绝对不等式的证明
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绝对不等式的证明
摘要：证明绝对不等式是数学基本知识的一部分，不等式的证明，就是证明所给定的不等式或对式中所含的字母的一切允许值都是成立的。证是不等式主要依靠二条，其一，是不等式的基本性质和一些重要不等式，其二，是证明不等式的一些常用方法。二者互相渗透。本文通过举例介绍几种证明的绝对不等式的方法。
关键词：绝对不等式，证明不等式的方法
1. 用比较法证明不等式
比较法是证明不等式的常用法之一。它又分为计算插值和比值两种：
① 把所要正的不等式的左边的代数式减右边的代数式，再根据已知条件去证明这个差大于﹙或小于﹚零，这种证明法叫做计算差值法。
他的理论根据是：a ≥b,﹙a ≤b ﹚ a-b ≥0﹙或a-b ≤0﹚.
② 当所要证明的不等式的两边的直皆正是，把左边的代数式除于右臂阿布的代数式，再根据已知条件去证明这个比值大于﹙或小于﹚1.这种正法叫做及钻比值法。 他的理论依据是：当a ＞0.b ＞0 时，a ≥b ﹙a ≤b ﹚<=>
b a ≥1（或b
a ≤1）。 例：已知a,
b 皆正数求证： 2
b a +≥ab （当且仅当a=b 时，等号成立）。 证：∵a ＞0.b ＞0，则2b a +-ab =2
2ab b a -+=()22b a -≥0 （其中等号当且仅当）a ＝b 即a=b 成立）
∴2b a +－ab ≥0，即2
b a +≥ab
2.用综合法和分析法证明不等式
证明绝对不等式的综合法是从题目的已知条件或已知成立的不等式出发，利用不等式的性质进行推导变形，进而得出所要求证的不等式。利用综合法的关键是熟知一些常用的不等式，通过变形将未知的不等式归结为常用不等式。如以下不等式是常用的：
a ²+
b ²≥2ab,a+b ／2≥ab ,a ³+b ³+
c ³≥3abc(a,b,c ∈R+)
a+b ／2≤a ²+b ²／2,a+b+c ／3≤a ²+b ²+c ²／3(a,b,c ∈R+)
分析法是证明不等式的一种重要方法，用分析法论证“若A 则B ”这个命题的模式是：欲证B 得真，只需要证明命题B 的真，从而又……，只要证明A 为真。现在已知A 真，故B 真。可见分析法事执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件，写出简要的形式为：
B<=B 1<=B 2<=…<=Bn<=A