人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

九年级讲义目录
专题01 二次根式的化简与求值
阅读与思考
二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.
有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：
1、直接代入
直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入
适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.
数学思想：
数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.
=x , y , n 都是正整数）
例题与求解
【例1】 当x =
时，代数式32003
(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003
2-
（绍兴市竞赛试题）
【例2】 化简
（1(b
a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）
（2
（五城市联赛试题）
（3
（北京市竞赛试题）
（4
（陕西省竞赛试题）
解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.
思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.
【例3】比6大的最小整数是多少？
（西安交大少年班入学试题）
解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y
==
想一想：设x=求
432
32
621823
7515
x x x x
x x x
--++
-++
的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）
的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
【例4】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.
（“宗泸杯”竞赛试题）
解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.
【例5】 （1的最小值.
（2的最小值.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），
设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.
方法精髓：
解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.
【例6】 设2)m a =≤≤，
求1098747m m m m m +++++-的
值.
解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.
能力训练
A级
1.
化简：
7
()
3
“希望杯”邀请赛试题）
2.
若x y x y
+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)
3.
+（“希望杯”邀请赛试题）
4.若满足0＜x＜y
=x，y）是_______（上海市竞赛试题）
5.
2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞0
6）
A．1B C. D. 5
（全国初中数学联赛试题）
7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定
（全国初中数学联赛试题）
8、有下列三个命题
甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ
+-是无理数；
乙：若α，β是不相等的无理数，则αβ
αβ
-
+
是无理数；
丙：若α，β
其中正确命题的个数是（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
（全国初中数学联赛试题）9、化简：
（1（2
（3
（4（天津市竞赛试题）
（5（“希望杯”邀请赛试题）
10、设
5
2
x=，求代数式(1)(2)(3)(4)
x x x x
++++的值.
（“希望杯”邀请赛试题）
117x
=，求x的值.
12、设x x =
=
（n 为自然数），当n 为何值，代数式22
1912319x xy y ++的 值为1985？
B 级
1.已知3312________________
x y x xy y =
=++=则. (四川省竞赛试题)
2.已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿
＿＿＿（全国初中数学联赛试题）
3.已知42______1
x x x ==++2
x 那么. （重庆市竞赛试题）
4.a =
那么
23
331
a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）
5. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=
++则a ＋b ＝（ ）
A .2
B . 4
C . 6
D . 8
(全国初中数学联赛试题)
6． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）
.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b
(全国初中数学联赛试题)
7.
=
） A . 1a a -
B .
1a a - C . 1
a a
+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则
等于（ ）
A .1
B .2
C .3
D . 4
（陕西省竞赛试题）
9． 把(1)a - ）
A .
B C. D .（武汉市调考题）
10、化简：
（1 （“希望杯”邀请赛试题）
（2
10099+
+
（新加坡中学生竞赛试题）
（3
（山东省竞赛试题）
（4 （太原市竞赛试题）
11、设01,x << 1≤<.
（“五羊杯”竞赛试题）
12的最大值.
13、已知a , b , c
为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.
专题02 从求根公式谈起
阅读与思考
一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.
初学一元二次方程，需要注意的是： 1、熟练求解
解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：
① 若0=++c b a ，则方程2
0(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1. ② 若0=+-c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1-.
2、善于变形
解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.
思想精髓
一元二次方程的求根公式为1,22b x a
-±=这个公式形式优美，内涵丰富：
① 公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美； ② 公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；
③ 公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？
例题与求解
例1 阅读下列的例题
解方程： 2
||20x x --=
解：①当x ≥0时，原方程化为2
20x x --=，解得122,1x x ==-(舍)
① 当0<x 时，原方程化为2
20x x +-=，解得11=x (舍)，22-=x 请参照例题解方程：
2|3|30x x ---=，则方程的根是＿＿＿＿
（晋江市中考试题）
解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.
例2 方程2
|1|(42)x x -=-+的解的个数为（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.
例3 已知m ，n 是二次方程2
199970x x ++=的两个根，求
2
2
+19986)(20008)m m n n +++（的值.
