2019年河南专升本高等数学考试知识点归类及串讲-12页word资料
专升本高数知识点汇总
专升本高数知识点汇总高等数学在专升本考试中占据着重要的地位，对于许多考生来说，掌握好高数的知识点是成功升本的关键之一。
以下是为大家汇总的专升本高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。
对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。
2、函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性。
奇函数满足 f(x) ＝ f(x)，偶函数满足 f(x) ＝ f(x)。
单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的。
周期性函数是指存在一个非零常数 T，使得 f(x ＋ T) ＝ f(x)。
有界性则是指函数的值域在某个范围内。
3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的一个确定的值。
4、极限的计算包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限（＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\），＼（＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e\））以及等价无穷小代换来计算极限。
5、无穷小与无穷大无穷小是以零为极限的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量。
无穷小的性质在极限计算中经常用到。
二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的切线斜率。
2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的变化率，反映了函数图像的斜率。
3、基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
4、导数的四则运算法则加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
5、复合函数求导通过链式法则进行求导。
6、隐函数求导通过方程两边同时对自变量求导来求解。
7、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。
8、微分的几何意义微分表示函数在某一点处切线的增量。
三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。
（完整word版）河南专升本《高等数学》考试大纲
（完整word版）河南专升本《高等数学》考试大纲《高等数学》考试大纲考试要求考生应按本大纲的要求，掌握“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程、向量代数与空间解析几何的基本概念、基本理论和基本方法。
考生应注意各部分知识的结构及知识的联系；具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理、证明和计算；能运用所学知识分析并解决一些简单的实际问题。
考试内容一、函数、极限和连续(一)函数1．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。
2．掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
3．理解函数y =?(x )与其反函数y =?-1(x )之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。
4．掌握函数的四则运算与复合运算; 掌握复合函数的复合过程。
5．掌握基本初等函数的性质及其图像。
6．理解初等函数的概念。
7．会建立一些简单实际问题的函数关系式。
(二)极限1．理解极限的概念(只要求极限的描述性定义)，能根据极限概念描述函数的变化趋势。
理解函数在一点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极限与右极限。
2．理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。
3．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。
会比较无穷小量的阶(高阶、低阶、同阶和等价)。
会运用等价无穷小量替换求极限。
4．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则)，掌握两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e )11(lim =+∞→x x x，并能用这两个重要极限求函数的极限。
(三)连续1．理解函数在一点处连续的概念，函数在一点处连续与函数在该点处极限存在的关系。
会判断分段函数在分段点的连续性。
2．理解函数在一点处间断的概念，会求函数的间断点，并会判断间断点的类型。
河南专升本高数知识点归纳
河南专升本高数知识点归纳河南专升本高数作为高等教育入学考试的重要组成部分，其知识点覆盖面广，难度适中，对于考生来说，掌握好高数的知识点至关重要。
以下是对河南专升本高数知识点的归纳总结：一、函数与极限1. 函数的概念：定义域、值域、奇偶性、周期性等。
2. 极限：数列极限、函数极限、无穷小量与无穷大量的概念。
3. 极限的运算法则：加减乘除、有理化、夹逼定理等。
二、导数与微分1. 导数的定义：导数的几何意义和物理意义。
2. 基本初等函数的求导公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3. 高阶导数：求导的运算法则、莱布尼茨公式。
4. 微分：微分的概念、微分的运算法则。
三、积分学1. 不定积分：换元积分法、分部积分法、有理函数积分。
2. 定积分：定积分的概念、定积分的性质、定积分的计算。
3. 定积分的应用：面积、体积、平均值等。
四、多元函数微分学1. 偏导数：偏导数的定义、计算方法。
2. 全微分：全微分的概念、计算方法。
3. 多元函数的极值问题。
五、常微分方程1. 一阶微分方程：可分离变量方程、一阶线性微分方程。
2. 高阶微分方程：特征方程、欧拉方程。
3. 微分方程的应用：物理、工程等领域。
六、级数1. 级数的概念：收敛级数、发散级数。
2. 正项级数的判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法。
3. 幂级数：幂级数的收敛半径、泰勒级数。
七、空间解析几何1. 空间直角坐标系：空间点的坐标表示。
2. 空间直线与平面：直线的方程、平面的方程。
3. 空间曲面：曲面的方程、曲面的性质。
八、线性代数1. 矩阵：矩阵的运算、矩阵的秩、矩阵的逆。
2. 线性方程组：高斯消元法、克拉默法则。
3. 向量空间：向量空间的概念、基、维数。
结束语河南专升本高数的知识点繁多，但只要考生能够系统地复习，掌握好每个知识点的精髓，就能够在考试中取得优异的成绩。
希望以上的知识点归纳能够帮助考生更好地准备考试，顺利通过河南专升本的高数考试。
河南省2019年专升本考试《高等数学》试题+答案
河南省2019年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试《高等数学》注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效。
一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标。
1.函数)1ln()(2x x x f -+=在定义域是（）A.不确定B.偶函数C.非奇非偶函数D.奇函数[解析]D由()()f x f x -=-得，为奇函数2.已知()f x 的定义域为[]1e ，，则()xf e 的定义域为（）A.(]1,0B.[]0,1 C.()1,0 D.[)10，[解析]B由101xe e x ≤≤⇒≤≤；3.曲线32116132y x x x =+++在点(0,1)处的切线与x 轴的交点坐标为（）A.1(,0)6-B.()10，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,61 D.()0,1-[解析]A由200=6661x x k y x x y x =='=++=⇒=+，与x 轴的交点即当0y =时得交点坐标为1(,0)6-；4.当0x →1与212x -等价，则=a （）A.32-B.32-C.21-D.32[解析]A由当0x →2113ax -→，所以22113=322ax x a -⇒=-；5.极限22324lim 354x n n n n →∞+-=-+（）A.1B.43 C.52-D.34-[解析]D由抓大头口诀：相同即为系数比，可得223244lim 3543x n n n n →∞+-=--+；6.极限0sin 4lim =5x xx→（）A.45B.51C.54 D.1[解析]C00sin 444lim=lim 555x x x x x x →→=；7.当0x →时，221x e -是2x 的_______无穷小（）A.高阶B.低阶C.等价D.同阶非等价[解析]D 当0x →时，22212x ex -→，故是2x 的同阶非等价；8.已知函数()ln 21a xf x ax +⎧=⎨-⎩在1x =处连续，则a =（）A.1B.1- C.0D.3题号一二三四五总分分值602050146150班级：姓名：准考证号：[解析]A9.设1,1()=cos ,12x x f x x x π-≥<⎧⎪⎨⎪⎩则1x =是____间断点（）A.连续点B.可去C.跳跃D.第二类[解析]A 10.函数()f x 在x a =处可导，则()()limf a x f a x xx +--→（）A.()2f a 'B.0C.()a f ' D.()a f '21[解析]A11.已知()12x f x x=+，求1(1)f -=（）A.1- B.1C.13-D.13[解析]反解12y x y=-，交换,x y 得反函数12x y x =-，则1(1)1f -=-。
专升本高等数学课件知识归纳大全
1 x 2 1 （D）
1 cos x
2
(ex 1)sinx
（09）
x0 当 时，下列四组函数中为等价
无穷小的是 （ B ）
（A）
x2与 2 x
（B）
（C） 1cosx与x2 （D）
sin x与x
tan 2x与x
4.等价无穷小代换定理(教材P27）
定理
当xx0,~,~,lx ixm 0 存在 ,
1e1 x2
（模A） eg
f(x)xx (2 x 2 x1 ),求 f(x)的 间 断 点 并 判 别 其 类 型 。
f (x)tanxx,x[4,54],
求f (x)的间断点并判别其类型。
(三)闭区间上连续函数的性质
定理1 f(x ) C [a ,b ] 存 在 f(x )m a x ,f(x )m in
(3) lim f ( x) f ( x0 ) x x0
左连续limf (x) f (x0) xx0
右连续limf (x) f (x0) xx0
(二)间断点分类
第一类（
(1)可去间断点 (2)可去间断点 (3)跳跃间断点
第二类（ (4)无穷间断点 (5)振荡间断点
f(x0都存0在)， 的间f断(点x0 ）0)
至 少 有 一 个 不 超 过 ab的 正 根
（模C）
设 f ( x ) 0, 在 [a , b ]连 续 ,
令 F ( x )
x
f (t)dt
x
1
dt
a
b f (t)
求 证 ：1 .F ( x ) 2
2 .方 程 F ( x ) 0 在 ( a , b )内
