第四章《一次函数》全章教案(公开课)

第四章一次函数1函数1．了解函数产生的背景和函数的概念，能判断两个变量间的关系是否属于函数关系．2．通过对函数概念的探索，初步培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力．3．让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式．重点掌握函数的概念，会判断两个变量之间的关系是否属于函数关系．难点能把实际问题抽象概括为函数问题．一、情境导入课件出示教材第75页图4－1及相关问题，并由学生讨论完成题目．师：在现实生活中一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在．函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型．(板书课题)二、探究新知函数的相关概念．(1)课件出示教材第76页“做一做”第1题．师：层数n和物体总数y之间是什么关系？引导学生得出：只要给定层数，就能求出物体总数．(2)课件出示教材第76页“做一做”第2题．师：在关系式T＝t＋273中，两个变量中若知道其中一个，是否可以确定另外一个？一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量．表示函数的方法一般有：列表法、关系式法和图象法．对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．理解函数概念时应注意：(1)在某一变化过程中有两个变量x与y.(2)这两个变量互相联系，当变量x取一个确定的值时，变量y的值就随之确定．(3)对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的一个值与它对应，如在关系式y2＝x(x>0)中，当x＝9时，y对应的值为3或－3，不唯一，则y不是x的函数．师：上述问题中，自变量能取哪些值？指出要根据实际问题确定自变量的取值范围．三、练习巩固教材第77页“随堂练习”．四、小结函数的概念包含以下三方面：(1)两个变量；(2)两个变量之间唯一确定的对应关系；(3)当一个变量取一个确定的值时，另一个变量有唯一的值与它对应．五、课外作业教材第77～78页习题4.1第1～4题．本节课是函数学习的起始课，因此理解函数的基本思想和表达方式是本节课的重点．通过生活实例中对变量的提取，帮助学生比较深刻地领悟了函数的意义．教材安排的实际问题，旨在让学生通过直观感知，领悟相关概念，这些问题不宜单纯作为教师讲解的例题，要注意引导学生观察其中数量之间的相互关系、鼓励学生发表意见，可以根据学生交流的情况，鼓励学生举出自己熟悉的实例，穿插在几个问题的讨论之中.2一次函数与正比例函数1．理解一次函数和正比例函数的概念，以及两者之间的关系．2．能够根据所给条件写出简单的一次函数表达式，并利用它解决实际问题．3．经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力．重点一次函数、正比例函数的概念．会根据已知信息写出一次函数的表达式．难点一次函数知识的运用．一、情境导入师：生活中充满着许许多多变化的量，你了解这些变量之间的关系吗？如弹簧的长度(在弹性限度内)与所挂物体的质量，输液时间与相应时间内水滴数目……了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界．函数是刻画变量之间关系的常用模型，其中最为简单的是一次函数，那么什么是一次函数？用一次函数可以解决哪些问题呢？你想了解这些吗？一起进入这节课的学习吧！二、探究新知一次函数的相关概念．(1)课件出示教材第79页“做一做”上面的题目．分析：当不挂物体时，弹簧长度为3 cm，当挂1 kg物体时，增加0.5 cm，总长度为3.5 cm，增加1 kg物体，即所挂物体为2 kg时，弹簧又增加0.5 cm，总共增加1 cm，由此可见，所挂物体为x kg时，弹簧就伸长0.5x cm，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y＝3＋0.5x.(2)课件出示教材第79页“做一做”．解：①如下表所示：汽车行驶0 50 100 150 200 300路程x/km耗油量y/L0 6 12 18 24 36②y＝6·x.③z＝60－x.若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y 是x的一次函数．