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：若求出m ，n 值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m ，n 的等式，不妨从变形等式入手.
反思：
一元二次方程常见的变形方法有：
①把2
0(0)ax bx c a ++=≠变形为2
ax bx c =--
②把2
0(0)ax bx c a ++=≠变形为2
ax bx c +=-
③把2
0(0)ax bx c a ++=≠变形为c
ax b x
+
=- 其中①②体现了“降次”代换的思想；③则是构造倒数关系作等值代换. 例4 解关于x 的方程：2
(1)(21)30m x m x m -+-+-=
解题思路：因未指明关于x 的方程的类型，故首先分01=-m 及1-m ≠0两种情况，当1-m ≠0时，还考虑就2
4b ac -的值的三种情况加以讨论.
例5 已知三个不同的实数a ，b ，c 满足3=+-c b a ,方程012=++ax x 和02
=++c bx x ，有一个相同的实根，方程02=++a x x 和02
=++b cx x 也有一个相同的实根，求a ，b ，c 的值.
解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.
方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是： ①若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解. ②设出公共根，设而不求，消去二次项.
例6 已知a 是正整数，如果关于x 的方程3
2
(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.
（全国初中数学联赛试题） 解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a 的较低次数的方程.
能力训练 A 级
1、已知方程062=+-q x x 可以配成()72
=-p x 的形式，那么262
=+-q x x 可以配成＿＿＿＿
＿_________的形式.
（杭州市中考试题）
2、若分式222
21
x x x x --++的值为0，则x 的值等于＿＿＿＿.
（天津市中考试题）
3、设方程2
199319940,x x +-=和2
(1994)1993199510x x -⋅-=的较小的根分别为α，β，则
βα⋅＝＿＿＿.
4、方程2
|45|62x x x +-=-的解应是＿＿＿＿（上海市竞赛试题） 5、方程2
3
(1)
1x x x ++-=的整数解的个数是＿＿＿＿.
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
（山东省选拔赛试题）
6、若关于x 的一元二次方程22
(1)5320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值等于（ ） A 、1 B 、2 C 、1或2 D 、0
（德州市中考试题）
7、已知a , b 都是负实数，且
1110a b a b
+-=-，那么b
a 的值是（ ）
A 、
12+ B 、12- C 、12- D 、12
+- （江苏省竞赛试题）
8、方程2
||10x x --=的解是（ ）
A 、
12± B 、12- C 、12±或12- D 、12
-± 9、已知a 是方程2
199910x x -+=的一个根，求2
21999
19981
a a a -++的值.
10、已知2
410a a ++=且423
21
322a ma a ma a
--=++，求m 的值. （荆州市竞赛试题）
11、是否存在某个实数m ，使得方程2
20x mx ++=和2
20x x m ++=有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.
12、已知关于x 的方程2
(4)(8)(8012)320k k x k x ----+=的解都是整数，求整数k 的值.
B 级
1、已知α、β是方程2
(2)10x m x +-+=的两根，则2
2
(1)(1m )m ααββ++++的值为＿＿＿ 2、若关于x 的方程2
0x px q ++=与2
0x qx p ++=只有一个公共根，则1999
(p q)
+＝＿＿＿
3、设a , b 是整数，方程2
0x ax b ++=，则b a +=_________
(全国通讯赛试题)
4、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程2
2[]30x x --=解的个数为（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 5、已知
1||1a a
-=，那么代数式1
||a a +=（ ）
A 、
2 B 、2
- C 、 D 6、方程||3||20x x x -+=的实根的个数为（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
7、已知2
519910x x --=，则代数式42(2)(1)1
(1)(2)
x x x x -+----的值为（ ）
A 、1996
B 、1997
C 、1998
D 、1999
8、已知三个关于x 的一元二次方程2
2
2
0,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公
共实根，则222
a b c bc ca ab
++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
（全国初中数学联赛试题）
9、已知x =，求4322
621823
815
x x x x x x --++-+的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）
10、设方程2
|21|40x x ---=，求满足该方程的所有根之和.
