除和除以的区别和意义
从本质上来理解“除”与“除以”的含义
从本质上来理解“除”与“除以”的含义作者：张州杭来源：《小学教学参考(数学)》2007年第09期最近读了《小学教学参考》(数学版)第6期刊登的《“除”与“除以”之我见》一文，觉得张维宁老师说的“应该把‘除’与‘除以’两个概念统一起来”，我实不在敢苟同。
“除”与“除以”既有联系又有区别。
确实，学生对这两个概念很容易混淆，虽经过老师多次强调、反复操练，但错误仍有不同程度的出现。
我询问了很多教师对此问题的处理，一般都是让学生经过反复地读、说、写、练，把错误率降到最低程度。
其宴，这是没有从本质上来理解“除”与“除以”的含义。
下面，谈谈我对“除”与“除以”的理解。
一、理解“除”的含义《现代汉语词典》中对“除”的一种解释是：用一个数把另一个数分成若干等份叫除，例如用二除六得三。
我国古代数学论著中，也都是用“除”表示这个含义。
如《九章算术》第一章“方田”中有例：1今有田广十五步，从十六步。
问为田几何?答日：一亩。
2又有田广十二步，从十四步。
问为田几何?答日：一百六十八步。
方田术日：广从步数相乘得积步。
以亩法二百四十步除之，即亩数。
意思是，在田亩的计算中，15步×16步=240(步×积步)，即为一亩，然后用240除男一块田的积步数，即为亩数。
用现在的话说，240是除法中的除数，是把另一块田的积步数等分的份数。
查阅其他古代数学论著，在讲除法中均用到的是“除”而没有用到“除以”。
看来，除法中用“除”表示，有着其悠久的历史。
二、理解“除以”的含义首先，何为“以”?这需要从我国古代汉语的角度来理解。
古代汉语中，“以”作为一个介词，它的用法比较复杂，最常见的用法是表示动作行为以某物为工具或凭借，相当于现代汉语中的“用”或“拿”，如“以毒攻毒”、“以子之矛，攻子之盾”等。
但“以”的用法有一点值得注意，就是它在句中的位置，可以用在谓语动词之前，也可以用在谓语动词之后。
如《荀子·劝学》中，“以羽为巢，而编之以发”，这两个“以”字的位置就不同。
浅谈如何让学生理解除法中的“除”和“除以”的思考
浅谈如何让学生理解除法中的“除”和“除以”的思考作者：蒲艳琼来源：《课程教育研究》2020年第09期【摘要】近些年来，小学数学教学重要性日渐突出，尤其在新课改深化实施背景下，小学数学教学作为小学课程体系的重要组成部分，其教学质量直接受到相关人员高度重视。
然而在实践教学中，常遇到一些具有联系并有区别的概念教学，概念只差一字，其表达意义有着本质区别，学生难以理解，进而影响到课堂教学实效。
本文以“除”和“除以”为例，在阐述“除”和“除以”相关内容的基础上，结合具体教学案例，分析了如何有效理解“除”和“除以”，旨在促进学生除法能力的提高。
【关键词】学生 ;理解;“除”和“除以”【中图分类号】G623.5 ;【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）09-0138-01新课标实施之前，小学数学四则运算中，“乘”和“乘以”作为两个本质意义不同的概念，在学习中，教师虽多加强调“乘”和“乘以”的不同，但是在实践中，学生由于马虎，常会忽视这一点，致使最终成绩不理想。
新课标实施之后，“乘”和“乘以”不再有区别。
然而在“除”和“除以”方面，尚未进行调整，学生在具体学习中，需要辩证认识“除”和“除以”概念，才能在解题中，保证除法问题的解答正确率。
1.“除”和“除以”相关内容简介小学数学四则运算学习中，小学除法学习作为重要的内容之一，在整个除法学习中，涉及到除法计算、除法概念、除法算式各部分名称等，除法计算中，需要以除法算式名称等知识为基础，才能最大限度保证除法计算正确率。
“除”和“除以”基于除法算式书写形式角度分析：除以是被除数在前，除数在后;除是除数在前，被除数在后。
基于意义角度分析：除和除以都表示除法运算，它表示的是除法算式的两种不同读法，除表示除数÷被除数;除以表示被除數÷除数[1]。
简单来说，“除”表达的是“分”的意思，例如：5除10，就是用5作为基准，来平均分10，即把10平均分成5份;“除以”重点在于“以”，其表达的是“用什么来干什么”，例如：10除以5，就是把10用5作为基准来平均分。
小学数学题中的常见“陷阱”