有且仅有一个实根。
(完整word版)河南专升本《高等数学》考试大纲
《高等数学》考试大纲考试要求考生应按本大纲的要求，掌握“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程、向量代数与空间解析几何的基本概念、基本理论和基本方法。
考生应注意各部分知识的结构及知识的联系；具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理、证明和计算；能运用所学知识分析并解决一些简单的实际问题。
考试内容一、函数、极限和连续(一)函数1．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。
2．掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
3．理解函数y =ƒ(x )与其反函数y =ƒ-1(x )之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。
4．掌握函数的四则运算与复合运算; 掌握复合函数的复合过程。
5．掌握基本初等函数的性质及其图像。
6．理解初等函数的概念。
7．会建立一些简单实际问题的函数关系式。
(二)极限1．理解极限的概念(只要求极限的描述性定义)，能根据极限概念描述函数的变化趋势。
理解函数在一点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极限与右极限。
2．理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。
3．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。
会比较无穷小量的阶(高阶、低阶、同阶和等价)。
会运用等价无穷小量替换求极限。
4．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则)，掌握两个重要极限： 1sin lim 0=→x x x ，e )11(lim =+∞→x x x， 并能用这两个重要极限求函数的极限。
(三)连续1．理解函数在一点处连续的概念，函数在一点处连续与函数在该点处极限存在的关系。
会判断分段函数在分段点的连续性。
2．理解函数在一点处间断的概念，会求函数的间断点，并会判断间断点的类型。
3．理解“一切初等函数在其定义区间上都是连续的”，并会利用初等函数的连续性求函数的极限。
高等数学(专升本)考点归纳及讲解 - 副本
③复合函数（函数中套函数）求导： y = f (u ), 而 u = g ( x ), 则 ，
y / = f [ g ( x)]/ = [ f (u )]/ = f / (u )gu / （u 为内层函数） ； 解题的关键是：看函数与①中的
例题 10 ： 证明 :曲线xy = 1( x > 0, y > 0)上的任意一点(x , y )处的切线与两个坐标轴围成 0 0 的三角形面积为一个定值. 证：曲线即为y= , 则其在任意点(x0 , y0 )切线的斜率k切 = f / ( x0 ) = ( ) /
1 x
1 x
=−
x = x0
1 , x0 2
x→x0
0
x→x0
x→x0
1 x sin + b, x < 0 x f ( x ) = a, x = 0 sin x 例题 8:设函数 ,x > 0 x
问 ： （1） a , b 为何值时， f ( x ) 在 x = 0 处有极限存在？ （2） a , b 为何值时， f ( x ) 在 x = 0 处连续？
(1 − a) x2 + (a + b) x − b − 2 = 0,因为x → ∞, 且分式分子和分母为关于x的多项式, x→∞ x −1
解： 原式= lim
又因 为极限值为0且 分母 最高 次数为1次, 故 分子的 最高 次数 只能 为0次 ，
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1-a=0 所以有 , 解得a = 1, b = −1为所求. （注意：若将=0 改成=-2 会有：a=1,b=-3） a+b=0
河南专升本高数教材知识点
河南专升本高数教材知识点高等数学作为专升本考试中的重要科目，对于报考河南专升本的考生来说具有重要意义。
为了帮助考生更好地复习和备考，下面将介绍一些河南专升本高数教材的重要知识点。
1.极限与连续1.1 极限的定义与性质在数学中，极限是一个重要的概念，它能够描述函数趋近于某个数值的过程。
极限的定义涉及到自变量无限靠近某个值时，函数的取值是否趋近于某个数。
同时，我们也需要了解和掌握一些关于极限的基本性质，如极限的唯一性、四则运算法则等。
1.2 连续函数与间断点连续函数是指在定义域内的任意一点上，函数都有极限存在且与函数在该点的取值相等。
而间断点则是指在定义域内某些点上，函数的值与极限值不相等。
我们需要了解和熟悉常见的连续函数与间断点的分类和性质，如可去间断、跳跃间断、无穷间断等。
2.导数与微分2.1 导数的概念与计算导数描述了函数在某一点上的变化率，是高等数学中一个基本的概念。
我们需要熟练掌握导数的定义与计算方法，如基本求导法则、常见函数求导法则（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）以及利用导数求极值等。
2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种几何意义，表示函数在某一点上的增量与自变量的变化量之比。
我们需要了解微分的定义、微分中值定理以及微分在实际问题中的应用，如切线方程、曲线的凹凸性、极值判定等。
3.定积分与不定积分3.1 定积分的概念与计算定积分是对函数在一定区间上的曲边梯形面积的极限过程。
我们需要熟练掌握定积分的定义与计算方法，如用定积分计算曲线下面积、计算定积分的基本性质、用定积分求弧长等。
3.2 不定积分的概念与计算不定积分是反导数的概念，是定积分的逆运算。
我们需要了解不定积分的定义与计算方法，如基本不定积分法则、换元积分法、分部积分法等。
4.一元函数的级数级数是指由一列数的和组成的数列，也是高等数学中的一个重要概念。
我们需要了解级数的概念、级数的判敛性与求和方法，如比较判别法、积分判别法、绝对收敛与条件收敛等。
专升本高数知识点归纳河南
专升本高数知识点归纳河南专升本高数是许多学生在提升学历过程中必须面对的一门重要课程，其知识点广泛且深入。
以下是对河南专升本高数知识点的归纳总结：一、函数、极限与连续性- 函数的概念、性质和分类- 极限的定义、性质和运算法则- 无穷小的比较和极限存在的条件- 连续函数的概念、性质和连续性的判断二、导数与微分- 导数的定义、几何意义和物理意义- 基本初等函数的导数公式- 高阶导数的概念和计算方法- 隐函数和参数方程的导数- 微分的概念、几何意义和应用三、中值定理与导数的应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理- 导数在函数性质研究中的应用，如单调性、凹凸性- 泰勒公式和麦克劳林公式- 函数的极值和最值问题四、不定积分与定积分- 不定积分的概念、性质和计算方法- 定积分的定义、性质和计算- 牛顿-莱布尼茨公式- 定积分在几何和物理问题中的应用五、多元函数微分学- 多元函数的概念和偏导数- 多元函数的全微分- 多元函数的极值问题六、无穷级数- 常数项级数的收敛性判断- 幂级数和泰勒级数- 函数项级数的收敛域和和函数七、常微分方程- 一阶微分方程的解法，如可分离变量方程、一阶线性微分方程- 高阶微分方程的解法，如常系数线性微分方程- 微分方程在实际问题中的应用八、解析几何- 空间直线和平面的方程- 空间曲线的参数方程和普通方程- 空间曲面的方程和性质九、线性代数基础- 矩阵的概念、运算和性质- 线性方程组的解法- 向量空间和线性变换结束语：专升本高数的学习是一个系统而深入的过程，需要学生不断巩固基础知识，掌握解题技巧，并通过大量练习来提高解题能力。
希望以上的知识点归纳能够帮助河南地区的学生更好地准备专升本高数考试，取得理想的成绩。
河南专升本高数第一章知识点详细解析
2013河南专升本(云飞)版高数教材第一章知识点详细解析I、求函数的定义域。
函数的定义域是自变量的取值范围，故求定义域时常常排除那些使函数没有意义的点。
每个函数都有其定义域，定义域不同，即使对应法则一样，两个函数也不是相等1的。
如一些基本初等函数，观察其定义域：根式y 、、x(x 0)，分式y丄(x 0)，x三角函数y sin x(x R)，反三角函数y arcsinx(x 1,1)，指数函数y e x(x R)，对数函数y In x(x 0)，幕函数y x u(x 0且x 1)................................... (注意:00无意义)。
考试中此种题目的考查有两种形式：(1)是对给定解析式的函数求定义域，若能根据常见的函数的定义域列出不等式组，那么可以通过直接解不等式来完成，也可以利用验证法确认选项，注意取特殊点验证；(2)是抽象函数也即含有符号f的函数的定义域问题，一共有三种形式，无论是哪种形式都要最先确定函数的自变量是什么，再进行求解。
例1求下列函数的定义域.1 (2)f(x)忙(3) f (x) arcsi n 丄2x4x 1(5) f (x) arcs in (lg x) (6) f (x) ln(ln x)(4) f (x) arccos—3解：由分析式子表示的函数的定义域是使该式子有意义的所有实数构成的集合.如分式的分母不能为零；对数的真数必须大于零；开偶次方根的数必须大于等于零；反三角函数则遵循对该函数所规定的定义域；求复合函数y f ( (x))的定义域时，既要使(X)有意义，又要使f( (x))有意义，即要根据f(u)和(x)共同确定其定义域.-------- 4(l)要使y .3x 4有意义，只要3x 4 0即可，即x -，因此它的定义域3% 4 为3，.(1)设f (x)的定义域为4,4，求f (x 2)的定义域.(2) 设f(x)的定义域为0,1求f(1 x)的定义城.解：(1)由4 x 2 4得，2x2 .即定义城为 2,2 .域为(0,1).ln(x 1)的定义域是((5) (6) 1 x1 x112x严13(2) 由(3) (4) 及x 0得，2x 由1 得 4x 1由 01 x 01 .即它的定义域为(,1).12，即它的定义域为(x 1 .即它的定义域为由 lgx 1 得 0.1所以它的定义域为0.1,10 •由lnx 0得，x 1 .即定义域为(1,).1 1 2]环).(2)由 0 1 x 1得,0 .即定义域为1,0 .例3 f(x)的定义域是0,1 , (x)f(x4)f(x4)的定义域是A . 0,1C . 0解：定义域D :例 4 函数 y arcsin(2x 1) 1 4 1 4 114 14 5 4 3 4D ：1因此选A(0,1)解：选A.由2xln x 的定义域是(B(0,1](0,2)D(0,2]1 1及x 0, x 1解的函数arcs in(2x、x 1A ( 1,)B ( 1,) 1,3) (3,(1,3) (3,)解：选D .由题意：x 3 0 , x 10 , x 10 ,所以得到函数y —ln(x 1)的定义域为(1,3)(3,).x 3 ,x 1例6下列各对函数哪些是同一函数？解：两个函数相同，必须是定义域相同且对应关系一致•只有( 1)中的两个函数才是相同的，其余各对均不是相同的函数•这是因为： (1)两个函数的定义域都是 R ,对应关系也完全相同，即xx 2 .(2) 定义域不同.y x 的定义域为R , y (、x )2 ■的定义域为0,. (3)定义域不同. y In x 2的定义域为 ，0 0, , y= 2In x的定义域为0,.x 2 1(4) 定义域不同.y x 1的定义域为R , y ---------------- 的定义域为xx R,x 1 .x 1例7在区间(0,)内，与函数f(x) In 2 x 相等的函数是()(200503).1 A . In xB. - In x 2C . I n xD .Inx解：我们知道处 x ，因此选D . II 、函数之间的运算和函数性质的题目。