（重庆市竞赛试题）
11、首项系数不相等的两个二次方程
222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= ①
及2
2
2
(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= ②（其中a ， b 为正整数）
有一个公共根，求b a
b a
a b a b --++的值.
（全国初中数学联赛试题）
12、
小明用下面的方法求出方程30=的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，
专题04 根与系数关系
阅读与思考
根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；
3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．
当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．
例题与求解
【例1】设关于x 的二次方程2
2
(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为
s ，则s 的取值范围是_________.
【例2】 如果方程2
(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取
值范围是_________.
A ．01m ≤≤
B ．34m ≥
C ．314m <≤
D ．3
14
m ≤≤
【例3】已知α，β是方程2
780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求22
3βα
+的值．
【例4】 设实数,s t 分别满足2
2
199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41
st s t
++的值．
【例5】（1）若实数,a b 满足2
58a a +=，2
58b b +=，求代数式11
11
b a a b --+
--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z a
xy yz zx ++=⎧⎨
++=⎩
有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；
（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2
2
66x y xy +=，求4
3
2
2
3
4
x x y x y xy y ++++的值．
【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程2
0ax bx c ++=有大于
1的根．
能力训练
A 级
1．已知m ，n 为有理数，且方程2
0x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ．
2．已知关于x 的方程2
30x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程2
2
8(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22
240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m 的方程2
3280x x m ++-=有两个大于2-的根．
4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程2
2
(2)20x n x n -+-=的两根记为
,n n a b (2)n ≥则
22332007200711
1
(2)(2)(2)(2)
(2)(2)
a b a b a b ++
+
=------ ．
5．设12,x x 是方程2
2
2(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）
A ．31-或
B ．3-
C ．1
D ．1
2
k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程2
2x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ） A ．12m n >⎧⎨
>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．1
2
m n <⎧⎨<⎩
7．设12,x x 是方程2
20x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）
A ．正数
B ．零
C ．负数
D ．不大于零的数
8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程
22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）
A ．3-
B ．5
C ．53-或
D ．53-或
9．已知关于x 的方程：2
2
(2)04
m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．
10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2
430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）是否存在这样的实数k ，使1212
3
222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．
11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：
1；又关于x 的方程012)1(24
12
2=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．
D
B
A
C
12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2
()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．
B 级
1．设1x ，2x 是二次方程032
=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．
2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及2
8199550b b ++=则
a
b
= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2
610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则
k = ．
4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2
2x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大
值为 ．
5．如果方程2
10x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）
A ．2
B ．4
C
D 6．已知关于x 的一元二次方程2
210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则
212()x x -的值是 ( )
A ．1
B ．12
C ．13
D ．25
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．
23 B ．2
5
C ．5
D ．2 8．设2
13a a +=，2
13b b +=且a b ≠，则代数式
2
211
a b
+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11
9．已知,a b 为整数，a b >，且方程2
33()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式
(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．
10．若方程2
310x x ++=的两根,αβ也是方程6
2
0x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的
值．
11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2
420x x -+=的两根，已知
a b c d
M b c d c d a d a b a b c
+++=++++++++．求证：
（1）
2222
77a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）
3333
4968a b c d M b c d c d a d a b a b c
+++=-++++++++．
12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程22
2(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．
（1）若22
126x x +=，求m 的值；
（2）求22
1212
11mx mx x x +
--的最大值．
13．已知关于x 的一元二次方程2
0x cx a ++=的两个整数根恰好比方程2
0x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．
专题06 转化与化归----特殊方程、方程组
阅读与思考
特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.
降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是： 1、因式分解； 2、换元； 3、平方； 4、巧取倒数；
5、整体叠加、叠乘等.
转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”.
例题与求解
【例1】已知方程组⎩
⎨
⎧=+=+233522y x y x 的两组解是),(11y x 与),(22y x ，则1221y x y x +的值是_______ （北京市竞赛题）
解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值.