例如y＝2x＋1, y＝x－1等都是一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数．例如，y＝2x，y＝－3x等都是正比例函数．正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数．正比例函数与一次函数的关系如图所示．三、举例分析1．课件出示教材第79页例1.由学生交流讨论完成．师：两个变量之间存在函数关系，它们之间一定是一次函数或正比例函数关系吗？2．课件出示教材第80页例2.此题对于现阶段的学生有一定难度，由教师讲解．分析：一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)中，自变量的取值范围是全体实数，但是在实际问题中，要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围．本例题的关键是确定问题当中的x 的取值范围．四、练习巩固教材第80～81页“随堂练习”第1～2题．五、小结 正比例函数――→定义形如y ＝kx （k ≠0）的函数一次函数――→定义形如y ＝kx ＋b （k ，b 是常数，k≠0）的函数六、课外作业 教材第82页习题4.2第1～4题．教学时从学生熟悉的实际问题入手，旨在让学生直观感知领悟相关概念，通过学生的合作交流得到一次函数和正比例函数的定义，引导学生把新学习的函数知识与实际问题联系起来．在教学过程中要适当增加习题，设计不同层次的习题，让不同层次的学生得到不同程度的练习，以提高学生的解题能力和对一次函数与正比例函数的理解和掌握．3一次函数的图象1．理解函数图象的概念，经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤．理解一次函数的关系式与图象之间的对应关系，并熟练作出一次函数的图象．2．了解正比例函数y＝kx的图象的特点，会作正比例函数图象，理解一次函数及其图象的有关性质；进一步培养学生数形结合的意识和能力．重点能熟练地作出一次函数的图象，归纳作函数图象的一般步骤．难点理解一次函数的关系式与图象之间的对应系．一、情境导入课件出示题目：已知A，B两人在一次百米赛跑中，路程s(m)与赛跑时间t(s)的关系如图所示，你知道A，B两人所跑的路程s(m)与时间t(s)之间属于哪种函数关系吗？师：通过这节课的学习，同学们一定会有所了解. (板书课题)二、探究新知把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．一次函数y＝kx＋b的图象是怎样的呢？我们先研究较为简单的正比例函数的图象．1．正比例函数的图象．某地1千瓦时电费为0.8元，表示电费y(元)与所用电量x(千瓦时)之间的函数关系式是________，你能画出这个函数的图象吗？解：(1)确定自变量的取值范围．根据题意可知y＝0.8x，这是个实际问题，自变量的取值要使实际问题有意义，所以x≥0.(2)列表．取自变量x的一些值，算出相应的函数值，列成表格如下：师：x0 1 2 3 4 5 …y0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 …(3)描点．建立平面直角坐标系，以x的取值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出点O，A，B，C，D，E，…，如图所示．(4)连线．观察描出的这几个点，它们的位置关系是怎样的？学生观察这些点会得出这些点在一条直线上，由于自变量的取值范围是x≥0，因此我们猜想这个函数的图象是以原点为端点的一条射线，数学上已经证明这个猜想是正确的，于是这个函数的图象如下图所示．注意：因为两点可以确定一条直线，因此，画正比例函数的图象时只需过原点(0，0)和点(1，k)画一条直线即可．2．正比例函数的性质．学生画出图象后，引导学生分析：正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是一条经过原点(0，0)的直线，我们称它为直线y＝kx.当k>0时，经过第一、三象限，从左往右升，即y的值随x 值增大而增大；当k<0时，经过第二、四象限，即y的值随x值的增大而减小.课件出示教材第85页“随堂练习”．学生独立完成，让学生根据图象说说这两个正比例函数的性质．3．一次函数的图象．正比例函数y＝－2x的图象是过原点的一条直线，那么一次函数y＝－2x＋1的图象又是怎样的呢？下面我们研究一次函数y＝kx＋b的图象．(1)课件出示教材第86页例2.师：①直线y＝－2x和直线y＝－2x＋1是什么位置关系？②一次函数y＝kx＋b的图象有什么特点？