高一数 学 8.2.2立体图形的直观图(2)课后练习答案
高中数学必修二 8 2 立体图形的直观图(精练)(含答案)
8.2 立体图形的直观图（精练）【题组一平面图形的直观图】1．（2020·全国高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图；（1）直角边横向；（2）斜边横向.【答案】见解析.【解析】（1）直角边横向如图①②.（2）斜边横向如图③2．（2020·全国高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）. （1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形【答案】见解析【解析】（1）根据斜二测画法的规则，可得：（2）根据斜二测画法的规则，可得：（3）根据斜二测画法的规则，可得：（4）根据斜二测画法的规则，可得：3．（2020·全国高一课时练习）用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.【答案】见解析【解析】画法：（1）如图（1），在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在直线为x 轴，AD 的垂直平分线MN为y 轴，两轴相交于点O .在图（2）中，画相应的x '轴与y '轴，两轴相交于点'O ，使'45x O y ''︒∠=.（2）在图（2）中，以O'为中点，在x轴上取A D AD''=，在'y轴上取12M N MN''=以点'N为中点，画B C''平行于x'轴，并且等于BC；再以'M为中点，画F E''平行于x'轴，并且等于FE.（3）连接',,,A B C D D E F A'''''''，并擦去辅助线'x轴和'y轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图'A B C D E F'''''图（3）.4．（2020·全国高一课时练习）如图所示是由正方形ABCD和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图.【答案】作图见解析【解析】（1）以AB所在直线为轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图①所示），再建立坐标系x O y'''，使两坐标轴的夹角为45︒（如图②所示）.（2）以O'为中点，在x'轴上截取A B AB''=；分别过A'，B'作y'轴的平行线，截取12A E AE=''，12B C BC =''.在y '轴上截取12O D OD =''. （3）连接E D ''，E C ''，C D ''，得到平面图形A B C D E '''''.（4）去掉辅助线，就得到所求的直观图（如图③所示）5．（2020·全国高三专题练习（文））用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC 的直观图．【答案】见解析【解析】画法：（1）画x '轴，y '轴，使45x o y '''∠=︒；（2）在o x ''轴上取D B ''、,使3,O D O B OB ''''==，在o y ''轴上取C '，使12O C OC ''=； 在o x ''轴下方过D 作D A ''平行于o y ''，使1D A ''=；(3) 连线，连接O A A B B C ''''''、、，所得四边形即为水平放置的四边形OABC 的直观图．如图【题组二 空间几何体的直观图】1．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法.【答案】答案见解析.【解析】(1)画轴：画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，45xOy ∠=(或135)，90xOz ∠=，如左图；(2)画底面：以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD ；(3)画顶点：在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高；(4)成图：顺次连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如下图.2．若给定长,宽,高分别为4cm ,3cm ,2cm 的长方体ABCD A B C D ''''-,如何用斜二测画法画出该长方体的直观图?【答案】见解析【解析】(1)画轴.如图(1),画x 轴､y 轴､z 轴,三轴相交于点O ,使45xOy ∠=︒,90xOz ∠=︒.(2)画底面.以点O 为中点,在x 轴上取线段MN ,使4cm MN =;以点O 为中点,在y 轴上取线段PQ ,使 1.5cm PQ =.分别过点M 和N 作y 轴的平行线,过点P 和Q 作x 轴的平行线,设它们的交点分别为A ,B ,C ,D ,则平面ABCD 就是长方体的底面,如图(1).(3)画侧棱.过A ,B ,C ,D 各点分别作z 轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm 长的线段AA ',BB ',CC ',DD ',如图(1).(4)成图.顺次连接A ',B ',C ',D ',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到了长方体的直观图,如图(2).3．（2020·全国高一课时练习）已知一棱柱的底面是边长为3cm 的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4 cm ，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.【答案】见解析【解析】（1）画轴.画出x 轴、y 轴z 轴，三轴相交于点O ，使45xOy ∠=︒，90xOz ∠=︒.（2）画底面.以点O 为中点，在x 轴上画3MN cm =，在y 轴上画32PQ cm =，分别过点M ，N 作y 轴的平行线，过点P ，Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，则四边形ABCD 就是该棱柱的底面.（3）画侧棱.过点A ，B ，C ，D 分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm 长的线段AA '，BB '，CC '，DD '，如图①所示.（4）成图.连接A B ''，B C ''，C D ''，D A ''，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示.4．（2020·全国高一课时练习）画出一个上､下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.【答案】见解析【解析】①建立空间直角坐标系,画x 轴､y 轴､z 轴相交于点O .使x 轴与y 轴的夹角为45°，y 轴与z 轴的夹角为90°，②底面在y 轴上取线段OD 取6OD =，且以D 为中点，作平行于x 轴的线段AB ,使2AB =,在y 轴上取线段OC ,使3OC =.连接,BC CA ,则ABC 为正三棱台的下底面的直观图. ③画上底面在z 轴上取OO ',使2OO '=,过点O '作//O x Ox '',//O y Oy '',建立坐标系x O y '''.在x O y '''中,类似步骤②的画法得上底面的直观图A B C '''.④连线成图连接AA ',BB ',CC ',去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台ABC A B C '''-即为要求画的正三棱台的直观图.5．（2020·全国高一课时练习）画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.【答案】见解析【解析】(1)建系:先画x 轴､y 轴､z 轴,其交点为O ,使45xOy ∠=︒,90xOz ∠=︒.(2)画底面.以O 为中心,在xOy 平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD ,如图.(3)画顶点.在Oz 上截取OP ,使OP AB =.(4)成图.连接PA ,PB ,PC ,PD ,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图.6．（2020·全国高一课时练习）已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.【答案】见解析.【解析】圆锥直观图如下：⇒7．（2020·全国高一课时练习）一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心，画出这个组合体的直观图.【答案】见解析【解析】如图所示，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和球共同的轴线上确定球的半径，最后画出圆柱和半球，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.8．（2020·全国高三专题练习）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．【答案】见解析【解析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.【题组三 直观图的面积周长】1．如图,ABC 的斜二测直观图为等腰'''Rt A B C ,其中''2A B =,则ABC ∆的面积为( )A ．2B ．4C ．D ．【答案】D 【解析】由题意，ABC 的斜二测直观图为等腰Rt A B C '''，45C A B ︒'''∠=//C O y A ''''∴，2A B ''=222A C A B C B ''''''∴=+A C ''∴=由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，则2AB =，AC =AC AB ⊥11222ABC S AB AC ∆∴=⋅⋅=⨯⨯= ∴原平面图形的面积是故选：D ．2．用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C '''.已知点O '是斜边B C ''的中点，且1A O ，则ABC 的边BC 边上的高为（ ）A ．1B ．2C D ．【答案】D【解析】∵直观图是等腰直角三角形A B C '''，90,1B A C A O，∴2A C，根据直观图中平行于y 轴的长度变为原来的一半, ∴△ABC 的边BC 上的高222ACA C .故选D.3．如图，正方形O A B C ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．16cmB ．12cmC ．10cmD ．18cm【答案】A【解析】将直观图还原为平面图形，如图所示.2OB O B ''=＝2OA O A ''==，所以6AB ==，所以原图形的周长为16cm ， 故选：A.4．已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角O B C '''，其中1O B ''=，则原平面图形中最大边长为（ ）A ．2B ．C ．3D ．【答案】D 【解析】由斜坐标系中作A C B C ''''⊥交x '轴于A '点，由1O B ''=，O B C '''等腰直角三角形，2A C由斜二测法的纵半横不变，可将直观图在直角坐标系中还原成原平面图形如下：∴222AC A C，1OA =，∴最长边BC ==，故选：D5．如图，平行四边形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中4O A ''=，2O C ''=，30A O C '''∠=︒，则下列叙述正确的是（ ）A ．原图形是正方形B ．原图形是非正方形的菱形C ．原图形的面积是D ．原图形的面积是【答案】C【解析】过C'作C'D//y'轴，交x'轴于D ,将DC'绕 D 逆时针旋转45°，并伸长到原来的两倍，得到实际图中的点C ,将C 沿O'A'方向和长度平移得到 B ,得到水平放置时直观图还原为实际的平面图形,如下图所示:30A O C ''∠=︒,∴90,4AOC OC ∠≠≠,故原图并不是正方形,也不是菱形,故A,B 均错误,又直观图的面积11242sin 3042S =⋅⋅⋅⋅=,所以原图的面积1S ==故选:C.6．把四边形ABCD 按斜二测画法得到平行四边形''''A B C D (如图所示)，其中''''2B O O C ==，''O D =，则四边形ABCD 一定是一个（ ）A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．梯形【答案】A【解析】把平行四边形''''A B C D 还原回原图形，过程如下： 在平面直角坐标系中，在x 轴上截取4BC =，且使O 为BC 的中点，在y 轴上截取OD =D 向左左x 轴的平行线段DA ，使4DA =， 连接AB ，CD ，可得平行四边形ABCD .∵2OC =，OD =4CD ==.∴平行四边形ABCD 为菱形. 故选：A .7．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA B C '''的面积为4，则该平面图形的面积为（ ）A B ． C ．D ．【答案】C【解析】已知直观图OA B C '''的面积为4,所以原图的面积为4= 故选：C8．如图所示，正方形''''O A B C 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．6cmB ．8cmC ．2+D ．2+【答案】B【解析】先把水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，如图：由斜二测画法得：'=1OA OA =，''=2OB O B ''=1BC BC =，=3AB OC ==，所以原图形周长为8.故选：B.9．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形O A B C ''''，则原平面图形的周长和面积分别为（ ）A ．2a ，24a B ．8a ，2C ．a ，2aD ，22a【答案】B【解析】由直观图可得原图形，∴OA BC a ==，OB =，90BOA ∠=， ∴3AB OC a ==，原图形的周长为8a ，∴2S a =⋅=， 故选：B9．如图所示，正方形O A B C ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ）A ．21 cmB ．2C ．2D ．2 cm 4【答案】B【解析】如图所示，由斜二测画法的规则知与x '轴平行的线段其长度不变， 正方形的对角线在y '轴上，，故在原平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为 所以原来的图形是平行四边形，其在横轴上的边长为1，高为所以它的面积是21)⨯=． 故选：B ．10．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）．A ．1B ．2+C ．122+D ．12+【答案】B【解析】如图，恢复后的原图形为一直角梯形，所以1(11)222S =⨯=+故选：B.11．如图，边长为1的正方形''''O A B C 是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，则图形OABC 的面积是（ ）A ．4B ．2C D ．【答案】D【解析】由直观图''''O A B C 画出原图OABC ，如图，因为''O B =OB =1OA =，则图形OABC 的面积是故选：D12．已知边长为1的菱形ABCD 中，3A π∠=，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为（ ）A B C D 【答案】D【解析】菱形ABCD 中，1AB =，3A π∠=，则菱形的面积为12211sin 23ABD ABCD S S π∆==⨯⨯⨯⨯=菱形；所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为8S S ===.故选D ．13．已知正三角形ABC 的边长为2，那么ΔABC 的直观图△A 1B 1C 1的面积为（ ）A B ．12C ．4D ．4【答案】C【解析】如图所示，直观图△A 1B 1C 1的高为11116sin 45sin 452sin 60sin 45224h C D CD ===⨯⨯=， 底边长为112A B AB ==； 所以△A 1B 1C 1的面积为：1116622244S A B h =⋅=⨯⨯=． 故选：C ．14．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，则其原平面图形的面积为__________.【答案】4【解析】由斜二测画法可知原平面图形为两直角边分别为2,4的直角三角形.故面积为1244 2⨯⨯=.故答案为：4【题组四斜二测画法】1．（2020·全国高一单元测试）下列命题中正确的是（）A．正方形的直观图是正方形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】B【解析】选项A，正方形的直观图是平行四边形，故A错误；选项B，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；选项C，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故C错误；选项D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D错误．故选：B．2．（2020·全国高三专题练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（）A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点【答案】B【解析】根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B．3．（2020·包头市第九中学高一期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（）①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，如平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，变为原来的12，所以②错误；对于③，相等的角在直观图中不一定相等，如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45︒和135︒，所以③错误；对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；综上，正确的命题序号是①，共1个．故选：A．4．（2019·安徽合肥市·合肥一中高二月考（理））下列说法正确的是（）A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台B．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D．相等的角在直观图中对应的角仍相等【答案】C【解析】对A，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台，所以A错误；对B，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，所以B错误；对C ，根据母线的定义可知，正确；对D ，如等腰直角三角形，画出直观图后，不是等腰三角形，所以D 错误．故选：C ．5．（2020·全国高一课时练习）在用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图时，若在直角坐标系中A ∠的两边分别平行于x 轴、y 轴，则在直观图中A '∠等于（ ）A ．45︒B ．135︒C ．90︒D ．45︒或135︒ 【答案】D【解析】因为A ∠的两边分别平行于x 轴、y 轴，所以90A ︒∠=在直观图中，由斜二测画法知45x O y '''︒∠=或135x O y ︒''∠='，即45A ︒'∠=或135A ︒'∠=.故选:D6．（2020·全国高一课时练习）利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（ ）①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.A ．①②B ．③④C ．①③D ．②③ 【答案】B【解析】两条相交直线的直观图仍然是相交直线，故①错；两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，故②错；③④正确.故选：B。
高中数学必修二 8 2 立体图形的直观图 练习(含答案)
8.2 立体图形的直观图一、选择题1．等腰三角形ABC 的直观图是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】D 【解析】由题意得，由直观图的画法可知：当045x O y '''∠=时，等腰三角形的直观图是④；当0135x O y ∠='''时，等腰三角形的直观图是③；综上，等腰三角形ABC ∆的直观图可能是③④，故选D.2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是( )A ．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B ．平行四边形的直观图仍是平行四边形C ．两条相交直线的直观图可能是平行直线D ．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直【答案】B 【解析】斜二测画法保持平行性不变，正方形的直观图是平行四边形，故选项A 错误；平行四边形的对边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B 正确；斜二测画法保持相交性不变，故两条相交直线的直观图仍是相交直线，故选项C 错误；两条垂直直线的直观图应是夹角为45°的两条相交直线，故选项D 错误. 3．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1︰500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 ( )A ．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm【答案】C【解析】由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm 和1.6cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.故选C.4．如图所示，A O B '''表示水平放置的AOB 的直观图，B '在x '轴上，A O ''与x '轴垂直，且2A O ''=，则AOB 的边OB 上的高为（ ）A ．2B ．4C ．D ．【答案】D【解析】设AOB 的边OB 上的高为h ，因为S =原图形直观图，所以11222OB h O B ''⨯⨯=⨯⨯，又OB O B ''=，所以h =故选：D.5．（多选题） 给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确是 ( )A.角的水平放置的直观图一定是角；B .相等的角在直观图中仍相等；C.相等的线段在直观图中仍然相等；D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．【答案】AD 【解析】由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴D 对，A 对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴BC 错．故选AD.6．（多选题）利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形；以上结论正确的是（ ）（多选）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】AB【解析】水平放置的n 边形的直观图还是n 边形，故①正确；因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以②正确；因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半，所以③④错误，故选：AB .二、填空题7．【人教A 版(2019)必修第二册突围者第八章综合拓展提升】如图所示为水平放置的正方形ABCO ，在平面直角坐标系xOy 中点B 的坐标为()2,2，用斜二测画法画出它的直观图A B C O ''''，则点B '到x '轴的距离为_____________.【答案】2.【解析】在直观图A B C O ''''中，1B C ''=，45B C x '''∠=，故点B '到x '.故答案为：28．给出下列说法：① 正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；② 水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；③ 不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；④ 水平放置的平面图形的直观图是平面图形．其中，正确的说法是________．(填序号)【答案】④【解析】对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x 轴、y 轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x 轴、y 轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则．对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形．对于③，只要坐标系选取恰当，不等边三角形水平放置的直观图可以是等边三角形．即正确的说法是④.9．有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示45ABC ∠=，//,1,AD BC AB AD DC BC ==⊥，则这块菜地的面积为________.【答案】2+【解析】在直观图中，45ABC ∠=︒，1AB AD ==， DC BC ⊥1AD ∴=，12BC =+∴原来的平面图形上底长为1，下底为12∴平面图形的面积为11122222⎛⎫⨯++⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭10．如图所示，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的A B C ∆'''，已知6A C ''=，4B C ''=，则AB 边的实际长度是______.，△ABC 的面积为 。