2019年河南专升本高等数学考试知识点归类及串讲-10页word资料
考试知识点归类及串讲（一）单项选择题 一、函数部分1. 定义域（尤其是分段函数；已知一个函数的定义域，求另一个的定义域；函数的相同；反函数）如：设函数2ln(1),12()23x x f x x ⎧-<<⎪=≤≤，则()f x 的定义域为（）A 13x <≤B 13x <≤C 123x x <<≤≤或2D 13x x >≤或函数arcsin(25)y x =-定义域已知(21)f x -的定义域为[0,1],则()f x 的定义域为（） A [1/2,1] B [-1,1] C[0,1] D [-1,2] 设)1(2x f +的定义域为[)5,1，则)(x f 的定义域为________下列函数相等的是 A 1,x x y y ==B y y == C ,cos(arccos )y x y x ==D ||y y x ==函数2)34(-=x y （0≤x ）的反函数是________ 2.函数的性质⎧⎨⎩函数图像的对称轴（复合函数的奇偶性）函数的有界性如：1()ln1xf x x+=-（(1,1)-内奇函数？） 已知()f x 不是常数函数，定义域为[,]a a -，则()()()g x f x f x =--一定是____。
A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数下列函数中为奇函数的是_________。
A 2()sin 2x xe ef x x -+=B ()tan cos f x x x x =- C()ln(f x x = D ()1x f x x=- 3.函数的表达式、函数值（填空）如：设()f x 为(,)-∞+∞上的奇函数，且满足(1),(2)()(2)f a f x f x f =+=+，则(2)f =_________ 二、重要极限部分11lim(1)1, lim(1)1→→∞+=+=0sin 3lim3x x x →=；22lim(1)x x e x→∞+=，111lim (1lim (11x x e x -+→+∞→+∞-=+==三、无穷小量部分1.无穷小量的性质：无穷小量乘有界仍为无穷小2.无穷小量（大量）的选择3.无穷小量的比较（高阶、低阶、等价、同阶）如 n →∞时与31sinn等价无穷小量是（） 如 设sin 2340(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时，()f x 是比()g x 的（）0x →时，无穷小量232x x +-是x 的（） 0x →2x 的（）4.无穷小量的等价替代 四、间断点部分1. 第Ⅰ类间断点（跳跃间断点、可去间断点）2. 第Ⅱ类间断点（无穷间断点） 如 点0x =是函数1x xy e+=的（）函数11,0()ln(1),10x e x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩则0x =是（）若1cos sin ,0()1,0x x x x f x xe x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩则0x =是()f x 的（） 五、极限的局部性部分 1.极限存在充要条件2.若0lim ()0(0)x x f x A →=><,则存在0x 的一个邻域0(,)U x δ，使得该邻域内的任意点x ，有()0(0)f x ><如 ()f x 在点0x x =处有定义，是当0x x →时，()f x 有极限的（）条件 若(1)0f =，21()lim2(1)x f x x →=-，则()f x 在1x =处（）（填 取得极小值）六、函数的连续性部分1.连续的定义 如设1(1),0(),0x x x f x k x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在点0x =处连续，则k =（）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin 1)(x a x x x x f 在()+∞∞-,内处处连续，则a =________.2.闭区间连续函数性质：零点定理（方程()0f x =根存在及个数）如 方程014=--x x ，至少有一个根的区间是 ( )(A))21,0( (B) )1,21( (C) )3,2( (D) )2,1( 最大值及最小值定理如设()f x 在[,a b ]上连续，且()()f a f b =，但()f x 不恒为常数，则在(,)a b 内（）A 必有最大值或最小值B 既有最大值又有最小值C 既有极大值又有极小值D 至少存在一点使得()0f ξ'= 七、导数定义000()()()()lim(),lim()x x f x f x f x f x f x f x x x →→-+-''==-如 ()f x 在点1x =可导，且取得极小值，则0(12)(1)lim x f x f x→+-=设 (1)0f =，且极限1()lim 1x f x x →-存在，则1()lim 22x f x x →=-设函数21()(3sin ),x f x t t dt =+⎰则0()()lim h f x h f x h→+-=设3)(='a f ，则=--→hh a f a f h )()(lim 0________.已知6)3(='f ,则=--→hf h f h 2)3()3(lim 0________.求高阶导数（几个重要公式）()11(1)!()()n n n n x c x c +-=++；()(sin )sin()2n x x n π=+ 如 设xx y -+=11，则 ()=n y (A) ()nx n -∙11!2(B) ()111!+-n x n C) ()()111!21+-∙-n nx n (D) ()111!2+-∙n x n八、极值部分极值点的必要条件（充分条件），拐点的必要条件（充分条件）如 函数()y f x =在点0x x =处取得极大值，则必有（）0()0f x '=或不存在设函数()y f x =满足()()1xf x xf x e '''+=+，若0()0f x '=，则有（）设)(x f y =是方程042=+'-''y y y 的一个解，若,0)(0>x f 且,0)(0='x f 则函数在0x 有极（）值设函数()f x 满足()3xf x e '=-，若0()0,f x '=则有（）0()f x 是()f x 的极大值九、单调、凹凸区间部分()0f x '≥，函数在相应区间内单调增加；()0f x ''≥，则区间是上凹的如 曲线31xy xex -=++的上凹区间为（）(2,)+∞曲线42246y x x x =-+的下凹区间为（）十、渐近线水平渐近线lim ()x f x A →∞=,y A =为水平渐近线；0lim ()x x f x →=∞，0x x =为垂直渐近线如 函数ln 2xy x =-的垂直渐近线的方程为____ 曲线13+=x e y x 的水平渐近线为_______.曲线xe y x= 既有水平又有垂直渐近线？ 曲线21xx y -=的铅锤渐近线是_________.十一、单调性应用设()()f a g a =，且当x a >时，()()f x g x ''>，则当x a ≥必有（）已知函数()x f 在区间()δδ+-1,1内具有二阶导数，()x f '严格单调减少，且()()111='=f f ，则 有 (A) 在()1,1δ-和()δ+1,1内均有()x x f < (B) 在()1,1δ-和()δ+1,1内均有()x x f >(C) 在()1,1δ-内()x x f <，在()δ+1,1内()x x f > (D) 在()1,1δ-内()x x f >，在()δ+1,1内()x x f <十二、中值定理条件、结论、导数方程的根如 函数3()2f x x x =+在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的ξ为（） 设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则()0f x '=实根个数为（）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且在(,)a b 内()0f x ''>，则在(,)a b 内等式()()()f b f a f b aξ-'=-成立的ξ_________ A存在 B 不存在 C 惟一D 不能断定存在 十三、切线、法线方程如 曲线sin 2cos y tx t=⎧⎨=⎩在4t π=处的法线方程为（）设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则曲线()y f x =在(,)a b 内平行于x 轴的切线（）（至少存在一条） 十四、不定积分部分1. 不定积分概念（原函数）如 (),()F x G x 都是区间I 内的函数()f x 的原函数，则()()F x G x C -=2. 被积函数抽象的换元、分部积分 如 设ln ()cos ,f t t =则()ln ()ln ()cos cos cos sin ()f t tdt f t t f t dt t t tdt t t t c f t '=-=-=-+⎰⎰⎰ 若()xf x e =，则ln (ln )(ln )x f x dx f x c e c x c x'=+=+=+⎰设()f x 连续且不等于零，若()arctan f x dx x c =+⎰，则32(1)()3dx x x dx x c f x =+=++⎰⎰ 若()1,xf e x '=+则 ()f x =令,ln ()1ln xt e x t f t t '==∴=+，即()1ln f x x '=+，故()ln f x x x c =+ 十五、定积分部分0. 定积分的平均值：()baf x dx b a-⎰（填空）1. 变上限积分 如设0()sin()xf x t x dt =-⎰求()f x '（知道即可）令0,()sin ()sin xu t x f x udu f x x -'=-=∴=-⎰2. 定积分等式变形等 若()f x 为连续函数，则120()(sin )cos f x dx f x xdx π=⎰⎰设()f x 在[2,2]-上连续，则11[(2)(2)]f x f x dx -+-⎰令122122,[(2)(2)][()()]1/2[[()()]]t x f x f x dx f t f t dt f t f t dt --=+-=+-=+-⎰⎰⎰设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()()()bbaaf x dx f t dt -=⎰⎰1|(21)|x x dx -⎰十六 广义积分部分1.无穷限广义积分 如 广义积分222211111[]ln |||231232dx x dx x x x x x +∞+∞+∞-=-=+--++⎰⎰2. 暇积分（无界函数的积分，知道即可）101110111dx dx dx x x x --=+⎰⎰⎰ 而11001ln |dx x x =⎰不存在，不收敛 十七、空间解析几何部分1. 方程所表示的曲面注意：缺少变量的方程为柱面；旋转曲面的两个变量系数相等；抛物面、锥面可用截痕法判别 如 方程：220x y z +-=在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）旋转抛物面 在空间直角坐标系下，方程224(1)0x y --=表示（）2(1)x y =±-两条直线，所以两个平面方程2220x y z +-=在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）圆锥面 2. 直线与直线、直线与平面等位置关系直线250260x y z x y z +-+=⎧⎨-++=⎩与直线102335444x y z --+==-的位置关系（）不平行也不垂直 3. 数量积、向量积概念已知4||1,||5,3,||||||sin 545a b a b a b a b θ==⋅=⨯=== 4. 投影曲线方程空间曲线C ：22222()z x yz x y ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩在xoy 平面上的投影曲线方程_______________十八、全微分概念1.偏导数概念设 (,)f x y 在点（a, b ）处有偏导数存在，则有 00(,)(,)(,)(,)(,)(,)limlimh h f a h b f a h b f a h b f a b f a b f a h b h h→→+--+-+--= 0(,)(,)(,)lim 2(,)x x h f a h b f a b f a b f a b h→--''=-=设函数222ln(),z x x y =+则2222z yx y x y ∂=∂+ 2.全微分设3ln(),xyz e x y =++则(1,2)|dz22(1,2)33()()|(21)(1)xy xy dz ye dx xe dy dz e dx e dy x y x y=+++∴=+++++ 十九、二元极值部分0. 极限连续 1. 驻点 2. 极值点 要使函数222242),(y x y x y x f +++-=在点()0,0处连续，应补充定义=)0,0(f ____。
