《含高考13套》黑龙江省牡丹江一中2020-2021学年高三4月考数学试题含解析

黑龙江省牡丹江一中2020-2021学年高三4月考数学试题

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3

A ．243

π+

B ．342

π+

C ．263

π+

D ．362

π+

2．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即

222222

1[()]42

c a b S a c +-=-. 若ABC ∆的面积112S =，3a =，2b =，则sin A 等于（ ） A ．

55

10

B ．

116

C ．

5510或

11

6

D ．

1120或

11

36

3．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、

B 两座岛屿间的距离为（ ）

A ．3

B ．32

C ．4

D ．42

4．己知46a =，544log 21b =， 2.9

13c ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>

5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212

1

52–lg E m m E =

，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1

B ．10.1

C ．lg10.1

D ．10–10.1

6．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y

C a b a b

+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：

()()

22

311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值

范围为（ ）

A ．36,33⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

B ．3

[

,1)3

C ．3(0,

] D ．6[

,1)3

7．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ） A ．2- B ．1-

C ．3-

D ．2

8．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（ ）

A ．x±2y=0

B ．2x±y=0

C ．4x±y=0

D ．x±4y=0

9．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A ．

1

5

B ．

25

C ．

35

D ．

110

10．若集合{}

10A x x =-≤≤，01x

B x x ⎧

⎫=<⎨⎬-⎩⎭

，则A B =（ ）

A ．[)1,1-

B ．(]1,1-

C ．()1,1-

D ．[]1,1-

11．设全集U

=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =（ ）

A ．[2]5，

B ．[2]3，

C ．[)24，

D ．[)34，

12．若()()()

2019

2019

012019111x a a x a x -=+++

++，x ∈R ，则2

2019122019333a a a ⋅+⋅+

+⋅的值

为（ ）

A ．201912--

B ．201912-+

C ．201912-

D ．201912+

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在△ABC 中，(AB AC λ-)⊥BC (λ＞1)，若角A 的最大值为

6

π

，则实数λ的值是_______． 14．已知点(1,2)是双曲线22

21(0)4

x y a a -=>渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______

15．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()1

21x e

f x f x -<-的解集为__________．

16．已知三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，23PA PB AB ===，2BC =，且二面角P

AB C 的

大小为135︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>恰有一个公共点P ，l 与圆222

x y a

+=相交于,A B 两点.

（I ）求k 与m 的关系式；

（II ）点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当1

2

k =-

时，QAB ∆的面积取到最大值2a ，求椭圆的离心率. 18．（12分）已知函数4()1,()1()x

a f x e g x a R x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝

⎭（e 是自然对数的底数， 2.718e ≈⋅⋅⋅）.

（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程； （2）若函数()

()

f x y

g x =

在区间[]

4,5上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点()1212,x x x x <，且()1h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.

19．（12分）为提供市民的健身素质，某市把,,,A B C D 四个篮球馆全部转为免费民用

（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从,,,A B C D 四场馆的使用场数中依次抽取1234,,,a a a a 共25场，在1234,,,a a a a 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；