猴博士材料力学笔记pdf

合集下载

材料力学笔记

材料力学（土）笔记第三章扭转1．概述等直杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内的力偶时，杆将发生扭转变形若构件的变形时以扭转为主，其他变形为次而可忽略不计的，则可按扭转变形对其进行强度和刚度计算等直杆发生扭转变形的受力特征是杆受其作用面垂直于杆件轴线的外力偶系作用其变形特征是杆的相邻横截面将绕杆轴线发生相对转动，杆表面的纵向线将变成螺旋线当发生扭转的杆是等直圆杆时，由于杆的物性和横截面几何形状的极对称性，就可用材料力学的方法求解对于非圆截面杆，由于横截面不存在极对称性，其变形和横截面上的应力都比较复杂，就不能用材料力学的方法来求解2．薄壁圆筒的扭转设一薄壁圆筒的壁厚δ远小于其平均半径0r （10r ≤δ），其两端承受产生扭转变形的外力偶矩e M ，由截面法可知，圆筒任一横截面n-n 上的内力将是作用在该截面上的力偶该内力偶矩称为扭矩，并用T 表示由横截面上的应力与微面积dA 之乘积的合成等于截面上的扭矩可知，横截面上的应力只能是切应力考察沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律，预先在圆筒表面上画上等间距的圆周线和纵向线，从而形成一系列的正方格子在圆筒两端施加外力偶矩e M 后，发现圆周线保持不变，纵向线发生倾斜，在小变形时仍保持直线薄壁圆筒扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，知识相互间绕圆筒轴线发生相对转动，因此横截面上各点处切应力的方向必与圆周相切。

相对扭转角：圆筒两端截面之间相对转动的角位移，用ϕ来表示圆筒表面上每个格子的指教都改变了相同的角度γ，这种直角的该变量γ称为切应变这个切应变和横截面上沿沿圆周切线方向的切应力是相对应的由于圆筒的极对称性，因此沿圆周各点处切应力的数值相等由于壁厚δ远小于其平均半径0r ，故可近似地认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化薄壁圆筒扭转时，横截面上任意一点处的切应力τ值均相等，其方向与圆周相切由横截面上内力与应力间的静力学关系，从而得⎰=⨯AT r dA τ由于τ为常量，且对于薄壁圆筒，r 可以用其平均半径0r 代替，积分⎰==Ar A dA δπ02为圆筒横截面面积，引进π200r A =，从而得到δτ02A T=由几何关系，可得薄壁圆筒表面上的切应变γ和相距为l 的两端面间相对扭转角ϕ之间的关系式，式子中r 为薄壁圆筒的外半径γϕγsin /==l r 当外力偶矩在某一范围内时，相对扭转角ϕ与外力偶矩e M （在数值上等于T ）之间成正比可得τ和r 间的线性关系为γτG =上式称为材料的剪切胡克定律，式子中的比例常数G 称为材料的切变模量，其量纲和单位与弹性模量相同，钢材的切边模量的约值为GPa G 80=剪切胡克定律只有在切应力不超过某材料的某极限值时才适用该极限称为材料的剪切比例极限p τ，适用于切应力不超过材料剪切比例极限的线弹性范围3．传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图传动轴的外力偶矩设一传动轴，其转速为n （r/min ），轴传递的功率由主动轮输入，然后通过从动轮分配出去设通过某一轮所传递的功率为P ，常用单位为kW 1 kW=1000 W ；1 W=1 J/s ; 1 J=1 N ·m当轴在稳定转动时，外力偶在t 秒内所做的功等于其矩e M 与轮在t 秒内的转角α之乘积因此，外力偶每秒钟所作的功即功率P 为310}{}{}{}{-⋅⨯=sradmN e kW t M P α 3/10}{}{-⋅⨯=s rad m N e M ω3min/1060}{2}{-⋅⨯⨯⨯=r m N e n M π 即得到作用在该轮上的外力偶矩为min/3min /3}{}{1055.9}{26010}{}{r kWr kW mN e n P n P M ⨯=⨯⨯=⋅π 外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同，从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反扭矩及扭矩图可用截面法计算轴横截面上的扭矩为使从两段杆所求得的同一横截面上扭矩的正负号一致按杆的变化情况，规定杆因扭转而使其纵向线在某段内有变成右手螺旋线的趋势时则该段杆横截面上的扭矩为正，反之为负若将扭矩按右手螺旋法则用力偶矢表示，则当力偶矢的指向离开截面时扭矩为正，反之为负为了表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在横截面的位置可仿照轴力图的作法绘制扭矩图4．