2019年河南专升本高等数学考试知识点归类及串讲12页word
考试知识点归类及串讲（一）单项选择题 一、函数部分1. 定义域（尤其是分段函数；已知一个函数的定义域，求另一个的定义域；函数的相同；反函数）如：设函数2ln(1),12()23x x f x x ⎧-<<⎪=≤≤，则()f x 的定义域为（）A 13x <≤B 13x <≤C 123x x <<≤≤或2D 13x x >≤或函数arcsin(25)y x =-定义域已知(21)f x -的定义域为[0,1],则()f x 的定义域为（） A [1/2,1] B [-1,1] C[0,1] D [-1,2] 设)1(2x f +的定义域为[)5,1，则)(x f 的定义域为________下列函数相等的是A 1,x x y y ==B y y ==,cos(arccos )y x y x ==D ||y y x == 函数2)34(-=x y （0≤x ）的反函数是________ 2.函数的性质⎧⎨⎩函数图像的对称轴（复合函数的奇偶性）函数的有界性如：1()ln1xf x x+=-（(1,1)-内奇函数？） 已知()f x 不是常数函数，定义域为[,]a a -，则()()()g x f x f x =--一定是____。
A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数下列函数中为奇函数的是_________。
A 2()sin 2x xe ef x x -+=B ()tan cos f x x x x =-C ()ln(f x x =D ()1x f x x=- 3.函数的表达式、函数值（填空）如：设()f x 为(,)-∞+∞上的奇函数，且满足(1),(2)()(2)f a f x f x f =+=+，则(2)f =_________ 二、重要极限部分101lim(1)1, lim(1)1→→∞+=+=W WW W W W0sin 3lim3x x x →=；22lim(1)x x e x→∞+=，111lim (1lim (11x x e x -+→+∞→+∞-=-==三、无穷小量部分1.无穷小量的性质：无穷小量乘有界仍为无穷小2.无穷小量（大量）的选择3.无穷小量的比较（高阶、低阶、等价、同阶） 如 n →∞时与31sin n等价无穷小量是（）如 设sin 2340(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时，()f x 是比()g x 的（）0x →时，无穷小量232x x +-是x 的（） 0x →2x 的（）4.无穷小量的等价替代 四、间断点部分1. 第Ⅰ类间断点（跳跃间断点、可去间断点）2. 第Ⅱ类间断点（无穷间断点） 如 点0x =是函数1x xy e+=的（）函数11,0()ln(1),10x e x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩则0x =是（）若1cos sin ,0()1,0x x x x f x xe x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩则0x =是()f x 的（） 五、极限的局部性部分 1.极限存在充要条件2.若0lim ()0(0)x x f x A →=><,则存在0x 的一个邻域0(,)U x δ，使得该邻域内的任意点x ，有()0(0)f x ><如 ()f x 在点0x x =处有定义，是当0x x →时，()f x 有极限的（）条件 若(1)0f =，21()lim2(1)x f x x →=-，则()f x 在1x =处（）（填 取得极小值）六、函数的连续性部分1.连续的定义 如设1(1),0(),0x x x f x k x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在点0x =处连续，则k =（）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin 1)(x a x x x x f 在()+∞∞-,内处处连续，则a =________.2.闭区间连续函数性质：零点定理（方程()0f x =根存在及个数）如 方程014=--x x ，至少有一个根的区间是 ( ) (A))21,0( (B) )1,21( (C) )3,2( (D) )2,1( 最大值及最小值定理如设()f x 在[,a b ]上连续，且()()f a f b =，但()f x 不恒为常数，则在(,)a b 内（）A 必有最大值或最小值B 既有最大值又有最小值C 既有极大值又有极小值D 至少存在一点使得()0f ξ'= 七、导数定义0000()()()()lim(),lim ()x x f x f x f x f x f x f x x x →→-+-''==-W W W如 ()f x 在点1x =可导，且取得极小值，则0(12)(1)lim x f x f x→+-=设 (1)0f =，且极限1()lim1x f x x →-存在，则1()lim22x f x x →=- 设函数21()(3sin ),x f x t t dt =+⎰则0()()limh f x h f x h→+-=设3)(='a f ，则=--→hh a f a f h )()(lim0________.已知6)3(='f ,则=--→hf h f h 2)3()3(lim 0________.求高阶导数（几个重要公式）()11(1)!()()n n n n x c x c +-=++；()(sin )sin()2n x x n π=+ 如 设xxy -+=11，则 ()=n y (A) ()nx n -•11!2(B) ()111!+-n x n C) ()()111!21+-•-n n x n (D) ()111!2+-•n x n八、极值部分极值点的必要条件（充分条件），拐点的必要条件（充分条件）如 函数()y f x =在点0x x =处取得极大值，则必有（）0()0f x '=或不存在 设函数()y f x =满足()()1x f x xf x e '''+=+，若0()0f x '=，则有（）设)(x f y =是方程042=+'-''y y y 的一个解，若,0)(0>x f 且,0)(0='x f 则函数在0x 有极（）值 设函数()f x 满足()3x f x e '=-，若0()0,f x '=则有（）0()f x 是()f x 的极大值 九、单调、凹凸区间部分()0f x '≥，函数在相应区间内单调增加；()0f x ''≥，则区间是上凹的如 曲线31x y xe x -=++的上凹区间为（）(2,)+∞ 曲线42246y x x x =-+的下凹区间为（） 十、渐近线水平渐近线lim ()x f x A →∞=,y A =为水平渐近线；0lim ()x x f x →=∞，0x x =为垂直渐近线如 函数ln 2xy x =-的垂直渐近线的方程为____ 曲线13+=x e y x 的水平渐近线为_______.曲线xe y x= 既有水平又有垂直渐近线？ 曲线21xx y -=的铅锤渐近线是_________.十一、单调性应用设()()f a g a =，且当x a >时，()()f x g x ''>，则当x a ≥必有（）已知函数()x f 在区间()δδ+-1,1内具有二阶导数，()x f '严格单调减少，且()()111='=f f ，则 有 (A) 在()1,1δ-和()δ+1,1内均有()x x f < (B) 在()1,1δ-和()δ+1,1内均有()x x f >(C) 在()1,1δ-内()x x f <，在()δ+1,1内()x x f > (D) 在()1,1δ-内()x x f >，在()δ+1,1内()x x f < 十二、中值定理条件、结论、导数方程的根如 函数3()2f x x x =+在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的ξ为（） 设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则()0f x '=实根个数为（）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且在(,)a b 内()0f x ''>，则在(,)a b 内等式()()()f b f a f b aξ-'=-成立的ξ_________ A 存在 B 不存在 C 惟一D 不能断定存在十三、切线、法线方程 如 曲线sin 2cos y tx t=⎧⎨=⎩在4t π=处的法线方程为（）设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则曲线()y f x =在(,)a b 内平行于x 轴的切线（）（至少存在一条） 十四、不定积分部分1. 不定积分概念（原函数）如 (),()F x G x 都是区间I 内的函数()f x 的原函数，则()()F x G x C -=2.被积函数抽象的换元、分部积分如 设ln ()cos ,f t t = 则()ln ()ln ()cos cos cos sin ()f t tdt f t t f t dt t t tdt t t t c f t '=-=-=-+⎰⎰⎰ 若()x f x e =，则ln (ln )(ln )x f x dx f x c e c x c x'=+=+=+⎰设()f x 连续且不等于零，若()arctan f x dx x c =+⎰， 则32(1)()3dx x x dx x c f x =+=++⎰⎰ 若()1,x f e x '=+则 ()f x =令,ln ()1ln x t e x t f t t '==∴=+，即()1ln f x x '=+，故()ln f x x x c =+ 十五、定积分部分0. 定积分的平均值：()baf x dx b a-⎰（填空）1.变上限积分 如设0()sin()xf x t x dt =-⎰ 求()f x '（知道即可）令0,()sin ()sin x u t x f x udu f x x -'=-=∴=-⎰2.