量子力学习题精选

1、2|()|x y z ψr 的物理意义

答：表示在r 处的体积元x y z 中找到粒子的概率。 2、统计诠释对波函数提出了哪些要求？ 答：单值，有限，连续

3、处在定态的粒子具有哪些特征？

答：粒子在空间的概率密度及概率流密度不随时间变化

如何（不显含时间t ）的力学量的平均值不随时间改变。

如何（不显含时间t ）的力学量的测值概率分布也不随时间改变。 5、对于中心力场，给定l ，能级的简并度一般为多少？ 答：21l +

6、利用驻波的思想，计算氢原子中作稳定圆周运动的电子的波长，其中圆轨道半径为r

答：2,1,2,3,.....r n n πλ==2/r n λπ=

1、Bohr 的原子量子论中，两个极为重要的假定是什么？ 答：原子具有离散能量的定态概念； 两个定态之间的量子跃迁和频率条件。

2、波函数()ψr 归一化条件

答：23|()|1d r ψ=⎰r 3、态的叠加原理

答：设 n ψψψ,,21是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠∑=

n

n

n c ψ

ψ

也是体系的一个可能状态。

5、量子力学中刻画可观测量的算符是线性算符还是非线性算符？试解释 答：刻画可观测量的算符是线性算符，反映了量子态的叠加原理

6、微观粒子状态的变化所遵从的方程 答：2

2

[(,)](,)2i U r t r t t

ψψμ

∂=-

∇+∂

3、算符 A 之厄米共轭 †

A 定义为 †(,)(,)A A ψϕψϕ=，证明： †††

†()A BC C B A =

证明： †††††

††(,())(,)(,)(,)(,)A BC A BC BC A C B A C B A ψϕψϕψϕψϕψϕ====

所以有 †††

†()A BC C B A =

1、德布罗意提出物质波的假定，即具有一定能量E 和动量p 的实物粒子相联系

的波的频率和波长分别为多少？ 答：,h

E h

p

νλ==

2、力学A 中平均值的计算公式，假设波函数没有归一化。

答：ˆ

(,)

(,)

A A ψψψψ=

3、量子力学中的力学量用什么来描述？ 答：用线性厄米算符表示。

4、写出x ,x p 的不确定度关系 解: 2

x x p ∆⋅∆≥

6、概率率流密度 答：(**)2i J m

ψψψψ=

∇-∇

1、如果粒子的状态由波函 ()(-)x Ax a x ψ=，0x a ≤≤，求归一化系数A 解： 由归一化条件， 2

222

2222

1()()(2)a

a x dx A x a x dx A

x a ax x dx ψ∞-∞

=

=

-=-+⎰

⎰

⎰

22234

(2)a

A a x a x x d x =-+

⎰ 5

5

5

5

2

2

(

)3

2

5

30

a

a a a A A

=-

+

=

∴A =

2、氢原子处在基态0

/30

1

),,(a r e

a

r -=

πϕθψ，求：势能r

e

2

-

的平均值

解：

2

222/2

3

2

22/30

2

2/3

02

2

2

300

01()sin sin 4 41

2r a r a r a e

e

U e

r drd d r a r

e

e

r drd d a e e r dr a e

e

a a a πππ

πθθφ

πθθφ

π∞-∞-∞-=-

=-

=-

=-

=-

=-

⎛⎫

⎪⎝⎭

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰

2、氢原子处在基态

/30

1

),,(a r e

a

r -=

πϕθψ，求：势能r

e

2

-

的平均值

解：

2

222/2

3

2

22/30

2

2/3

02

2

2

300

01()sin sin 4 41

2r a r a r a e

e

U e

r drd d r a r

e

e

r drd d a e e r dr a e

e

a a a πππ

πθθφ

πθθφ

π∞-∞-∞-=-

=-

=-

=-

=-

=-

⎛⎫

⎪⎝⎭

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰

3、ˆˆˆˆ?L

P P L z x x z

-= 解：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()z x x z y x x x

y x L P P L xP yP P P xP yP -=--- 2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆy x x x y x x xP P yP P xP P yP =--+ 22ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆx y x x y x xP P yP P xP yP =--+ ˆˆˆˆˆ()x x y xP P x P =- ˆy

i P = 2、计算ˆˆˆˆy x x y

L P P L - 解：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()L

P P L zP xP P P zP xP y x

x y

x

z

x

x

x

z

-=--- 2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ)x z x x z x z zP xP P P zP P xP =--+ 22ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ)x z x x x z zP xP P zP P xP =--+ ˆˆˆˆˆ()x x z xP P x P =-- ˆz

i P =- 3、氢原子处在基态0

/30

1

),,(a r e

a

r -=πϕθψ，求：r

解：(1)ϕ

θθπτϕθψπ

π

d rd d r r

e a

d r r r a r sin 1

),,(0

2

20

/23

2

⎰⎰⎰

⎰∞

-==

⎰

∞

-=0

/23

30

4dr

a r a

a r

04

3

02

32

!34

a a a =

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=