基本不等式的变形及其应用

基本不等式的变形及其应用

基本不等式公式：

当a＞0，b＞0，则，(当a=b时，等号成立)

基本不等式公式的变形：

上述7式中，当a=b时，等号成立

备注：

1.求最值的条件：一正，二定，三相等

一正：a，b的范围为正数

二定：“a·b”之积为定值或者“a+b”之和为定值

三相等：等号成立时，a=b

2.当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。这就是上面所说的“二定”，和为定值或者积为定值。

3.均值不等式：(a＞0，b＞0)，即“调和平均数”≤“几何平均数”≤“算术平均数”≤“平方平均数”，当a=b时，等号成立。

4.a3+b3+c3≥3abc (a+b+c＞0即可，当a=b=c或者a+b+c=0时，等号成立)

常见题型

一、凑系数(乘除变量系数)

例题：当0＜x＜4时，求函数y=x(8-2x)的最大值

解析：

如果把x前面的系数变成2，那么2x+(8-2x)=8，为常数(和为定值)，这样就可以用基本不等式了。

原式变为，

根据公式：，

即，

当且仅当2x=8-2x，即x=2时等号成立。

备注：

1.这题也可以用一元二次函数求最值的方法来做，但是如果基本不等式运用的熟练的话解题速度更快一些

2.运用基本不等式或者其变形的核心观念就是两个数的积或者和是定值。

3.运用基本不等式或者其变形，最后一定要确认等号是否成立

变式：当0＜x＜4时，求函数的最大值

二、凑项(加减常数)

例题：已知，求的最大值

解析：

备注：

1.当a＜0，b＜0，那么

2.再此强调，运用基本不等式及其变形时，一定要确保最值的条件“一正，二定，三相等”

变式：已知x＞-1，求的最大值

三、分离“分子”或“分母”例题：x＞-1，求函数

de de dd的最小值

解析：

变式：当x＞0，求的最大值

四、公式变形

例题：求函数，求最大值

解析：

备注：

当题目中所求式子带有根号的，通常要想到和这两个基本不等式的变形。

变式：求函数，求最大值

五、常数代换

例题：已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，求的最小值

解析：

备注：

1.这类题目的特点是已知条件会给出一个等式，将已知条件的等式与所求式子相乘后，可以得到“”的形式，其中m，n，p，q为常数，再利用基本不等式公式解答。

2.已知条件的等式与所求式子相乘之后，要保证所求式子大小不变。假设例题中a+2b=2，那么所求式子

，因为这个题目所求式子与等式相乘之后保持大小不变，所以整个式子还要在后面乘以1/2。

3.部分同学有这样的疑问，既然求的最小值，那么为什么不可以直接用基本不等式写成？

我们知道求最值的条件：一正，二定，三相等，不能写成这样的原因就是“二定”，因为两个数之和或者之积不是定值，所以不能直接用基本不等式。

变式：已知x，y＞0，且，求x+y的最小值

六、变量代换

例题：若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围

解析：

备注：

当所求题目用本文所提及的其他方法均无从下手时，可以选择用“变量代换”法试一下。

变式：若正数a，b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范围

七、简单构造

例题：已知x，y为正实数，且2x+8y-xy=0，则x+4y的最小值

解析：

备注：

1.例题中如果2x+8y-xy=0，两边同时除以xy后，可以发现此题用“常量代换”的方法也可以解答，当然这题还可以用“变量代换”做，同学们可以自己试试

2.构造法需要多观察，通过题目中所给的等式，以及所求的式子结合在一起，通过“凑系数”的方法构造新的等式，再结合基本不等式进行解答

变式：若a，b是正实数，2a2+3b2=10，则的最大值