定积分等式变形等若()f x 为连续函数，则120()(sin )cos f x dx f x xdx π=⎰⎰设()f x 在[2,2]-上连续，则11[(2)(2)]f x f x dx -+-⎰令1221202,[(2)(2)][()()]1/2[[()()]]t x f x f x dx f t f t dt f t f t dt --=+-=+-=+-⎰⎰⎰ 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()()()bba a f x dx f t dt -=⎰⎰1|(21)|x x dx -⎰十六 广义积分部分 1.无穷限广义积分 如 广义积分222211111[]ln |||231232dx x dx x x x x x +∞+∞+∞-=-=+--++⎰⎰ 2. 暇积分（无界函数的积分，知道即可）101110111dx dx dx x x x --=+⎰⎰⎰ 而11001ln |dx x x =⎰不存在，不收敛 十七、空间解析几何部分1.方程所表示的曲面注意：缺少变量的方程为柱面；旋转曲面的两个变量系数相等；抛物面、锥面可用截痕法判别 如 方程：220x y z +-=在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）旋转抛物面 在空间直角坐标系下，方程224(1)0x y --=表示（）2(1)x y =±-两条直线，所以两个平面方程2220x y z +-=在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）圆锥面2.直线与直线、直线与平面等位置关系直线250260x y z x y z +-+=⎧⎨-++=⎩与直线102335444x y z --+==-的位置关系（）不平行也不垂直 3.数量积、向量积概念已知4||1,||5,3,||||||sin 545a b a b a b a b θ==⋅=⨯===r r r rr r r r4.投影曲线方程空间曲线C ：22222()z x yz x y ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩在xoy 平面上的投影曲线方程_______________ 十八、全微分概念 1.偏导数概念设 (,)f x y 在点（a, b ）处有偏导数存在，则有 00(,)(,)(,)(,)(,)(,)limlimh h f a h b f a h b f a h b f a b f a b f a h b h h→→+--+-+--= 0(,)(,)(,)lim 2(,)x x h f a h b f a b f a b f a b h→--''=-=设函数222ln(),z x x y =+则2222z yx y x y ∂=∂+ 2.全微分设3ln(),xy z e x y =++则(1,2)|dz22(1,2)33()()|(21)(1)xy xy dz ye dx xe dy dz e dx e dy x y x y=+++∴=+++++ 十九、二元极值部分0. 极限连续 1. 驻点 2. 极值点 要使函数222242),(y x y x y x f +++-=在点()0,0处连续，应补充定义=)0,0(f ____。
河南高数专升本知识点汇总
河南高数专升本知识点汇总高等数学是一门专业课程，对于河南高数专升本考试来说，掌握相关的知识点是非常重要的。
本文将对河南高数专升本考试涉及的知识点进行汇总和总结，以帮助考生更好地备考和复习。
第一章：极限与连续 1. 极限的概念：数列极限、函数极限的定义和性质； 2.极限的运算法则：函数极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数极限存在的条件； 3. 无穷小量与无穷大量：无穷小量的概念、无穷小量的性质、无穷大量的概念、无穷大量的性质； 4. 函数的连续性：连续函数的定义、连续函数的性质、间断点与间断函数。
第二章：一元函数微分学 1. 导数的概念：导数的定义、导数的几何意义、可导与导函数的关系； 2. 导数的运算法则：和差、积、商的求导法则、复合函数的求导法则、参数方程求导； 3. 高阶导数与隐函数求导：高阶导数的概念、隐函数求导的方法； 4. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理。
第三章：一元函数积分学 1. 不定积分：不定积分的定义、不定积分的运算法则、换元积分法、分部积分法； 2. 定积分：定积分的定义、定积分的性质、牛顿-莱布尼茨公式； 3. 反常积分：反常积分的概念、无穷限的反常积分、无界函数的反常积分。
第四章：多元函数微分学 1. 偏导数：偏导数的定义、偏导数的计算、高阶偏导数； 2. 全微分：全微分的定义、全微分的性质、全微分的计算； 3. 隐函数的偏导数：隐函数求偏导的方法； 4. 多元函数的极值：局部极值的判定、全局极值的判定。
第五章：多元函数积分学 1. 二重积分：二重积分的概念、二重积分的计算、二重积分的性质； 2. 三重积分：三重积分的概念、三重积分的计算、三重积分的性质； 3. 曲线积分：曲线积分的概念、第一类曲线积分、第二类曲线积分； 4. 曲面积分：曲面积分的概念、第一类曲面积分、第二类曲面积分。
第六章：常微分方程 1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、解、通解、特解； 2. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、齐次微分方程、线性微分方程、一阶线性齐次微分方程； 3. 高阶微分方程：常系数线性齐次微分方程、常系数线性非齐次微分方程。
河南专升本高数教材知识点
河南专升本高数教材知识点河南专升本高数教材知识点主要包括以下几个方面：1.函数、极限与连续：考查函数的定义域、性质、极限的计算、分段函数的连续性、函数间断点的类型、渐近线等。
2.导数与微分：导数描述了函数在某一点上的变化率，是高等数学中一个基本的概念。
需要熟练掌握导数的定义与计算方法，如基本求导法则、常见函数求导法则（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）以及利用导数求极值等。
微分是导数的一种几何意义，表示函数在某一点上的增量与自变量的变化量之比。
需要了解微分的定义、微分中值定理以及微分在实际问题中的应用，如切线方程、曲线的凹凸性、极值判定等。
3.一元函数积分学：包括不定积分和定积分。
不定积分主要考查原函数的概念、不定积分与微分的互逆性、不定积分的计算（积分公式法、凑微分法、根号换元法、三角元法、分部积分法）。
定积分主要考查定积分的性质、定积分的计算、变限积分、广义积分的敛散性判定、定积分的应用。
4.常微分方程：包括一阶微分方程和二阶线性微分方程。
一阶微分方程主要考查一阶线性微分方程和可分离变量方程求通解、特解，近两年还考查了一阶微分的应用。
二阶常系数线性微分方程主要考查二阶常系数齐次线性微分方程求通解、二阶常系数非齐次线性微分方程设特解或求通解。
5.向量代数和空间解析几何：主要考查一些小概念，比如数量积、向量、平行向量；关于空间解析几何，主要考查直线方程、线与面的位置关系、二次曲面。
6.多元函数的微积分学：包括多元函数微分学和多元函数积分学。
多元函数微分学的计算包含二元函数的一阶、二阶偏导，复合函数的一阶偏导、二阶偏导，全微分，隐函数求偏导；多元函数微分学的应用包含方向导数、梯度和几何应用、极值。
二重积分包含二重积分的计算和交换积分次序；曲线积分包含第一类曲线积分和第二类曲线积分的计算。
7.无穷级数：包括常数项级数和幂级数。
常数项级数主要考查无穷级数的敛散性判定，需要考生掌握性质、正项级数审敛法、交错级数审敛法及绝对收敛与条件收敛的判别方法等等。
河南专升本高数总共分为十二个章节
河南专升本高数总共分为十二个章节，下面耶鲁小编把每个章节的考点为大家整理出来，希望大家都能在明年的河南专升本考试中取得一个满意的好成绩。
第一章、函数、极限和连续考点一：求函数的定义域考点二：判断函数是否为同一函数考点三：求复合函数的函数值或复合函数的外层函数考点四：确定函数的奇偶性、有界性等性质的问题考点五：有关反函数的问题考点六：有关极限概念及性质、法则的题目考点七：简单函数求极限或极限的反问题考点八：无穷小量问题考点九：分段函数求待定常数或讨论分段函数的连续性考点十：指出函数间断点的类型考点十一：利用零点定理确定方程根的存在性或证明含有的等式考点十二：求复杂函数的极限第二章、导数与微分考点一：利用导数定义求导数或极限考点二：简单函数求导数考点三：参数方程确定函数的导数考点四：隐函数求导数考点五：复杂函数求导数考点六：求函数的高阶导数考点七：求曲线的切线或法线方程或斜率问题考点八：求各种函数的微分第三章、导数的应用考点一：指出函数在给定区间上是否满足罗尔定理、拉格朗日定理或满足定理求定理中的值考点二：利用罗尔定理证明方程根的存在性或含有的等式考点三：利用拉格朗日定理证明连体不等式考点四：洛必达法则求极限考点五：求函数的极值或极值点考点六：利用函数单调性证明单体不等式考点七：利用函数单调性证明方程根的唯一性考点八：求曲线的凹向区间考点九：求曲线的拐点坐标考点十：求曲线某种形式的渐近线考点十一：一元函数最值得实际应用问题第四章、不定积分考点一：涉及原函数与不定积分的关系，不定积分性质的题目考点二：求不定积分的方法考点三：求三种特殊函数的不定积分第五章、定积分考点一：定积分概念、性质和几何意义等题目考点二：涉及变上限函数的题目考点三：求定积分的方考点四：求几种特殊函数的定积分考点五：积分等式的证明考点六：判断广义积分收敛或发散第六章、定积分的应用考点：直角坐标系下已知平面图形，求面积及这个平面图形绕坐标走旋转一周得到的旋转体的体积第七章、向量代数与空间解析几何考点一：有关向量之间的运算问题考点二：求空间平面或直线方程考点三：确定直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系;或已知位置关系求待定系数考点四：由方程识别空间曲面或曲线的类型考点五：写出旋转曲面方程和投影柱面方程第八章、多元函数的微分及应用考点一：求二元函数定义域考点二：求二元函数的复合函数或求复合函数的外层函数考点三：求多元函数的极限考点四：求简单函数的偏导数或某点导数考点五：求简单函数全微分或高阶偏导数考点六：复杂函数(特别是含符号f)的求偏导数或全微分或高阶导数考点七：隐函数的求偏导数或全微分考点八：求空间曲面的切平面或法线方程;求空间曲线的切线和法线方程考点九：求函数的方向倒数和梯度考点十：求二元函数的极值或极值点、驻点考点十一：多元函数有关概念的问题考点十二：二元函数最值的实际应用问题第九章、二重积分考点一：利用二重积分性质和几何意义等基本问题考点二：直角坐标系下计算二重积分考点三：直角坐标系下两种累次积分次序互换考点四：在极坐标系下计算二重积分考点五：两种坐标系下二重积分互换第十章、曲线积分考点一：计算对弧长的曲线积分考点二：计算对坐标的曲线积分第十一章、无穷级数考点一：有关级数收敛定义和性质的题目考点二：指出数项级数的收敛、发散、条件收敛、绝对收敛考点三：确定幂级数在某点处是否收敛或发散考点四：求幂级数的收敛域或收敛区间考点五：利用公式把简单函数展开成幂级数考点六：求数项级数的和或幂级数的和函数第十二章、常微分方程考点一：涉及微分方程有关概念的基本问题考点二：求可分离变量的微分方程的通解和特解考点三：涉及可变量微分方程的实际应用问题考点四：求齐次微分方程的通解或特解考点五：求一阶线性微分方程通解考点六：求通解或特解考点七：求通解或特解考点八：设出通解或特解考点九：求通解或特解高数的复习知识点比较多，逻辑性比较强，大家在复习的时候一定要按照以上老师总结的考点重点的加以复习备考。
2019年河南省普通专升本高等数学真题及答案