等直圆杆扭转时的应力·强度条件横截面上的应力与薄壁圆筒相仿，在小变形下，等直圆杆在扭转时横截面上也只有切应力 ①几何方面为研究横截面上任意一点处切应变随点的位置而变化的规律在等直圆杆的表面上作出任意两个相邻的圆周线和纵向线当杆的两端施加一对其矩为e M 的外力偶后，可以发现：两圆周线绕杆轴线相对旋转了一个角度，圆周线的大小和形状均为改变在变形微小的情况下，圆周线的间距也未变化纵向线则倾斜了一个角度γ假设横截面如同刚性平面般绕杆的轴线转动，即平面假设上述假设只适用于圆杆为确定横截面上任一点处的切应变随点的位置而变化的规律假想地截取长为dx 的杆段进行分析由平面假设可知，截面b-b 相对于截面a-a 绕杆轴转动了一个微小的角度ϕd 因此其上的任意半径也转动了同一角度ϕd由于截面转动，杆表面上的纵向线倾斜了一个角度γ 纵向线的倾斜角γ就是横截面周边上任一点A 处的切应变同时经过半径上任意一点的纵向线在杆变形后也倾斜了一个角度ργρ为圆心到半径上点的距离即为横截面半径上任意一点处的且应变由几何关系可得dxd ϕργγρρ=≈tan即dxd ϕργρ=②物理方面由剪切胡可定律可知，在线弹性范围内，切应力与切应变成正比令相应点处的切应力为ρτ，即得横截面上切应力变化规律表达式dxd G G ϕργτρρ== 由上式可知，在同一半径ρ的圆周上各点处的切应力ρτ 值均相等，其值与ρ成正比因ργ为垂直于半径平面内的切应变，故ρτ的方向垂直于半径③静力学方面由于在横截面任一直径上距圆心等远的两点处的内力元素dA ρτ等值且反向则整个截面上的内力元素dA ρτ的合力必等于零，并组成一个力偶，即为横截面上的扭矩T 因为ρτ的方向垂直于半径，故内力元素dA ρτ对圆心的力矩为dA ρρτ 由静力学中的合力矩原理可得⎰=AT dA ρρτ经整理后得⎰=A T dA dxd G2ρϕ 上式中的积分⎰AdA 2ρ仅与横截面的几何量有关，称为极惯性矩，用p I 表示⎰=Ap dA I 2ρ其单位为4m ，整理得pGI T dx d =ϕ 可得pI T ρτρ=上式即等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式当ρ等于横截面的半径r 时，即在横截面周边上的各点处，切应力将达到其最大值p I Tr =max τ 在上式中若用p W 代表r I p /，则有pW T =m ax τ 式中，p W 称为扭转截面系数，单位为3m推导切应力计算公式的主要依据为平面假设，且材料符合胡克定律因此公式仅适用于在线弹性范围内的等直圆杆为计算极惯性矩和扭转截面系数在圆截面上距圆心为ρ处取厚度为ρd 的环形面积作为面积因素可得圆截面的极惯性矩为⎰⎰===Ad p d d dA I 32242032πρπρρ圆截面的扭转截面系数为162/3d d I rI W p p p π===由于平面假设同样适用于空心截面杆件，上述切应力公式也适用于空心圆截面杆设空心圆截面杆的内、外直径分别为d 和D ，其比值Dd =α 则可得空心圆截面的极惯性矩为⎰⎰-===AD d p d D d dA I )(322442232πρπρρ所以)1(3244απ-=D I p扭转截面系数为)1(1616)(2/4344αππ-=-==D Dd D D I W p p斜截面上的应力在圆杆的表面处用横截面、径向截面及与表面相切的面截取一单元体在其左右两侧（即杆的横截面）上只有切应力τ，其方向与y 轴平行在其前后两平面（即与杆表面相切的面）上无任何应力由于单元体处于平衡状态，故由平衡方程0=∑yF可知单元体在左右两侧面上的内力元素dydz τ应是大小相等，指向相反的一对力并组成一个力偶，其矩为dx dydz )(τ 为满足令两个平衡方程，0=∑xF和0=∑z M在单元体上、下两个平面上将有大小相等、指向相反的一对内力元素dxdz 'τ 并组成其矩为dy