选项C错误；对于选项D：从图中可知，蓝色的折线图2017年是最高的，即2017年进口增速最快．故选项D正确．故选：C．4．已知A（1，2），B（2，3），C（﹣1，m），若||＝||，则2＝（）A．6B．2C．16D．20【分析】可求出，，从而求出，，这样根据||＝||即可得出16+（m﹣4）2＝4+（2﹣m）2，解出m即可求出的坐标，从而得出．解：，；∴，；又；∴16+（m﹣4）2＝4+（2﹣m）2；解得m＝6；∴；∴．故选：D．5．已知命题p：“∃x0∈R，＞0”的否定是“”；命题q：“x＜2020”的一个充分不必要条件是“x＜2019”，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧q 【分析】根据条件分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．解：命题p：“∃x0∈R，＞0”的否定是“∀x∈R，＜0或x+1＝0”；则命题p 是假命题，命题q：“x＜2020”的一个充分不必要条件是“x＜2019”，为真命题，则（￢p）∧q为真命题，其余为假命题，故选：D．6．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是：先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”．按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形（如图所示），按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（）A．35B．36C．37D．38【分析】用数学归纳法，逐步判断得出结论．解：根据题意，第一次：剩下3＝3¹；第二次：在3个里面又挖去一个在原来的3个上多了3个，有32个，故第7次有37个，故选：C．7．已知双曲线my2﹣x2＝1（m∈R）与椭圆+x2＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x【分析】确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程．解：椭圆+x2＝1的焦点坐标为（0，±2）．双曲线my2﹣x2＝1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），∵双曲线my2﹣x2＝1（m∈R）与椭圆+x2＝1有相同的焦点，∴＝2，∴m＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：A．8．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC＝4，则f（x）的单调递增区间是（）A．（2k﹣，2k+），k∈ZB．（2kπ﹣π，2kπ+π），k∈ZC．（4k﹣，4k+），k∈ZD．（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z【分析】由题意可得+＝42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC ＝4，∴+＝42，即12+＝16，求得ω＝．再根据•+φ＝kπ，k∈Z，可得φ＝﹣，∴f（x）＝sin（x﹣）．令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得4k﹣≤x≤4k+，故f（x）的单调递增区间为（4k﹣，4k+），k∈Z，故选：C．9．函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为奇函数，排除D；由f（0）＝0，f（1）＞0，排除BC，进而得解．解：，即函数f（x）在定义域上为奇函数，故排除D；又，故排除B、C．故选：A．10．已知正方形ABCD的边长为2，点E为边AB中点，点F为边BC中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P点，则三棱锥P﹣DEF的外接球的表面积为（）A．B．3πC．6πD．12π【分析】将三棱锥P﹣DEF与三棱锥D﹣PEF相同，证明三棱锥D﹣PEF一条侧棱垂直于底面，外接球的球心为过底面外接圆的圆心垂直于底面与中截面的交点，由勾股定理求出外接球的半径的平方，进而求出外接球的表面积．解：如图，依题意知AD⊥AE，CD⊥CF∴PD⊥PE，PF⊥PD，∵PE∩PF＝P，∴PD⊥平面PEF，h＝PD＝，又∵EF⊂平面PEF，∴PD⊥EFD﹣PEF的外接球的球心为过底面三角形PEF的外接圆的圆心与底面存在且与三棱锥的中截面的交点，由题意得PD＝＝＝2，h＝PD＝2，△PEF为直角边是1的等腰直角三角形，所以外接圆的半径为r＝EF＝，三棱锥P﹣DEF转化为D﹣PEF，设外接球的半径为R则R2＝r2+（）2，所以R2＝，所以三棱锥P﹣DEF的的外接球的表面积为4πR2＝6π，故选：C．11．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（）A．a（1+r）17B．[（1+r）17﹣（1+r）]C．a（1+r）18D．[（1+r）18﹣（1+r）]【分析】根据题意，依次分析孩子在1周岁时、2周岁时、……17周岁时存入的a元产生的本利合计，进而可得取回的钱的总数S＝a（1+r）17+a（1+r）16+……+a（1+r），由等比数列的前n项和公式分析可得答案．解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）17，同理：孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）16，孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）15，……孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r），可以看成是以a（1+r）为首项，（1+r）为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数S＝a（1+r）17+a（1+r）16+……+a（1+r）＝＝[（1+r）18﹣（1+r）]；故选：D．12．已知函数，k∈[4，+∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，结合基本不等式和对勾函数的单调性，可得所求范围．解：函数的导数为f′（x）＝（k+）•﹣﹣1，由曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，可得（k+）•﹣﹣1＝（k+）•﹣﹣1，化为﹣＝（k+）（﹣﹣），即为＝k+，由x1x2＜（）2，可得k+＞，由k+在[4，+∞）递增，可得k+≥5，则x1+x2＞16×＝，故选：B．二、填空题（每题5分，共20分）13．已知，则＝．【分析】利用诱导公式化简求解即可．解：．故答案为：﹣．