新教材人教A版必修第二册立体图形的直观图作业
8.2立体图形的直观图课后·训练提升1.水平放置的△ABC,有一边在水平线上,用斜二测画法得到它的直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形D.任意三角形,斜二测直观图还原为平面图形,故△ABC是钝角三角形.2.水平放置的三角形的直观图如图所示,D'是△A'B'C'中边B'C'的中点,且A'D'平行于y'轴,线段A'B',A'D',A'C'对应原图形的线段AB,AD,AC,则()A.最长的是AB,最短的是ACB.最长的是AC,最短的是ABC.AB与AC一样长,最短的是ADAD,最短的是AC3.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是()B.矩形C.菱形D.梯形4.如图,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为()A.6 cmB.8 cm3√2) cm D.(2+2√3) cm,原图形为平行四边形OABC,且OA=O'A'=1 cm,OB=2O'B'=2√2cm,于是OC=AB=√(2√2)2+12=3(cm),故平行四边形OABC的周长为2×(1+3)=8(cm).5.如图,等腰梯形A'B'C'D'是一个水平放置的图形的直观图,其中∠A'B'C'=45°,A'D'∥B'C',A'B'=C'D'=A'D'=1,则原平面图形的面积是( )A.2+√2B.1+√22C.2+√22D.1+√2①,因为∠A'B'C'=45°,所以以B'C'所在直线为x'轴,A'B'所在直线为y'轴建立坐标系x'O'y'.过D'作D'E'∥A'B',交B'C'于点E',则B'E'=A'D'=1.因为梯形A'B'C'D'为等腰梯形,所以△E'D'C'为等腰直角三角形,所以E'C'=√2. 所以B'C'=1+√2.将直观图还原,如图②,可知四边形ABCD 为直角梯形,AD=1,BC=1+√2,AB=2. 故S 梯形ABCD =12AB ·(AD+BC )=12×2×(1+1+√2)=2+√2.6.用斜二测画法画水平放置的△ABC 的直观图,得到等腰直角三角形A'B'C'如图所示.已知点O'是斜边B'C'的中点,且A'O'=1,则△ABC 中BC 边上的高为 ,△ABC 的面积为 .√2 2√27.如图,一水平放置的平面图形的直观图是直角梯形,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC ⊥BC ,则这个平面图形的面积为 .ABCD 中,由题意可知,BC=1+√22.由直观图可知,原图形为直角梯形,且上底长为1,下底长为1+√22,高为2,故面积为12×(1+1+√22)×2=2+√22.+√228.如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形.:(1)画直角坐标系xOy ,在x 轴上取OA=O'A',即CA=C'A';(2)在图①中,过点B'作B'D'∥y'轴,交x'轴于点D',在x 轴上取OD=O'D',过点D 作DB ∥y 轴,并使DB=2D'B'.(3)连接CB ,△ABC 即为△A'B'C'原来的图形,如图②所示.,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=4,CD=2,∠DAB=30°,AD=3,试画出它的直观图.:(1)如图①所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系.如图②所示,画出对应的x'轴,y'轴,使∠x'A'y'=45°.(2)如图①所示,过点D 作DE ⊥x 轴,垂足为点E.在x'轴上取A'B'=AB=4,A'E'=AE=32√3≈2.598;过点E'作E'D'∥y'轴,使E'D'=12ED ,再过点D'作D'C'∥x'轴,且使D'C'=CD=2.(3)连接A'D',B'C',并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线,如图③所示,则四边形A'B'C'D'就是所求作的直观图.。
人教A版高中数学必修第二册课后习题 第8章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图
8.2 立体图形的直观图课后训练巩固提升1.水平放置的△ABC有一边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形,斜二测直观图还原为平面图形,故△ABC是钝角三角形.2.当用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边平行于x轴、y轴,且∠A=90°,则在直观图中,∠A'为( ) A.45° B.135°C.45°或135°D.90°3.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( )A.ABB.ADC.BCD.ACABC,即可看出△ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.4.(多选题)下列说法正确的是( )A.水平放置的角的直观图一定是角B.相等的角在直观图中仍然相等C.相等的线段在直观图中仍然相等D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行,相交的线仍然相交,故A正确;正方形的直观图为平行四边形,角度不一定相等,故B错误;因为平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度变为原来的一半,故C错误;平行性不会改变,故D正确.5.当用斜二测画法画直观图时,原坐标系中A(0,2),B(0,8)表示的线段AB,在直观图坐标系O'x'y'中,画出线段A'B',则A'B'的长为 .6.一个水平放置的正方形ABCO 如图所示,在直角坐标系Oxy 中,点B 的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B'到x'轴的距离为 .B'到x'轴的距离等于点A'到x'轴的距离d, 而O'A'=12OA=1,∠C'O'A'=45°(或135°),故d=√22O'A'=√22.7.如图所示,四边形O'A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测画法画出的直观图,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm,则在平面直角坐标系中原四边形OABC 为 (填具体形状),其面积为 cm 2.,在四边形OABC中,OA⊥OC,OA=O'A'=2cm,OC=2O'C'=4cm,故四边形OABC是矩形,其面积为2×4=8(cm2).88.用斜二测画法,画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.过点C作CE⊥x轴,垂足为点E,如图①所示,画出对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°.①②③(2)如图②所示,在x'轴上分别取点B',E',使得O'B'=OB,O'E'=OE;在y'轴上取一点D',使得O'D'=12OD;过点E'作E'C'∥y'轴,使得E'C'=12EC.(3)连接B'C',C'D',并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线,如图③所示,四边形O'B'C'D'即为所求的直观图.1.利用斜二测画法画边长为3 cm 的正方形的直观图,可以是下列选项中的( )2.如图所示,四边形OABC 是上底为1,下底为3,底角为45°的等腰梯形,由斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A'B'C',则梯形O'A'B'C'的高为( )A .√24B .√23C .√22D .√2OABC是上底为1,下底为3,底角为45°的等腰梯形,所以等腰梯形OABC的高为1,设梯形O'A'B'C'的高为h,h=12×1×√22=√24,故选A.3.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,直观图中有一边长为4,则此正方形的面积是( )A.16B.64C.16或64D.都不对4.如图,Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图,直角边O'B'=1,则这个平面图形的面积是.O'B'=1,∴O'A'=√2,即在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OB=1,OA=2√2,∴这个平面图形的面积S△AOB=12×1×2√2=√2.√25.如图所示,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6 cm,C'D'=2 cm,则原图形是(填四边形的形状).,在原图形OABC中,应有OA=O'A'=6cm,OD=2O'D'=2×2√2=4√2(cm),CD=C'D'=2cm,则OC=√OD2+CD2=√(4√2)2+22=6(cm),即OA=OC,又OA∥BC,OA=BC,故四边形OABC是菱形.6.如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4 cm,CD=2 cm,∠DAB=30°,AD=3 cm,试画出它的直观图(√3取近似值1.732).:(1)如图①所示,在梯形ABCD中,以边AB所在的直线为x轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系Oxy.如图②所示,画出对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°.√3≈2.598 (2)如图①所示,过点D作DE⊥x轴,垂足为点E.在,A'E'=AE=32ED=0.75cm,再过点D'作D'C'∥. cm;过点E'作E'D'∥y'轴,使E'D'=12(3)连接A'D',B'C',并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线,如图③所示,则四边形A'B'C'D'就是所求作的直观图.①②③7.一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3,高为4,圆锥的高为3,画出此几何体的直观图.画轴.如图①,画x轴、z轴,使∠xOz=90°..利用椭圆模板画椭(2)画圆柱的两底面.在x轴上取A,B两点,使OA=OB=32圆,使其经过A,B两点,这个椭圆为圆柱的下底面.在Oz上截取点O',使OO'=4,过点O'作Ox的平行线O'x',类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使点P在点O'的上方,O'P=3.(4)成图.连接A'A,B'B,PA',PB',整理得到此几何体的直观图(如图②).图①图②。
8.2 立体图形的直观图(解析版)
立体图形的直观图导学案【学习目标】1.掌握斜二测画法的步骤2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图【自主学习】知识点1 斜二测画法的步骤1．画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．2．画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．3．取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．知识点2空间几何体直观图的画法1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴．2．画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面．3．取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．4．成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．【合作探究】探究一 水平放置的平面图形直观图的画法【例1】如图所示，梯形ABCD 中，AB∠CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．[分析] 以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系．只需确定四个顶点A ，B ，C ，D 在直观图中的相应点即可．[解] 画法步骤：(1)如图甲所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy .如图乙所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图甲中，过D 点作DE ∠x 轴，垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝332≈2.598(cm)；过点E ′作E ′D ′∠y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75(cm)，再过点D ′作D ′C ′∠x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′，B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．归纳总结：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.本题中，关键在于点D ′的位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E 的对应点E ′，再去确定D ′的位置【练习1】画边长为1 cm 的正三角形的水平放置的直观图．解：(1)如图∠所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图∠所示．(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝0.5 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12AO ＝34 cm ，连接A ′B ′、A ′C ′，则∠A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图．(3)擦去x ′、y ′轴得直观图∠A ′B ′C ′，如图∠所示．探究二 画空间几何体的直观图【例2】用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD A ′B ′C ′D ′的直观图． [分析] 利用画轴、画底面、画侧棱、成图进行作图．[解] (1)画轴．如图∠所示，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中心，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32cm ，分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图∠)．归纳总结：(1)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴．此外，坐标系的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确的确定顶点；(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以又快又准的画出【练习2】一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．解：(1)画轴，如图1所示，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画圆柱的两底面，在x 轴上取A 、B 两点，使AB 的长度等于3 cm ，且OA ＝OB .选择椭圆模板中适当的椭圆过A 、B 两点，使它为圆柱的下底面．在Oz 上截取点O ′，使OO ′＝4 cm ，过O ′作Ox ，Oy 的平行线O ′x ′，O ′y ′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．(3)画圆锥的顶点．在Oz 上截取点P ，使P O ′等于圆锥的高3 cm.(4)成图．连接A ′A 、B ′B 、P A ′、P B ′，擦掉辅助线，将其被遮挡的线改为虚线，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．探究三 由直观图还原成原图【例3】如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∠O ′y ′，A 1B 1∠C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.求原四边形ABCD 的面积．[分析] 利用斜二测画法的法则得到原图和直观图的关系．[解] 如图，建立平面直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2.在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连接BC ，即得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰长度为AD ＝2. 所以面积为S ＝2＋32×2＝5.归纳总结：由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴，y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可【练习3】如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．梯形【答案】C解析：将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示，由题意知O′D′＝2O′C′＝2 2 cm，OD＝2O′D′＝4 2 cm，C′D′＝O′C′＝2 cm，∠CD＝2 cm，OC＝CD2＋OD2＝6 cm，又OA＝O′A′＝6 cm，∠OA＝OC，∠原图形为菱形.课后作业A组基础题一、选择题1．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么△ABC是一个()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边互不相等的三角形【答案】A[根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB＝BC＝AC＝2，故∠ABC为等边三角形，故选A．]2．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm【答案】C [由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm.]3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋22C ．2＋22D ．1＋2【答案】A [画出其相应平面图易求，故选A ．]4．(多选题)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是()A B C D【答案】CD[原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．]5．(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是() A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．90°的角的直观图会变为45°的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【答案】ACD[对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；C，D显然正确．]二、填空题6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．【答案】(4,2)[在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.]7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．【答案】2.5[由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]8．水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图如图所示，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．【答案】2[∠ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD．所以与BD的长相等的线段有2条．]三、解答题9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．[解](1)过点C作CE∠x轴，垂足为点E，如图∠所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图∠所示．①②③(2)如图∠所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝12OD；过点E′作E′C′∠y′轴，使E′C′＝12EC．(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图∠所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．10．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC．[解](1)画法：过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′.(2)在直角坐标系xOy中．在x轴上取两点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.连接OB，OC，BC即求出原∠ABC．B 组 能力提升一、选择题1.如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′和x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为( )A ．2B ．4C ．22D ．42【答案】D [设∠AOB 的边OB 上的高为h ，由题意，得S 原图形＝22S直观图，所以12OB ·h ＝22×12×2×O ′B ′.因为OB ＝O ′B ′，所以h ＝4 2.故选D ．]2．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm【答案】D [由题意可知其直观图如图，由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D ．]二、填空题3．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________． 【答案】72 [如图所示，作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′，作C ′D ′∠x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA ．所以S 正方形S 直观图＝OC ×OA O ′A ′×C ′D ′，又在Rt∠O ′D ′C ′中，O ′C ′＝2C ′D ′，即C ′D ′＝22O ′C ′，结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′，OC ＝2O ′C ′， 所以S 正方形S 直观图＝OC ×OA OA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2.又S 直观图＝182，所以S 正方形＝22×182＝72.]三、解答题4.如图是一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．[解] 四边形ABCD 的真实图形如图所示，因为A ′C ′在水平位置，A ′B ′C ′D ′为正方形， 所以∠D ′A ′C ′＝∠A ′C ′B ′＝45°，所以在原四边形ABCD 中，AD ∠AC ，AC ∠BC ，因为AD ＝2D ′A ′＝2，AC ＝A ′C ′＝2，所以S 四边形ABCD ＝AC ·AD ＝2 2.5．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图． [解] (1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，如图∠. (2)画底面．以O 为中心在xOy 平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD ．(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．连接P A、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图∠.①②。
