数理方程期末试题--0--B-答案

北 京 交 通 大 学

2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）

（参考答案）

学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __

一、 计算题（共80分，每题16分）

1． 求下列定解问题（15分）

22

22201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u u

a A x l t t x u M u M u u t ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩

2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）

2,0,0,(,0)0,(,0)0,

(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞

⎧=<<+∞>⎪

==⎨⎪==⎩ 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力

作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。

[ 解 ] 问题的定解条件是

1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ

∞

==+∑

由初始条件可得

0, 1,2,...n D n ==

2

22

2

02()sin d ()sin d =

sin

, 1,2,...

c l

h n h n n l

c l l c l c hl n c l

c l c n C x x x x l x x n ππ

ππ--⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦

=⎰⎰

4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求

出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===><<+∂∂=∂∂====0|,0|0|,0|00sin sin 0002222

222t t l x x l a l t u

u u u t l x t x x u a t u ，，

π

π [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。]

[ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l

n π

sin ，其解可以表示成

1

(,)()sin n n l n u x t v t x π∞

==∑

把原问题中非齐次项

t x t x f l a l ππ22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数

∑∞

===1

22sin )(sin sin ),(n l n n l a l x

t f t

x t x f ππ

π

因此有

⎩

⎨⎧===,...4,3,1,0;2,sin )(2n n t t f l a n π

利用参数变易法，有

,...

5,4,3,1,0),()

cos sin ()(sin sin

),(22240

2222==-=

-=⎰n t x v t t t d t t x v n l a l a a l a l t

l a l a a l π

πππ

π

ππ

τ

ττ

于是

x t t t t x u l l a l a a l a l πππππ22224sin )cos sin (),(-=

6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-=+∞

<=<<∂∂+∂∂=∂∂====0|,1||,0|0),(0001

2

2

22222t R r t r R r r t u u u u R r r u r u a t u [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得

⎩

⎨

⎧==+0)0('0

)()(")(22T t T a t T I β 以及

⎩⎨

⎧=∞<=++0

)(,)(0)()(')(")(0222ρρρρβρρρρR R R R R II

设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为

)

(

)()(0

02

2ρρβρλρ

λn

n J R n n ==

问题（I ）的解为

t C t T n

a n n 0

cos )(ρλ=

于是原问题的解是

∑∑==t

J C t T R t u n

n a n n n 0

cos

)(

)()(),(0ρλρλρρρ

由初始条件

20

21)0,(ρρρ-

=u

得到

)

(8

)

()

(422)

(2

0)(2

13

212222

2

1200

20

2

2120)()()1(n n n n n n

n n n J J J n J J n J d J C λλλλλλρλρρρλ

ρρλρλρρρ=

=

⋅

=

-

=⎰

而且又有的零点，也即是由于,0)()(00=n n J x J λλ