14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a＝1，该几何体的表面积为．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，根据它的体积是，求出a值，再计算各个面的面积，相加可得答案．解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，其直观图如图所示：其底面面积S＝a2，高SA＝2，故它的体积V＝＝＝，解得a＝1，则底面面积S＝1，侧面S△SAD＝S△SAB＝，侧面S△SCD＝S△SCB＝＝，故几何体的表面积为1+2×1+2×＝，故答案为：1；．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A sin B cos C＝sin2C，则＝3，sin C的最大值为．【分析】由已知及正弦定理可得cos C＝，结合余弦定理即可解得的值，进而根据余弦定理，基本不等式即可求解．解：∵sin A•sin B•cos C＝sin2C，∴由正弦定理得到：ab cos C＝c2，可得cos C＝，又cos C＝，∴＝，整理可得的值为3．∵cos C＝＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，∴sin C max＝＝．故答案为：3，．16．已知双曲线，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N，若△OMN为直角三角形，则|MN|＝3．【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解|MN|．解：双曲线，的渐近线方程为：y＝±x，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y＝（x﹣2），则联立，解得M（，﹣），联立解得：N（3，），则|MN|＝＝3．故答案为：3．三、解答题17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S4＝4S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a m+a m+1+a m+2+…+a m+9＝180（m∈N*），求m的值．【分析】（1）由S4＝4S2得，4a1+6d＝8a1+4d，解得d＝2a1．从而a1＝1，d＝2，由此能求出a n．（2）a m+a m+1+a m+2+…+a m+9＝180可化为10a m+45d＝20m+80＝180，由此能求出m．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S4＝4S2得，4a1+6d＝8a1+4d，整理得d＝2a1．又∵a1＝1，∴d＝2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1（n∈N*）．（2）∵a n＝2n﹣1，∴a m+a m+1+a m+2+…+a m+9＝180可化为10a m+45d＝20m+80＝180，解得m＝5．18．如图，多面体ABCDB1C1是正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得，BC ＝CC1＝1，点D为AA1的中点．（1）求证：BC1⊥平面B1CD；（2）求点B1到平面BCD的距离．【分析】（1）设BC1与B1C交于点E，连接DE，可得BD＝C1D，BC1⊥DE，即可证明BC1⊥平面B1CD；（2）利用等体积法求点B1到平面BCD的距离．解：（1）设BC1与B1C交于点E，连接DE，∵多面体ABCDB1C1是正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得，BC＝CC1＝1．∴四边形BB1C1C是正方形，四边形CC1DA，ABB1D均为直角梯形，且AB⊥AD，AC⊥AD．∵点D为AA1的中点．AA1＝BB1，AA1∥BB1．∴，DC1＝，∴BD＝C1D．，BC1⊥DE，又∵BC1⊥B1C，B1C∩DE＝E，∴BC1⊥平面B1CD；（2）设点B1到平面BCD的距离为d．∵，点D到面BCC1B1的距离即为△ABC边BC上的高，即为．∴∵．∴，S＝，∴．即点B1到平面BCD的距离为．19．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），……第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出第七组的频率，由此能完成频率分布直方图．（2）用样本数据能估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分．（3）样本成绩属于第六组的有3人，样本成绩属于第八组的有2人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数n＝＝10，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出他们的分差的绝对值小于10分的概率．解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：1﹣（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004）×10＝0.08．完成频率分布直方图如下：（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10+100×0.030×10+110×0.020×10+120×0.006×10+130×0.008×10+140×0.004×10＝102．（3）样本成绩属于第六组的有0.006×10×50＝3人，样本成绩属于第八组的有0.004×10×50＝2人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数n＝＝10，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m＝＝4，∴他们的分差的绝对值小于10分的概率p＝＝．20．设椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，椭圆的上顶点为点B，点A为椭圆C上一点，且3+＝．（1）求椭圆C的离心率；（2）若b＝1，过点F2的直线交椭圆于M，N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程．【分析】（1）设A（x0，y0），B（0，b），F1（﹣c，0）．通过3+＝求出A 的坐标，转化求解离心率．（2）求出椭圆C的方程为．当线段MN在x轴上时，交点为坐标原点（0，0）．当线段MN不在x轴上时，设直线MN的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程中，得（m2+2）y2+2my﹣1＝0．通过韦达定理，转化求解轨迹方程即可．