立体图形的直观图 同步练习 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第八章立体几何初步8.2 立体图形的直观图1.(多选)关于用斜二测画法画直观图的说法不正确的是()A.在实物图中取坐标系不同,所得的直观图有可能不同B.平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C.平行于坐标轴的线段的长度在直观图中保持不变D.斜二测坐标系中,∠x'Oy'的大小只能是45°2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对于其中的线段说法错误的是()A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点3.一平面图形的直观图如下,则此平面图形可能是()A B C D4.根据斜二测画法的规则画几何体的直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O'x',O'y',O'z',则∠x'O'y'与∠x'O'z'的度数分别为()A.90°,90°B.45°,90°C.135°,90°D.45°或135°,90°5.用斜二测画法画出水平放置的等腰直角三角形的直观图.(1)直观图直角边横向放置;(2)直观图斜边横向放置.6.如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图,其中O'C'=O'A'=2O'B ',则△ABC是()A.钝角三角形B.等腰三角形,但不是直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形7.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x'O'y'平面上,则圆柱的高应画成()A.平行于z'轴且大小为10 cmB.平行于z'轴且大小为5 cmC.与z'轴成45°且大小为10 cmD.与z'轴成45°且大小为5 cm8.如图,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD用斜二测画法画出的直观图,若A1D1∥C1D1=2√2,A1D1=√2,则四边形ABCD的面积是()O'y',A1B1∥C1D1,A1B1=23A.20B.10C.5√2D.10√29.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论正确的是()A.梯形的直观图仍旧是梯形B.若△ABC的直观图是边长为2的等边三角形,则△ABC的面积为√6C.△ABC的直观图如图所示,A'B'在x'轴上,且A'B'=2,B'C'与x'轴垂直,且B'C'=√2,则△ABC的面积为4D.菱形的直观图可以是正方形10.水平放置的△ABC的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形A'B'C'.点O'是斜边B'C'的中点,且O'A'=2,则△ABC边BC上的高为.11.如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形的直观图,若C'A'=2,B'D'∥y'轴,且B'D'=1.5,画出原图形并求原平面图形△ABC的面积.12.如图所示,△A'B'C'是△ABC的直观图,其中A'C'∥y轴,A'B'∥x'轴,A'C'=A'B'=√7,那么△ABC的面积是()A.72B.7 C.7√2 D.7813.如图,一个水平放置的平面图形的直观图A'B'C'D'为矩形,其中A'D'=2A'B'=2,则原平面图形的周长为()A.3√2B.8C.14D.2+2√614.一个三角形的水平直观图在x'O'y'中是等腰三角形,底角为30°,腰长为2,如图,那么在它的原平面图形中,顶点B到x轴的距离是()A.1B.2C.√2D.2√215.(多选）对于用斜二测画法所得的直观图,以下说法错误的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形16.(多选)如图,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面四边形OABC 的直观图,则下列关于平面四边形OABC的说法正确的有()A.图形为矩形B.周长为8C.边OC的长度为2D.面积为2√217.已知三角形ABC用斜二测画法画出的直观图是面积为√3的正三角形A'B'C'(如图),则三角形ABC中边长与正三角形A'B'C'的边长相等的边上的高为.18.已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.参考答案8.2 立体图形的直观图1.答案：CD2.答案：B3.答案：C4.答案：D5.解析：(1)答案不唯一,如图①②.①②(2)答案不唯一,如图.6.答案：C7.答案：A8.答案：B9.答案：AC10.答案：4√211.解析：如图,△ABC 为△A'B'C'的原图形,∵C'A'=2,B'D'=1.5, ∴S △A'B'C'=12·A'C'·√22B'D'=3√24, ∴S △ABC =2√2S △A'B'C'=3.12.答案：B13.答案：C14.答案：D15.答案：ACD16.答案：BD17.答案：2√618.解析：(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.图①(2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段EF,使得EF=6,在y轴上取线段GH,使得GH=3,再过G,H分别作AB EF,CD EF,且使得AB的中点为G,CD的中点为H,连接AD,BC,这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.(3)画上底面.在z轴上截取线段OO1=4,过O1作O1x'∥Ox,O1y'∥Oy,使∠x'O1y'=45°,建立坐标系x'O1y',在x'O1y'中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图.(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1,擦去辅助线,得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②).图②。
人教版高中数学必修第二册8.2 立体图形的直观图 同步练习(含答案)
人教版高中数学必修第二册8.2立体图形的直观图同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误的是()A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B.几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高的比例相同C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形D.水平放置的三角形的直观图是三角形2.AB=2CD,AB∥x轴,CD∥y轴,已知在用斜二测画法画出的直观图中,AB的直观图是A'B',CD 的直观图是C'D',则()A.A'B'=2C'D'B.A'B'=C'D'C.A'B'=4C'D'D.A'B'=12C'D'3.如图L8-2-1所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的()图L8-2-1ABCD图L8-2-24.下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是()ABCD图L8-2-35.图L8-2-4是水平放置的三角形的直观图,点D'是B'C'的中点,A'B',B'C'分别与y'轴、x'轴平行,则在平面图中,三条线段AB,AD,AC中()图L8-2-4A.最长的是AB,最短的是ACB.最长的是AC,最短的是ABC.最长的是AB,最短的是ADD.最长的是AC,最短的是AD6.现有两个底面半径相等的圆锥,它们的底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5cm7.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图是一个边长为2cm的正方形,则原图的周长为()A.12cmB.16cmC.4(1+3)cmD.4(1+2)cm8.如图L8-2-5为一个水平放置的平面图形的直观图,它是底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则原平面图形为()图L8-2-5A.下底长为1+2的等腰梯形B.下底长为1+22的等腰梯形C.下底长为1+2的直角梯形D.下底长为1+22的直角梯形二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.在斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M',则点M'到x'轴的距离为.10.水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图如图L8-2-6所示,已知A'C'=8,B'C'=3,则原图中AB边上中线的长度为.图L8-2-611.正方形ABCD的边长为1,以相邻两边分别为x轴,y轴,并利用斜二测画法得到直观图A'B'C'D',则直观图的周长等于.12.如图L8-2-7所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A'B'C',则在直观图中,梯形O'A'B'C'的高为.图L8-2-7三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-2-8,在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A'B'C'D',其中对角线A'C'是水平方向.已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的实际图形,并求出其面积.图L8-2-814.(10分)如图L8-2-9所示,在平面直角坐标系中,各点坐标分别为O(0,0),A(1,3),B(3,1),C(4,6),D(2,5),试用斜二测画法画出四边形ABCD的直观图.图L8-2-915.(5分)用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图L8-2-10所示,其中B'O'=C'O'=1,ABC是一个()图L8-2-10A.等边三角形B.直角三角形C.三边互不相等的三角形D.钝角三角形16.(15分)泉州是一个历史文化名城,它的一些老建筑是中西建筑文化的融合,它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合,具有独特的建筑风格与空间特征.为延续泉州的建筑风格,在旧城改造中,计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”,并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋,该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体,请用斜二测画法画出其直观图(尺寸自定).参考答案与解析1.B[解析]对于A,用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形,故A中说法正确;对于B,已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半,平行于z轴的线段的平行性和长度都不变,故几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高的比例不相同,故B中说法错误;对于C,水平放置的矩形的直观图是平行四边形,故C中说法正确;对于D,水平放置的三角形的直观图是三角形,故D中说法正确.故选B.2.C[解析]∵AB∥x轴,CD∥y轴,∴AB=A'B',CD=2C'D',∴A'B'=AB=2CD=2×2C'D'=4C'D',故选C.3.C[解析]在x轴上或与x轴平行的线段在直观图中的长度不变,在y轴上或平行于y轴的线段在直观图中的长度变为原来的12,并注意到∠xOy=90°,∠x'O'y'=45°,因此由直观图还原成原图形为选项C.4.A[解析]由题意应看到正方体的上面、前面和右面,根据几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用,可知A正确.5.B[解析]△ABC的平面图如图所示,在图中,AB∥y轴,BC∥x轴,所以△ABC为直角三角形,故AC>AD>AB,故选B.6.D[解析]圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点之间的距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5cm.故选D.7.B[解析]原图为平行四边形,边长分别为2cm和22+(42)2=6(cm),周长为(2+6)×2=16(cm),故选B.8.C[解析]∵∠A'B'C'=45°,A'B'=1,∴B'C'=2A'B'cos45°+A'D'=1+2,∴原平面图形的下底长为1+2.由直观图可知,原平面图形为下底长为1+2的直角梯形,故选C.9.2[解析]过点M'作平行于y'轴的直线,交x'轴于点A'(图略),易知A'M'=2,∠M'A'x'=45°,故点M'到x'轴的距离为2×sin45°=2.10.5[解析]由斜二测画法的画图原则可知AC=A'C'=8,BC=2B'C'=6,∠BCA=90°,因此AB2=AC2+BC2=36+64=100,所以原图中AB边上中线的长度为12AB=5.11.3[解析]由题意可得A'D'=1,B'C'=1,A'B'=12,D'C'=12,则直观图A'B'C'D'的周长为1+1+1+1=3.12.[解析]作CD⊥OA,BE⊥OA,垂足分别为D,E(图略),则OD=EA= - 2=2,∴OD=CD=2,∴在直观图中C'D'=12×2=1,又∠C'D'A'=45°,∴13.解:四边形ABCD的真实图形如图所示.∵A'C'在水平位置,四边形A'B'C'D'是正方形,∴∠D'A'C'=∠A'C'B'=45°,∴在原四边形ABCD中,AD⊥AC,AC⊥BC,∵AD=2A'D'=2,AC=A'C'=2,∴S =AC·AD=22.四边形ABCD14.解:(1)如图①所示,分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为E,G,H,F,在图②中画出相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°;(2)在x'轴上截取O'E'=OE,作A'E'∥y'轴,截取E'A'=12EA,确定点A'.同理确定点B',C',D',其中B'G'=12BG,CH=12CH,D'F'=12DF;(3)顺次连接A',B',C',D',去掉辅助线,得到四边形ABCD的直观图,如图③所示.15.A[解析]由题中图形知,在原三角形ABC中,O为BC的中点,AO⊥BC.∵∴AO=3.∵B'O'=C'O'=1,∴BO=OC=1,则BC=2,AB=AC=2,∴△ABC为等边三角形.故选A.16.解:画法:(1)先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD,如图①;(2)以直棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画三棱柱的直观图ADE-BCF.可得组合体的直观图如图②.①②。
高中数学第八章立体几何初步-立体图形的直观图课件及答案
若一个平面多边形的面积为
S，其直观图的面积为
S′，则有
S′＝
2 4S
或 S＝2 2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积
求原图形面积．
【对点练清】
1．本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？ 解：由本例(1)中直观图可得 S△O′A′B′＝12×1×1＝12，
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．正等测画法 圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆，在画直观图时一般不用斜二测画法，而采 用正等测画法．正等测画法的规则是： (1)如图①，取互相垂直的直线 Ox，Oy 作为已知图形⊙O 所在平面内的直角 坐标系的 x 轴和 y 轴，画直观图时将它们画成对应的 x′轴和 y′轴，并使 ∠x′O′y′＝120°(或 60°)，x 轴和 y 轴所确定的平面表示水平面； (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴 或 y′轴的线段；
(2)如图所示，在原图形 OABC 中，应有 OA＝O′A′＝6 cm，OD＝2O′D′＝2×2 2＝4 2 cm，CD＝C′D′＝2 cm. 在 Rt△OCD 中，
∴OC＝ OD2＋CDຫໍສະໝຸດ ＝ 4 22＋22＝6(cm)， ∴OA＝OC.又 OA∥BC，OA＝BC， 故四边形 OABC 是菱形． ∴S 菱形 ABCO＝OA·OD＝6×4 2＝24 2(cm2)． ∴菱形 OABC 的面积为 24 2 cm2.
知识点 立体图形的直观图及其画法
(一)教材梳理填空 1．直观图：
直观图是观察者站在_某__一__点__观察一个空间几何体获得的图形．在立体几何 中，立体图形的直观图通常是在_平__行__投__影___下得到的平面图形．
8.2立体图形的直观图-同步练习(含解析)高中数学人教A版(2019)必修第二册
8.2 立体图形的直观图 同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示，梯形A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，2A D ''=，1A B B C ''''==，则平面图形ABCD 中对角线AC 的长度为（ ）ABCD ．52．如图，AOB的斜二测画法的直观图是腰长为y '轴经过A B ''的中点，则AB =（ ）A ．6B．C ．12D．3．如图正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中AB 的长度为（ ）AB ．2C．(21D ．34．如图，ABC '''是水平放置的ABC 在斜二测画法下的直观图．若2B C ''=，2A B ''=，30A B C ∠'''= ，则ABC 的面积为（）A ．2B ．C ．4D ．5．如图，一个水平放置的三角形ABO 的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若B A ''=B O ''=2， 那么原三角形ABO 的周长是（ ）A ．2B ．2+C ．4D ．86．某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）．A ．三棱柱B ．圆柱C ．三棱锥D ．圆锥7．如图所示，在直角坐标系中，已知(1,0)A ，(1,2)B -，(1,0)C -，(1,2)D -，则四边形ABCD 的直观图面积为（ ）A ．B ．C ．D 8．如图，△A B C '''是水平放置ABC 的直观图，其中1B C C A ''''==，A B ''//x '轴，A C ''//y '轴，则BC =（ ）A B ．2C D ．4二、多选题9．下面关于空间几何体叙述正确的是（ ）A ．若梯形ABCD 面积为212cm ，则其斜二测画法直观图面积为2B ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥C ．正四棱柱都是长方体D ．直角三角形以其边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥10．如图，已知等腰三角形ABC ，则如图所示的四个图形，可能是ABC 的直观图的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知一个正方形的直观图是如图所示的一个平行四边形，直观图中有一边长为4，则此正方形的面积可能是（ ）A ．16B ．64C ．8D ．3212．如图，A B C ''' 为水平放置的ABC 的直观图，其中2,A B A C B C ''''''===ABC 中有（ ）A ．<AC BCB ．2AB =C ．AC =D ．ABC S =△三、填空题13．一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O A B C ''''如图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 的周长为 .14．如图，正方形A B C D ''''是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形ABCD 的直观图，若O D ''=ABCD 周长与面积的数值之比为 ．15．已知水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形A B C D ''''，已知4,2A B B C ''''==，则四边形ABCD 的面积为 .16．如图，水平放置的△ABC 的斜二测画法的直观图是A B C ''' ，已知6A C ''=，4B C ''=，则AB 边的实际长度是 ，△ABC 的面积为 ．四、解答题17．（1）已知ABC 的直观图A B C ''' 是边长为a 的正三角形.求原三角形ABC 的面积；（2）如图，A B C ''' 是水平放置的ABC 斜二测画法的直观图，能否判断ABC 的形状；（3）若（2）中A B C ''' 的边A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是多少？18．如图所示，在ABC 中，8,BC cm BC =边上的高6AD cm =，试用斜二测画法画出其直观图．19．有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，45A B C ︒∠'=''，D C A D ''''⊥，1m A B A D ''''==，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？1.414≈，结果精确到1元)20．如图所示，O A B C ''''为四边形OABC 的斜二测直观图，其中3O A ''=，1O C ''=，1B C ''=．(1)画出四边形OABC 的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC 的面积；(2)若该四边形OABC 以OA 为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．21．（1）已知ABC 的直观图A B C ''' 是边长为a 的正三角形，求原ABC 的面积．（2）如图，A B C ''' 是水平放置的ABC 斜二测画法的直观图，试判断ABC 的形状．（3）若（2）中A B C ''' 的6A C ''=，4B C ''=，则ABC 中AB 的长度是多少？（4）若已知一个三角形的面积为S ，则它的直观图的面积是多少？参考答案：1．C【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD ，如图，由斜二测法则知22AB A B ''==，1BC B C ''==，所以AC ===故选：C ．2．D【分析】先将直角坐标系中的原图作出，再比对直观图与原图直接求出即可.【详解】由题意得AOB 的原图如图所示，其中D 为AB 的中点，且OA =26OD ==，，故2AB AD ==故选：D.3．D【分析】由斜二测画法作出原图，根据图形中线段的长度计算即可.【详解】在已知直观图中，''O B =在原图形中，''1AO O A ==，2''OB O B ==OA OB ⊥，3AB ==，故选：D.4．B【分析】先求出A B C S ''' ，再根据ABC A B C S '''= 求解即可.【详解】由已知得1122122A B C S '''=⨯⨯⨯= ，所以ABC A B C S '''== 故选：B.5．D【分析】根据直观图的作图法则，还原三角形，即可求解.【详解】因为B A ''=2''=B O ，由直观图可知，O A ''=，所以还原平面图形中，OA =2OB O B ''==，在Rt AOB △中，6AB =,则三角形ABO 的周长为268+=+.故选：D6．D【分析】由圆锥的三视图结合条件可得.【详解】由圆锥的三视图可知该几何体是底面半径为1.故选：D ．7．D【分析】根据给定条件，作出ABC 的直观图，再计算面积得解.【详解】依题意，四边形ABCD 是平行四边形，2,//AC BC BC Oy ==，如图，A B C ''' 是ABC 的直观图，12,1,//2A C ACBC BC B C O y ''''''''====，所以四边形ABCD 的直观图面积为122sin 452A B C S S A C B C '''''''==⨯⨯⨯= 故选：D8．C【分析】在△A B C '''中由余弦定理求得A B ''，结合斜二测画法求得AB ，再根据勾股定理即可求得BC .【详解】在△A B C '''，1B C C A ''''==，45B A C ∠'''=︒，由余弦定理可得：2222cos 45B C A C A B A C A B ''''''''''=+-⨯⨯︒，即2A B ''A B ''0=，而A B ''0>，解得A B ''=由斜二测画法可知：△ABC 中，AB AC ⊥，AB =A B ''=2AC =C A ''2=，故BC ===故选：C.9．AC【分析】根据斜二测画法的概念，空间几何体的概念判断各选项．【详解】如图，12AOB S OA OB =⋅ ，由斜二测画法， 直观图面积为1111sin sin 452222A O B AOB S O A O B xO y OA OB OA OB '''=⋅∠=⨯⨯︒='''''⋅'=' ，任何平面多边形都可能切割成图中类似的直角三角形，通过这些直角三角形面积的和得出平面图形的面积，即这个规律对平面上任何图形都适用．