dxdz )('τ的力偶该力偶与前一力偶矩数值相等而转向相反，从而可得ττ='上式表明，两相互垂直平面上的切应力τ和'τ数值相等，且均指向（或背离）该两平面的交线，称为切应力互等定理该定理具有普遍意义纯剪切应力状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态等直圆杆和薄壁圆筒在发生扭转时，其中的单元体均处于纯剪切应力状态现分析在单元体内垂直于前、后量平面的任意斜截面上的应力斜截面外法线n 与x 轴的夹角为α规定从x 轴至截面外法向逆时针转动时α为正，反之为负应用截面法，研究其左边部分的平衡设斜截面ef 的面积为dA ，则eb 面和bf 面的面积分别为αcos dA 和αsin dA 选择参考轴ξ和η分别于斜截面ef 平行和垂直由平衡方程∑=0ηF 和∑=0ξF即0cos )sin (sin )cos ('=++ααταατσαdA dA dA0sin )sin (cos )cos ('=+-ααταατταdA dA dA利用切应力互等定理公式，整理后即得任意一斜截面ef 上的正应力和切应力的计算公式ατσα2sin -= αττα2cos =单元体的四个侧面（ο0=α和ο90=α）上的切应力绝对值最大，均等于το45-=α和ο45=α两截面上正应力分别为τσσ+==max 45οτσσ-==min 45ο即该两截面上的正应力分别为ασ中的最大值和最小值，即一为拉应力，另一为压应力其绝对值均等于τ，且最大、最小正应力的作用面与最大切应力的作用面之间互成45° 这些结论是纯剪切应力状态的特点，不限于等直圆杆在圆杆的扭转试验中，对于剪切强度低于拉伸强度的材料（如低碳钢），破坏是由横截面上的最大切应力引起，并从杆的最外层沿与杆轴线约成45°倾角的螺旋形曲面发生拉断而产生的在最大切应力相等的情况下，空心圆轴的自重较实心圆轴为轻，比较节省材料强度条件强度条件是最大工作切应力不超过材料的许用切应力，即][max ττ≤ 等直圆杆的最大工作应力存在于最大扭矩所在横截面即危险截面的周边上任一点，即危险点上述强度条件可写为][maxτ≤pW T5．等直圆杆扭转时的变形·刚度条件扭转时的变形等直杆的扭转变形是用两横截面绕杆轴相对转动的相对角位移，即相对扭转角ϕ来度量的ϕd 为相距dx 的两横截面间的相对扭转角因此，长为l 的一段杆两端面间的相对扭转角长为l 的一段杆两端间的相对扭转角ϕ为⎰⎰==lpldx GI Td 0ϕϕ 当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时，则所有横截面上的扭矩T 均相同且等于杆端的外力偶矩e M对于由同一材料制成的等直圆杆，G 及p I 亦为常量，则可得pe GI l M =ϕ或p GI Tl=ϕϕ的单位为rad ，其正负号随扭矩T 而定由上式可见，相对扭转角ϕ与p GI 成反比，p GI 称为等直圆杆的扭转刚度由于杆在扭转时各横截面上的扭矩可能并不相同，且杆的长度也各不相同因此在工程中，对于扭转杆的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率dx d /ϕ来度量，称为单位长度扭转角，并用'ϕ表示pGI T dx d ==ϕϕ' 公式只适用于材料在线弹性范围内的等直圆杆例题3-5截面C 相对于截面B 的扭转角，应等于截面A 相对于B 的扭转角与截面C 相对于A 的扭转角之和AC BA BC ϕϕϕ+=刚度条件等直杆扭转时，除需满足强度条件外，有时还需满足刚度条件刚度要求通常是限制器单位长度扭转角'ϕ中最大值不超过某一规定的允许值]['ϕ，即][''max ϕϕ≤上式即为等直圆杆在扭转时的刚度条件式中，]['ϕ称为许可单位长度扭转角，其常用单位是m /)(ο需要将单位换算，于是可得][180'max ϕπ≤⨯p GI T 许可单位长度扭转角是根据作用在轴上的荷载性质以及轴的工作条件等因素决定的6．