小学数学题中的常见“陷阱”01.除和除以的区别a除以b或a被b除，列式为：a÷ba除b或用a去除b，列式为：b÷a02.半圆的周长≠圆周长的一半看似相同，实则不同。
半圆的周长还多出一条直径。
03.绳子长短比较问题两根同样长的绳子，一根剪去1/2米，另一根剪去1/2，剩下的长度无法比较。
如要比较，需分情况来看。
04.小数除法的余数问题0.52 ÷ 0.17，商是3，余数不是1，而是0.01。
05.“无盖”易算成“有盖”无盖的水桶、水池、鱼缸、水槽等，求表面积时一定要减少一个底面积。
06.切忌半个人、半棵树求总人数、总只数、总棵树等的应用题时，结果不可能是分数和小数。
07.排序问题数值大小排序问题：注意题目要求的大小顺序【相关例题】请把3.14、π、22/7按照从大往小的顺序排列。
【错误答案】3. 14< π<22/7【正确答案】22/7>π>3.14【例题评析】题目怎么要求就怎么来写，并且一定要写原数。
08.比例尺问题注意面积的比例尺【相关例题】在比例尺为1: 2000的沙盘上，实际面积为800000平方米的生态公园为（）平方米。
【错误答案】400【正确答案】0.2【例题评析】切记，比例尺=图上距离：实际距离，是长度的比例尺，即图上1长度单位是实际中的2000长度单位。
牵扯到面积时，需要转化为面积的比例尺，把长度的比例尺平方，即图上1面积单位是实际中的4000000面积单位。
09.平均速度问题【相关例题】小明上山速度为1米/秒，下山速度为3米/秒，则小明上山、下山的平均速度是多少？【错误答案】（1+3）÷2=2（米/秒）【正确答案】设上山全程为3米，则平均速度为（3×2）÷（3÷1+3÷3）=1.5（米/秒）【例题评析】平均速度=总路程÷总时间10.正方形面积与周长的比较边长为4厘米的正方形的面积和周长不相等。
别拿“除”和“除以”来为难孩子
别拿“除”和“除以”来为难孩子作者：郑燕来源：《新课程·小学》2013年第04期关于“除”和“除以”的问题，一直是小学数学教师强调的重点。
记得自己上小学时，就犯迷糊，后来就是死记硬背，考试做正确就行。
按现有的评价体系，考试能考出好成绩，就是成功，从这个意义上说，我也是小学数学学习中的成功人士。
但今天孩子们还在为“除”和“除以”犯迷糊，就让我不明白啦。
毕竟三十年过去了，难道这又是一个轮回？“除”和“除以”的区别在哪里？区分开来的意义又在哪里？我随手翻开《现代汉语词典》查找，竟没有发现“除以”这个词条，更没有关于“除”和“除以”的区别。
“百度”有言：“除”示“分”的意思，比如5除10，就是用5这个基数来分10，即10分成5份。
“除以”的“以”是“用什么什么”的意思，10除以5，就是10用5这个基数来分。
“奥数网”解释：两个数相除有两种读法——“除”和“除以”。
被除数读在前用“除以”，而除数读在前则用“除”，例如“15÷3”读作“15除以3”或读作“3除15”。
15除以3的“以”是“用”的意思或“拿”的意思，“15除以3”可以解释为用3去除15。
而“3除15”呢，就是用3去除15的意思。
都是从数学说数学，仅从读法去解释，但是，好像我们现实生活中真正没人这样读过。
除了小学数学教师外，拿着算式“15÷3”随便找个人，初中生、高中生、大学生应该都不会读成“3除15”。
另一种解释是为了传承中华文化。
予忆幼年时，师长谓曰：“小子识之：‘二除三’与‘二除以三’有别——除数、被除数亦大不同——‘失之毫厘，谬以千里’，盖斯言之谓也——岂可不辨也邪？”“二除三”何异于“二除以三”？“除数、被除数”亦复何由而别名之？——此尝困某秩又三岁，近日终为解矣！“二除”乃被动词省略之被动式，实为“二被除”；“以三”乃状语后置，“用三（除）”之意——“二除，以三”即“以三为绳，将二分之”之意也！“二除三”中，“二”作状语，“用二”之意也！由是，“被除数、除数”之言方无疑矣！推而广之，“乘以”与“乘”亦有别——而“加、减”之伦实应为“加以、减以”，然世人皆惯于简称，因未致大谬，姑可从之（实意则有误，而“减”者为尤甚）——然此中汉语现象，不宜漠视。
如何让学生理解除法中的“除”和“除以”