所以212cm S =时，)212cm S ='=，故A 正确；底面是正多边形的棱锥，顶点在底面上的射影不一定是底面中心，因此它不一定是正棱锥，故B 错误；正四棱柱的侧面都是长方形，底面是正方形，因此它是长方体，故C 正确；直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，若以斜边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是两个共底的圆锥组合而成，故D 错误．故选：AC ．10．CD【分析】分135x O y '''∠= 和45x O y '''∠= 两种情况说明.【详解】当135x O y '''∠= 时，其直观图是C ；当45x O y '''∠= 时，其直观图是D.故选：CD.11．AB【分析】根据边所在位置进行讨论，进一步计算即可.【详解】直观图中一条边长为4，此边可能在x '轴上，也可能在y '轴上.若在x '轴上，则原正方形的边长为4，面积为16；若在y '轴上，则原正方形的边长为8，面积为64.故选：AB .12．AD【分析】根据斜二测画法规则确定点,,A B C '''的位置，再作出ABC ，逐项计算判断即可.【详解】在直观图A B C ''' 中，2,A B A C B C ''''''===A B ''中点D ¢，连接C D ''，则C D A B ''''⊥，而45B O C '''∠= ，于是2O D C D ''''===，1,O A O C ''''==由斜二测画法规则作出ABC ，如图，则22,26OC O C OA O A OB O B ''''''======，4AB =，AC BC ====12ABC S OC AB =⋅= 显然<AC BC ，AD 正确，BC 错误.故选：AD13．8【分析】把直观图还原为平面图形，根据斜二测法求出相应的线段长，即可求出原平面四边形的周长.【详解】把直观图O A B C ''''还原为平面图形，如图所示，依题意1O A B C ''''==，O B ''==所以1OA BC ==，2OB O B ''==则3AB OC ===，所以原平面四边形OABC 的周长为()2138⨯+=.故答案为：814．/【分析】根据直观图还原为原图，结合长度关系可得答案.【详解】根据平面图形的直观图还原为平行四边形如图所示，所以OD =所以1AB A B A D O A OA ''''''=====，所以3AD ==，所以四边形ABCD 的周长为()2138⨯+=，四边形ABCD的面积为1⨯=所以四边形ABCD周长与面积的数值之比为8:=．故答案为：15．【分析】根据图形与其斜二测画法图形面积之间的关系S '=求解即可.【详解】由题意，428S A B B C '''''=⋅=⨯=，由原图形面积与斜二测画法图形面积之间的关系S '=，可得8S ===故答案为：16． 10 24【分析】将直观图还原后可求AB 边的实际长度及△ABC 的面积.【详解】根据斜二测画法可得平直角坐标系中的△ABC （如图所示）.其中6AC =，8BC =，且△ABC 为直角三角形，故10AB =，面积为168242⨯⨯=，故答案为：10,24.17．（12（2）能（3）10【分析】首先分析题意，利用面积公式求出原图形面积，再用斜二测画法进行求解.【详解】（1）∵直观图的面积S 直原，S 直2，∴S 原2，即原三角形ABC 2.（2）由斜二测画法规则知90ACB ∠︒＝，故ABC 为直角三角形.（3）由已知得在直角ABC 中，628AC A C BC B C ''''＝＝，＝＝，故10AB ==.18．作图见解析【分析】根据斜二测画法的定义和步骤即可求解.【详解】（1）在ABC 中建立如图①所示的平面直角坐标系xOy ，再建立如图②所示的坐标系x O y '''，使45x O y '''︒∠=.(2)在坐标系x O y '''中，在x '轴上截取,O B OB O C OC ''''==；在y '轴上截取O A ''，使12O A OA ''=.(3)连接,A B C A ''''，擦去辅助线，得到A B C ''' ，即为ABC 的直观图(如图③所示).19．812元【分析】在直观图中，过点A '作A E B C '''⊥，垂足为E ，先求出直观图的面积，再利用:S S =原观图直观图，求出原图形的面积，即可求得答案.【详解】在直观图中，过点A '作A E B C '''⊥，垂足为E ，如下图：则在Rt A B E ''△中，1m A B ''=，45A B E ︒''∠=，所以A E B E ''==，又四边形A EC D '''为矩形，1m A D ''=，所以1m EC '=，则1)m B C B E EC ''''=+=，由此可得2111()(11224S A D B C A E '''''=+⋅=⨯++=直观图，又:S S =原观图直观图，所以22m S ⎛= ⎝原观图，故这块菜地所产生的总经济效益是300(2812⨯≈ (元).20．(1)作图见解析，4；(2)20π3，(8π+．【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出OABC 的边长，即可求出四边形OABC 的面积.（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解.【详解】（1）在直观图中3O A ''=，1O C ''=，1B C ''=，则在平面图形中3OA =，22OC O C ''==，1BC B C ''==，于是AB =，所以平面四边形OABC 的平面图形如下图所示：由上图可知，平面四边形OABC 为直角梯形，所以面积为()13242+⨯=．（2）直角梯形OABC 以OA 为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，由（1）可知几何体底面圆半径为2r =，圆柱母线长和高都为1，即111h l ==；圆锥的高为22h =，母线长为2l =所以体积22121820ππ4πππ333V V V r h r h =+=+=+=柱锥；所以表面积212π2ππ4π4π(8πS r rl rl =++=++=+.21．（12；（2）ABC 为直角三角形；（3）10；（4【分析】（1）根据直观图求出原ABC 面积的表达式即可得出结果；（2）由直观图可知90ACB ∠= ，即ABC 为直角三角形；（3）由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果；（4）利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果.【详解】（1）由直观图与原图之间的关系可得212sin 602sin 45ABC a S a =⋅= ．（2）由斜二测画法规则知90ACB ∠= ，故原ABC 为直角三角形．（3）由已知可得在ABC 中，6AC =，8BC =，故10AB =．（4）原三角形面积为12S ah =（a 为三角形的底，h 为三角形a 边上的高），画直观图后，a a '=，1sin 452h h '== ，111222S a h a ah '''====．。
人教版高中数学必修第二册8.2.2立体图形的直观图(2) 同步练习(含答案)
人教版高中数学必修第二册8.2.2立体图形的直观图（2）同步练习一、基础达标1、关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）①原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度不变；②原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度变为原来的12；③画与直角坐标系xOy 对应的x O y '''时，x O y '''∠必须是45；④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．2.如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A’O’和x ′轴垂直，且A’O’＝2，则△AOB 的边OB 上的高为()A ．2B ．4C ．22D ．423．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A ．2cmB ．3cmC ．2.5cmD ．5cm5、（2019·遵义航天高级中学高二月考（理））已知正ABC 的边长为a ，建立如图1所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是（）A．262a B．264a C．268a D．2616a 二、能力提升1、如图是四边形ABCD 的水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′，则原四边形ABCD 的面积是()A ．14B ．102C ．28D ．1422、已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为()A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 23、画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．4、有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3cm，高为3cm，画出这个正六棱锥的直观图．5、(1)如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；(2)在(1)中若|C′A′|＝2，B′D′∥y′轴且|B′D′|＝1.5，求原平面图形△ABC的面积．参考答案与详细解析一、基础达标1、关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）①原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度不变；②原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度变为原来的12；③画与直角坐标系xOy 对应的x O y '''时，x O y '''∠必须是45；④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．【解析】原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度不变；故①正确；原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度变为原来的12；故②正确；画与直角坐标系xOy 对应的坐标系x O y '''时，x O y '''∠也可以是135︒.故③错误；在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；故④正确.故答案为③2.如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A’O’和x ′轴垂直，且A’O’＝2，则△AOB 的边OB 上的高为()A ．2B ．4C ．22D ．42答案D 解析由直观图与原图形中边OB 长度不变，得S 原图形＝22S 直观图，即12·OB ·h ＝22×12×2·O ′B ′，∵OB ＝O ′B ′，∴h ＝4 2.3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()答案A 解析在直观图中，其一条对角线在y ′轴上且长度为2，所以在原图形中其中一条对角线必在y 轴上，且长度为22，所以A 正确．4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A ．2cmB ．3cmC ．2.5cmD ．5cm 答案D 解析两顶点间的距离为2＋3＝5(cm)，与z 轴平行(或在z 轴上)的线段在直观图中长度不变，仍为5cm.故选D.5、（2019·遵义航天高级中学高二月考（理））已知正ABC ∆的边长为a ，建立如图1所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是（）B．262a B．264a C．268a D．2616a 【解析】原图是等边三角形，面积为234a ，故直观图的面积为223264416a a ⨯=，故选D.二、能力提升1、如图是四边形ABCD 的水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′，则原四边形ABCD 的面积是()A ．14B ．102C ．28D ．142答案C解析∵A ′D ′∥y ′轴，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′≠C ′D ′，∴原图形是一个直角梯形．又A ′D ′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S ＝12×(2＋5)×8＝28.2、已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为()A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2[解析]如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ，所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.[答案]D3、画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解]画法：(1)画轴．画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.4、有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3cm，高为3cm，画出这个正六棱锥的直观图．解(1)先画出边长为3cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示．(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3cm，如图②所示．(3)连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示．(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．5、(1)如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；(2)在(1)中若|C′A′|＝2，B′D′∥y′轴且|B′D′|＝1.5，求原平面图形△ABC 的面积．[解](1)画法：①画直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′.②在题图中，过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于D ′，在x 轴上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，并使DB ＝2D ′B ′.③连接AB ，BC ，则△ABC 即为△A ′B ′C ′原来的图形，如图．(2)∵B ′D ′∥y ′，∴BD ⊥AC .又|B ′D ′|＝1.5且|A ′C ′|＝2，∴|BD |＝3，|AC |＝2.∴S △ABC ＝12·|BD |·|AC |＝3.解设原图形的高为h ，则直观图的高为24h .又平行于x 轴的线段长度不变，∴S ′＝24S .。
人教A版(新教材)必修第二册 8.2 立体图形的直观图 学案(含答案)
人教A版（新教材）必修第二册 8.2 立体图形的直观图学案（含答案）8.2立体图形的直观图1.多选用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点答案ACD2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是答案C解析根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.3.已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图ABC的面积为A.34a2B.38a2C.68a2D.616a2答案D解析建立如图所示的平面直角坐标系xOy.如图所示，建立坐标系xOy，使xOy45，由直观图画法，知ABABa，OC12OC34a.过点C作CDOx于点D，则CD22OC68a.所以ABC的面积是S12ABCD12a68a616a2.4.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B.平行四边形的直观图仍是平行四边形C.两条相交直线的直观图可能是平行直线D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直答案B5.水平放置的ABC的直观图如图所示，其中BOCO1，AO32，那么原ABC是一个A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形答案A解析由ABC的直观图，知在原ABC中，AOBC.AO32，AO3.BOCO1，BC2，ABAC2，ABC为等边三角形.6.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M4,4在直观图中的对应点是M，则点M的坐标为________.答案4,2解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M的坐标为4,2.7.如图，是用斜二测画法画出的AOB的直观图，则AOB的面积是________.答案16解析由图可知OB4，则对应AOB中，OB4.又和y轴平行的线段的长度为4，则对应AOB边OB上的高为8.所以AOB的面积为124816.8.如图，平行四边形OPQR是四边形OPQR的直观图，若OP3，OR1，则原四边形OPQR的周长为________.答案10解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP3，OR2，所以原四边形OPQR的周长为23210.9.用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形如图的直观图.解1如图所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.2画对应的x轴.y轴，使xOy45.在x 轴上截取OBOC2cm，在y轴上截取OA12OA.连接AB，AC，则ABC即为正ABC的直观图，如图所示.10.一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高两底面圆心连线的长度为4cm，圆锥的高顶点与底面圆心连线的长度为3cm，画出此几何体的直观图.解1画轴.如图所示，画x轴.z 轴，使xOz90.2画圆柱的下底面.在x轴上取A，B两点，使AB3cm，且OAOB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A，B两点，使它为圆柱的下底面.3在Oz上截取OO4cm，过点O作平行于Ox轴的Ox轴，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面.4画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO3cm.5成图.连接AA，BB，PA，PB，整理去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线得到此几何体的直观图，如图所示.11.如图所示，AOB表示水平放置的AOB的直观图，B在x轴上，AO与x轴垂直，且AO2，则AOB的边OB上的高为A.2B.4C.22D.42答案D解析设AOB的边OB上的高为h，因为S原图形22S直观图，所以12OBh22122OB.又OBOB，所以h42.12.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为2,2，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离为______.答案22解析画出直观图，则B到x轴的距离为2212OA24OA22.13.如图，正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________.答案8cm解析由题意知正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB2cm，对应原图形平行四边形OABC的高OB2OB22cm，如图所示.所以原图形中，OABC1cm，ABOC222123cm，故原图形的周长为2138cm.14.如图所示，四边形ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，四边形ABCD是一直角梯形，ABCD，ADCD，且BC与y 轴平行，若AB6，DC4，AD2，则这个平面图形的实际面积是________.答案202解析由题意知，S梯形ABCD12ABCDAD10，故这个平面图形的实际面积S42S梯形ABCD202.15.如图所示，ABC表示水平放置的ABC用斜二测画法得到的直观图，AB在x轴上，BC与x轴垂直，且BC3，则ABC的边AB上的高为________.答案62解析如图所示，过C作CDy轴，交x轴于点D，则CDB45，BC与x轴垂直，且BC3，CD32.根据斜二测画法知ABC的边AB上的高等于2CD62.16.用斜二测画法得到一水平放置的直角三角形ABC如图所示，其中AC1，ABC30，试求原三角形ABC边BC上的高及ABC的面积.解如图所示，作ADBC于点D，在BD上取一点E，使DEAD.由AC1可知，BC2，AB3，AD32，AE62.由斜二测画法知，BCBC2，AE2AE6.所以SABC12BCAE12266.。
高中数学必修二 8 2 立体图形的直观图 练习新(含答案)
8.2 立体图形的直观图（用时45分钟）【选题明细表】基础巩固1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为()A．90°，90°B．45°，90°C．135°，90° D．45°或135°，90°【答案】D【解析】选D根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成()A．平行于z′轴且大小为10 cmB．平行于z′轴且大小为5 cmC．与z′轴成45°且大小为10 cmD．与z′轴成45°且大小为5 cm【答案】A【解析】选A平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的()【答案】C【解析】选C正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项．4．如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC【答案】C【解析】选C因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC 是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形【答案】C【解析】选C将△A′B′C′还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形．6．水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．【答案】2【解析】由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′B′C′sin 45°＝2×22＝ 2.＝2，∠B′C′E＝45°，所以B′E＝7．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．【答案】362【解析】在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝32，所以原平面图形为一边长为6，高为62的平行四边形，所以其面积为S＝6×62＝36 2.8．画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.【答案】见解析【解析】(1)建系:先画x 轴､y 轴､z 轴,其交点为O ,使45xOy ∠=︒,90xOz ∠=︒. (2)画底面.以O 为中心,在xOy 平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD ,如图.(3)画顶点.在Oz 上截取OP ,使OP AB =.(4)成图.连接P A ,PB ,PC ,PD ,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图.能力提升9．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m ，四棱锥的高为8 m ．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm 【答案】C【解析】选C 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.10．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．【答案】52【解析】将直观图△A ′B ′C ′复原，其平面图形为Rt △ABC ，且AC ＝3，BC ＝4，故斜边AB ＝5，所以AB 边上的中线长为52.11.如图所示，△ABC 中，AC ＝12 cm ，边AC 上的高BD ＝12 cm ，求其水平放置的直观图的面积．【答案】182(cm 2)【解析】解法一：画x ′轴，y ′轴，两轴交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，作△ABC 的直观图如图所示，则A ′C ′＝AC ＝12 cm ，B ′D ′＝12BD ＝6 cm ，故△A ′B ′C ′的高为22B ′D ′＝3 2 cm ，所以 S △A ′B ′C ′＝12×12×32＝182(cm 2)，即水平放置的直观图的面积为18 2 cm 2.解法二：△ABC 的面积为12AC ·BD ＝12×12×12＝72(cm 2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC 的水平放置的直观图的面积是24×72＝182(cm 2)． 素养达成12．画出一个上､下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图. 【答案】见解析【解析】(1)画轴.如图①,画x 轴､y 轴､z 轴相交于点O ,使45xOy ︒∠=,∠xOz =90°.(2)画下底面以O 为线段中点,在x 轴上取线段AB ,使2AB =,在y 轴上取线段OC ,使32OC =.连接,BC CA ,则ABC 为正三棱台的下底面的直观图.(3)画上底面在z 轴上取OO ',使2OO '=,过点O '作//O x Ox '',//O y Oy '',建立坐标系x O y '''.在x O y '''中,类似步骤(2)的画法得上底面的直观图A B C '''.(4)连线成图连接AA ',BB ',CC ',去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台ABC A B C '''-即为要求画的正三棱台的直观图(如图②所示).。