解：（1）设A（x0，y0），B（0，b），F1（﹣c，0）．由3+＝得，即，又∵A（x0，y0）在椭圆C：上，∴，得，即椭圆C的离心率为．（2）由（1）知，．又∵b＝1，a2＝b2+c2，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为．当线段MN在x轴上时，交点为坐标原点（0，0）．当线段MN不在x轴上时，设直线MN的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程中，得（m2+2）y2+2my﹣1＝0．∵点F2在椭圆内部，∴△＞0，，则，∴点P（x，y）的坐标满足，，消去m得，x2+2y2﹣x＝0（x≠0）．综上所述，点P的轨迹方程为x2+2y2﹣x＝0．21．已知函数f（x）＝（x+1）lnx，g（x）＝a（x﹣1），a∈R．（1）求直线y＝g（x）与曲线y＝f（x）相切时，切点T的坐标；（2）当x∈（0，1）时，g（x）＞f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）设切点坐标为（x0，y0），，利用函数的单调性转化求解即可．（2）当x∈（0，1）时，g（x）＞f（x）恒成立，等价于对x∈（0，1）恒成立．令，则，通过①当a≤2，②当a＞2时，转化求解a的范围即可．解：（1）设切点坐标为（x0，y0），，则，∴．令，∴，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴h（x）＝0最多有一个实数根．又∵h（1）＝0，∴x0＝1，此时y0＝0，即切点T的坐标为（1，0）．（2）当x∈（0，1）时，g（x）＞f（x）恒成立，等价于对x∈（0，1）恒成立．令，则，h（1）＝0．①当a≤2，x∈（0，1）时，x2+2（1﹣a）x+1≥x2﹣2x+1＞0，∴h'（x）＞0，h（x）在x∈（0，1）上单调递增，因此h（x）＜0．②当a＞2时，令h'（x）＝0得．由x2＞1与x1x2＝1得，0＜x1＜1．∴当x∈（x1，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴当x∈（x1，1）时，h（x）＞h（1）＝0，不符合题意；综上所述得，a的取值范围是（﹣∞，2]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若M，N分别为曲线C1和曲线C2上的动点，求|MN|的最大值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为：x2+（y﹣6）2＝2．曲线C2的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为：．（Ⅱ）由于（Ⅰ）中的椭圆的直角坐标方程为：．转换为M，所以圆心（0，6）到点M的距离d＝＝．故：＝6．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+m|（m∈R）．（1）若m＝2时，解不等式f（x）≤3；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2x﹣3|在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围．【分析】（1）通过去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可．（2）已知条件转化为即|2x+m|≤2﹣x，即﹣x﹣2≤m≤2﹣3x，即可求解实数m的取值范围．解：（1）若m＝2时，|x﹣1|+|2x+2|≤3，当x≤﹣1时，原不等式可化为﹣x+1﹣2x﹣2≤3解得x≥﹣，所以，当﹣1＜x＜1时，原不等式可化为1﹣x+2x+2≤3得x≤0，所以﹣1＜x≤0，当x≥1时，原不等式可化为x﹣1+2x+2≤3解得x≤，所以x∈Φ，综上述：不等式的解集为；（2）当x∈[0，1]时，由f（x）≤|2x﹣3|得1﹣x+|2x+m|≤3﹣2x，即|2x+m|≤2﹣x，故x﹣2≤2x+m≤2﹣x得﹣x﹣2≤m≤2﹣3x，又由题意知：（﹣x﹣2）min≤m≤（2﹣3x）max，即﹣3≤m≤2，故m的范围为[﹣3，2]．。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学10月月考试题理(含解析)
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学10月月考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．设集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，，则A∩B＝（）A．（0，2] B．（1，2）C．（1，+∞）D．（1，2]2．已知向量＝（2，1），＝（1，3），则向量2﹣与的夹角为（）A．45°B．105°C．40°D．35°3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6＝6+a7，则S9的值是（）A．27 B．36 C．45 D．544．＝（2，1），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2 D．105．已知函数f（x）＝，若数列{a n}满足a n＝f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）6．已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），ω＞0，，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增7．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则＝（）A．9 B．6 C．3 D．18．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a cos C＝4c sin A，已知△ABC的面积S＝bc sin A＝10，b＝4，则a的值为（）A．B．C．D．9．如图，已知等腰梯形ABCD中，，E是DC的中点，P是线段BC 上的动点，则的最小值是（）A．1 B．0 C．D．10．若函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g（x）＝e x，则（）A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1）B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3）D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）11．已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，则xy的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．