【例2】方程组⎩⎨
⎧=+=+23
63yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手．
【例3】 解下列方程:
（1） 42)113(1132=+-++-x x
x x x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （2）
12
11
93482232222=+-++-++x x x x x x x x ； （河南省竞赛试题） （3） 1)1998()1999(3
3
=-+-x x ； （山东省竞赛试题） （4） 2
2
2
2
2
2
)243()672()43(+-=+-+-+x x x x x x （“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.
【例4】 解下列方程组:
（1） ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++=-+-+;
612,331y y x y x y x （山东省竞赛试题）
（2） ⎩⎨⎧=++=++;
2454,144)53)(1(2
y x x y x x x （西安市竞赛试题）
（3） ⎩⎨⎧+-=+-=.
23,
232
32232y y y x x x x y （全苏数学奥林匹克试题） 解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理.
【例5】 若关于x 的方程x
kx x x x x k 1
122+=---只有一个解（相等的解也算一个）.试求k 的值与方程的解.
（江苏省竞赛试题）
【例6】 方程02006322
=+++-y x xy x 的正整数解有多少对？
解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.
能力训练
A 级
1．方程1)1(3)1(222
=+-+
x
x x x 的实数根是_____________. 2．()(
)()
2
2
2
22224367243+-=+-+-+x x
x x x x ，这个方程的解为x =_________________.
3．实数z y x ,,满足⎩⎨
⎧=+-+-=,
0223,362
z xy y x y x 则z
y x +2的值为_______________.（上海市竞赛题） 4． 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0
,0,0122
2b ax x a x bx bx ax 有实数解，则.________1=++b a
（武汉市选拔赛试题）
5．使得(
)(
)(
)(
)
7823142
2
2
2
+-++=--x x x x x x 成立的x 的值得个数为（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
（“五羊杯”竞赛试题）
6．已知方程组⎩⎨
⎧=-=+1
,22
z xy y x 有实数根，那么它有（ ）
A ．一组解
B ．二组解
C ．三组解
D ．无数组解
（“祖冲之杯”邀请赛试题） 7．设a a 312
=+，b b 312
=+且b a ≠，则代数式
2
21
1b a +的值为（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11 8．已知实数y x ,满足20,92
2
=+=++xy y x y x xy ，则2
2
y x +的值为（ ）
A ．6
B ．17
C ．1
D ．6或17
9．已知关于y x ,的方程组⎩
⎨⎧=-+=-222)(3,
p y x p xy p y x 有整数解()y x ,，求满足条件的质数p .
10．已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-0
1,022
y x a y x 的两个解为⎩⎨
⎧==,,11y y x x ⎩
⎨⎧==,,22y y x x 且2
1,x x 是两个不等的正数.
（1）求a 的取值范围；
（2）若116832
212
22
1--=-+a a x x x x ，试求a 的值.
（南通市中考试题）
11．已知b a ,是方程012
=--t t 的两个实根，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+.1,1y a
y
b x x b y
a x
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
12．已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为q p ,，且满足关系式()⎩
⎨⎧=+=++,6,5122pq q p p q p 试求这个一元二次方程.
（杭州市中考试题）
B 级
1．方程组⎪⎩⎪
⎨⎧==++++=++4
3251z y x z y x z y x 的解是___________________.
2．已知x x x x x 71357139722=+-+++，则x 的值为______________.（全国初中数学联赛试题）
3．已知实数00,y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧
+==
1
1x y x
y 的解，则._________00=+y x （全国初中数学联赛试题）
4．方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+=3411,
9y x
xy 的解是_________________. （“希望杯”邀请赛试题）
5．若二元二次方程组()⎩⎨⎧+-==-1
2,12
2x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为______________. （《学习报》公开赛试题）
6．正数654321,,,,,x x x x x x 同时满足
1165432=x x x x x x ，2265431=x x x x x x ，33
65421=x x
x x x x ，
4465321=x x x x x x ，6564321=x x x x x x ，96
54321=x x
x x x x . 则654321x x x x x x +++++的值为________.