人教版高中数学必修第二册8.2 立体图形的直观图 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册8.2立体图形的直观图同步精练【考点梳理】考点一水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤考点二空间几何体直观图的画法立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z 轴，直观图中与之对应的是z ′轴.(2)画底面：平面x ′O ′y ′表示水平平面，平面y ′O ′z ′和x ′O ′z ′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.【题型归纳】题型一：斜二测画法辨析1．（2021·广东·仲元中学高一期中）如图所示，A B C '''V 是ABC 的直观图，其中A C A B ''''=，那么ABC 是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形2．（2021·安徽合肥·高一期末）以下说法正确的有个（）①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形A．1B．2C．3D．43．（2021·山西临汾·高一期末）利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是菱形；④水平放置的菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（）A．①②B．②③C．①②③D．②④题型二：平面图形的直观图的画法A B C的直观图，4．（2022·内蒙古·呼和浩特市教学研究室高一期末）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形111则正确的图形是（）A．B．C ．D ．5．（2021·浙江·高一单元测试）下面每个选项的2个边长为1的正△ABC 的直观图不是全等三角形的一组是（）A ．B ．C ．D ．6．（2022·全国·高一）如图，已知点()1,1A -，()1,3B ，()3,1C ,用斜二测画法作出该水平放置的四边形ABCO 的直观图，并求出面积.题型三：空间几何体的直观图7．（2021·全国·高一课时练习）用斜二测画法画棱长为2cm 的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的直观图．8．（2022·湖南·高一课时练习）画出下列图形的直观图：(1)棱长为4cm 的正方体；(2)底面半径为2cm ，高为4cm 的圆锥．9．（2022·湖南·高一课时练习）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm ）．题型四：直观图的还原与计算10．（2021·全国·高一课时练习）如图，A B C '''是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D '是B C ''的中点，且//A D y '''轴，//B C x '''轴，2A D ''=，2B C ''=，那么（）A ．AD 的长度大于AC 的长度B ．BC 的长度等于AD 的长度C ．ABC 的面积为1D ．A B C '''的面积为211．（2020·全国·高一课时练习）如图，菱形ABCD 的一边长为2，45A ∠=︒，且它是一个水平放置的四边形利用斜二测画法得到的直观图，请画出这个四边形的原图形，并求出原图形的面积.12．（2020·全国·高一课时练习）如图所示,梯形1111D C B A 是平面图形ABCD 的直观图.若11//A D O y '',1111//A B C D ,1111223A B C D ==,1111A D O D '==.如何利用斜二测画法的规则画出原四边形?【双基达标】一、单选题13．（2021·全国·高一课时练习）长方形的直观图可能为下图中的哪一个()A ．①②B ．①②③C ．②⑤D ．③④⑤14．（2021·陕西师大附中高一阶段练习）对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是（）A ．原来平行的边仍然平行B ．原来垂直的边仍然垂直C ．原来是三角形仍然是三角形D ．原来是平行四边形的可能是矩形15．（2021·全国·高一课时练习）如图所示是水平放置的三角形的直观图，D '是A B C '''V 中B C ''边的中点，且A D ''平行于y '轴，那么,,A B A D A C ''''''三条线段对应原图形中的线段,,AB AD AC 中（）A ．最长的是AB ，最短的是ACB ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AD ，最短的是AC16．（2021·全国·高一课时练习）已知一个△ABC 利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中B ′O ′=2，O ′C ′=5，O ′A ′=3，则原△ABC 的面积为（）A ．21B ．212C ．2122D ．212417．（2021·全国·高一课时练习）若水平放置的四边形AOBC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中//A C O B ''''，A C B C ''''⊥，1A C ''=，2B C ''=，2O B ''=，则原四边形AOBC 的面积为（）A ．12B ．6C ．32D ．32218．（2021·全国·高一课时练习）一个菱形的边长为4cm ，一个内角为60︒，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（）.A ．283cm B ．243cm C ．226cm D ．26cm 【高分突破】一：单选题19．（2021·北京顺义·高一期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，有下列结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.其中，正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④20．（2021·湖南长沙·高一期末）水平放置的ABC 的直观图如图，其中B 'O '=C 'O '=1，A 'O '=32，那么原△ABC 是一个（）三角形．A ．等边B ．三边互不相等的C ．三边中只有两边相等的等腰D ．直角21．（2021·安徽省涡阳第一中学高一阶段练习）如图，A B C '''V 是水平放置的ABC 的直观图，其中A B ''，A C ''所在直线分别与x '轴，y '轴平行，且A B A C =''''，那么ABC 是（）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形22．（2021·浙江温州·高一期中）如图所示，正方形''''O A B C 的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A ．16cmB ．82cmC ．8cmD ．443+cm23．（2021·湖南·武冈市第二中学高一阶段练习）如图，平行四边形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中5O A ''=，2O C ''=，30A O C '''∠=︒，则原图形的面积是（）A ．4B ．42C ．102D ．624．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）如图所示，梯形A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，22A D B C ''''==，1A B ''=，则平面图形ABCD 的面积为（）A ．32B ．2C ．22D ．325．（2021·广东东莞·高一期末）如图是水平放置的△ABO 的斜二测直观图△A B O '''，D ¢是O B ''的中点，则△ABO 中长度最长的线段为（）A ．OAB ．OBC ．AD D ．AB26．（2021·山东聊城·高一期末）如图，A B C '''V 是ABC 用斜二测画法画出的直观图，则ABC 的周长为（）A ．12B ．()225+C ．()412+D ．()2225++二、多选题27．（2021·江苏·扬州大学附属中学东部分校高一期中）利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（）A ．三角形的直观图是三角形B ．正方形的直观图是正方形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形28．（2021·浙江丽水·高一期中）如图，'''A B C 表示水平放置的ABC 根据斜二测画法得到的直观图，''A B 在'x 轴上，''B C 与'x 轴垂直，且''2B C =，则下列说法正确的是（）A ．ABC 的边AB 上的高为2B ．ABC 的边AB 上的高为4C ．AC BC >D ．AC BC<29．（2021·全国·高一课时练习）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形不可能是选项中的（）A ．B ．C ．D ．30．（2021·浙江·高一期末）如图，A B C '''是水平放置的ABC 的直观图，2,5A B A C B C ''=''=''=，则在原平面图形ABC 中，有（）A ．AC BC=B ．2AB =C ．25AC =D ．42ABC S =△三、填空题31．（2022·湖南·高一课时练习）如图所示，一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为______.32．（2022·陕西西安·高一阶段练习）如图，矩形O A B C ''''是平面图形OABC 斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为8，则平面图形OABC 的面积为___________.33．（2021·全国·高一课时练习）如图，△A'O'B'表示水平放置的△AOB 的直观图，B'在x'轴上，A'O'和x'轴垂直，且A'O'=2，则△AOB 的边OB 上的高为____34．（2021·全国·高一）如图，四边形ABCD 是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，//AB CD ，AD CD ⊥，且BC 与y 轴平行，若6AB =，4CD =，22BC =，则原平面图形的实际面积是________.35．（2021·浙江温州·高一期末）如图，已知梯形''''A B C D 是水平放置的四边形ABCD 斜二测画法的直观图，梯形''''A B C D 的面积为3，'''45D A B ∠=︒，则原四边形ABCD 的面积为__________.四、解答题36．（2022·湖南·高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：(1)边长为3cm 的正三角形；(2)边长为4cm 的正方形；(3)边长为2cm 的正八边形．37．（2022·全国·高一）用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.38．（2021·全国·高一课时练习）如图，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中6,3,//O A O C B C x =='''''''轴，求原平面图形的面积．39．（2022·全国·高一）如图所示，梯形1111D C B A 是一平面图形ABCD 的直观图．若11A D O x ''⊥，1111//A B C D ，1111223A B C D ==，1111A D O D '==．试画出原四边形．40．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD 是一个梯形，//,1CD AB CD AO ==，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点（1）画出梯形ABCD 水平放置的直观图（2）求这个直观图的面积.【答案详解】1．B【详解】根据题意，,2AB AC AC AB ⊥=，所以ABC 是直角三角形.故选：B.2．B【详解】由斜二测画法可得：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是平行四边形，④菱形的直观图是平行四边形，综上可得，说法正确的是①②.故选：B.3．A【详解】对于①，由斜二测画法规则知，水平放置的三角形的直观图还是三角形，①正确；对于②，根据平行性不变知，平行四边形的直观图是平行四边形，②正确；对于③，由平行于一轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半知，正方形的直观图不是菱形，③错误；对于④，因为45x O y '''∠=︒，所得直观图的对角线不垂直，所以直观图不可能为菱形，④错误.故选：A4．A【解析】【分析】由斜二侧画法的规则分析判断即可【详解】先作出一个正三角形111A B C ，然后以11B C 所在直线为x 轴，以11B C 边上的高所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，画对应的'',x y 轴，使夹角为45 ，画直观图时与x 轴平行的直线的线段长度保持不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，故选：A5．C【解析】【分析】根据两个三角形在斜二测画法下所得的直观图，底边与底边上的高是否改变，判断即可．【详解】对于A 、B 、D 选项，两个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB 不变，底边上的高变为原来的12，如图：选项A ：选项B：选项D：所以两个图形的直观图全等；对于C中，第一个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB不变，底边上的高变为原来的12，第二个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB变为原来的12，底边上的高OC不变，如图：所以这两个图形的直观图不全等．故选：C．6．图见解析，322【解析】【分析】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算.【详解】由斜二测画法可知，在直观图中，21A O '=，21O B '=，23C O '=，222B C =，2112A A =，2132B B =，2112C C =，121212A A B B C C ∥∥，1212245A A O B B C '∠=∠=︒，所以122112211221111 A A B B C C B B A A O O C C A B C O S S S S S '''=+--△△()()121222121222122122sin 45sin 45sin 45sin 452222A AB B A BC C B B C B A A A O C C C O +⋅⋅︒+⋅⋅︒''⋅⋅︒⋅⋅︒=+--1321321212221332222222222222222⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--=.7．见解析【解析】【分析】分三步进行：一、建立坐标系；二、利用斜二测画法作出下底面的直观图；三、从下底面各顶点处作长度与棱长相等且平行于z 的线段，连接各顶点即可.【详解】画法：（1）画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°．（2）画底面．以点O 为中心，在x 轴上取线段MN ，使OM ＝ON ＝1cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝1cm ．分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A 、B 、C 、D ，四边形ABCD 就是正方体的底面ABCD ．（3）画侧棱．过A 、B 、C 、D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm 长的线段AA ′、BB ′、CC ′、DD ′．（4）成图．顺次连接A ′、B ′、C ′、D ′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到正方体的直观图（如图②）．【点睛】利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与与'x 轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与'y 轴平行且长度减半.8．(1)画法见解析，；(2)画法见解析，【解析】【分析】根据要求用斜二测法画出符合要求的直观图(1)如下图所示，按如下步骤完成：第一步：作水平放置的正方形ABCD 的直观图，使得AB =4cm ，BC =2cm ，且∠DAB =45°，取平行四边形ABCD 的中心O ，作x 轴∥AB ，y 轴∥BD ，第二步：过点O 作∠xOz =90°，过点A 、B 、C 、D 分别作1111,,,AA BB CC DD 等于4cm ，顺次连接1111D C B A ，第三步：去掉图中的辅助线，就得到棱长为4的正方体的直观图.(2)如下图所示，按如下步骤完成：第一步：作水平放置的圆的直观图O '，使4A B ''=cm ，2D C ''=cm.第二步：过O '作z '轴，使90x O z '''∠=︒，在z '上取点V '，使O 'V '=4cm ，连接A V ''，B V ''.第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图.9．详见解析【解析】【分析】利用斜二测画法求解.【详解】如图所示：10．D【解析】【分析】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形，即可判断.【详解】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，据此分析选项：对于A ，AD BC ⊥，则有AC AD >，A 错误；对于B ，2BC B C =''=，24AD A D =''=，B 错误；对于C ，ABC 的面积142S BC AD =⨯⨯=，C 错误；对于D ，A B C '''的面积224S S '==，D 正确.故选：D ．11．图形见解析，8【解析】在菱形ABCD 中，分别以AB ，AD 所在的直线为x '轴､y '轴建立坐标系x O y '''，根据斜二测画法的性质得到原图形，再计算面积得到答案.【详解】①画轴.在菱形ABCD 中，分别以AB ，AD 所在的直线为x '轴､y '轴建立坐标系x O y '''(A 与O '重合)，如图1，另建立平面直角坐标系xOy ，如图2.②取点.在坐标系xOy 中，分别在x 轴y 轴上取点B '，D ¢，使A B AB ''=（A '与O 重合），2A D AD ''=.过点D ¢作//D C x ''轴，且D C DC ''=.③成图.连接B C ''，得到的矩形A B C D ''''即为这个四边形的原图形.原图形的面积248S =⨯=.【点睛】本题考查了斜二测画法，意在考查学生对于斜二测画法的理解和掌握.12．见解析【解析】【分析】根据斜二测画法前后的边与角的关系画图即可.【详解】如图,建立直角坐标系xOy ,在x 轴上截取11OD O D '==,12OC O C '==.在过点D 的y 轴的平行线上截取1122DA D A ==.在过点A 的x 轴的平行线上截取112AB A B ==.连接BC ,即得到了原图形.【点睛】本题主要考查了根据直观图画原图像的方法,属于基础题型.13．C【解析】【分析】根据斜二测画法的定义即可求解.【详解】由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行四边形，且锐角为45°，故②⑤正确.故选：C.14．B【解析】【分析】根据斜二测画法的特点对四个选项逐一分析，即可得解【详解】由斜二侧画法可知，平行的线段仍然平行，三角形的直观图仍然是一个三角形，平行四边形的可能是矩形，原来垂直的直线不一定垂直．故选：B15．C【解析】【分析】利用斜二测画法还原图形，得到△ABC 为等腰三角形，即可判断出,,AB AD AC 的大小.【详解】由题中的直观图可知，//A D y '''轴，//B C x '''轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD ∥y 轴，BC ∥x 轴.又因为D 为BC 的中点，所以△ABC 为等腰三角形，且AD 为底边BC 上的高，则有AB =AC >AD 成立.故选：C16．A【解析】【分析】根据直观图的做法确定原△ABC 的顶点位置，由此求其面积.【详解】由已知B ′O ′=2，O ′C ′=5，O ′A ′=3，∴2BO =，5CO =,6OA =,且B ，C 在x 轴上，A 在y 轴上，O 为坐标原点，∴△ABC 的面积1212S BC OA =⨯⨯=,故选：A.17．B【解析】【分析】通过“斜二测画法”将直观图还原，即可求解【详解】解：由斜二测画法的直观图知，//A C O B ''''，A C B C ''''⊥，1A C ''=，2B C ''=，2O B ''=；所以原图形OACB 中，//AC OB ，OA OB ⊥，1AC =，2OB =，22224AO A O ''==⨯⨯=，所以梯形OACB 的面积为()112462S =+⨯=．故选：B ．18．C【解析】【分析】根据斜二测画法的规则，求出对角线的长度，根据图形，求直观图的面积.【详解】由条件可知，较长的对角线的长度是2244244cos12044cm +-⨯⨯⨯=，较短的对角线的长度是2244244cos604cm +-⨯⨯⨯=，根据斜二测画法的规则可知，43AC =，2BD =，菱形直观图的面积21243226cm 22S =⨯⨯⨯=故选：C19．A【解析】【分析】本题可根据斜二测画法的规则得出结果.【详解】由斜二测画法规则可知，相交关系不变，①正确；平行关系不变，②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；平行于y 轴的线段长减半，平行于x 轴的线段长不变，④错误，故选：A.20．A 【解析】【分析】根据直观图还原原图，再计算．【详解】解：由图形知，在原ABC 中，AO BC ⊥，32A O ''=3AO ∴=1B O C O ''=''=，2BC ∴=222AB AC AO OC ∴==+=ABC ∴为正三角形．故选：A ．21．D【解析】【分析】根据斜二测画法的原则，可得原图中AB AC ⊥，且2AC AB =即可判断ABC 的形状.【详解】因为A B C '''V 中，A B ''，A C ''所在直线分别与x '轴，y '轴平行，所以ABC 中AB ，AC 所在直线分别与分别与x 轴，y 轴平行，所以AB AC⊥因为A B A C =''''，所以2AC AB =，即AB AC ≠，所以ABC 是直角三角形，故选：D.22．A【解析】【分析】由直观图确定原图形中平行四边形中线段的长度与关系，然后计算可得．【详解】由斜二测画法，原图形是平行四边形，2OA O A ''==，又22O B ''=，242OB O B ''==，OB OA ⊥，所以222(42)6AB =+=，周长为2(26)16+=．故选：A ．23．C【解析】【分析】先求出平行四边形O A B C ''''面积，再根据斜二测画法的原图形面积与直观图面积比为22:1计算即可.【详解】在平行四边形O A B C ''''中，作C M O A '''⊥.在Rt C O M ''△中，sin 301C M O C '''=︒=.所以平行四边形O A B C ''''面积为1=515S O A C M '''⋅=⨯=.所以原图形面积为1=22=102S S .故选:C24．D【解析】【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形形状，结构得出面积．【详解】由三视图知原几何图形是直角梯形ABCD ，如图，2,2,1AB AD BC ===，面积为1(21)232S =⨯+⨯=．故选：D ．25．D【解析】【分析】根据斜二测法，判断△ABO 的形状，进而确定其最长线段.【详解】由斜二测直观图△A B O '''知：△ABO 是直角三角形且OA OB ⊥，∴斜边AB 是△ABO 中长度最长的线段.故选：D26．C【解析】【分析】作出ABC 的直观图，计算出该三角形三边边长，即可得解.【详解】作出ABC 的直观图如下图所示：由图可得222222AB BC ==+=，4AC =，因此，ABC 的周长为442+.故选：C.27．AD【解析】【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，逐项判定，即可求解.【详解】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半.对于A 中，三角形的直观图中，三角形的高于底边的夹角为45或135，长度减少为原来的一半，依然是三角形，所以A 正确；对于B 中，正方形的直角，在直观图中变为45或135，不是正方形，所以B 错误；对于C 中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为45，所以菱形的直观图不是菱形，所以C 错误；对于D 中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D 正确.