不等式＞的解集为14．已知等比数列{a n}的首项a1＝2037，公比q＝，记b n＝a1•a2……a n，则b n达到最大值时，n的值为15．在等差数列{a n}中，a1＝﹣2014，其前n项和为S n，若﹣＝2002，则S2016的值等于16．已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A ＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（，﹣），＝（sin x，cos x），x∈（0，）．（1）若⊥，求tan x的值；（2）若与的夹角为，求x的值．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n﹣1＝0（n≥2），a1＝．（1）求证：{}是等差数列；（2）求a n的表达式．19．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝．（1）求角B的大小；（2）求cos2﹣sin cos的取值范围．20．（I）已知a+b+c＝1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．21．已知曲线C：（k为参数）和直线l：（t为参数）．（1）将曲线C的方程化为普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且P（2，1）为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方程．22．已知函数f（x）＝，0＜x＜π．（Ⅰ）若x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），求实数a及f（x0）的取值范围；（Ⅱ）当a＝π，0＜m＜π时，证明：f（x）+mlnx＞0．2019-2020学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．设集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，，则A∩B＝（）A．（0，2] B．（1，2）C．（1，+∞）D．（1，2]【解答】解：集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，＝{y|y≥0}，则A∩B＝{x|x＞1}∩{y|y≥0}＝（1，+∞）∩[0，+∞）＝（1，+∞），故选：C．2．已知向量＝（2，1），＝（1，3），则向量2﹣与的夹角为（）A．45°B．105°C．40°D．35°【解答】解：向量＝（2，1），＝（1，3），∴2﹣＝（3，﹣1），∴（2﹣）＝6﹣1＝5，||＝，|2﹣|＝，设量2﹣与的夹角为θ，∴cosθ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，故选：A．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6＝6+a7，则S9的值是（）A．27 B．36 C．45 D．54【解答】解：在等差数列{a n}中，∵2a6＝a5+a7，又由已知2a6＝6+a7，得a5＝6，∴S9＝9a5＝54．故选：D．4．＝（2，1），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2 D．10【解答】解：∵＝（2，1），＝（3，4），∴向量在向量方向上的投影为：•cosθ＝＝＝2故选：C．5．已知函数f（x）＝，若数列{a n}满足a n＝f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）【解答】解：根据题意，a n＝f（n）＝；要使{a n}是递增数列，必有；解可得，2＜a＜3；故选：C．6．已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），ω＞0，，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝sin（ωx+φ+），∵f（x）是奇函数，，∴φ+＝0，得φ＝﹣，则f（x）＝sinωx，由sinωx＝得sinωx＝1，∵直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T＝，0即＝，得ω＝4，即f（x）＝sin4x，由2kπ﹣≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的递增区间为[﹣，]，k＝1时，递增区间为[，]由2kπ+≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的递减区间为[，]，当k＝1时，函数的递减区间为[，]，故选：A．7．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则＝（）A．9 B．6 C．3 D．1【解答】解：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意可得2×＝+a2，即q2﹣2q﹣3＝0，解得q＝﹣1（舍去），或q＝3，∴＝＝q2＝9．故选：A．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a cos C＝4c sin A，已知△ABC的面积S＝bc sin A＝10，b＝4，则a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵3a cos C＝4c sin A，∴3sin A cos C＝4sin C sin A，∵sin A≠0，∴3cos C＝4sin C，∴cos C＝，∵S＝bc sin A＝10，∴c sin A＝5，∵3a cos C＝4c sin A＝20，∴a＝＝．故选：B．9．如图，已知等腰梯形ABCD中，，E是DC的中点，P是线段BC 上的动点，则的最小值是（）A．1 B．0 C．D．【解答】解：由等腰梯形的知识可知cos B＝，设BP＝x，则CP＝﹣x，∴＝（）•＝＝1•x•（﹣）+（﹣x）•x•（﹣1）＝x2﹣x，∵0≤x≤，∴当x＝时，取得最小值﹣．故选：D．10．若函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g（x）＝e x，则（）A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1）B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3）D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）【解答】解：函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g（x）＝e x，可得f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x，即有f（x）﹣2g（x）＝e﹣x，解得f（x）＝（e x+e﹣x），g（x）＝（e x﹣e﹣x），可得g（﹣1）＝（﹣e）＜0，f（﹣2）＝（e﹣2+e2）＞0，f（﹣3）＝（e﹣3+e3）＞0，f（﹣2）﹣f（﹣3）＝（e﹣1）（e﹣3﹣e2）＜0，即有g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3），故选：D．