韦达定理的应用专题(供初三复习用)

韦达定理的应用专题训练
★热点专题诠释
1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理及逆定理）． 2．能够灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的
值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根
满足某些要求的新方程．
★典型例题精讲
考点1 求待定字母的值或范围
【例1】关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的实数解是1x 、2x ．如果12121x x x x +-<-，且k 为整数，求k 的值．
解：由韦达定理，得122x x +=-，121x x k =+． ∵12121x x x x +-<-，∴2(1)1k --+<-，∴2k >-． 又∵原方程有实数解，∴224(1)0k -+≥，0k ≤． ∴20k -<≤．
而k 为整数，∴1,0k =-．
【方法指导】当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0． 【例2】（2012·包头）关于x 的一元二次方程
25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为1x 、2x ，且
1227x x +=，则m 的值是（ B ）
A ．2
B ．6
C ．2或6
D ．7
解：由韦达定理，得1212
5(5)x x m
x x m +=⎧⎨
=-⎩ ，消去m ，得
121255250x x x x --+=，∴12(5)(5)0x x --= ，
∴15x =或25x =．
又∵1227x x +=，∴12
53x x =⎧⎨
=-⎩或121
5x x =⎧⎨=⎩．
又∵原方程有两个正实根，1212
5(5)0x x m x x m +=>⎧⎨
=->⎩，
∴5m >．∴126m x x =+=．
【方法指导】对一元二次方程的根与系数的关系要善于从方
程（组）的角度来把握．
【例3】已知方程22(2)430x m x m ++++=，根据下列条件求m 的取值范围或值． （1）方程两根互为相反数； （2）方程有两个负根；
（3）方程有一个正根，一个负根．
解：（1）2(2)0
430m m -+=⎧⎨+≤⎩
，∴2m =-．
（2）2[2(2)]4(43)02(2)0430
m m m m ⎧+-+≥⎪-+<⎨⎪+>⎩，∴34m >-．
（3）430m +<，∴34
m <-
． 【方法指导】一元二次方程：
有两个正根：△≥0且120x x +>，120x x >；
有两个负根：△≥0且120x x +<，120x x >； 一正一负根：120x x <；
两根互为相反数：120x x +=，120x x ≤； 两根互为倒数：△≥0且121x x =．
考点2 求两根的对称式的值
【例4】设1x 、2x 是方程2310x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值：
（1）2
22
1x x +； （2）
21
12
x x x x +； （3）212()x x - 解：由韦达定理，得123x x +=-，121x x =-．
（1）2212x x +=21212()2x x x x +-=11
（2）2112
x x x x +=
21212
12()2x x x x x x +-=-11 （3）212()x x -=21212()4x x x x +-=13
【方法指导】只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变
形可得到只含“两根和”、“两根积”的代数式，代入求值即可．
考点3 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值
【例5】已知m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根．求下列代数式的值． （1）222441m n n +--； （2）35m n +．
解：（1）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，1mn =-，2
21n n -=． ∴222441m n n +--=2
2
2
2()2(2)1m n n n ++-- =222[()2]2(2)1m n mn n n +-+-- =2(42)211++⨯-
=13．
（2）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，221m m =+．
∴35m n +=(21)5m m n ++=225m m n ++ =2(21)5m m n +++=5()2m n ++=522⨯+=10． 【方法指导】此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关
系是不够的．常常需要结合根的定义，将式中的高次降低,直至出现对称式，再利用根与系数的关系求值．
考点4 构造一元二次方程求值
【例6】 （1）已知21550a a --=，21550b b --=，求
a b
b a
+的值； （2） 已知22510m m --=，215
20n
n +-=，且m n ≠，求
11
m n
+的值．
解：（1）当a b =时，
2a b
b a
+=； 当a b ≠时，由已知可把a 、b 看作是一元二次方程
2
1550x x --=的两根．∴15a b +=，5ab =-．
∴222()2a b a b a b ab b a ab ab ++-+===2152(5)5
-⨯--=47-． （2）由215
20n n +-=，得22510n n --=，而
2
2510m m --=，m n ≠，∴可把m 、n 看作是一元二次方
程22510x x --=的两根．∴52m n +=，12
mn =-． ∴
11m n +=
m n
mn
+=5-． 【方法指导】构造一元二次方程的依据是方程根的定义，能用此法解题，必须是题目中两个方程的形式相同，或经过适当的变形后可变成形式相同的两个方程，便可利用根与系数的关系．
考点5 韦达定理与抛物线的结合 【例7】若1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠
的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c 有如下关
系：12b x x a +=-
，12c
x x a
=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0）．利用根与系
数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB=12||x x -=21212()4x x x x +-=24()b