2019年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共60分)在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需更改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1．函数)1ln()(2x x x f -+=在定义域内是()A ．不确定奇偶性B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇函数【答案】D【解析】因为函数()x f 定义域为R ，且()()x f x x xx x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-222221ln 11ln 1ln ，所以()x f 为奇函数．2．函数)(x f 的定义域为],1[e ，则)(x e f 的定义域是()A ．](1,0B ．[]1,0C ．()1,0D ．)[1,0【答案】B【解析】由题可知()x e f 中有e e x ≤≤1，解得10≤≤x ，所以()x e f 的定义域为[]1,0．3．曲线16213123+++=x x x y 在)1,0(处的切线与x 轴的交点坐标为()A ．)0,61(-B ．()1,0C ．)0,61(D ．)(0,1-【答案】A【解析】切线斜率()662=++'===x x x xy k ，则切线方程为(),061-=-x y 即16+=x y ，令0=y 得61-=x ，故切线与x 轴的交点坐标为)0,61(-．4．当0→x 时，1132-+ax 与221x -等价，则=a ()A ．23-B ．32-C ．21-D ．32【答案】A【解析】因为当0→x 时，23231~11ax ax -+，则1322131lim 2111lim 2202320=-=-=--+→→a x axx ax x x ，所以23-=a ．5．极限=+--+∞→453423lim 22n n n n n ()A ．1B ．43C ．52-D ．34-【答案】D【解析】34453423lim 453423lim 2222-=+--+=+--+∞→∞→nn n n n n n n n n ．6．极限=→xxx 54sin lim0()A ．45B ．51C ．54D ．1【答案】C 【解析】5454lim 54sin lim00==→→x x x x x x ．7．当0→x 时，122-x e 是2x 的()无穷小A ．高阶B ．低阶C ．等价D ．同阶非等【答案】D【解析】当0→x 时，222~12x e x-，则122lim 1lim 2202202≠==-→→x x xe x x x ，故当0→x 时，122-x e 是2x 的同阶非等价无穷小．8．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=1,121,ln )(x ax x x a x f 在1=x 处连续，则=a ()A ．1B ．1-C ．0D ．3【答案】A【解析】因为函数()x f 在1=x 处连续，且()()()()()1212lim lim ,1ln lim lim 1111-=-===+=--++→→→→a ax x f f a x a x f x x x x ，所以a a =-12，故1=a ．9．设⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=1,2cos 1,1)(x x x x x f π，则1=x 是其()A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点【答案】A【解析】因为函数()x f 在1=x 处有定义，且()()()()02coslim lim 101lim lim 1111=====-=--++→→→→x x f f x x f x x x x π，所以1=x 是函数的连续点．10．函数)(x f 在a x =处可导，则=--+→xx a f x a f x )()(lim0()A ．()a f '2B ．0C ．()a f 'D ．()a f '21【答案】A 【解析】()()()()()()()()()()().2lim lim )()(limlim0000a f a f a f x a f x a f x a f x a f xa f x a f a f x a f x x a f x a f x x x x '='+'=---+-+=+---+=--+→→→→11．已知xxx f 21)(+=，则=-)1(1f ()A ．1-B ．1C ．31-D ．31【答案】A【解析】由()x x x f 21+=，可得到其反函数xx x f 21)(1-=-，故()121111-=-=-f ，故应选A ．12．已知x xe y =，则=dy ()A ．dxxe x B ．dxe x C ．()dxe x x+1D ．()dxx e x+【答案】C【解析】()x x x e x xe e y +=+='1，故()dx e x dy x +=1．13．xx y +=12的垂直渐近线为()A ．1=xB ．1-=x C ．1=y D ．1-=y 【答案】B【解析】由题意可知，令01=+x ，可得1-=x 为其无定义点，故由定义可知∞=+-→xx x 1lim 21，所以垂直渐近线是1-=x ，故选B ．14．方程)(0sin 23+∞<<-∞=-x x x 的实根个数为()A ．0B ．1C ．2D ．无数个【答案】B【解析】设()x x x f sin 23-=，则()x x f cos 23-='，由于,1cos 1≤≤-x 5cos 231≤-≤x ，故()0>'x f ，()x f 在()+∞∞-,内单调递增，又因为()00=f ，所以函数()x f 只有一个零点，即方程0sin 23=-x x 只有一个实根．15．12213123++-=x x x y 的拐点为()A ．0=xB ．)1,1(C ．)0,0(D ．)1,0(【答案】D【解析】函数123++=x x y 的定义域为R ，x y x y 12,162=''+='，令0=''y 得0=x ，且0>x 时，0>''y ；0<x 时0<''y ，所以函数的拐点为()1,0．16．可导函数()x f 和()x g 满足)()(x f x g '='，则下列选项正确的是()A ．()()g x f x =B ．(())(())g x dx f x dx ''=⎰⎰C ．()()g x f x C =-D ．()()g x dx f x dx=⎰⎰【答案】C【解析】由()()x f x g '='两边同取积分得()()C x f x g -=，再积分得()()()()()Cx dx x f Cdx dx x f dx C x f dx x g -=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰，两边求导得()()()()()()C dx x f Cx dx x f dx x g -'='-='⎰⎰，故选C ．17．计算不定积分=-⎰dx x211()A ．1ln 122x C-+B ．1ln(12)2x C-+C ．1ln 122x C--+D ．1ln(12)2x C--+【答案】C 【解析】()C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰21ln 212121121211．18．cos bad tdt dx =⎰()A ．a b cos cos -B ．0C ．a b sin sin -D ．ba sin sin -【答案】B【解析】定积分的结果是一个确定的常数，常数求导是0，故选B ．19．当k 为何值时，dx e kx ⎰∞--0收敛()A ．0>kB ．0≥k C ．0<k D ．0≤k 【答案】C【解析】因为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>∞<-=-=∞==∞--∞-∞--⎰⎰,0,,0,11,0,1000k k k e k k dx dx e kx kx发散收敛发散所以当0≥k 时，dx ekx⎰∞--0发散；当0<k 时dx e kx ⎰∞--0收敛，故选C ．20．若)(x f 在)5,1(上可积，⎰-=111)(dx x f ，⎰-=512)(dx x f ，则⎰=15)(3dx x f ()A ．2-B ．2C ．3-D ．3【答案】C【解析】由定积分的性质，可知()()()⎰⎰⎰--+=115151dx x f dx x f dx x f ，故1)(51⎰=dx x f ，即313)(3)(35115-=⋅-=-=⎰⎰dx x f dx x f ．21．平面0172=++-z y x 和平面055=+--z y x 的位置关系为()A ．重合B ．垂直C ．平行D ．相交但不垂直【答案】B【解析】平面0172=++-z y x 的法向量()7,2,11-=n，055=+--z y x 的法向量()1,1,52--=n ，因为021=⋅n n，所以两平面垂直．22．若)2,2,(),4,,6(--=-=y b x a ，已知b a //，则y x ,的值分别是()A ．3,4-B ．4,3--C ．4,3-D ．3,4-【答案】D【解析】因为→→b a //，所以22426=--=-=x y ，故3,4=-=y x ．23．已知)ln(y x x z +=，则=∂∂∂yx z2()A ．()2y x x +B ．()2y x y +C ．()22y x y x ++D ．()22y x y x ++【答案】B【解析】()()()2221,ln y x y y x x y x y x z y x x y x x z +=+-+=∂∂∂+++=∂∂．24．一元函数在某点处极限存在是在该点可导的()条件A ．必要B ．充分C ．充要D ．无关【答案】A【解析】一元函数在某点处极限存在但在该点不一定可导；反之一元函数在某点处可导则在该点一定连续，进而在该点极限一定存在．25．级数nn n x n ∑∞=+122的收敛区间为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛-41,41B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21C ．()1,1-D ．()2,2-【答案】B【解析】因为()()()2322lim 2322lim lim 11=++=⋅++⋅==∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n ρ，所以级数n n n x n ∑∞=+122的收敛半径211==ρR ，故收敛区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21．26．已知L 为0=+y x 上从点)2,2(-到点)2,2(-上的一段弧，则=⎰Lydx cos ()A ．2sin 2-B ．2sin 2C ．2cos 2-D ．2cos 【答案】A【解析】22:,:-→-=x x y L ，则原式()2sin 2sin cos cos 2222-==-==--⎰⎰xdx x ydx L．27．已知∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则()A ．∑∞=0n n u 收敛B ．0lim =∞→n n uC ．∑∞=0n n u 敛散性不确定D ．∑∞=0n n u 发散【答案】C【解析】收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数的和.如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛.例如，级数()()() +-++-+-111111收敛于零，但级数() +-+-1111却是发散的．28．x Ce y =是0=-''y y 的()A ．解B ．通解C ．特解D ．所有解【答案】A【解析】微分方程0y y ''-=的特征方程为012=-r ，特征根为1,121-==r r ，则微分方程的通解为12x x y C e C e -=+．