九年级数学上册 第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件第3课时 黄金分割教案 (新版)北师大版-

第3课时黄金分割

1．理解和掌握黄金分割的定义．

2．理解黄金比的含义，会找一条线段的黄金分割点．

3．会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．

重点

黄金分割的意义和简单应用．

难点

掌握寻找黄金分割点的方法．

一、情境导入

课件出示与“黄金分割”有关的图片，提出问题：

(1)芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？

(2)为什么身材苗条的模特还要穿高跟鞋？

(3)为什么世界第三高塔的上某某方明珠塔那么璀璨壮观？

学生小组讨论后给出答案，教师点评．

教师：美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在这些问题中，我们对美的认同的确是比较一致的，为什么这些图形会给人以美的感觉呢？这些美的事物是否存在内在的规律呢？和我们的数学知识有没有联系呢？这就是我们今天要研究的“黄金分割”．

二、探究新知

1．黄金分割的定义

课件出示一个五角星：

教师：在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC，BC的长度，然后计算AC

AB

，

BC

AC

，

它们之间有什么关系？ 学生：AC AB ＝BC AC

. 引导学生得出：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC

，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．

2．计算黄金比

教师：那么AC 与AB 的比是多少呢？

学生计算后给出答案，教师点评并板书具体解题过程：

由AC AB ＝BC AC

，得AC 2＝AB·BC. 设AB ＝1，AC ＝x ，则BC ＝1－x.

∴x 2

＝1×(1－x)，

即x 2＋x －1＝0.

解这个方程，得

x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52

(不合题意，舍去)． 所以，AC AB ＝5－12

≈0.618. 教师：AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AC AB

≈0.618. 3．找黄金分割点的方法

(1)课件出示：

如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：

①经过点B 作BD⊥AB，使BD ＝12

AB. ②连接DA ，在DA 上截取DE ＝DB.

③在AB 上截取AC ＝AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点．

教师：能说说其中的道理吗？

教师：若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的两条线段AC ，BC 间需

满足AC AB ＝BC AC

.下面请大家进行验证．有困难时可以互相交流．为了计算方便，可设AB ＝1. 学生独立完成后给出答案，教师点评．

(2)教师：采用如下的方法也可以得到黄金分割点．

①如图，设AB 是已知线段．

②以AB 为边作正方形ABCD.

③取AD 的中点E ，连接EB.

④延长DA 至点F ，使EF ＝EB.

⑤以线段AF 为边作正方形AFGH.

⑥点H 就是AB 的黄金分割点．

教师：你能说说这种作法的道理吗？

学生分小组讨论后给出答案，教师讲解．

解：设AB ＝1，那么在Rt △BAE 中，

BE ＝AB 2＋AE 2＝

12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52. EF ＝BE ＝52， AH ＝AF ＝BE －AE ＝

52－12＝5－12. BH ＝AB －AH ＝1－5－12＝3－52

. 因此AH AB ＝BH AH

，点H 是AB 的黄金分割点． 三、练习巩固

当节目主持人站在舞台的黄金分割点时，观众看起来是最协调的．已知一舞台长为10 m ，节目主持人应站在距离舞台一端________处观众观看最协调．(精确到0.1 m )

四、小结

1．通过本节课的学习，你有什么收获？

2．黄金分割点与黄金比的定义分别是什么？

3．说一说找黄金分割点的方法．

五、课外作业

教材第98页习题4.8第1～3题．

“黄金分割”作为《新课程标准》明确提出的内容，在进一步强化线段的比、成比例线段的基础上，注重体现数学的文化价值，有意识引导学生从文化角度把握“黄金分割”这一数学瑰宝，丰富了学生对数学发展的整体认识，对后续新课的学习有着激励作用．在教学过程中，学生要经历“观察”和“思维”两大基本层次来诱导学生认识客观世界的本质和规律．学生的求知欲被激发起来后，教师应及时将其引入理性认识的轨道．