c a a
--
=24||
b ac
a -．参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．
（1）当△ABC 为直角三角形时，求24b ac -的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求24b ac -的值．
解：（1）当△ABC 为直角三角形时，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB =2CE ．
∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，则
22|4|4ac b b ac -=-．
∵0a >，∴2244b ac b ac
AB --==
又∵2244||44ac b b ac
CE a a
--==
， ∴224424b ac b ac
a
--=⨯
， ∴22
442b ac b ac --，
∴222
(4)44
b a
c b ac --=，而240b ac ->，
∴2
44b ac -=．
（2）当△ABC 为等边三角形时，由（1）知3
CE AB =
， ∴224344b ac b ac a --=240b ac ->， ∴2412b ac -=．
★解题方法点睛
一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法．运用中： 1．要善于运用整体思想求两根的对称式的值； 2．已知两根的有关代数式的值求待定字母的值时，一定别忘了判别式的限制作用； 3．要注意从方程（组）的角度看待韦达定理．
4．注意由此及彼的思维方法的运用．
★中考真题精练
1．（2014·玉林）1x 、2x 是关于x 的一元二次方程
220x mx m -+-=的两个实数根，是否存在实数m 使
12
11
0x x +=成立？则正确的结论是（ A ） A ．0m =时成立 B ． 2m =时成立 C ．0m =或2时成立 D ．不存在
2．（2014·呼和浩特）已知函数1
||
y x =的图象在第一象限
的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 判断正确的是（ C ） A ．121x x +>，120x x > B ．120x x +<，120x x > C ．1201x x <+<，120x x >
D ．12x x +与12x x 的符号都不
能确定 3．（2015·泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则22
12x x +的值为 27 ．
4．（2015·江西）已知一元二次方程2
430x x --=的两根是m ，n ，则2
2
m mn n -+= 25 ．
5．（2014·德州）方程222210x kx k k ++-+=的两个实数根1x 、
2x 满足22124x x +=，则k 的值为 1 ．
6．（2014·济宁）若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别
是1m +与24m -，则
b
a
= 4 ． 7．已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．
（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数
根；
（2）若1x 、2x 是原方程的两根，且12||22x x -=，求m 的值．
（1）证明：△=2(3)4(1)m m +-+=225m m ++ =2(1)4m ++．
无论m 取何值，2(1)440m ++≥>，即0∆>． ∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理，得12(3)x x m +=-+，121x x m =+， ∴2121212||()4x x x x x x -=+-=2
[(3)]4(1)m m -+-+
=2
25m m ++，而12||22x x -=，
∴2
2522m m ++=，即2230m m +-=， ∴1m =或3m =-．
8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根
1x 、2x ．
（1）求k 的取值范围；
（2）若1212||1x x x x +=-，求k 的值． 解：（1）由已知，得0∆≥，即
22[2(1)]40k k ---≥，∴1
2
k ≤
． （2）∵1
2
k ≤
，∴122(1)10x x k +=-≤-<，∴1212||()2(1)x x x x k +=-+=--．
而212x x k =，1212||1x x x x +=-， ∴2
221k k -+=-，即2
230k k +-= ， ∴1k =或3k =-．而1
2
k ≤，∴3k =-． 9．请阅读下列材料：
问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y ，则2y x = ，∴2
y x =． 把2y x =
代入已知方程，得2()1022y y
+-=，化简，得2
240y y +-=．
故所求方程为2
240y y +-=．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程220x x +-=，求一个一元二次方程，使它
的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）己知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，∴x y =-． 把x y =-代入已知方程，得220y y --=，∴所求方程为
220y y --=；
（2）设所求方程的根为y ，则1
y x
=（0x ≠）， ∴1
x y
=（0y ≠ ） 把1x y =
代入方程20ax bx c ++=，得20a b
c y y
++=，∴20cy by a ++=．
若0c =，有20ax bx +=，∴方程20ax bx c ++=有一个根为0，不符合题意，∴0c ≠．
∴所求方程为20cy by a ++=（0c ≠）． 10．（2014•孝感）已知关于x
的方程
22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．
（1）求k 的取值范围；
（2）试说明10x <，20x <；
（3）若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且23OA OB OA OB +=⋅-，求k 的值． 解：（1）由题意，得0∆>，即
22[(23)]4(1)0k k ---+> ，解得5
12
k <