你是怎样理解的？③根据上面的函数图象，怎样比较简单地画出一次函数y＝－2x＋3的图象？一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了．一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.(2)课件出示教材第86页“做一做”．注意：画图象时让学生表示出所画函数的关系式，以便于区分．(3)课件出示教材第87页“议一议”．解：①函数y＝2x＋3和y＝5x－2都是y随x的增大而增大，相应图象上点的位置逐渐升高．函数y＝－x和y＝－x＋3都是y随x的增大而减小，相应图象上点的位置逐渐降低．②直线y＝－x与直线y＝－x＋3互相平行，将直线y＝－x向上平移3个单位长度就变为直线y＝－x＋3了．当k≠0，b≠0或k＝0，b≠0时，直线y＝kx＋b与y＝kx平行；当k≠0，b＝0或k＝0，b＝0时，直线y＝kx＋b与y＝kx重合．③直线y＝2x＋3和直线y＝－x＋3与y轴相交于同一点(0，3)．直线y＝kx＋b与y轴交点的纵坐标就是b的值，一般能从函数y＝kx＋b的图象上直接看出b的数值．总结：一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，b)．当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时，y的值随着x值的增大而减小．拓展：(1)直线y＝kx＋b(k≠0，b≠0)与直线y＝kx(k≠0)的位置关系：①直线y＝kx＋b平行于直线y＝kx；②当b>0时，把直线y＝kx向上平移b个单位长度，可得直线y＝kx＋b；③当b<0时，把直线y＝kx向下平移|b|个单位长度，可得直线y＝kx＋b.(2)一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2中：若k1＝－k2，b1＝b2，则两直线关于y轴对称；若k1＝－k2，b1＝－b2，则两直线关于x轴对称；若k1＝k2，b1≠b2，则两直线平行．三、练习巩固教材第87页“随堂练习”第1～3题．四、小结1．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过原点的一条直线．通常画正比例函数y＝kx(k≠0)的图象时，只取一点(1，k)，然后过原点和这一点画直线即可．2．正比例函数y＝kx(k≠0)的性质.k的取值k<0 k>0图象图象特征过点(0，0)和(1，k)的直线变化规律y随x的增大而减小y随x的增大而增大3.一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，b)，当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时，y的值随着x值的增大而减小．五、课外作业1．教材第85页习题4.3第1～4题．2．教材第87～88页习题4.4第1～5题．本节课利用数形结合的思想引入新课，通过学生的自主探索与合作交流得到正比例函数的图象和性质，使学生易于接受新知识．通过例题的讲解，加深了学生对正比例函数的图象和性质的理解，提高了学生应用正比例函数的图象和性质解题的能力．一次函数的图象和性质是在正比例函数的基础上进行学习的，研究一次函数的图象和性质，除了借助图象本身去分析外，还应该注重引导学生思考k值对函数的图象和性质的影响，只有深刻领会k值的影响，才能从更深层次理解一次函数的图象及性质.4一次函数的应用第1课时一次函数的表达式1．了解两个条件确定一个一次函数，一个条件确定一个正比例函数．2．能由两个条件求出一次函数的表达式，由一个条件求出正比例函数的表达式，并解决有关实际问题．重点根据所给信息确定一次函数的表达式．难点用一次函数的关系式解决有关实际问题．一、情境导入课件出示：小红同学受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作．师：你能根据以上信息求出放入小球后量筒中水面的高度与小球个数之间的关系吗？学了本节内容后，你就能轻松解决了．二、探究新知1．一次函数的表达式．课件出示题目：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v (m/s)与其下滑时间t (s)的关系如图所示.(1)写出v与t之间的关系式；(2)下滑3 s时物体的速度是多少？分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定它是正比例函数的图象，还是一次函数的图象，然后设出函数关系式，再把已知的坐标代入关系式，求出待定系数即可．