《数学物理方法》课程教学大纲

《数学物理方法》课程教学大纲

课程名称：数理方法课程类别：专业必修课

适用专业：物理学考核方式：考试

总学时、学分：56 学时 3.5 学分其中实验学时：0 学时

一、课程性质、教学目标

数学物理方法课程是适用于物理、光信息科学、计算科学等理工科专业本科的重要基础课,也是专业核心课程。它的基本理论和方法,具有较强的逻辑性，抽象性和广泛的实用性。通过本课程的学习，使学生掌握有关复变函数的基本理论,积分变换及数理方程的定解问题及其求解方法,为进一步学习后继课程提供必要的数学基础。同时可培养学生的逻辑思维能力，数学建模能力，帮助学生树立科学的学习观，使学生初步具备解决简单常见物理和工程实际问题的素养。

本课程主要包括复变函数及其理论，积分变换，线性常微分方程的级数解法和数学物理方程等四块基本内容,是学生学习电动力学，量子力学和固体物理等专业核心课的必备基础。其具体的课程教学目标为：

课程教学目标1：熟练掌握复变函数求导，积分计算，泰勒级数和洛朗级数展开，留数定理及其应用，会计算物理中相应的数学问题。

课程教学目标2：深刻理解积分变换法，数理方程的定解问题及其计算方法，会用积分变换法，分离变量法和格林函数法求解电动力学和量子力学中的相关问题。

课程教学目标3：了解某些特殊函数及其性质，学会它们在物理学中的基本应用，让学生感受数学工具和数学表达在物理学中的重要地位。

课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系

注：以关联度标识，课程与某个毕业要求的关联度可根据该课程对相应毕业要求的支撑强度来定性估计，H:表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。

二、课程教学要求

本课程要求学生熟悉复变函数的一些基本概念，掌握泰勒级数及洛朗级数的展开方法，利用留数定理来计算围道积分和三类特殊类型的实变函数定积分；掌握傅立叶变换和拉普拉斯变换的概念及性质，并能运用拉普拉斯变换方法求解积分、微分方程。了解三种类型的数学物理方程的导出过程，能熟练写出定解问题；掌握利用分离变量法求解各类齐次方程，了解非齐次方程的求解方法；了解特殊函数的常微分方程，掌握用级数解法求解二阶常微分方程，了解施图姆-刘维尔本征值问题及性质；掌握勒让德多项式、贝塞尔函数的基本性质，并学会利用勒让德多项式求解轴对称型的拉普拉斯方程。

三、先修课程

高等数学，力学，热学，光学，电磁学，原子物理学。

四、课程教学重、难点

重点:解析函数的柯西黎曼条件、科西积分定理、科西积分公式、

泰勒级数、罗朗级数的展开、留数定理及应用、傅里叶变换、拉普拉斯变换、数理方程的分离变量法、行波法、球谐函数、积分变换法。

难点:特殊函数及其所满足的常微分方程。

五、课程教学方法与教学手段

在教学方法上，以板书讲授为主。在重点和难点处，采用启发式教学。在教学手段上，适当使用PPT作为辅助的补充教学手段。

六、课程教学内容

第一章复变函数（4学时）

1．教学内容

(1) 复数与复数运算；

(2) 复变函数及其导数；

(3) 解析函数

2．重、难点提示

(1) 解析函数的柯西黎曼条件。

第二章复变函数积分（4学时）

1．教学内容

(1) 复变函数的积分；

(2) 柯西定理；

(3) 柯西公式

2．重、难点提示

(1) 柯西积分定理；

(2) 柯西积分公式

第三章幂级数展开（8学时）

1．教学内容

(1) 幂级数；

(2) 泰勒级数；

(3) 洛朗级数；

(4) 孤立奇点的分类

2．重、难点提示

(1) 泰勒级数；

(2) 洛朗级数展开

第四章留数定理及其应用（8学时）1．教学内容

(1) 留数定理

(2) 应用留数定理计算实变函数定积分；

(3) 计算定积分的补充例题

2．重、难点提示

(1) 留数定理及其应用

第五章积分变换（8学时）

1．教学内容

(1) 周期函数的傅立叶级数，复数形式的傅立叶级数，非周期函数的傅立叶积分；

(2) 傅立叶变换；

(3) 拉普拉斯变换及其基本性质；

(4) 反演问题；

(5) 应用举例

2．重、难点提示

(1) 傅立叶变换；

(2) 拉普拉斯变换

第六章二阶常微分方程级数解法和某些特殊函数（4学时）

(1) 常点领域上常微分方程的级数解法

(2) 正则奇点领域上常微分方程的级数解法

第七章定解问题行波法分离变量法（10学时）

1．教学内容

(1) 数理方程的导出（波动方程、热传导方程、稳定场方程）；

(2) 定解条件（初始条件、边界条件、衔接条件），定解问题；

(3) 行波法达朗贝尔公式

(4) 分离变量法介绍

(5) 非齐次边界条件的处理本征函数法

(6) 斯特姆刘维尔本征值问题

2．重、难点提示

(1) 衔接条件；

第八章球坐标系下的分离变量法球谐函数（8学时)

(1) 轴对称球函数(勒让德多项式、勒让德多项式德正交关系、勒让德多项式的模、广义傅立叶级数、母函数与递推关系、例题)；

（2）一般的球函数(缔合勒让德函数、球谐函数、例题)

2．重、难点提示

(1) 勒让德多项式的母函数；

（2）球谐函数

第九章柱函数（2学时)

(1) 贝赛尔函数

(2) 柱函数(柱函数的定义、柱函数的分类、诺依曼函数、汉克尔函数)

(3) 球贝赛尔方程及其解

2．重、难点提示

(1) 贝赛尔函数的性质；