韦达定理的应用专题(供初三复习用)

韦达定理的应用专题训练

★热点专题诠释

1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理及逆定理）． 2．能够灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的

值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根

满足某些要求的新方程．

★典型例题精讲

考点1 求待定字母的值或范围

【例1】关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的实数解是1x 、2x ．如果12121x x x x +-<-，且k 为整数，求k 的值．

解：由韦达定理，得122x x +=-，121x x k =+． ∵12121x x x x +-<-，∴2(1)1k --+<-，∴2k >-． 又∵原方程有实数解，∴224(1)0k -+≥，0k ≤． ∴20k -<≤．

而k 为整数，∴1,0k =-．

【方法指导】当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0． 【例2】（2012·包头）关于x 的一元二次方程

25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为1x 、2x ，且

1227x x +=，则m 的值是（ B ）

A ．2

B ．6

C ．2或6

D ．7

解：由韦达定理，得1212

5(5)x x m

x x m +=⎧⎨

=-⎩ ，消去m ，得

121255250x x x x --+=，∴12(5)(5)0x x --= ，

∴15x =或25x =．

又∵1227x x +=，∴12

53x x =⎧⎨

=-⎩或121

5x x =⎧⎨=⎩．

又∵原方程有两个正实根，1212

5(5)0x x m x x m +=>⎧⎨

=->⎩，

∴5m >．∴126m x x =+=．

【方法指导】对一元二次方程的根与系数的关系要善于从方

程（组）的角度来把握．

【例3】已知方程22(2)430x m x m ++++=，根据下列条件求m 的取值范围或值． （1）方程两根互为相反数； （2）方程有两个负根；

（3）方程有一个正根，一个负根．

解：（1）2(2)0

430m m -+=⎧⎨+≤⎩

，∴2m =-．

（2）2[2(2)]4(43)02(2)0430

m m m m ⎧+-+≥⎪-+<⎨⎪+>⎩，∴34m >-．

（3）430m +<，∴34

m <-

． 【方法指导】一元二次方程：

有两个正根：△≥0且120x x +>，120x x >；

有两个负根：△≥0且120x x +<，120x x >； 一正一负根：120x x <；

两根互为相反数：120x x +=，120x x ≤； 两根互为倒数：△≥0且121x x =．

考点2 求两根的对称式的值

【例4】设1x 、2x 是方程2310x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值：

（1）2

22

1x x +； （2）

21

12

x x x x +； （3）212()x x - 解：由韦达定理，得123x x +=-，121x x =-．

（1）2212x x +=21212()2x x x x +-=11

（2）2112

x x x x +=

21212

12()2x x x x x x +-=-11 （3）212()x x -=21212()4x x x x +-=13

【方法指导】只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变

形可得到只含“两根和”、“两根积”的代数式，代入求值即可．

考点3 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值

【例5】已知m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根．求下列代数式的值． （1）222441m n n +--； （2）35m n +．

解：（1）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，1mn =-，2

21n n -=． ∴222441m n n +--=2

2

2

2()2(2)1m n n n ++-- =222[()2]2(2)1m n mn n n +-+-- =2(42)211++⨯-

=13．

（2）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，221m m =+．

∴35m n +=(21)5m m n ++=225m m n ++ =2(21)5m m n +++=5()2m n ++=522⨯+=10． 【方法指导】此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关

系是不够的．常常需要结合根的定义，将式中的高次降低,直至出现对称式，再利用根与系数的关系求值．

考点4 构造一元二次方程求值

【例6】 （1）已知21550a a --=，21550b b --=，求

a b

b a

+的值； （2） 已知22510m m --=，215

20n

n +-=，且m n ≠，求

11

m n

+的值．

解：（1）当a b =时，

2a b

b a

+=； 当a b ≠时，由已知可把a 、b 看作是一元二次方程

2

1550x x --=的两根．∴15a b +=，5ab =-．

∴222()2a b a b a b ab b a ab ab ++-+===2152(5)5

-⨯--=47-． （2）由215

20n n +-=，得22510n n --=，而

2

2510m m --=，m n ≠，∴可把m 、n 看作是一元二次方

程22510x x --=的两根．∴52m n +=，12

mn =-． ∴

11m n +=

m n

mn

+=5-． 【方法指导】构造一元二次方程的依据是方程根的定义，能用此法解题，必须是题目中两个方程的形式相同，或经过适当的变形后可变成形式相同的两个方程，便可利用根与系数的关系．

考点5 韦达定理与抛物线的结合 【例7】若1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠

的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c 有如下关

系：12b x x a +=-

，12c

x x a

=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0）．利用根与系

数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB=12||x x -=21212()4x x x x +-=24()b

c a a

--

=24||

b ac

a -．参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．

（1）当△ABC 为直角三角形时，求24b ac -的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求24b ac -的值．

解：（1）当△ABC 为直角三角形时，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB =2CE ．

∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，则

22|4|4ac b b ac -=-．

∵0a >，∴2244b ac b ac

AB --==

又∵2244||44ac b b ac

CE a a

--==

， ∴224424b ac b ac

a

--=⨯

， ∴22

442b ac b ac --，

∴222

(4)44

b a

c b ac --=，而240b ac ->，

∴2

44b ac -=．

（2）当△ABC 为等边三角形时，由（1）知3

CE AB =

， ∴224344b ac b ac a --=240b ac ->， ∴2412b ac -=．

★解题方法点睛

一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法．运用中： 1．要善于运用整体思想求两根的对称式的值； 2．已知两根的有关代数式的值求待定字母的值时，一定别忘了判别式的限制作用； 3．要注意从方程（组）的角度看待韦达定理．

4．注意由此及彼的思维方法的运用．

★中考真题精练

1．（2014·玉林）1x 、2x 是关于x 的一元二次方程

220x mx m -+-=的两个实数根，是否存在实数m 使

12

11

0x x +=成立？则正确的结论是（ A ） A ．0m =时成立 B ． 2m =时成立 C ．0m =或2时成立 D ．不存在

2．（2014·呼和浩特）已知函数1

||

y x =的图象在第一象限

的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 判断正确的是（ C ） A ．121x x +>，120x x > B ．120x x +<，120x x > C ．1201x x <+<，120x x >

D ．12x x +与12x x 的符号都不

能确定 3．（2015·泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则22

12x x +的值为 27 ．

4．（2015·江西）已知一元二次方程2

430x x --=的两根是m ，n ，则2

2

m mn n -+= 25 ．

5．（2014·德州）方程222210x kx k k ++-+=的两个实数根1x 、

2x 满足22124x x +=，则k 的值为 1 ．

6．（2014·济宁）若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别

是1m +与24m -，则

b

a

= 4 ． 7．已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．

（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数