2．确定表达式所需的条件．课件出示教材第89页“想一想”．学生讨论得出：确定一次函数的表达式需要两个条件，确定正比例函数的表达式只需要一个条件．说明：①一次函数的表达式y＝kx＋b有两个常数k，b，要求出k和b的值需要两个条件，而正比例函数中b＝0，只需求k，所以只需一个条件．②因为一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线．所以需要两个条件，而正比例函数的图象是经过原点的一条直线．所以只需要一点就可以确定这条直线．三、举例分析课件出示教材第89页例1.分析：因为一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要两个条件，而正比例函数的图象是经过原点的一条直线，所以只需要确定另外一点坐标就可以确定这条直线的关系式．拓展：利用待定系数法确定一次函数的关系式，其步骤为：一设：根据题意，先设出函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)；二代：确定两对对应值或图象上两个点的坐标，分别代入函数关系式，得到关于k，b的两个方程；三解：求出k，b的值(暂时可以通过等量代换的方式去求两个未知数)；四定：最后确定函数关系式．四、练习巩固1．教材第89～90页“随堂练习”1～3题．2．补充练习：(1)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧后剩下的长度y cm与燃烧时间x h 的函数关系用图象表示为下图中的()(2)一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，那么k ，b 的值分别是( )A ．k ＝－1，b ＝1B ．k ＝－2，b ＝1C ．k ＝1，b ＝1D ．k ＝2 ，b ＝1(3)一个正比例函数的图象经过点(2，－3)，则其表达式是( )A ．y ＝－xB ．y ＝－32x C ．y ＝2x D ．y ＝－3x(4)已知直线l 经过点(0，3)和点(3，0)，求直线l 的函数表达式．五、小结确定一次函数表达式的方法：由问题的实际意义直接确定出函数表达式的一般形式：若为正比例函数，则设其表达式为y ＝kx (k ≠0)，代入一个除原点以外的点的坐标，求出k 的值，即可确定函数表达式；若为一般的一次函数，则设其表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，代入两个点的坐标，求出k ，b 的值，从而确定一次函数的表达式．六、课外作业教材第90页习题4.5 第1～4题．确定函数表达式看似简单，但学生在刚刚接触到这个问题的时候往往无从下手．本节课正是基于这点认识，借助引例，首先从方法上指导学生确定函数表达式，即从判断类型、确定k 值(或k 和b 的值)两个方面确定函数表达式．由于学生此时尚没有学到二元一次方程组，对于确定一次函数表达式存在一定的困难，教师可以建议学生用“代换”的方式，转化为一元一次方程，以此求出一次函数表达式当中的两个未知数，进而确定一次函数的表达式．第2课时单一一次函数图象的应用1．能通过单一一次函数图象获取信息，进一步训练学生的识图能力．2．能利用单一一次函数图象解决简单的实际问题，进一步发展学生的数学应用能力．重点单一一次函数图象的应用．难点从函数图象中正确读取信息．一、复习导入师：在前几节课里，我们分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛，和我们日常生活密切相关，因此本节课我们一起来学习一次函数图象的应用．二、探究新知1．单一一次函数图象的应用．(1)课件出示教材第91页图4－7和题目．分析：①原蓄水量就是图象与纵轴交点的纵坐标．②求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求t等于10时所对应的V的值．当t＝10时，V约为1 000万m3.同理可知当t为23时，V约为750万m3.③当蓄水量小于400万m3时，即V小于400万m3，所对应的t值约为40天．④水库干涸也就是V为0，函数图象与横轴交点的横坐标即为所求．当V为0时，所对应的t的值约为60天．(2)课件出示教材第91页例2.分析：①函数图象与x轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长路程，与y轴交点的纵坐标即为最多储油量．②x从0增加到100时，y从10开始减少，减少的数量即为行驶100 km 消耗的油量．