故选：AD.28．BD【解析】【分析】过'C 作''C D ‖'y 轴，交'x 于'D ，即可求出相关量，画出原图，即可判断【详解】解：如图，'C 作''C D ‖'y 轴，交'x 于'D ，则可得'''45C D B ∠=︒，因为'''C B x ⊥轴，且''2B C =，所以''''2,2B D C D ==，则在原图中，CD AB ⊥，且4CD =，即ABC 边AB 上的高为4，因为点A 在BD 上，所以AC BC <，故选：BD29．ABD【解析】【分析】根据直观图，画出原图形，即可得出答案.【详解】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于'y 轴的边与底边垂直，原图形如图所示：即可判断不可能的为A ，B ，D.故选：ABD.30．BD【解析】【分析】将直观图A B C '''还原为原平面图形ABC 即可求解.【详解】解：在直观图A B C '''中，过C '作C D A B ''''⊥于D ¢2,5A B A C B C ''=''=''=，∴221,2A D C D A C A D ''''''''==-=，又45C O D '''∠=，所以2O D ''=，1O A ''=，22O C ''=，所以利用斜二测画法将直观图A B C '''还原为原平面图形ABC ，如图42,1,2OC OA AB ===，故选项B 正确；又222233,41AC OA OC AC OB OC =+==+=，故选项A 、C 错误；112424222ABC S AB OC =⨯⨯=⨯⨯=，故选项D 正确；故选：BD.31．22【解析】【分析】作出直观图，结合斜二测画法概率计算【详解】如图，1B C ''=，B '到x '轴的距离为21sin 452⨯︒=．故答案为：22．32．162【解析】【分析】根据直观图形和原图形面积之间的比例关系求解即可．【详解】根据直观图与原图的面积比值为定值24，可得平面图形OABC 的面积为816224=.故答案为：162.33．42【解析】【分析】利用直观图与原图的面积之比为定值求解即可.【详解】不妨设直观图和原图面积分别为1S ，2S ，△AOB 的边OB 上的高为h ，由直观图''||O B 与原图形中边||OB 长度相同，且2122S S =，A'O'和x'轴垂直，A'O'=2，故''11||222||22OB h O B =⨯⨯，从而42h =.故答案为：42.34．202【解析】【分析】根据实际图形与斜二测直观图的关系得原平面图形是直角梯形，再根据几何关系求解面积即可得答案.【详解】解：由斜二测直观图的作图规则知，原平面图形是直角梯形，且AB ，CD 的长度不变，仍为6和4，高42BC =，故所求面积1(46)422022S =⨯+⨯=.故答案为：20235．26【解析】【分析】根据题意和斜二侧画法可知四边形ABCD 为直角梯形，且90DAB ∠=︒，从而可求出原图形的面积【详解】解：设梯形''''A B C D 的高为h ，因为水平放置的平面图形的直观图''''A B C D 的面积为3，所以''''1()32C D A B h +=，因为梯形''''A B C D 中，'''45D A B ∠=︒，所以四边形ABCD 为直角梯形，且90DAB ∠=︒，'''',CD C D AB A B ==，''2AD A D =，''2A D h =，所以原四边形ABCD 的面积为''''''''1()21()222122()222326CD AB AD C D A B h C D A B h +⋅=+⋅=⨯+=⨯=故答案为：2636．(1)作图见解析(2)作图见解析(3)作图见解析【解析】【分析】（1）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；（2）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；（3）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图.(1)解：如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边的高线AO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，画对应的x '轴、y '轴，使45x O y '''∠=，在x '轴上截取 1.5cm O B O C OB OC ''''====，在y '轴上截取12O A OA ''=，连接A B ''、A C ''、B C ''，则A B C '''V 即为等边ABC 的直观图，如图③所示.(2)解：如图④所示，以AB 、AD 边所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如下图所示的平面直角画对应的x '轴、y '轴，使45x A y '''∠=，在x '轴上截取4cm A B AB ''==，在y '轴上截取12cm 2A D AD ''==，作//D C x '''轴，且4cm D C ''=，连接B C ''，则平行四边形A B C D ''''即为正方形ABCD 的直观图，如图⑥所示.(3)解：如图⑦所示，画正八边形OABCDEFG ，以点O 为坐标原点，OA 、OE 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，设点B 、G 在x 轴上的射影点分别为M 、N ，画对应的x '轴、y '轴，使45x O y '''∠=，在x '轴上截取2cm O A OA ''==，A M AM ''=，O N ON ''=，在y '轴上截取12O E OE ''=，作//E D x '''轴且2cm E D ''=，作//M B y '''轴，且12M B MB ''=，作//N G y '''轴，且12N G NG ''=，作//B C y '''轴，且1cm B C ''=，作//G F y '''轴，且1cm G F ''=，连接O A ''、A B ''、B C ''、C D ''、D E ''、E F ''、F G ''、G O ''，则八边形O A B C D E F G ''''''''为正八边形OABCDEFG 的直观图，如图⑨所示.37．详见解析【解析】【分析】利用斜二测画法即得.（1）如图所示，画出坐标系x O y '''，使45x O y '''∠=，在x '轴作线段1A O O B ''''==，过A '作//A C y '''轴，且112A C AC ''==，连接B C ''，则A B C '''V 即为ABC 的直观图；（2）如图所示，画出坐标系x O y '''，使45x O y '''∠=，在x '轴作线段2O B OB ''==，在y '轴作线段1122O A OA ''==，再作出点,C D ''，连接,,B C C D D A ''''''，即可得出该平面图形的直观图.38．362．【解析】【分析】计算平面直观图的面积，根据原图形与它的直观图面积比为22，计算即可．【详解】解：平面直观图是矩形O A B C ''''，且6O A ''=，3O C ''=，所以矩形O A B C ''''的面积为6318S '=⨯=，所以原平面图形的面积为22362S S ='=．故答案为：362．39．图见解析.【解析】【分析】根据斜二测画法可得在原图形中，11AB A B =，AB x ∕∕轴，CD 的位置不变，11,OD O D OC O C ''==，OB 的位置不变，12OB O B '=，画出图形即可.【详解】解：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取11OD O D '==，12OC O C '==，12O B '=，在y 轴上截取22OB =，再过点B 与x 轴平行的直线上截取112AB A B ==，连接BC ，AD ，便得到了原图形（如图）．40．（1）答案见解析；（2）328.【解析】【分析】（1）利用斜二测画法，画出梯形ABCD 的直观图；（2）过点D ¢作D E A B ''''⊥于点E '，利用梯形的面积公式求解.【详解】（1）在梯形ABCD 中，2,1AB OD ==，画出梯形ABCD 的直观图，如图中梯形A B C D ''''所示，（2）过点D ¢作D E A B ''''⊥于点E '.易得1122O D OD ''==，所以梯形A B C D ''''的高24D E ''=，所以梯形A B C D ''''的面积为()123212248⨯+⨯=，即梯形ABCD 水平放置的直观图的面积为328.。
8.2 立体图形的直观图(精讲)(解析版)
8.2 立体图形的直观图（精讲）考法一平面图形的直观图【例1-1】按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．【答案】参考答案见试题解析．【解析】画法：（1）在图（1）中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H．（2）在图（2）中画相应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°．（3）在图（2）中的x ′轴上取O ′B ′＝OB ，O ′G ′＝OG ，O ′C ′＝OC ，O ′H ′＝OH ，y ′轴上取O ′E ′＝OE ，分别过G ′和H ′作y ′轴的平行线，并在相应的平行线上取G ′A ′＝GA ，H ′D ′＝HD ．（4）连接A ′B ′，A ′E ′，E ′D ′，D ′C ′，并擦去辅助线G ′A ′，H ′D ′，x ′轴与y ′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE 的直观图A ′B ′C ′D ′E ′（如图（3））．【例1-2】．如图，四边形A B C D ''''是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.【答案】图像见解析，【解析】画出平面直角坐标系xOy ，使点A 与原点O 重合，在x 轴上取点C ，使AC =y 轴上取点D ，使2AD =，取AC 的中点E ，连接DE 并延长至点B ，使DE EB =，连接DC ，CB ，BA ，则四边形ABCD 为正方形''''A B C D 的原图形，如图所示.易知四边形ABCD为平行四边形.∵2AD=，AC=∴2ABCDS==【一隅三反】1．一个菱形的边长为4cm，一内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图。
【答案】见解析.【解析】菱形直观图如下：2．画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图.【答案】图见解析.【解析】由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A、C在对应点1(3,1),(0,)2A C''，而B、D对应点,B D''位置不变，如下图示：3．如图，A B C '''是水平放置的ABC ∆斜二测画法的直观图，6A C ''=，4B C ''=，能否判断ABC 的形状并求A B ''边的实际长度是多少？【答案】答案见解析【解析】根据斜二测画法规则知：90ACB ∠=，故ABC 为直角三角形，ABC 中，6AC =，8BC =，故10AB =.考法二 空间几何体的直观图【例2-1】用斜二测画法画一个棱长为3cm 的正方体的直观图. 【答案】见解析 【解析】如图所示：在空间直角坐标系中画出一个正方体的直观图， 擦除坐标轴，即可得到直方图的直观图.【例2-2】．用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图. 【答案】见解析 【解析】（1）如图，在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在直线为x 轴，AD 的垂直平分线MN 为y 轴，两轴相交于点O .在图中，画相应的x '轴与y '轴，两轴相交于点'O ，使'45x O y ''︒∠=；（2）根据斜二测画法法，画出正六边形ABCDEF 水平放置的直观图ABCDEF ； （3）画侧棱，过,,,,,A B C D E F 各点分别作z 轴的平行线，得到正六棱柱的侧棱；（4）成图，顺次连接,,,,,A B C D E F ''''''，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），【一隅三反】1．用斜二测画法画一个上底面边长为1cm ，下底面边长为2cm ，高（两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度）为2cm 的正四棱台. 【答案】见解析【解析】（1）画轴.如图（1）所示，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使45,90xOy xOz ︒︒∠=∠=.（2）画下底面.以点O 为中点，在x 轴上截取线段2cm MN =，在y 轴上截取线段1PQ cm =，分别过点,M N 作y 轴的平行线，过点,P Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为,,,A B C D ，四边形ABCD 就是正四棱台的下底面.（3）画高.在Oz 上截取2cm OO '=，过O '分别作平行于,Ox Oy 的直线',O x y O '''.（4）画上底面.在平面'x O y ''上用画正四棱台下底面的方法画出边长为1cm 的正四棱台的上底面的直观图A B C D ''''.（4）成图.顺次连接,,,AA BB CC DD ''''，整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线）得到正四棱台的直观图，如图（2）所示.2．用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧楼长为3cm的正三棱柱的直观图.【答案】见解析.【解析】正三棱柱直观图如图：3．画底面半径为1cm，母线长为3cm的圆柱的直观图。
课时作业21立体图形的直观图 高中数学2019人教A版必修第二册(解析版)
课时作业21 8.2 立体图形的直观图一、选择题1．下列结论正确的是（）A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．水平放置的三角形的直观图是三角形D．水平放置的菱形的直观图是菱形【答案】C【解析】对于A，相等的角在直观图中不一定相等，如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三角形，故错误；对于B，相等的线段在直观图中不一定相等，如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，故错误；对于C，三角形的直观图仍然是三角形，正确．对于D，菱形的直观图不一定是菱形，也可能是矩形，故错误．综上，正确的命题是C．2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x’轴平行或重合，其长度不变，与y轴平行或重合的线段与x’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A选项符合题意．3．如图，O A B'''是水平放置的OAB的直观图，则AOB的面积是（）A．6B．C．D．12【答案】D【解析】由直观图可知，OAB是一个直角三角形，两个直角边分别为4和6，所以AOB的面积为14612 2.4．（2020山东泰安一中高一期中）把ABC ∆按斜二测画法得到A B C '''∆（如图所示），其中1B O C O ''''==，A O ''=，那么ABC ∆是一个（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边互不相等的三角形【答案】A【解析】根据斜二侧画法还原A B C '''∆在直角坐标系的图形，如下图所示：由图易得2AB BC AC ===，故ABC ∆为等边三角形．5．用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C '''.已知点O '是斜边B C ''的中点，且1A O ，则ABC 的边BC 边上的高为（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】D 【解析】∵直观图是等腰直角三角形A B C '''，90,1B A CA O ，∴2A C ，根据直观图中平行于y 轴的长度变为原来的一半,∴△ABC 的边BC 上的高222AC A C .6．已知平面四边形ABCD ，按照斜二测画法（∠x 'O 'y '=45°）画出它的直观图A 'B 'C 'D '是为1的正方形（如图所示），则原平面四边形ABCD 的面积是（ ）A B C ． D ．【答案】C【解析】由题意得：直观图A B C D ''''的面积1S '=，设原图面积为S ，则4S S '= S ∴=. 7．（多选题）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,对其中的线段说法正确的是( )A ．原来相交的直线仍相交B ．原来垂直的直线仍垂直C ．原来平行的直线仍平行D ．原来共点的直线仍共点【答案】ACD【解析】根据斜二测画法知,原来垂直的直线未必垂直,原来相等的线段其直观图未必相等,因此B 错误,A ､C ､D 正确. 8.（多选题）（2020山东省泰安实验中学高一期中）如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D ′为B ′C ′的中点，且A ′D ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，那么在原平面图形ABC 中（ ）A ．AB 与AC 相等 B ．AD 的长度大于AC 的长度C ．AB 的长度大于AD 的长度 D ．BC 的长度大于AD 的长度【答案】AC【解析】根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先建立平面直角坐标系xoy ，//BC x 轴，并且BC B C ''=，点D 是BC 的中点，并且作//AD y 轴，即AD BC ⊥，且2AD A D ''=，连结,AB AC ，所以ABC 是等腰三角形，AB AC =,AB 的长度大于AD 的长度，由图可知BC B C ''=，2AD A D ''=，由图观察，12A D B C ''''>，所以2B C A D ''''<,即BC AD <.二、填空题9．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）①原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度不变；②原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度变为原来的12； ③画与直角坐标系xOy 对应的x O y '''时，x O y '''∠必须是45；④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．【答案】③ 【解析】原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度不变；故①正确；原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度变为原来的12；故②正确； 画与直角坐标系xOy 对应的坐标系x O y '''时，x O y '''∠也可以是135︒.故③错误；在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；故④正确.10．用斜二测画法画出的水平放置的一角为60°，边长是4的菱形的直观图的面积是______.【答案】【解析】菱形的面积为2244⨯=，∴其直观图的面积4⨯= 11．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分別为20m ，5m ，10m ，四棱锥的高为8m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为______.【答案】4cm ，0.5cm ，2cm ，1.6cm .【解析】由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高，应分别为4cm ，1cm ，2cm 和1.6cm ，再结合直观图，与x,z 轴平行的直线长度不变，与y 轴平行的直线长度为原图的12，则图形的尺寸应为4cm ，0.5cm ，2cm ，1.6cm. 12．（2020山东青岛三中高一）ABC 为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置《斜二测画法》的直观图的面积为______．其直观图的周长为______．【答案】42 【解析】如图所示ABC 为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置的直观图'''A B C 的面积为'''A B C S 12B C O A ''''=⋅⋅12⋅sin45°＝12×2×（12×2×sin60°）×sin45° 其直观图'''A B C 的周长为L A B B C C A ''''''=++12）+2+12）＝. 三、解答题13．如图所示，梯形ABCD 中，,4cm,2cm,30,3cm AB CD AB CD DAB AD ︒==∠==∥，试画出它的直观图.【解析】第一步：如图①所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ；如图②所示，画出对应的x '轴、y '轴，使45x O y '''∠=第二步：在图①中，过点D 作DE x ⊥轴，垂足为点E ；在图②中，在x '轴上取4A B AB cm ''==，2.598A E AE cm ''==≈ 过点E '作//E D y '''轴，使1130.75222E D ED cm ''==⨯= 再过点D 作//D C x '''轴，且使2D C DC cm ''==第三步：连接,A D B C ''''，并擦去x '轴与y '轴多余的部分及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A B C D ''''就是所求作的直观图.14．如图所示，梯形1111D C B A 是平面图形ABCD 的直观图.其中11111111111112//,//,2,13A D O y ABCD A B C D A D O D '''====.（1）如何利用斜二测画法的规则画出原四边形？（2）在问题（1）中，如何求出水平放置的平面图形与直观图的面积？【解析】（1）如图，建立平面直角坐标系xOy ，在x 轴上截取111,2OD O D OC O C ''====.在过点D 的y 轴的平行线上截取1122DA D A ==.在过点A 的x 轴的平行线上截取112AB A B ==.连接BC ， 即得到了原图形.（2）由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上，下底边长度分别为2,3AB CD ==，直角腰的长度2AD =，所以面积为23252S +=⨯=.1(23)2S '=⨯+= 15．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm ，高为4 cm ，圆锥的高为3 cm ，画出此几何体的直观图．【解析】画法如下(1)画轴．如图1所示，画x 轴、z 轴，使∠xOz ＝90°.(2)画圆柱的两底面.在x 轴上取A 、B 两点，使AB 的长度等于3 cm ，且OA ＝OB ．选择椭圆模板中适当的椭圆过A ，B 两点，使它为圆柱的下底面．在Oz 上截取点O′，使OO′＝4 cm ，过O′作Ox 的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．(3)画圆锥的顶点．在Oz 上截取点P ，使PO′等于圆锥的高3 cm.(4)成图．连接A′A ，B′B ，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．。
高中数学必修二 8 立体图形的直观图(精讲)(含答案)