等直圆杆扭转时的应变能当圆杆扭转变形时，杆内将积蓄应变能计算杆内应变能，需先计算杆内任一点处的应变能密度，再计算全杆内所积蓄的应变能受扭圆杆的任一点处于纯剪切应力状态设其左侧面固定，则单元体在变形后右侧面将向下移动dx ⋅γ当材料处于线弹性范围内，切应力与切应变成正比，且切应变值很小因此在变形过程中，上、下两面上的外力将不作功只有右侧面上的外力dydz ⋅τ对相应的位移dx ⋅γ做功，其值为)(21))((21dxdydz dx dydz dW τγγτ=⋅⋅=单元体内所积蓄的应变能εdV 数值上等于dW 于是可得单位体积内的应变能即应变能密度εv 为τγεε21===dxdydz dW dV dV v 根据剪切胡克定律，上式可改写为Gv 22τε=或22γεG v =求得受扭圆杆任一点处的应变能密度εv 后，全杆的应变能εV 可由积分计算dAdx v dV v V Vl A⎰⎰⎰==εεεV 为杆的体积，A 为杆的横截面积，l 为杆长若等直杆仅在两端受外力偶矩e M 作用，则任一横截面的扭矩T 和极惯性矩p I 均相同可得杆内得应变能为222222222)(22ϕρτεlGI GI l M GI l T dA I T G l dAdx G V p p e A p p l A =====⎰⎰⎰以上应变能表达式也可利用外力功与应变能数值上相等的关系，直接从作用在杆端的外力偶矩e M 在杆发生扭转过程中所做的功W 算得7．等直非圆杆自由扭转时的应力和变形对于非等直圆杆，在杆扭转后横截面不在保持为平面取一矩形截面杆，事先在其表面绘出横截面的周线，则在杆扭转后，这些周线变成了曲线从而可以推知，其横截面在杆变形后将发生翘曲而不再保持平面对于此类问题，只能用弹性的理论方法求解等直非圆杆在扭转时横截面发生翘曲，但当等直杆在两端受外力偶作用，且端面可以自由翘曲时，称为纯扭转或自由扭转这时，杆相邻两横截面的翘曲程度完全相同，横截面上仍然是只有切应力没有正应力若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，称为约束扭转，则其相邻两横截面的翘曲程度不同，将在横截面上引起附加的正应力8．开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力和变形开口薄壁截面杆薄壁截面的壁厚中线是一条不封闭的折线或曲线，责成开口薄壁截面如各种轧制型钢（工字钢、槽钢、角钢等）或工字形、槽形、T 字型截面等闭口薄壁截面杆薄壁截面的壁厚中线是一条封闭的折线或曲线，这类截面称为闭口薄壁截面讨论这类杆件在自由扭转时的应力和变形计算设一横截面为任意形状、变厚度的闭口薄壁截面等直杆在两自由端承受一对扭转外力偶作用杆横截面上的内力为扭矩，因此其横街满上将只有切应力假设切应力沿壁厚无变化，且其方向与壁厚的中线相切在杆的壁厚远小于其横截面尺寸时，又假设引起的误差在工程计算中是允许的取dx 的杆段，用两个与壁厚中线正交的纵截面从杆壁中取出小块ABCD 设横截面上C 和D 两点处的切应力分别为1τ和2τ，而壁厚分别为1δ和2δ 根据切应力互等定理，在上、下两纵截面上应分别有切应力2τ和1τ 由平衡方程0=∑xF，dx dx 2211δτδτ=可得2211δτδτ=由于所取的两纵截面是任意的，上式表明横截面沿其周边任一点处的切应力τ与该点处的壁厚δ乘积为一常数常数=τδ沿壁厚中线取出长为ds 的一段，在该段上的内力元素为ds ⋅τδ 其方向与壁厚中线相切，其对横截面内任意一点O 的矩为r ds dT )(⋅=τδr 是从矩心O 到内力元素ds ⋅τδ作用线的垂直距离由力矩合成原理可知，截面上扭矩应为dT 沿壁厚中线全长s 的积分，即得⎰⎰⎰===sssrds rds dT T τδτδrds 为图中阴影三角形面积2倍故其沿壁厚中线全长s 的积分应是该中线所围面积0A 的2倍，于是可得02A T ⨯=τδ或者δτ02A T=上式即为闭口薄壁截面等直杆在自由扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式可得杆截面上最大切应力为min0max 2δτA T =式子中，min δ为薄壁截面的最小壁厚闭口薄壁截面等直杆的单位长度扭转角可按功能原理来求得22022028)2(212δδτεGA T A T G G v === 根据应变能密度计算扭转时杆内应变能的表达式，得单位长度杆内得应变能为⎰⎰==V V dVGA T dV v V 22028δεε 式子中，V 为单位长度杆壁的体积，ds ds dV ⨯=⨯⨯=δδ1，代入上式⎰=s dsGA T V δε2028 计算单位长度杆两端截面上的扭矩对杆段的相对扭转角'ϕ所做的功，杆在线弹性范围内2'ϕT W =因为W V =ε，则可解得⎰=sdsGA T δϕ20'4即所要求得单位长度扭转角式子中的积分取决于杆的壁厚δ沿壁厚中线s 的变化规律，当壁厚δ为常数时，得到δϕ20'4GA Ts=式子中，s 为壁厚中线的全长。