又因为x y Ce =，x Ce y ='，x Ce y =''，所以把y y '',代入方程可知，x Ce y =满足微分方程0=-''y y ，即x Ce y =是微分方程的解，但x Ce y =只有一个任意常数，则x Ce y =不是通解，不是特解，也不是所有解，故选A ．29．若122++-=x x e y x ，则=)520(y ()A ．520xe B ．2e xC ．5202xe D ．0【答案】B【解析】221x y e x '=-+，22x y e ''=-，2x y e '''=， ，(520)2x y e =，故选B ．30．122=-y x 表示的二次曲面是()A ．椭圆柱面B ．抛物面C ．双曲柱面D ．单叶双曲面【答案】C【解析】由方程特点可知，221x y -=表示双曲柱面．二、填空题(每小题2分，共20分)31．极限3lim 13xx x →∞⎛⎫+= ⎪+⎝⎭________．【答案】3e 【解析】33333lim3333lim 1lim 133x x xx xxxx x ee x x →∞+⋅⋅++→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．32．微分方程1090y y y '''-+=的通解是________．【答案】912x x y C e C e =+，12,C C 为任意常数【解析】特征方程为21090r r -+=，特征根11r =，29r =，故通解为912x x y C e C e =+，其中12,C C 为任意常数．33．设(1)23f x x +=+，则(()3)f f x -=________．【答案】43x -【解析】(1)232(1)1f x x x +=+=++，()21f x x =+，故(()3)(22)43f f x f x x -=-=-．34．若⎰-=xdt t x f 0)1()(，则()f x 的单调增区间是________．【答案】(1,)+∞【解析】1])1([)(0-='-='⎰x dt t x f x，令()0f x '>，解得1x >，故()f x 的单调增区间是(1,)+∞．35．不定积分=________．C【解析】12221(1)(1)2x d x C -=++=⎰．36．62(sin )x x x dx ππ-⋅+=⎰________．【答案】323π【解析】因为x x sin 6⋅在区间],[ππ-上为奇函数，2x 在区间],[ππ-上为偶函数，所以由偶倍奇零，可得3622312(sin )2233x x x dx x dx x πππππ-⋅+==⋅=⎰⎰．37．交换积分次序21(,)x dx f x y dy =⎰⎰________．【答案】110(,)dy f x y dx⎰【解析】积分区域{}{}1,10),(0,10),(2≤≤≤≤=≤≤≤≤x y y y x x y x y x ，则交换积分次序21(,)x dx f x y dy =⎰⎰110(,)dy f x y dx ⎰．38．22z x y =+的全微分dz =________．【答案】22xdx ydy +【解析】22z zdz dx dy xdx ydy x y∂∂=+=+∂∂．39．将1()2f x x =-展开成2x +的幂级数为________．【答案】101(2)4n n n x ∞+=+∑，(6,2)x ∈-【解析】,)2(41)42(41421141)2(4121010∑∑∞=+∞=+=+=+-⋅=+-=-n n nnn x x x x x ，其中1421<+<-x ，即(6,2)x ∈-．40．参数方程331cos 21sin 2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的导数dy dx =________．【答案】tan t-【解析】t t t tt dt dx dt dy dx dy tan )sin (cos 23cos sin 2322-=-⋅⋅==．三、计算题(每小题5分，共50分)41．求不定积分cos x xdx ⎰．【答案】sin cos x x x C++【解析】cos sin sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰．42．求极限21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】12【解析】令t x=1，则22200001111ln(1)ln(1)111lim ln 1lim lim lim lim 22(1)2x t t t t t t t t x x x t t t t t →∞→→→→-⎡⎤+-+⎛⎫⎡⎤+-+=-==== ⎪⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎣⎦．43．设方程y x xyz xy 42-=+所确定的隐函数),(y x z z =，其中0≠xy ，求zx∂∂，z y ∂∂．【答案】2z y yz x xy ∂+-=-∂，4z x xz y xy∂++=-∂【解析】令(,,)24F x y z xy xyz x y =+-+，则2x F y yz =+-，4y F x xz =++，z F xy =，由于0≠xy ，故2x z F z y yz x F xy ∂+-=-=-∂，4y z F z x xz y F xy∂++=-=-∂．44．已知2,0()0x x f x x ≤⎧⎪=>，求31(2)f x dx --⎰．【答案】325-【解析】令2x t -=，则2+=t x ，dx dt =，当1x =-时，3t =-，当3x =时，1t =，故原式325322)()()(10230320313113-=+=+=+==----⎰⎰⎰⎰⎰t t dtt tdt dt t f dt t f dt t f ．45．求过点(9,8,5)且与直线3210210x y y z ++=⎧⎨+-=⎩平行的直线方程．【答案】985236x y z ---==-【解析】设所求直线的方向向量为s ，由题意知320236(2,3,6)021==-+=-i j ks i j k ，又由于直线过点(9,8,5)，故所求直线的方程为985236x y z ---==-．46．计算Dxdxdy ⎰⎰，其中D 是由1y =，y x =，2x =所围成的闭区域．【答案】56【解析】由题意可知，积分区域{}x y x y x D ≤≤≤≤=1,21),(，故2223221111115()326x Dxdxdy dx xdy x x dx x x ⎛⎫==-=-=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰．47．求幂级数15(1)nn n x n ∞=+∑的收敛区间（不考虑端点）．【答案】(5,5)-【解析】因为115(1)1limlim 5(2)5n n n n n n a n a n ρ++→∞→∞+===+，所以收敛半径15R ρ==，故收敛区间(5,5)-．48．求方程cos (0)xy y x x '+=>的通解．【答案】1(sin )y x C x=+，C 为任意常数【解析】方程可化简为1cos x y y x x'+=，由公式可得故()11cos 11cos (sin )dxx x x y e e dx C xdx C x C x xx-⎛⎫⎰⎰=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰，C 为任意常数．49．求321312323y x x x =-+-的极值．【答案】在1x =时，取得极大值12，在2x =时取得极小值13【解析】函数的定义域为R ，232(1)(2)y x x x x '=-+=--，令0y '=，得11x =，22x =．列表，定义域被分为3个区间x (,1)-∞1(1,2)2(2,)+∞y '+0-0+y极大值极小值综上，函数在1x =时，取得极大值12，在2x =时取得极小值13．50．求椭球面222239x y z ++=在点(2,1,1)处的切平面方程．【答案】22390x y z ++-=【解析】令222(,,)239F x y z x y z =++-，则2x F x =，4y F y =，6z F z =，所以切平面的法向量(4,4,6)2(2,2,3)==n ，又由于切平面过点(2,1,1)，故切平面的方程为2(2)2(1)3(1)0x y z -+-+-=，即22390x y z ++-=．四、应用题(每小题7分，共14分)51．曲线2y x =，2x =，0y =所围图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．【答案】325π【解析】联立方程22y x x ⎧=⎨=⎩，解得交点(2,4)，由题意可知，222520032()55x V x dx x πππ===⎰．52．已知血液浓度C 关于时间t 的函数为32004.004.003.0)(t t t t C -+=，求时间t 为多0.0885≈）【答案】02.7【解析】由题意可知，20012.008.003.0)(t t t C -+=')0(>t ，令0012.008.003.0)(2=-+='t t t C ，得35.01≈t (舍)，02.72≈t ．故02.7≈t 为唯一的驻点．又由于002.7012.008.0)02.7(<⨯-=''C ，故在02.7≈t 处，取得极大值，由实际意义可知，在02.7≈t 处，可取得最大值，即在02.7≈t 处，血液浓度最大．五、证明题(6分)53．函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，()f a a =，()f b b =且()0f x ≠，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξξ'=⋅．【解析】令()()xF x f x =，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且2)]([)()()(x f x f x x f x F '-='，又因为()1()a F a f a ==，()1()bF b f b ==，由罗尔定理知，至少存在一个点(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，又0)(≠ξf ，所以0)()(='-ξξξf f ，即()()f f ξξξ'=⋅．。
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考试知识点归类及串讲（一）单项选择题 一、函数部分1. 定义域（尤其是分段函数；已知一个函数的定义域，求另一个的定义域；函数的相同；反函数）如：设函数2ln(1),12()23x x f x x ⎧-<<⎪=≤≤，则()f x 的定义域为（）A 13x <≤B 13x <≤C 123x x <<≤≤或2D 13x x >≤或函数arcsin(25)y x =-定义域已知(21)f x -的定义域为[0,1],则()f x 的定义域为（） A [1/2,1] B [-1,1] C[0,1] D [-1,2] 设)1(2x f +的定义域为[)5,1，则)(x f 的定义域为________下列函数相等的是A 1,x x y y ==B y y ==,cos(arccos )y x y x ==D ||y y x == 函数2)34(-=x y （0≤x ）的反函数是________ 2.函数的性质⎧⎨⎩函数图像的对称轴（复合函数的奇偶性）函数的有界性如：1()ln1xf x x+=-（(1,1)-内奇函数？） 已知()f x 不是常数函数，定义域为[,]a a -，则()()()g x f x f x =--一定是____。
A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数下列函数中为奇函数的是_________。