8.2 立体图形的直观图(精讲)考点一 斜二测画法的理解【例1】(2021·陕西师大附中高一月考)对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是( )A ．原来平行的边仍然平行B ．原来垂直的边仍然垂直C ．原来是三角形仍然是三角形D ．原来是平行四边形的可能是矩形 【答案】B【解析】由斜二侧画法可知，平行的线段仍然平行，三角形的直观图仍然是一个三角形，平行四边形的可能是矩形，原来垂直的直线不一定垂直．故选：B 【一隅三反】1．(2021·全国·高一课时练习)根据斜二测画法的规则画直观图时，把,,Ox Oy Oz 轴画成对应的,,O x O y O z ''''''轴，则x O y '''∠与x O z ∠'''的度数分别为( ) A ．90，90 B ．45，90C ．135，90D ．45或135，90【答案】D【解析根据斜二测画法的规则，x O y '''∠的度数应为45或135，x O z ∠'''指的是画立体图形时的x '轴与z '轴的夹角，所以度数为90．故选：D ．2．(2021·全国·高一课时练习)下列关于直观图的斜二测画法的说法，不正确的是( ) A ．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变 B ．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ′轴，长度变为原来的12 C ．画与直角坐标系xOy 对应的x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′必须是45° D ．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 【答案】C【解析由直观图的画法规则，可知C中∠x′O′y′可以是45°或135°.故选：C.3．(2021·全国·高一课时练习)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是( )A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点【答案】B【解析根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B．4．(2021·全国·高一课时练习)用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是( )①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，如平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，变为，所以②错误；原来的12对于③，相等的角在直观图中不一定相等，如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45︒和135︒，所以③错误；对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；综上，正确的命题序号是①，共1个．故选：A．考法二平面图形的直观图【例2】(2021·全国·高一课时练习)如图，画出水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.【答案】作图见解析【解析如图①，在已知等腰梯形中以底边AB所在的直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设DC与y轴的交点为E，如图②，画x'轴和y'轴，使∠x'O'y'=45°，OE，过点E'作x'轴的平行线l，在l上在x'轴上取A'B'=AB，且使O'为A'B'的中点，在y'轴上取O'E'=12取点D'，C'，使得E'C'=EC，D'E'=DE，连接A'D'，B'C'，如图③，擦去辅助线，得到等腰梯形ABCD的直观图，如图④，.【一隅三反】1．(2021·全国·高一课时练习)长方形的直观图可能为下图中的哪一个( )A ．①②B ．①②③C ．②⑤D ．③④⑤【答案】C【解析由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行四边形，且锐角为45°，故②⑤正确.故选：C. 2．(2021·陕西师大附中高一月考)对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是( )A ．原来平行的边仍然平行B ．原来垂直的边仍然垂直C ．原来是三角形仍然是三角形D ．原来是平行四边形的可能是矩形 【答案】B【解析由斜二侧画法可知，平行的线段仍然平行，三角形的直观图仍然是一个三角形，平行四边形的可能是矩形，原来垂直的直线不一定垂直．故选：B3(2021·全国·高一课时练习)用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形(如图)的直观图.【答案】画法见解析.【解析】(1)如图，设O 为BC 的中点，以OC 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴，建设如图， 画相应的,x y ''轴，两轴交于点O '，使45x O y '''∠=︒.(2)取2,2O C OC cm O B OB cm ''''====，在y '轴上取A '，使12O A OA ''==(3)连接,A B A C ''''，去除辅助线，得到正三角形的直观图三角形A B C '''.考法三空间几何的直观图【例3】(2021·全国·高一课时练习)用斜二测画法画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．【答案】图见解析.【解析画法：(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使45xOy∠=︒(或135︒)，90xOz∠=︒，如图．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD．(3)画顶点．在Oz轴上取一点P．(4)成图，顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，即得四棱锥的直观图．【一隅三反】1．(2021·全国·高一课时练习)用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD A B C D''''-的直观图．【答案】图见解析.【解析画法步骤：(1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使45xOy ∠=︒，90xOz ∠=︒．(2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取段MN ，使4cm MN =；在y 轴上取线段PQ ，使3cm 2PQ =．分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD 的直观图．(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm 长的线段AA '，BB '，CC '，DD '．(4)成图．顺次连接A '，B '，C '，D ，并加以整理(去掉辅助线，将被挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．2．(2021·浙江·高一单元测试)一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm ，高为3 cm ，圆锥的高为3 cm ，画出此机器部件的直观图. 【答案】答案见解析【解析(1)如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画圆柱的两底面.在xOy 平面上画出底面圆O ，使直径为3cm ，在z 轴上截取OO ′，使OO ′＝3cm ，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面圆O ′，使其直径为3cm. (3)画圆锥的顶点.在z 轴上画出点P ，使PO ′等于圆锥的高3cm.(4)成图.连接A ′A ，B ′B ，PA ′，PB ′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.3．(2021·全国·高一课时练习)画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法. 【答案】答案见解析.【解析】(1)画轴：画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，45xOy ∠=(或135)，90xOz ∠=，如左图；(2)画底面：以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD ； (3)画顶点：在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高； (4)成图：顺次连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如下图.考法四 直观图的还原和计算【例4】(2021·四川·眉山市彭山区第一中学高二月考(文))若一个平面图形的直观图是边长为2的正方形，则该平面图形的面积为( )A B ．C ．D ．【答案】D∴平面图形的面积为22⨯=故选：D 【一隅三反】1．(2021·四川省峨眉第二中学校高二月考(理))水平放置的ABC 有一边在水平线上，它的斜二测直观图是边长为2的正A B C '''，则ABC 的面积是( )A B ．C ．D【答案】C【解析】由题意，122sin 23S π=⨯⨯⨯=直且S =直原故S ==原直 C2．(2021·陕西师大附中高一月考)若一个平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形(如图)，则原图的周长为( )A ．B ．16C ．4+D ．4+【答案】B【解析】由题意，平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形， 所以原图形是一个平行四边形，斜二测画法中平行于'x 轴的边长在原图中长度为2，斜二测画法中与'x 6=， 则原图形的周长为2+2+6+6＝16． 故选：B ．3．(2021·广东·西樵高中高一月考)如图正方形O A B C ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．8cmB ．6cmC ．2(1D ．2(1【答案】A【解析】由三视图知原图形是平行四边形OABC ，如图，1OA O A ''==，OB OA ⊥，2OB O B ''==3AB ==，所以平行四边形OABC 的周长是8． 故选：A ．4．(2021·山东邹城·高一期中)如图，A B C '''是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D '是B C ''的中点，且//A D y '''轴，//B C x '''轴，2A D ''=，2B C ''=，那么( )A ．AD 的长度大于AC 的长度B ．BC 的长度等于AD 的长度C ．ABC 的面积为1D ．A B C '''【答案】D【解析】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，据此分析选项：对于A ，AD BC ⊥，则有AC AD >，A 错误； 对于B ，2BC B C =''=，24AD A D =''=，B 错误； 对于C ，ABC 的面积142S BC AD =⨯⨯=，C 错误；对于D ，A B C '''的面积S '==D 正确. 故选：D ．5．(2021·全国·高一课时练习)如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形OAB ，斜边长1OB =，那么原平面图形的面积是( )A ．2B C D ．12 【答案】B 【解析】根据斜二测画法可得原图形为如图所示OA B ''△， 因为OAB 是等腰直角三角形，根据斜二测画法可得OA B ''△为直角三角形，1OB =，1OB OB '∴==，2OA OA '=所以原平面图形的面积是112⨯. 故选：B.。
新教材人教版高中数学必修1 第八章 8.2 立体图形的直观图
8.2立体图形的直观图课后篇巩固提升基础巩固1.长方形的直观图可能为下图中的哪一个()A.①②B.①②③C.②⑤D.③④⑤,长方形的直观图应为平行四边形,且锐角为45°,故②⑤正确.2.如图,△A'B'C'是△ABC的直观图,其中A'B'=A'C',则△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,∴AB⊥AC.又AC=2A'C'=2AB,∴△ABC是直角三角形,不是等腰三角形.3.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.ACABC是直角三角形,且∠ABC=90°,则AC>AB,AC>AD,AC>BC.4.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是 ( )A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形y'轴与B'C'交于点D',则O'D'=2√2.在原图形中,OD=4√2,CD=2,则OD ⊥CD.∴OC=√(4√2)2+22=6=OA ,∴原图形是菱形.5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,上底为1,腰为√2的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( ) A.√22 B.2√2 C.4√2 D.8√2,四边形ABCD 是一个底角为45°,上底为1,腰为√2的等腰梯形.过C ,D 分别做CF ⊥AB ,DE ⊥AB ,则△ADE 和△BCF 为斜边长为√2的等腰直角三角形.∴AE=DE=BF=1,又EF=CD=1,∴梯形ABCD 的面积S'=12×(1+3)×1=2.∵在用斜二测画法画直观图时,直观图的面积S'与原图的面积S 之比为√24,∴S=√2×2=4√2.6.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,如图,其中有一边长为4,则此正方形的面积是 .或64O'A'=4,则正方形边长为4,其面积为16;若O'C'=4,则正方形边长为8,面积为64.7.如图,△A'O'B'表示水平放置的△AOB 的直观图,B'在x'轴上,A'O'和x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB 的边OB 上的高为 .√2OB 长度不变,且S 原=2√2S 直观,得12·OB ·h=2√2×12×2O'B'.∵OB=O'B',∴h=4√2.8.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB 边上的中线的实际长度为 .△ABC 中∠C=90°,∵AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,∴AB=5, ∴AB 边上的中线的实际长度为52.9.按如图的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE 的直观图.:(1)在图①中作AG ⊥x 轴于点G ,作DH ⊥x 轴于点H.(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.(3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB ,O'G'=OG ,O'C'=OC ,O'H'=OH ,y'轴上取O'E'=12OE ,分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上取G'A'=12GA ,H'D'=12HD.(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE 的直观图A'B'C'D'E'(如图③).10.用斜二测画法画出棱长为2 cm 的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.画轴.如图①,画x 轴、y 轴、z 轴,三轴相交于点O ,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.图①(2)画底面.以点O 为中心,在x 轴上取线段MN ,使MN=2 cm;在y 轴上取线段PQ ,使PQ=1 cm .分别过点M 和N 作y 轴的平行线,过点P 和Q 作x 轴的平行线,设它们的交点分别为A ,B ,C ,D ,四边形ABCD 就是正方体的底面ABCD.图②(3)画侧棱.过A ,B ,C ,D 分别作z 轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA',BB',CC',DD'.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).能力提升1.如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC 的直观图△A'B'C'是边长为a 的正三角形,则原△ABC 的面积为 .2C'作C'M'∥y'轴,且交x'轴于点M'.过C'作C'D'⊥x'轴,且交x'轴于点D',则C'D'=√3a.∴∠C'M'D'=45°,∴C'M'=√6a.∴原三角形的高CM=√6a ,底边长为a ,其面积为S=1×a×√6a=√6a 2,或S 直观=√24S 原,∴S 原=√2·√34a 2=√62a 2. 2.如图,画出水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图.如图①,在已知等腰梯形中以底边AB所在的直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.如图②,画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°.OE,过(2)设DC与y轴的交点为E,在x'轴上取A'B'=AB,且使O'为A'B'的中点,在y'轴上取O'E'=12点E'作x'轴的平行线l,在l上取点D',C',使得E'C'=EC,D'E'=DE.如图③.(3)连接A'D',B'C',擦去辅助线,得到等腰梯形ABCD的直观图,如图④.。
人教版高中数学必修二《第八章 立体几何初步》课后作业及答案解析
人教版高中数学必修二《第八章立体几何初步》课后作业《8.1 基本几何图形》课后作业第1课时棱柱、棱锥、棱台基础巩固1．下面的几何体中是棱柱的有( )A．3个B．4个 C．5个 D．6个2．下列图形中，是棱台的是( )3.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥D．六棱锥4．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.8．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．能力提升9．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )10．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.11．如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？素养达成12.(1)如图甲所示为某几何体的展开图,沿图中虚线将展开图折起来,是哪一种几何体?试用文字描述并画出示意图.(2)需要多少个(1)中的几何体才能拼成一个棱长为6 cm 的正方体?请在(图乙)棱长为6 cm 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中指出这几个几何体的名称.《8.1 基本几何图形》课后作业答案解析第1课时 棱柱、棱锥、棱台基础巩固1．下面的几何体中是棱柱的有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】C 【解析】选C 棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.2．下列图形中，是棱台的是( )【答案】C【解析】选C 由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.3.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥D．六棱锥【答案】D【解析】选D 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．4．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等【答案】B【解析】选B 根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B.5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )【答案】C【解析】选C C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．【答案】4 8【解析】四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.【答案】12【解析】该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．【答案】(1)四棱柱．(2)六棱锥．(3)三棱台．【解析】 (1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥．(3)这是一个三棱台．能力提升9．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )【答案】D【解析】选D A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.10．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.【答案】13【解析】由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB 1为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是13 cm.11．如图在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ，则每个面的三角形面积为多少？【答案】(1)三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝32a 2. 【解析】(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝32a 2.素养达成12.(1)如图甲所示为某几何体的展开图,沿图中虚线将展开图折起来,是哪一种几何体?试用文字描述并画出示意图.(2)需要多少个(1)中的几何体才能拼成一个棱长为6 cm 的正方体?请在(图乙)棱长为6 cm 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中指出这几个几何体的名称.【答案】(1)见图．(2)3个.【解析】(1)该几何体为有一条侧棱垂直于底面,且底面为正方形的四棱锥,其中垂直于底面的棱长为6 cm,底面正方形的边长为6 cm,如图甲所示.(2)需要3个(1)中的几何体,如图乙所示,分别为四棱锥A 1-CDD 1C 1,A 1-ABCD,A 1-BCC 1B 1(答案不惟一).《8.1 基本几何图形》课后作业第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体基础巩固1．如图所示的图形中有( )A．圆柱、圆锥、圆台和球 B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球2．下列命题中正确的是( )A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线3．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形5．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( ) A．2 B．2πC.2π或4π D.π2或π46．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构是________________________.7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为________ cm.8．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．能力提升9．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )A．①②B．①③C．①④D．①⑤10．在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．11．已知圆锥的底面半径为1，高为22，轴截面为平面PAB，如图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，求最短绳长.素养达成12．圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．《8.1 基本几何图形》课后作业答案解析第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体基础巩固1．如图所示的图形中有( )A．圆柱、圆锥、圆台和球 B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球【答案】B【解析】选B 根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.2．下列命题中正确的是( )A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线【答案】C【解析】选C 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.3．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台【答案】C【解析】选C 将直角三角形绕斜边旋转360°，相当于两个三角形以直角边旋转两360°，故两个圆锥.4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形【答案】D【解析】选D 该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．5．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( ) A．2 B．2πC.2π或4π D.π2或π4【答案】C【解析】选C 如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π.所以选C.6．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构是________________________.【答案】大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥【解析】旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为________ cm.【答案】9【解析】如图所示，设圆台的母线长为x cm，截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm，根据三角形相似的性质，得33＋x＝r4r，解得x＝9(cm)．8．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．【答案】(1)一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．【解析】(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．能力提升9．