（上海市竞赛试题）
7．方程0662
3
=+--x x x 的所有根的积是（
）
A ．3
B ．-3
C ．4
D ．-6
E ．以上全不对
（美国犹他州竞赛试题）
8．设y x ,为实数，且满足()()()()⎩⎨⎧=-+--=-+-,
1119991,11199913
3y y x x 则=+y x （ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2
（武汉市选拔赛试题）
9．已知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=,
3,2,
1222z y x z y x xyz 则111111-++-++-+y zx x yz z xy 的值为（ ）
A ．1
B ．21-
C ．2
D ．3
2
-
10．对于实数a ，只有一个实数值x 满足等式01
2
211112
=-++++-+-+x a x x x x x ，试求所有这样的实数a 的和.
（江苏省竞赛试题）
11．解方程a x x x x =--+-+1212，其中0>a ，并就正数a 的取值，讨论此方程解的情
况.
（陕西省竞赛试题）
12．已知c b a ,,三数满足方程组⎩⎨
⎧=+-=+,
4828,82
c c ab b a 试求方程02
=-+a cx bx 的根. （全国初中数学联赛试题）
13．解下列方程（组）：
（1）()
16393
22
=-+x x x ； （武汉市竞赛试题）
（2）()()()6143762
=+++x x x ；
（湖北省竞赛试题）
（3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,414,414,4142
2
2
22
2
x z z z y y y x x （加拿大数学奥林匹克竞赛试题）
专题08 二次函数
阅读与思考
二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：
1.二次函数解析式c bx ax y ++=2
的系数符号，确定图象的大致位置.
2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a 有关，a b 2-与（a
b
2-，a b ac 442-）决定抛
物线对称轴与顶点的位置.
3.二次函数的解析式通常有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2
； ②顶点式n m x a y +-=2)(：；
③交点式：))((21x x x x a y --=，其中1x ，2x 为方程02
=++c bx ax 的两个实根. 用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.
例题与求解
【例1】 二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③
024>++c b a ；④b c 32<；⑤()()1≠+>+m b am m b a .其中正确的结论有（ ）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个 （天津市中考试题）
解题思路：由抛物线的位置确定a ，b ，c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.
【例2】 若二次函数c bx ax y ++=2
(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），则c b a S ++=的值的变化范围是（ ）
A .0＜S ＜1
B . 0＜S ＜2
C . 1＜S ＜2
D . －1＜S ＜1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：设法将S 表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S 的值的变化范围.
【例3】 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3
2
10
米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿
势时，距池边的水平距离为5
3
3米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题） 解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为5
3
3米时，该运动员
与跳台的垂直距离.
【例4】 如图，在直角坐标xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为C （4，3-），且在x 轴上截得的线
段AB 的长为6.
（1）求二次函数的解析式；
（2）在y 轴上求作一点P （不写作法），使PA ＋PC 最小，并求P 点坐标；
（3）在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题） 解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A ，B ，P 点坐标；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论.
【例5】 如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF ＝2，BF ＝1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积. （辽宁省中考试题） 解题思路：设DN ＝PM ＝x ，矩形PNDM 的面积为y ，建立y 与x 的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.
P
M
F E D
N
C
B
A
【例6】 将抛物线33:2
11+-=x y c 沿x 轴翻折，得抛物线2c ，如图所示.
（1）请直接写出抛物线2c 的表达式.
（2）现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线2c 向右也平移移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D ，E .
①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；
②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题） 解题思路：把相应点的坐标用m 的代数式表示，由图形性质建立m 的方程. 因m 值不确定，故解题的关键是分类讨论.
能力训练
A 级
1.已知抛物线9)2(2
++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a 的值为__________.