三、理解“除”与“除以”的规律 我们再来继续思考：当除法运算中除数和被除数改变了， 商又会怎么变化呢？笔者总结了四条有关除法运算中商的变 化规律： 规律 1：当除数不变时，被除数缩小（或扩大）多少倍， 商也会跟着缩小（或扩大）多少倍。 立式表达为：只要 a÷b=q （a×n）÷b=q×n 或者（a÷n）÷b=q÷n（a、q 能分别被 n 整除） 规律 2：当被除数不变时，除数缩小（或扩大）多少倍， 商就会反过来扩大（或缩小）同样的倍数。 一般地，只要 a÷b=q 就有 a÷（b×n）=q÷n（a 能被 b×n 整除） 或者 a÷（b÷n）=q×n（b 能被 n 整除） 规律 3：被除数和除数同时扩大多少倍或者缩小多少倍， 商不会发生变化。 一般地，只要 a÷b=q 就有（a×n）÷（b×n）=q 或者 （a÷n）÷（b÷n）=q（a、b 能分别被 n 整除） 规律 4：当除法中出现余数时，除数和被除数同时缩小 （或扩大）多少倍，余数也会相应地缩小（或扩大），但商 仍然不会发生变化。 一般地，如果 a÷b=q（余 r） 那么（a×n）÷（b×n）=q（余 r×n） 或者（a÷n）÷（b÷n）=q（余 r÷n） 根据上述分析与理解，教师在教学的过程中，要讲清除 法中“除”和“除以”中“除”和“以”的意思，学生弄清“除” 和“以”的真正含义，就不会出现差错了。
一、如何理解“3 除 9”与“9 除以 3”的同一性 众所周知，除法中“除”字是平均分的意思。“3 除 9” 是“3 平分 9”，或理解为“3 个小朋友平均分 9 个苹果”， 这里就有“分”和“被分”的区别，不难理解是 9 个苹果被 3 个小朋友平均分。在认识除法时，被除数 ÷ 除数 = 商，被 分是被除数，分是除数。所以，3 除 9，列式为 9÷3。学生 不难理解，谁作被除数，谁作除数了。而“9 除以 3”中的 “以”在文言虚词中当“用”讲，可理解为用 3 平均分 9，即： 3 个小朋友平均分 9 个苹果，9 是被分，3 是去分，列式为： 9÷3。因此，“3 除 9”和“9 除以 3”是同一含义。 二、如何理解“3 除 9”与“3 除以 9”的不同性 根据上述的分析理解，“3 除 9”是 3 平分 9，9 是被分， 9 是被除数，3 是除数，则列式为 9÷3=3；而“3 除以 9” 是用 9 平均分 3，3 是被分，3 是被除数，9 是除数，列式为 3÷9=1/3。因此，“3 除 9”和“3 除以 9”是不同含义。
这24个小学数学习题“陷阱”,99%孩子都碰到过!
这24个小学数学习题“陷阱”，99%孩子都碰到过！小学数学考试，大部分孩子都能考九十多分，但是为什么很多人考不了满分呢？原因就在于很多知识点的细节问题。
老师在出题的时候会在题目中设置很多陷阱，这就要考察孩子对知识点的理解深入水平了。
下面这24个数学考试中的“陷阱”，是数学考试中最常见的易错点，看看你有没有“中过招”！1，除和除以的区别a除以b或a被b除，列式为：a÷ba除b或用a去除b，列式为：b÷a2，半圆的周长≠圆周长的一半这两个看似相同，实则不同，因为半圆的周长还多出一个直径。
3，压路机前进后的相关计算压路机滚动一周前进多少米？是求它的周长。
压路机滚动一周压路的面积，就是求滚筒的侧面积。
4，解方程问题解方程问题：括号前面是减号，去括号要变号！移项要变号！【相关例题】6－2 (2X－3) =4【正确答案】x=2【例题评析】去括号，若括号前面是减号，要变号！移项（某个数在等号的两边左右移动）要变号，切记！5，计算问题：牢记运算顺序【相关例题】20 + 7×1/7【错误答案】20【正确答案】20/49【例题评析】计算题“去技巧化”趋势明显。
重在对基本的分数四则运算、运算顺序以及提取公因数等计算基本功的考察。
6，绳子长短比较问题两根同样长的绳子，一根剪去1/2米，另一根剪去1/2，剩下的长度无法比较。
7，小数除法的余数问题0.52 + 0.17商是3，余数不是1而是0.018，百分比相关问题求XX率或百分之几的列式中，最后必须“×100%”9，切忌半个人、半棵树在求总人数、总只数、总棵树……的应用题时，结果不可能是分数和小数。
10，改写数注意问题改写一个准确数，不要求“四舍五入”取近似值时，一定要把“万”或“亿”后面的数写到小数部分；只有大约或省略“万”或“亿”位后面的尾数时，才用“四舍五入”求近似值，末尾一定要写“万”或“亿”。
11，大数的读法大数读法：读几个0的问题【相关例题】10, 0070, 0008读几个0?【正确答案】2个【例题评析】大数的读法是四年级学的一个知识点，尤其是读几个零的问题，容易犯错。