③当y<1时，摩托车将自动报警．2．一次函数与一元一次方程．(1)课件出示教材第92页“做一做”．学生独立完成．(2)课件出示教材第92页“议一议”．可以从“数”和“形”的方面引导学生讨论．生：函数y＝0.5x＋1与x轴交点的横坐标即为方程0.5x＋1＝0的解．总结：一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx ＋b＝0的解．从图象上看，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b ＝0的解．三、练习巩固教材第92页习题4.6第1题．四、小结一次函数图象的应用：(1)准确读图，找到图象与x轴、y轴的交点，根据这些关键点解题．(2)在实际问题中，注意自变量的取值范围，在画图和读图时也要注意．五、课外作业教材第93页习题4.6第2～3题．函数和我们的生活密切相关，函数图象可以直观地反映一些规律，对函数图象的理解，其关键是弄清函数图象上的点的意义，即横坐标与纵坐标的意义，渗透数形结合的数学思想．本节课采取学生通过小组合作交流获取信息，应用所学的知识解决有关一次函数的问题的方式进行．教学时还可以根据学生的实际情况，结合函数图象提出相应的实际问题．第3课时两个一次函数图象在同一坐标系中的应用1．通过观察函数图象，能够从两个一次函数图象中获取信息，理解函数图象交点的实际意义．2．通过函数图象，解决实际问题．重点利用图象解决实际问题．难点从函数图象中提炼出有用的信息．一、情境导入课件出示题目：学校每月的复印任务原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如图所示.根据图象回答：(1)乙复印社每月的承包费是多少？(2)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？(3)如果每月复印页数在1 200页左右，那么应选择哪个复印社？师：我们能不能运用一次函数解决一些比较复杂的问题呢？二、探究新知两个一次函数图象在同一坐标系中的应用．(1)课件出示教材第93页图4－10和题目．师：横轴和纵轴分别表示的实际意义是什么？生：横轴表示销售量，纵轴表示销售收入和销售成本．师：l1对应的一次函数y＝k1x＋b1中，k1和b1的实际意义各是什么？l2对应的一次函数y＝k2x＋b2中，k2和b2的实际意义各是什么？学生小组讨论，根据图象加以说明：l1对应的函数关系式是y＝1 000x，1 000表示每销售1 t，销售收入是1 000元，这里的“b＝0”，说明该产品没销售时无收入；l2对应的函数关系式是y＝500x＋2 000，这里500表示的是销售量每增加1 t，销售成本增加500元，没销售时成本是2 000元．(2)课件出示教材第94页例3.独立尝试，并在小组内交流自己的结论．师：对学生的结果进行全班讲评，并让学生思考：通过刚才的观察，你有哪些认识？各抒己见，互相补充．师：观察图象解答问题时要明确坐标轴所表示的含义，要注意两直线的交点的意义，在横轴上的一定取值范围内，位于上方图象的函数值要比位于下方图象的函数值大．分析：本例题主要通过对函数图象的分析解决问题，首先要准确判断l1和l2哪个代表A，哪个代表B.从A和B的速度角度看，l1较陡，l2较平，这说明l1的速度快．如果l1和l2有交点，交点的坐标就能反映出追赶上的时间和距离海岸的距离．根据图中的坐标，可以求出两条直线的表达式，通过表达式就能正确解决问题．三、练习巩固1．如图所示，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图象快者的速度比慢者的速度每秒快()A．2.5 m B．2 m C．1.5 m D．1 m2．小明骑自行车从A地去B地，一段时间后小刚骑摩托车也从A地出发追赶小明，两人走的路程s(km)与小明骑行时间t(h)的关系如图所示．(1)________表示小明行驶的路程与时间的关系(填“l1”或“l2”);(2)小刚比小明晚出发________小时；(3)v小刚＝________，v小明＝________；(4)小刚出发________小时后追上小明.五、小结利用函数图象解决问题注意三个点：与x轴交点、与y轴交点、两直线的交点．六、课外作业教材第95～96页习题4.7第1～3题．本节课的教学重点是借助一个坐标系中两个函数图象去分析问题，难点是只根据函数图象而不是通过计算去解决问题．学生习惯于通过计算去解决问题，通过函数图象去解决问题的机会比较少．本节课正是基于上述原因，在教学的过程中围绕教材中设立的问题，给学生扩充了问题或者提示，较好地解决了学习过程中的难点问题．。