11．已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，则xy的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【解答】解：D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，可得x+y＝1，x，y∈[，]，则xy≤＝，当且仅当x＝y＝时取等号，并且xy＝x（1﹣x）＝x﹣x2，函数的开口向下，对称轴为：x＝，当x＝或x＝时，取最小值，xy的最小值为：．则xy的取值范围是：[，]．故选：D．12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．不等式＞的解集为{x|﹣＜x＜﹣}【解答】解：不等式＞，即＜0，即（6x+1）•3（3x+2）＜0，求得﹣＜x＜﹣，故答案为：{x|﹣＜x＜﹣}．14．已知等比数列{a n}的首项a1＝2037，公比q＝，记b n＝a1•a2……a n，则b n达到最大值时，n的值为11【解答】解：∵a1＝2037，公比q＝，∴a n＝2037×，∵a11＞1，a12＜1∵b n＝a1•a2……a n，则当n＝11时b n达到最大值．故答案为：11．15．在等差数列{a n}中，a1＝﹣2014，其前n项和为S n，若﹣＝2002，则S2016的值等于2016【解答】解：等差数列{a n}中，a1＝﹣2014，，∵﹣＝2002，∴＝2002，∴d＝2，则S2016＝2016×（﹣2014），＝2016．故答案为：201616．已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A ＝．【解答】解：设△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且对应的高分别为m，n，t，△ABC的面积等于1，若BC＝1，即S＝1，a＝1，由S＝am，S＝bn，S＝ct，可得S3＝abcmnt，则mnt＝＝又S＝bc sin A＝1，可得bc＝，则mnt＝4sin A，cos A＝≥＝1﹣，当且仅当b＝c上式取得等号，可得2bc≤，则≤，可得＝＝tan≤，可得sin A＝≤＝．当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（，﹣），＝（sin x，cos x），x∈（0，）．（1）若⊥，求tan x的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•＝（，﹣）•（sin x，cos x）＝sin x﹣cos x＝0，即sin x＝cos xsin x＝cos x，即tan x＝1；（2）∵||＝，||＝＝1，•＝（，﹣）•（sin x，cos x）＝sin x﹣cos x，∴若与的夹角为，则•＝||•||cos＝，即sin x﹣cos x＝，则sin（x﹣）＝，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣＝即x＝+＝．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n﹣1＝0（n≥2），a1＝．（1）求证：{}是等差数列；（2）求a n的表达式．【解答】（1）证明：∵﹣a n＝2S n S n﹣1，∴﹣S n+S n﹣1＝2S n S n﹣1（n≥2），S n≠0（n＝1，2，3）．∴﹣＝2．又＝＝2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列．（2）解：由（1），＝2+（n﹣1）•2＝2n，∴S n＝．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝﹣〔或n≥2时，a n＝﹣2S n S n﹣1＝﹣〕；当n＝1时，S1＝a1＝．∴a n＝19．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝．（1）求角B的大小；（2）求cos2﹣sin cos的取值范围．【解答】解：（1）∵由正弦定理得，a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴＝，可得：＝，可得：c2﹣b2＝ac﹣a2，整理得：c2+a2﹣b2＝ac，∴由余弦定理可得：cos B＝＝＝，∴由0＜B＜π，可得B＝．（2）cos2﹣sin cos＝（cos C+1）﹣sin A＝cos C﹣sin（﹣C）+＝cos C﹣sin C+＝cos（C+）+，∵＜C+＜，∴﹣＜cos（C+）＜，∴＜cos2﹣sin cos＜．20．（I）已知a+b+c＝1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（I）证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，∵a+b+c＝1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）解：①当a＝时，不等式即|x﹣|≥，显然不能任意实数x均成立．②当a＞时，|2x﹣1|+|x﹣a|＝，此时，根据函数y＝|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣3×+a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣3×+a+1≥2，解得a≥．③当a＜时，|2x﹣1|+|x﹣a|＝，此时，根据函数y＝|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣﹣a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣﹣a+1≥2，解得a≤﹣．综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．已知曲线C：（k为参数）和直线l：（t为参数）．（1）将曲线C的方程化为普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且P（2，1）为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方程．【解答】解：（1）由，得，即，又，两式相除得，代入，得，整理得，即为C的普通方程．