A 2()sin 2x xe ef x x -+=B ()tan cos f x x x x =-C ()ln(f x x =D ()1x f x x=- 3.函数的表达式、函数值（填空）如：设()f x 为(,)-∞+∞上的奇函数，且满足(1),(2)()(2)f a f x f x f =+=+，则(2)f =_________ 二、重要极限部分101lim(1)1, lim(1)1→→∞+=+=W WW W W W0sin 3lim3x x x →=；22lim(1)x x e x→∞+=，111lim (1lim (11x x e x -+→+∞→+∞-=-==三、无穷小量部分1.无穷小量的性质：无穷小量乘有界仍为无穷小2.无穷小量（大量）的选择3.无穷小量的比较（高阶、低阶、等价、同阶） 如 n →∞时与31sin n等价无穷小量是（）如 设sin 2340(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时，()f x 是比()g x 的（）0x →时，无穷小量232x x +-是x 的（） 0x →2x 的（）4.无穷小量的等价替代 四、间断点部分1. 第Ⅰ类间断点（跳跃间断点、可去间断点）2. 第Ⅱ类间断点（无穷间断点） 如 点0x =是函数1x xy e+=的（）函数11,0()ln(1),10x e x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩则0x =是（）若1cos sin ,0()1,0x x x x f x xe x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩则0x =是()f x 的（） 五、极限的局部性部分 1.极限存在充要条件2.若0lim ()0(0)x x f x A →=><,则存在0x 的一个邻域0(,)U x δ，使得该邻域内的任意点x ，有()0(0)f x ><如 ()f x 在点0x x =处有定义，是当0x x →时，()f x 有极限的（）条件 若(1)0f =，21()lim2(1)x f x x →=-，则()f x 在1x =处（）（填 取得极小值）六、函数的连续性部分1.连续的定义 如设1(1),0(),0x x x f x k x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在点0x =处连续，则k =（）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin 1)(x a x x x x f 在()+∞∞-,内处处连续，则a =________.2.闭区间连续函数性质：零点定理（方程()0f x =根存在及个数）如 方程014=--x x ，至少有一个根的区间是 ( ) (A))21,0( (B) )1,21( (C) )3,2( (D) )2,1( 最大值及最小值定理如设()f x 在[,a b ]上连续，且()()f a f b =，但()f x 不恒为常数，则在(,)a b 内（）A 必有最大值或最小值B 既有最大值又有最小值C 既有极大值又有极小值D 至少存在一点使得()0f ξ'= 七、导数定义0000()()()()lim(),lim ()x x f x f x f x f x f x f x x x →→-+-''==-W W W如 ()f x 在点1x =可导，且取得极小值，则0(12)(1)lim x f x f x→+-=设 (1)0f =，且极限1()lim1x f x x →-存在，则1()lim22x f x x →=- 设函数21()(3sin ),x f x t t dt =+⎰则0()()limh f x h f x h→+-=设3)(='a f ，则=--→hh a f a f h )()(lim0________.已知6)3(='f ,则=--→hf h f h 2)3()3(lim 0________.求高阶导数（几个重要公式）()11(1)!()()n n n n x c x c +-=++；()(sin )sin()2n x x n π=+ 如 设xxy -+=11，则 ()=n y (A) ()nx n -•11!2(B) ()111!+-n x n C) ()()111!21+-•-n n x n (D) ()111!2+-•n x n八、极值部分极值点的必要条件（充分条件），拐点的必要条件（充分条件）如 函数()y f x =在点0x x =处取得极大值，则必有（）0()0f x '=或不存在 设函数()y f x =满足()()1x f x xf x e '''+=+，若0()0f x '=，则有（）设)(x f y =是方程042=+'-''y y y 的一个解，若,0)(0>x f 且,0)(0='x f 则函数在0x 有极（）值 设函数()f x 满足()3x f x e '=-，若0()0,f x '=则有（）0()f x 是()f x 的极大值 九、单调、凹凸区间部分()0f x '≥，函数在相应区间内单调增加；()0f x ''≥，则区间是上凹的如 曲线31x y xe x -=++的上凹区间为（）(2,)+∞ 曲线42246y x x x =-+的下凹区间为（） 十、渐近线水平渐近线lim ()x f x A →∞=,y A =为水平渐近线；0lim ()x x f x →=∞，0x x =为垂直渐近线如 函数ln 2xy x =-的垂直渐近线的方程为____ 曲线13+=x e y x 的水平渐近线为_______.曲线xe y x= 既有水平又有垂直渐近线？ 曲线21xx y -=的铅锤渐近线是_________.十一、单调性应用设()()f a g a =，且当x a >时，()()f x g x ''>，则当x a ≥必有（）已知函数()x f 在区间()δδ+-1,1内具有二阶导数，()x f '严格单调减少，且()()111='=f f ，则 有 (A) 在()1,1δ-和()δ+1,1内均有()x x f < (B) 在()1,1δ-和()δ+1,1内均有()x x f >(C) 在()1,1δ-内()x x f <，在()δ+1,1内()x x f > (D) 在()1,1δ-内()x x f >，在()δ+1,1内()x x f < 十二、中值定理条件、结论、导数方程的根如 函数3()2f x x x =+在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的ξ为（） 设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则()0f x '=实根个数为（）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且在(,)a b 内()0f x ''>，则在(,)a b 内等式()()()f b f a f b aξ-'=-成立的ξ_________ A 存在 B 不存在 C 惟一D 不能断定存在十三、切线、法线方程 如 曲线sin 2cos y tx t=⎧⎨=⎩在4t π=处的法线方程为（）设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则曲线()y f x =在(,)a b 内平行于x 轴的切线（）（至少存在一条） 十四、不定积分部分1. 不定积分概念（原函数）如 (),()F x G x 都是区间I 内的函数()f x 的原函数，则()()F x G x C -=2.被积函数抽象的换元、分部积分如 设ln ()cos ,f t t = 则()ln ()ln ()cos cos cos sin ()f t tdt f t t f t dt t t tdt t t t c f t '=-=-=-+⎰⎰⎰ 若()x f x e =，则ln (ln )(ln )x f x dx f x c e c x c x'=+=+=+⎰设()f x 连续且不等于零，若()arctan f x dx x c =+⎰， 则32(1)()3dx x x dx x c f x =+=++⎰⎰ 若()1,x f e x '=+则 ()f x =令,ln ()1ln x t e x t f t t '==∴=+，即()1ln f x x '=+，故()ln f x x x c =+ 十五、定积分部分0. 定积分的平均值：()baf x dx b a-⎰（填空）1.变上限积分 如设0()sin()xf x t x dt =-⎰ 求()f x '（知道即可）令0,()sin ()sin x u t x f x udu f x x -'=-=∴=-⎰2.定积分等式变形等若()f x 为连续函数，则120()(sin )cos f x dx f x xdx π=⎰⎰设()f x 在[2,2]-上连续，则11[(2)(2)]f x f x dx -+-⎰令1221202,[(2)(2)][()()]1/2[[()()]]t x f x f x dx f t f t dt f t f t dt --=+-=+-=+-⎰⎰⎰ 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()()()bba a f x dx f t dt -=⎰⎰1|(21)|x x dx -⎰十六 广义积分部分 1.无穷限广义积分 如 广义积分222211111[]ln |||231232dx x dx x x x x x +∞+∞+∞-=-=+--++⎰⎰ 2. 暇积分（无界函数的积分，知道即可）101110111dx dx dx x x x --=+⎰⎰⎰ 而11001ln |dx x x =⎰不存在，不收敛 十七、空间解析几何部分1.方程所表示的曲面注意：缺少变量的方程为柱面；旋转曲面的两个变量系数相等；抛物面、锥面可用截痕法判别 如 方程：220x y z +-=在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）旋转抛物面 在空间直角坐标系下，方程224(1)0x y --=表示（）2(1)x y =±-两条直线，所以两个平面方程2220x y z +-=在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）圆锥面2.直线与直线、直线与平面等位置关系直线250260x y z x y z +-+=⎧⎨-++=⎩与直线102335444x y z --+==-的位置关系（）不平行也不垂直 3.数量积、向量积概念已知4||1,||5,3,||||||sin 545a b a b a b a b θ==⋅=⨯===r r r rr r r r4.投影曲线方程空间曲线C ：22222()z x yz x y ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩在xoy 平面上的投影曲线方程_______________ 十八、全微分概念 1.偏导数概念设 (,)f x y 在点（a, b ）处有偏导数存在，则有 00(,)(,)(,)(,)(,)(,)limlimh h f a h b f a h b f a h b f a b f a b f a h b h h→→+--+-+--= 0(,)(,)(,)lim 2(,)x x h f a h b f a b f a b f a b h→--''=-=设函数222ln(),z x x y =+则2222z yx y x y ∂=∂+ 2.全微分设3ln(),xy z e x y =++则(1,2)|dz22(1,2)33()()|(21)(1)xy xy dz ye dx xe dy dz e dx e dy x y x y=+++∴=+++++ 十九、二元极值部分0. 极限连续 1. 驻点 2. 极值点 要使函数222242),(y x y x y x f +++-=在点()0,0处连续，应补充定义=)0,0(f ____。