． （2）∵5
12
k <
，∴12230x x k +=-<， 而21210x x k =+>，∴10x <，20x <．
（3）由题意，不妨设A （1x ，0），B （2x ，0）． ∴OA +OB =1212|||()(23)x x x x k +=-+=--，
21212||||1OA OB x x x x k ⋅===+．
∵23OA OB OA OB +=⋅-，∴2(23)2(1)3k k --=+-，
解得1k =或2k =-．而5
12
k <
，∴2k =-． ★课后巩固提高
1．已知方程23(4)10x m x m ++++=的两根互为相反数，则m = -4
2．关于x 的方程222(1)0x m x m +++=的两根互为倒数，则m = 1 ．
已知12x x ≠，且满足211320x x +-=，2
22320x x +-=，则
12(1)(1)x x -- = 2 ．
3．（2014·呼和浩特）已知m ，n 是方程2250x x +-=的两个实数根，则23m mn m n -++= 8 ． 4．（2015·荆门）已知关于x 的一元二次方程
2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若22124x x +=，则m 的值为 -1或-3 ．
5．（2014•襄阳）若正数a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程250x x m +-=的一个根，则a
的值是 5 ．
6．设2210a a +-=，42210b b --=，且210ab -≠，则
225
31()ab b a a
+-+= -32 ．
7．（2014·扬州）已知a 、b 是方程230x x --=的两个根，则代数式32223115a b a a b ++--+的值为 23 ．
8．已知方程230x x k ++=的两根之差为5，则k = -4 ．
9．已知抛物线2
y x px q =++与x 轴交于A 、B 两点，且过
点（-1，-1），设线段AB 的长为d ，当p = 2 时，2d 取得最小值，最小值为 4 ．
10．已知1x 、2x 是关于x 的方程22(21)(1)0x m x m ++++=的两个实数根．
（1）用含m 的代数式表示22
1
2x x +； （2）当221215x x +=时，求m 的值．
解：由韦达定理，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+． ∴2
2
1
2x x +=21212()2x x x x +-=22
[(21)]2(1)m m -+-+ =2241m m +-．
（2）由（1）得，224115m m +-=，解得14m =-，22m =． 当4m =-时，原方程无实根；当2m =时，原方程有实根． ∴2m =．
11．（2014·鄂州）一元二次方程2220mx mx m -+-=． （1）若方程有两实数根，求m 的范围．
（2）设方程两实数根为1x 、2x ，且12||1x x -=，求m ． 12．已知方程2
3730x x -+=的两根1x 、2x （12x x >）．求下列代数式的值． （1
（2）2212x x -．
解：由韦达定理，得127
3
x x +=，121x x =． （1
． （2）∵12x x >，∴120x x ->．
∴12x x -
=
∴2212x x -=1212()()x x x x +-
=7
3
=
13．（2015·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程：
2(3)0x m x m ---=．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线2(3)y x m x m =---与
x
轴交于
1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，则A ，B 两点间的距离是否存
在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 解：（1）22[(3)]4()29m m m m ∆=----=-+ ＝2(1)8m -+ ∵2(1)m -≥0，∴2(1)80m ∆=-+> ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）存在．
由题意知1x 、2x 是原方程的两根． ∴12123,x x m x x m +=-=- ∵12
||AB x x =-
∴222121212()()4AB x x x x x x =-=+- 2
2
(3)4()(1)8m m m =---=-+ ∴当1m =时，2AB 有最小值8 ∴AB
有最小值，即AB =
14．（2014·荆门）已知函数2(31)21y ax a x a =-+++（a 为常数）．
（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值； （2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴相交于点C ，且212x x -=． ①求抛物线的解析式；
② 作点A 关于y 轴的对称点D ，连结BC 、DC ，求sin DCB ∠的值．
解：(1)①当a ＝0时，1y x =-+，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；
②当a ≠0且图象过原点时，210a +=，∴1
2
a =-
，有两个交点(0，0)，(1，0)；
③当a ≠0且图象与x 轴只有一个交点时，令y ＝0，则有
0∆=，即2[(31)]4(21)0a a a -+-+=．解得a ＝－1，有两
个交点(0，－1)，(1，0)；
综上：a ＝0或1
2
-或1-时，函数图象与坐标轴有两个交点． (2)①由题意令y ＝0时，123a x x a ++=，1221
a x x a
+=．
∵212x x -=，∴221()4x x -=，∴21212()44x x x x +-= ，
则(24(21)31(
)4a a a a ++-=，解得1
13
a =-，21a =
由题意，得0
0a >⎧⎨
∆>⎩，即2
0[(31)]4(21)0a a a a >⎧⎨-+-+>⎩
， ∴13
a =-应舍去．1a =符合题意． ∴抛物线的解析式为243y x x =-+．
②令y ＝0得2430x x -+=，解得1x =或3x =．w W
∴A (1，0)，B (3，0)．
由已知可得，D (－1，0)，C (0，3)． ∴OB ＝OC ＝3，OD ＝1，BD =4． 如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，则有
∴sin 45DE BD =⋅︒=
而CD
∴在Rt △CDE 中，sin ∠DCB ＝
DE CD
．。