（2）将代入，整理得（4sin2θ+cos2θ）t2+（4cosθ+8sinθ）t﹣8＝0．由P为AB的中点，则．∴cosθ+2sinθ＝0，即，故，即，所以所求的直线方程为x+2y﹣4＝0．22．已知函数f（x）＝，0＜x＜π．（Ⅰ）若x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），求实数a及f（x0）的取值范围；（Ⅱ）当a＝π，0＜m＜π时，证明：f（x）+mlnx＞0．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝，0＜x＜π，得f'（x）＝，∵当x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），∴f'（x0）＝0，∴a＝sin x0﹣x0cos x0，∴f（x0）＝，∵0＜x＜π，∴cos x0∈（﹣1，1），∴f（x0）∈（﹣1，1），即f（x0）的取值范围为：（﹣1，1）．（Ⅱ）挡a＝时，f（x）＝，要证f（x）+mlnx＝成立，即证mlnx＞sin x﹣π成立，令g（x）＝mlnx，h（x）＝sin x﹣π，则g'（x）＝m（lnx+1），h（x）＝sin x﹣π∈（﹣π，1﹣π]，令g'（x）＝0，则x＝，∴当0＜x＜时，g'（x）＜0，此时g（x）递减；当时，g'（x）＞0，此时g（x）递增，∴g（x）min＝g（）＝，显然∀m∈（0，π），＞1﹣π，∴0＜m＜π，g（x）＞h（x），即0＜m＜π时，f（x）+mlnx＞0。
2020-2021学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高三(上)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。
）1．（5分）已知R为实数集，集合A＝{x|y＝lg（x+3）}，B＝{x|x≥2}R（A∪B）＝（）A．{x|x＞﹣3}B．{x|x＜﹣3}C．{x|x≤﹣3}D．{x|2≤x＜3} 2．（5分）在复平面内，复数i（i+2）对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（2，1）D．（2，﹣1）3．（5分）“直线y＝x+b与圆x2+y2＝1相交”是“0＜b＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知cos（θ﹣）＝，﹣＜θ＜，则sin2θ的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．5．（5分）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中（）A．48B．18C．24D．366．（5分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．87．（5分）如图，已知边长为a的正三角形ABC内接于圆O，D为BC边中点，则为（）A．﹣a2B．﹣a2C．﹣a2D．﹣a28．（5分）已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立（）A．2B．4C．6D．89．（5分）我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（）的部分图象如图所示个单位长度得到函数g（x）的图象（x）的解析式为（）A．g（x）＝2sin2x B．C．D．11．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若|PF1|+|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 12．（5分）已知圆＝1和焦点为F的抛物线C2：y2＝8x，N是C1上一点，M在C2上，当点M在M1时，|MF|+|MN|取得最小值，当点M在M2时，|MF|﹣|MN|取得最大值，则|M1M2|＝（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）2+，则f（﹣1）＝．14．（5分）已知x，y满足约束条件则z＝x+y的最大值为．15．（5分）棱长为1的正四面体外接球的体积为．16．（5分）对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y＝kx+b1和y＝kx+b2，使得对任意的x∈D都有kx+b1≤f（x）≤kx+b2，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d 的通道．给出下列函数：①；②；③；④f（x）其中在区间[1，+∞）上通道宽度为1的函数有（写出所有正确的序号）．三、解答题（共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝|x﹣3|+|x﹣4|．（1）求不等式f（x）≥2的解集；（2）如果f（x）≤a的解集不是空集，求实数a的取值范围．18．（12分）已知△ABC内接于半径为2的圆，且满足，角A，B，b，c．（1）求角A的大小；（2）计算△ABC面积的最大值．19．（12分）已知递增等比数列{a n}，a1＝1，且a1，a2+2，a3成等差数列，设数列{b n}的前n项和为S n，点P（n，S n）在抛物线y＝x2上．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，数列{c n}的前n项和为T n．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，P A＝PD，E在AD上（1）求证：平面PEC⊥平面PBD；（2）设直线PB与平面PEC所成的角为，求平面APB与平面PEC所成的锐二面角的余弦值．21．（12分）已知点A（1，0）和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2+y2＝4．（Ⅰ）求动点B的轨迹方程；（Ⅱ）已知点P（2，0），Q（2，﹣1），经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点22．（12分）已知函数f（x）＝lnx．（Ⅰ）设g（x）＝f（x）﹣ax+1（x）的单调性；（Ⅱ）若不等式f（x）≤（a﹣e）x+b恒成立，其中e为自然对数的底数，求2020-2021学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。