材料力学笔记(第九章)

材料力学（土）笔记第九章压杆稳定1．压杆稳定性的概念当轴向压缩杆件横截面上的正应力不超过材料的许用应力时，强度上保证了杆件的正常工作而在实际结构中，受压杆件的横截面尺寸一般都较按强度条件算出为大，且其横截面的形状往往与梁的横截面形状相仿，提高压杆的承载能力，需提高压杆额弯曲刚度压杆是否变弯，与杆横截面的弯曲刚度有关压杆在轴向压力作用下除发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲变形对压杆的承载力进行研究时，通常将压杆抽象为由均质材料制成、轴线为直线，且轴向压力作用线与压杆轴线重合的理想“中心受压直杆”的模型在这一力学模型中，由于不存在使压杆产生弯曲变形的初始因素因此，在轴向压力下就不可能发生弯曲现象在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后假想地在杆上施加一微小横向力，使杆发生弯曲变形，然后撤去横向力实验表明，当轴向力不大时，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡状态则压杆在直线形态下的平衡是稳定平衡当轴向力增大到一定的界限值时，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲平衡状态，而不再恢复其原有的直线平衡形态，则压杆原来在直线形态下的平衡时不稳定平衡中心受压直杆在直线形态下的平衡，由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力的界限值，称为临界压力，或简称临界力，并用cr F 表示中心受压直杆在临界力cr F 的作用下，其直线形态的平衡开始丧失稳定性，简称为失稳通常说压杆的稳定性及其在临界力cr F 作用下的失稳，是就中心受压直杆的力学模型而言的对于实际的压杆，由于存在前述几种导致压杆受压时弯曲的因素，通常可用偏心受压直杆作为其力学模型，其平衡稳定性问题是在偏心压力作用下，杆的弯曲变形是否会出现急剧增大而丧失正常的承载能力，其失稳的概念与中心受压直杆的力学模型截然不同2．细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆在临界力作用下，处于不稳定平衡的直线状态其材料仍处于理想的线弹性范围内，这类稳定问题成为线弹性稳定问题以两端球形铰支，长度为l 的等截面细长中心受压直杆为例中心受压直杆在临界力作用下将在微弯形态下维持平衡，此时压杆任一x 截面上的弯矩为()cr M x F ω=压力cr F 取为正值，挠度ω以沿y 轴正值方向者为正将弯矩方程代入公式，可得挠曲线的近似微分方程''()cr EI M x F ωω=-=-其中I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩将上式均除以EI ，并令2cr F k EI= 则式子可以改写为二阶常系数线性微分方程''20k ωω+=其通解为sin cos A kx B kx ω=+式中，A 、B 和k 三个待定常数由挠度曲线的边界条件确定由0x =，0w =的边界条件，可得0B =由2l x =，ωδ=（δ为挠曲线中点的挠度）的边界条件，可得sin(/2)A kl δ= 最后又常数A 、B 及x l =，0ω=的边界条件，得 0sin 2cos(/2)sin(/2)kl kl kl δδ==上式仅在0δ=或cos(/2)0kl =时才能成立显然，若0δ=，则压杆的轴线并非微弯的挠曲线，欲使压杆在微弯形态下维持平衡，必须cos 02kl = 即得 22kl n π= (1,3,5,...)n = 其最小解为1n =时的解，于是kl π== 解得 22cr EI F l π=上式即两端铰支等截面细长中心受压直杆临界力cr F 的计算公式，通常称为欧拉公式在kl π=的情况下，sin(/2)sin(/2)1kl π==，故由常数A 、B 可知，挠曲线方程为sin xl πωδ=即挠曲线为半波正弦曲线上述求解过程中，挠曲线中点得挠度δ是个无法确定的值即不论δ为任何微小值，上述平衡条件都能成立事实上这种随遇平衡状态不成立，δ之所以无法确定是因为推导过程中使用了挠曲线的近似微分方程3．