2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，ABC S ∆＝3，则b ＝____________. （四川省中考试题）
3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是y ＝_________； （2）当x ＝________时，3=y ；
（3）根据图象回答，当x _______时，0>y . （常州市中考试题） 4.已知二次函数的图象经过原点及点（21-
，4
1-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_______________. （安徽省中考试题） 5.二次函数c bx ax y ++=2
与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A B C D
6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2
的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是
（ ）
A .过点（3，0）
B .顶点是（2，－2）
C .在x 轴上截得的线段长度是2
D .与y 轴的交点是（0，3） （盐城市中考试题） 7.如图，抛物线c bx ax y ++=2
与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式不能总成立的是（ ） （大连市中考试题）
A .0=b
B . 2
c S ABE =∆ C .1-=ac D .0=+c a
第7题图 第8题图 8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（ ）
A .9.2米
B .9.1米
C .9米
D .5.1米 （吉林省中考试题）
9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ，A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，OA ＝1千米，tan α＝
28
9, tan β＝83,位于O 点正上方35
千米D
点处的直升机向目标C 发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4
千米（即图中E 点）.
（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；
（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.
（河北省中考试题）
10.如图，已知△ABC 为正三角形，D ，E 分别是边AC 、BC 上的点（不在顶点），∠BDE ＝60°. （1）求证：△DEC ∽△BDA ；
（2）若正三角形ABC 的边长为6，并设DC ＝x ，BE ＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并求BE 最短时，△BDE 的面积.
C
E
D
B
A
11.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA 且OB ＝2OA ，点A 的坐标是（－1，2）. （1）求点B 的坐标；
（2）求过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；
（3）连结AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使ABO ABP S S ∆∆=.(陕西省中考试题)
12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线n mx x y ++=2
经过点A （3，0），B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M .设点P 的横坐标为t ；（1）分别求直线AB 和这条抛物线的解析式；
（2）若点P 在第四象限，连结BM ，AM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；
（3）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题）
B 级
1.已知二次函数c x x y +-=62
的图象顶点与坐标原点的距离为5，则c ＝________.
2.如图，四边形ABCD 是矩形，A ，B 两点在x 的正半轴上，C ，D 两点在抛物线x x y 62
+-=上.设OA 的长为m (0＜m ＜3).矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为__________________.
（昆明市中考试题）
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC ，垂足为D （点D 在边BC 上），且AD ＝3，当AB 的长等于________时, ⊙O 的面积最大，最大面积为___________.
4.如图，已知二次函数)0(2
1≠++=a c bx ax y 与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2），则能使21y y >成立的x 的取值范围时______________. (杭州市中考试题) 5.已知函数c bx ax y ++=2
的图象如下图所示，则函数c ax y +=的图象只可能是（ ）
（重庆市中考试题）
A B C D
6.已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图所示，则下列6个代数式：ab ，ac ，c b a ++，c b a +-，
b a +2，b a -2中，其值为正的式子个数为 ( )
A .2个
B .3个
C .4个
D .4个以上 （全国初中数学联赛试题）
7.已知抛物线c bx ax y ++=2
（a ≠0）的对称轴是2=x ，且经过点P (3,0)则c b a ++的值为（ ） A .－1 B .0 C .1 D .2 8.已知二次函数c bx ax y ++=2
（0>a ）的对称轴是2=x ，且当0,,2321===x x x π时，二次
函数y 的值分别时321,,y y y ，那么321,,y y y 的大小关系是（ ）
A . 321y y y >>
B . 321y y y <<
C . 312y y y <<
D . 312y y y >>
9.已知抛物线4)3
4
3(2++-=x m mx y 与x 轴交于两点A ，B ，与y 轴交于C 点，若△ABC 是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题） 10.如图，已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线2
4
1x y =上的一个动点. （1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1-=y 的位置关系； （2）设直线PM 与抛物线2
4
1x y =
的另一个交点为Q ，连结NP ，NQ ，求证：∠PNM ＝∠QNM . （全国初中数学竞赛试题）
11.已知函数122
--=x x y 的图象与x 轴相交于相异两点A ，B ，另一抛物线c bx ax y ++=2
过点A ，
B ，顶点为P ，且△APB 是等腰直角三角形，求a ，b ，c 的值. （天津市竞赛试题）
12.如图1，点P 是直线22:--=x y l 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2
x y =于A ，B 两点.
（1）若直线m 的解析式为2
3
21+-
=x y ，求A ，B 两点的坐标； （2）如图2，①若点P 的坐标为（－2，t ），当PA ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于。