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黑龙江省牡丹江一中2020-2021学年高三4月考数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3A ．243π+B ．342π+C ．263π+D ．362π+2．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即2222221[()]42c a b S a c +-=-. 若ABC ∆的面积112S =，3a =，2b =，则sin A 等于（ ） A ．5510B ．116C ．5510或116D ．1120或11363．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．424．己知46a =，544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.16．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3[,1)3C ．3(0,] D ．6[,1)37．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ） A ．2- B ．1-C ．3-D ．28．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（ ）A ．x±2y=0B ．2x±y=0C ．4x±y=0D ．x±4y=09．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．11010．若集合{}10A x x =-≤≤，01xB x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[)1,1-B ．(]1,1-C ．()1,1-D ．[]1,1-11．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =（ ）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，12．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（ ）A ．201912--B ．201912-+C ．201912-D ．201912+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在△ABC 中，(AB AC λ-)⊥BC (λ＞1)，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是_______． 14．已知点(1,2)是双曲线2221(0)4x y a a -=>渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______15．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x ef x f x -<-的解集为__________．16．已知三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，23PA PB AB ===，2BC =，且二面角PAB C 的大小为135︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为__________. 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>恰有一个公共点P ，l 与圆222x y a+=相交于,A B 两点.（I ）求k 与m 的关系式；（II ）点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当12k =-时，QAB ∆的面积取到最大值2a ，求椭圆的离心率. 18．（12分）已知函数4()1,()1()xa f x e g x a R x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数， 2.718e ≈⋅⋅⋅）.（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程； （2）若函数()()f x yg x =在区间[]4,5上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点()1212,x x x x <，且()1h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.19．（12分）为提供市民的健身素质，某市把,,,A B C D 四个篮球馆全部转为免费民用（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从,,,A B C D 四场馆的使用场数中依次抽取1234,,,a a a a 共25场，在1234,,,a a a a 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的数据： x 10 15 20 25 30 35 40 y1000011761 13010 13980 14771 15440 16020 43430.12y z e=+ 2.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求z 与x 的回归直线方程； ②40yx +叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时x 的值 参考数据和公式：7723114.5,()700,()()70,20ii i i i z x x x x z z e ===-=--==∑∑71721()()()iii ii x x zz b x x ==--=-∑∑，a z bx =-20．（12分）在直角坐标系中，已知圆222:()(1)1M x a y a -+-=+，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭平分圆M 的周长. （1）求圆M 的半径和圆M 的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线12,l l ，其中1l 与圆M 交于O ，A 两点，2l 与圆M 交于O ，B 两点，求OAB 面积的最大值.21．（12分）设直线l 与抛物线22x y =交于,A B 两点，与椭圆22142x y +=交于,C D 两点，设直线,OA ,OB ,OC OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1,k 2,k 3,k 4k ，若OA OB ⊥.（1）证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（2）是否存在常数λ，满足()1234k k k k λ+=+？并说明理由. 22．