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )A．①②B．①③C ．①④D ．①⑤ 【答案】D【解析】选D 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，故选D.10．在半径为13的球面上有A 、B 、C 三点，其中AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．【答案】12【解析】由线段的长度知△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝AB2＝5，所以d ＝R 2－r 2＝12.11．已知圆锥的底面半径为1，高为PAB ，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点，求最短绳长.【答案】【解析】沿PA 将圆锥侧面展开为平面扇形，如图.1OA =，PO =3PA ∴=，236012023APA ππ'︒︒∴∠=⨯=⋅. 作PD AA '⊥交AA '于点D ，则60APD ︒∠=.223sin 6033AA AD '︒∴==⨯⨯=，∴最短绳长为33.素养达成12．圆台的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．【答案】圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2. 【解析】设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r .将圆台还原为圆锥，如图，则有∠ABO ＝30°.在Rt △BO ′A ′中，rBA ′＝sin 30°，∴BA ′＝2r .在Rt △BOA 中，2rBA ＝sin 30°， ∴BA ＝4r .又BA －BA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，∴r ＝a .∴S ＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.《8.2 立体图形的直观图》课后作业基础巩固1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 轴画成对应的O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，则∠x ′O ′y ′与∠x ′O ′z ′的度数分别为( )A ．90°，90°B ．45°，90°C ．135°，90°D ．45°或135°，90°2．若把一个高为10 cm 的圆柱的底面画在x ′O ′y ′平面上，则圆柱的高应画成( ) A ．平行于z ′轴且大小为10 cm B ．平行于z ′轴且大小为5 cm C ．与z ′轴成45°且大小为10 cmD．与z′轴成45°且大小为5 cm3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的( )4．如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC5．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形6．水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．7．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．8．画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.能力提升9．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm10．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．11.如图所示，△ABC中，AC＝12 cm，边AC上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积．素养达成12．画出一个上､下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.《8.2 立体图形的直观图》课后作业答案解析基础巩固1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )A．90°，90°B．45°，90°C．135°，90° D．45°或135°，90°【答案】D【解析】选 D 根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( ) A．平行于z′轴且大小为10 cmB．平行于z′轴且大小为5 cmC．与z′轴成45°且大小为10 cmD．与z′轴成45°且大小为5 cm【答案】A【解析】选A 平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的( )【答案】C【解析】选C 正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项．4．如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC【答案】C【解析】选C 因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形【答案】C【解析】选C 将△A ′B ′C ′还原，由斜二测画法知，△ABC 为钝角三角形． 6．水平放置的正方形ABCO 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．【答案】 2【解析】由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B ′E ⊥x ′轴于点E ，在Rt △B ′EC ′中，B ′C ′＝2，∠B ′C ′E ＝45°，所以B ′E ＝B ′C ′sin 45°＝2×22＝ 2.7．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝3，B ′C ′∥x ′轴，则原平面图形的面积为________．【答案】36 2【解析】在直观图中，设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′，则易得O ′D ′＝32，所以原平面图形为一边长为6，高为62的平行四边形，所以其面积为S ＝6×62＝36 2.8．画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图. 【答案】见解析【解析】(1)建系:先画x 轴､y 轴､z 轴,其交点为O ,使45xOy ∠=︒,90xOz ∠=︒. (2)画底面.以O 为中心,在xOy 平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD ,如图.(3)画顶点.在Oz 上截取OP ,使OP AB .(4)成图.连接PA ,PB ,PC ,PD ,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图.能力提升9．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m ，四棱锥的高为8 m ．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm 【答案】C【解析】选C 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.10．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．【答案】52【解析】将直观图△A ′B ′C ′复原，其平面图形为Rt △ABC ，且AC ＝3，BC ＝4，故斜边AB ＝5，所以AB 边上的中线长为52.11.如图所示，△ABC 中，AC ＝12 cm ，边AC 上的高BD ＝12 cm ，求其水平放置的直观图的面积．【答案】182(cm 2)【解析】解法一：画x ′轴，y ′轴，两轴交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，作△ABC 的直观图如图所示，则A ′C ′＝AC ＝12 cm ，B ′D ′＝12BD ＝6 cm ，故△A ′B ′C ′的高为22B ′D ′＝3 2 cm ，所以 S △A ′B ′C ′＝12×12×32＝182(cm 2)，即水平放置的直观图的面积为18 2 cm 2.解法二：△ABC 的面积为12AC ·BD ＝12×12×12＝72(cm 2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC 的水平放置的直观图的面积是24×72＝182(cm 2)． 素养达成12．画出一个上､下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图. 【答案】见解析【解析】(1)画轴.如图①,画x 轴､y 轴､z 轴相交于点O , 使45xOy ︒∠=,∠xOz =90°.(2)画下底面以O 为线段中点,在x 轴上取线段AB ,使2AB =,在y 轴上取线段OC ,使32OC=.连接,BC CA ,则ABC 为正三棱台的下底面的直观图. (3)画上底面在z 轴上取OO ',使2OO '=,过点O '作//O x Ox '',//O y Oy '',建立坐标系x O y '''.在x O y '''中,类似步骤(2)的画法得上底面的直观图A B C '''.(4)连线成图连接AA ',BB ',CC ',去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台ABC A B C '''-即为要求画的正三棱台的直观图(如图②所示).《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》课后作业基础巩固1．将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的（ ）A ．23B ．12C ．13D ．142．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是 ( ) A ．1∶2B ．1∶4C ．2∶1D ．4∶13．将两个棱长为10cm 的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5cm 的正四棱柱，则该四棱柱的高为（ ）A ．8 cmB ．80 cmC ．40 cmD ．165cm 4．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m 2，互相平行的两个侧面的距离为1m ，则这个六棱柱的体积为( )A 3B ．334m C ．1m 3 D ．312m5，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）A ．6B ．3C D ．236．棱长为2的正四面体的表面积是_____.7．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.8.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.能力提升9．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.正四棱锥P EFGH -，2EF =，1AE =，则该组合体的表面积为（ ）A ．20B ．12C ．16D ．810．如图111,,AA BB CC 直线相交于点O ，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器，111,,AO AO BO B O CO C O ===.设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，且液体能流入下面的三棱锥，则液体流下去后液面高度为______.11．如图，在几何体ABCFED 中，8AB =，10BC =，6AC =，侧棱AE ，CF ，BD 均垂直于底面ABC ，3BD =，4FC =，5AE =，求该几何体的体积.素养达成12．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上下底面面积之和，求棱台的高和体积.《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》课后作业答案解析基础巩固1．将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】C 【解析】将正方体ABCD A B C D ''''-截去四个角后得到一个四面体B DA C ''-，设正方体的棱长为a ，则311326B B AC A ABD C BCD D A CD a V V V V a a a '''''''----====⨯⨯⨯⨯=， 四面体B DA C ''-的体积3332433B DAC ABCD A B C D a a V V V a ''''''--=-=-=正方体， 所以这个四面体的体积是原正方体体积的13. 故选：C.2．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是 ( ) A ．1∶2 B ．1∶4C ．2∶1D ．4∶1【答案】B【解析】由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4. 选B.3．将两个棱长为10cm 的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5cm 的正四棱柱，则该四棱柱的高为（ ）A ．8 cmB ．80 cmC ．40 cmD ．165cm 【答案】B【解析】∵正方体的棱长为10cm ，∴两个正方体的体积V ＝2×10×10×10＝2000cm 3， 设熔化后铸成一个正四棱柱的铜块的高为acm ， 则5×5×a ＝2000 解得a ＝80cm 故选：B ．4．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m 2，互相平行的两个侧面的距离为1m ，则这个六棱柱的体积为( )A 3B ．334m C ．1m 3 D ．312m 【答案】B【解析】设正六棱柱的底面边长为a m ，高为h m ，则21ah =1=，解得a h ==.所以六棱柱的体积()23364m V =⨯=⎝⎭. 故选：B.5，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）A ．6B ．3C ．3D ．23【答案】B【解析】所求八面体体积是两个底面边长为1，高为2， 的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V 1=113⨯=，故八面体体积V=2V 1，故选B ． 6．棱长为2的正四面体的表面积是_____.【答案】【解析】每个面的面积为1222⨯⨯=7．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD的体积是_____.【答案】10.【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点， 所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 8.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.【答案】80+【解析】如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中， 过1B 作1B F BC ⊥，垂足为F ，在1Rt B FB 中，1(84)22BF =⨯-=，18B B =，故1B F ==所以111(84)2BB C C S =⨯+⨯=梯形故四棱台的侧面积4S =⨯=侧，所以四棱台的表面积448880S =⨯+⨯=+表.能力提升9．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.正四棱锥P EFGH -，2EF =，1AE =，则该组合体的表面积为（ ）A ．20B ．12C ．16D ．8【答案】A【解析】由题意，正四棱锥P EFGH -2=，该组合体的表面积为122421422202⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选：A10．如图111,,AA BB CC 直线相交于点O ，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器，111,,AO AO BO B O CO C O ===.设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，且液体能流入下面的三棱锥，则液体流下去后液面高度为______.【答案】12-. 【解析】液体部分的体积为三棱锥体积的18，流下去后，液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的78.设空出三棱锥的高为x ，则33718x =，所以2x =，所以液面高度为12-.故答案为：1 11．如图，在几何体ABCFED 中，8AB =，10BC =，6AC =，侧棱AE ，CF ，BD 均垂直于底面ABC ，3BD =，4FC =，5AE =，求该几何体的体积.【答案】96【解析】由题意可知ABC 为直角三角形，且BAC ∠为直角， 如图，取CM AN BD ==，连接DM ，MN ，DN ，因为8AB =，6AC =，3BD =，所以三棱柱ABC NDM -的体积为1863722⨯⨯⨯=， 因为3CM AN BD ===，4CF =，5AE =，6AC =， 所以1MF =，2NE =，6NM AC ==，8DN AB ==， 所以四棱锥D MFEN -的体积为()1112682432⨯⨯+⨯⨯=， 所以所求几何体的体积为722496+=.素养达成12．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上下底面面积之和，求棱台的高和体积.【答案】1900. 【解析】如图所示，在三棱台ABC A B C '''-中，O ，O '分别为上、下底面的中心，D ，D 分别是BC ，B C ''的中点，连接OO '，A D ''，AD ，DD '， 则点O ，O '分别在AD ，A D ''上，DD '是等腰梯形BCC B ''的高，记为0h ，所以()00132030752S h h =⨯⨯+=侧，上、下底面面积之和为()2220304S S +=⨯+=下上由S S S =+下侧上，得075h =03h =，又1203O D ''==1303OD ==，记棱台的高为h ，则h O O '==== 由棱台的体积公式，得棱台体积(3hV S S =++下上2030⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， 计算得棱台体积1900V =.《8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》课后作业基础巩固1．若一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（ ）倍 A ．2B ．4C ．6D ．82．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A ．1∶2B ．1C ．1D ∶23．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ）A ．43B ．916C ．34D ．1694．圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则圆台的侧面积为( )． A ．81πB ．100πC ．14πD ．169π5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有。
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立体图形的直观图（2）课后练习题
一、基础达标
1、关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号） ①原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度不变； ②原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度变为原来的1
2
； ③画与直角坐标系xOy 对应的x O y '''时，x O y '''∠必须是45o ； ④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
【解析】原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度不变；故①正确；原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度变为原来的
12
；故②正确；画与直角坐标系xOy 对应的坐标系x O y '''时，x O y '''∠也可以是135︒.故③错误；在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；故④正确.故答案为③
2.如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A’O’和x ′轴垂直，且A’O’＝2，则△AOB 的边OB 上的高为( )
A ．2
B ．4
C ．2 2
D ．42
答案 D 解析 由直观图与原图形中边OB 长度不变，得S 原图形＝22S 直观图，即12·OB ·h ＝22×12×2·O ′B ′，∵OB ＝O ′B ′，∴h ＝4 2.
3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()
答案 A 解析在直观图中，其一条对角线在y′轴上且长度为2，所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为22，所以A正确．
4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
答案 D 解析两顶点间的距离为2＋3＝5(cm)，与z轴平行(或在z轴上)的线段在直观图中长度不变，仍为5 cm.故选D.
∆的边长为a，建立5、（2019·遵义航天高级中学高二月考（理））已知正ABC
如图1所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是（）
A2B2C2D2
【解析】原图是等边三角形，2，22
=，故选D.
二、能力提升
1、如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD 的面积是()
A．14 B．10 2 C．28 D．142
答案C
解析∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，∴原图形是一个直角梯形．
又A′D′＝4，
∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，
故其面积为S＝1
2×(2＋5)×8＝28.
2、已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()
A.
3
4a
2 B.
3
8a
2 C.
6
8a
2 D.
6
16a
2
[解析]如图①②所示的实际图形和直观图，
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝1
2OC＝
3
4a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，
则C′D′＝
2
2O′C′＝
6
8a，
所以S
△A′B′C′＝
1
2A′B′·C′D′＝
1
2×a×
6
8a＝
6
16a
2.
[答案]D
3、画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
[解]画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°，如图①.
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接P A，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.
4、有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图．
解(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示．
(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示．
(3)连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示．
(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．
5、(1)如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；
(2)在(1)中若|C′A′|＝2，B′D′∥y′轴且|B′D′|＝1.5，求原平面图形△ABC的面积．
[解](1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.
②在题图中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD ＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.
③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．
(2)∵B′D′∥y′，∴BD⊥AC.
又|B′D′|＝1.5且|A′C′|＝2，
∴|BD|＝3，|AC|＝2.
∴S
△ABC ＝
1
2·|BD|·|AC|＝3.
解设原图形的高为h，则直观图的高为
2
4h.又平行于x轴的线段长度不变，
∴S′＝
2 4S.。