（10分）已知动圆M 恒过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与直线12y 相切. （1）求圆心M 的轨迹E 的方程；（2）设P 是轨迹E 上横坐标为2的点，OP 的平行线l 交轨迹E 于A ，B 两点，交轨迹E 在P 处的切线于点T ，问：是否存在实常数λ使2||||||PT TA TB λ=⋅，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D 【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为： V=V 三棱柱+V 半圆柱=×2×2×1+12•π•12×1=（6+1.5π）cm 1． 故答案为6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可． 2、C 【解析】 【分析】将112S =，3a =2b =，代入2222221[()]42c a b S a c +-=-225,9c c ==，再分类讨论，利用余弦弦定理求cos A ，再用平方关系求解. 【详解】 已知112S =，3a =2b =， 代入2222221[()]42c a b S a c +-=-22213411[3()]422+--=c c ，即4212450c c -+= ， 解得225,9c c ==，当25c =时，由余弦弦定理得：222cos 210b c a A bc +-==，sin 10A ==.当29c =时，由余弦弦定理得：2225cos 26b c a A bc +-==，11sin 6A ==. 故选：C 【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题. 3、B 【解析】 【分析】先根据角度分析出,,CBE ACB DAC ∠∠∠的大小，然后根据角度关系得到AC 的长度，再根据正弦定理计算出BC 的长度，最后利用余弦定理求解出AB 的长度即可. 【详解】由题意可知：60,67.5,45,75,60ACB ADC ACD BCE BEC ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒， 所以180756045CBE ∠=︒-︒-︒=︒，18067.54567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒， 所以DAC ADC ∠=∠，所以CA CD ==又因为sin sin BC CE BEC CBE =∠∠，所以BC ==所以AB ===故选：B. 【点睛】本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键. 4、B 【解析】 【分析】先将三个数通过指数，对数运算变形104661a ==>=，2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭再判断.【详解】因为104661a ==>=， 2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a c b >>， 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题. 5、A 【解析】 【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 6、A 【解析】 【分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心， 因为AC DB =，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩，又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--，所以2212,33ba⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a ca-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以36,e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：A.【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.7、A【解析】【分析】根据向量投影的定义，即可求解.【详解】a在b上的投影为6cos23a babθ⋅-===-.故选:A【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.8、A【解析】试题分析：渐近线方程是﹣y2=1，整理后就得到双曲线的渐近线．解：双曲线其渐近线方程是﹣y2=1整理得x±2y=1．故选A．点评：本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“1”即可求出渐进方程．属于基础题．9、B【解析】【分析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个， 基本事件总数2353C 10n C ==，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数22123234m C C C C =+=， ∴6和28恰好在同一组的概率42105m p n ===． 故选：B ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10、A 【解析】 【分析】用转化的思想求出B 中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可． 【详解】 解：由集合01xB x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，解得{|01}B x x =<<，则{}{}{}[)|10|01|111,1AB x x x x x x =-<<=-<=-故选：A ． 【点睛】本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题． 11、D 【解析】 【分析】求解不等式，得到集合A ，B ，利用交集、补集运算即得解 【详解】由于2log (4)124x x -≤∴≤<故集合[)24A =， ()()350x x -->3x ∴<或5x >故集合()()35B =-∞⋃+∞，， ∴()[)|34UB A ⋂=，故选：D本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 12、A 【解析】 【分析】取1x =-，得到201902a =，取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-，计算得到答案.【详解】取1x =-，得到201902a =；取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-.故22019201912201933312a a a ⋅+⋅++⋅=--.故选：A . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。