不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式·压杆的长度因数不同杆端约束下细长中心受压直杆的临界力表达式，可通过类似方法来推导由表可以看出，中心受压直杆的临界力cr 受到杆端约束情况的影响杆端越是约强，杆的抗弯能力就越大，其临界力也就越高对于各种杆端约束情况，细长中心受压等直杆临界力的欧拉公式可写成同一的形式22()cr EI F l πμ= 式中，因数μ称为压杆的长度因数，与杆端的约束情况有关l μ称为原压杆的相当长度其物理意义可从表中各种杆端约束下细长压杆失稳时挠曲线形状的比拟来说明：由于压杆失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为零故可设想拐点处有一铰，而将压杆在挠曲线两拐点渐的一段看作两端铰支压杆利用两端铰支压杆临界力的欧拉公式得到原支承条件下压杆的临界力cr F这两拐点之间的长度，即为原压杆的相当长度ul即相当长度为各支承条件下的细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度细长压杆临界力的欧拉公式中，I 是横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩若杆端在各个方向的约束情况相同，则I 应取最小的形心主惯性矩若杆端在不同的方向的约束情况不同，则I 应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩4．欧拉公式的应用范围·临界应力总图假设材料处于线弹性范围内即压杆在临界力cr F 作用下的应力不得超过材料的比例极限p σ压杆临界力的欧拉公式有其一定的应用范围4.1 欧拉公式的应用范围当压杆受临界力cr F 作用而在直线平衡形态下维持不稳定平衡时横截面上的压应力可按公式F A σ=计算于是，各种支承情况下压杆的横截面上的应力为2222cr cr F EI E ππσ=== cr σ称为临界应力cr F 为压杆的相当长度两者的比值(/)l i μ，记为λ 其值越大，相应的cr σ就越小，即压杆越容易失稳l iμλ= 则临界力的式子可改写为22cr E πσλ= 欧拉公式仅适用于crp σσ≤的范围内则欧拉公式的应用范围可表示为22cr p E πσσλ=≤ 或写作p λπλ≥== 式中，p λ为能应用欧拉公式的压杆柔度的界限值通常称p λλ≥的压杆为大柔度压杆，或细长压杆当压杆的柔度p λλ<时，不能应用欧拉公式，通常称其为小柔度压杆这一界限值p λ的大小取决于压杆材料的力学性能将压杆临界应力cr σ与压杆柔度λ间的关系式用曲线表示称为欧拉临界应力曲线，实线部分是适用范围内的曲线，虚线部分无意义4.2 折减弹性模量理论4.3 压杆的临界应力总图中心受压直杆的临界应力的计算与压杆的柔度有关对于大柔度杆，临界应力可按欧拉公式计算对于小柔度杆，临界力的计算有很多，折减弹性模量理论仅是其中之一在不同λ范围内，压杆的临界应力与柔度间的关系图线称为压杆的临界应力总图5．实际压杆的稳定因数实际压杆可能存在引起截面上的残余应力等的不利因素，将降低压杆的临界应力压杆的临界应力总是随压杆的柔度而改变柔度越大，临界应力值越低设计压杆时所用的许用应力也随压杆的柔度的增大而减小在压杆设计中，将压杆的稳定许用应力[]st σ写作材料的强度许用应力[]σ乘以一个随压杆柔度λ而改变的稳定因数()ϕϕλ=，即[][][][]crcr st st st n n σσσσϕσσ===，[]cr st n σϕσ= 以反映压杆的稳定许用应力随压杆柔度改变的这一特点在稳定因数()ϕϕλ=中，也考虑了压杆的稳定安全因数st n 随压杆柔度而改变的因素6．压杆的稳定计算·压杆的合理截面压杆的稳定条件可表达为[]F A ϕσ≤，通常改写为[]F Aσϕ≤ 式中，F 为压杆承受的轴向压力；ϕ为压杆的稳定因数；A 为压杆的横截面面积稳定计算中不必考虑截面局部削弱的影响，以毛面积进行计算在强度计算中，应按局部局部被削弱的净面积进行计算，[]σ为压杆材料的许用应力在稳定计算中，若已知压杆的材料、杆长和杆端约束条件，而需选择压杆的截面尺寸时由于压杆的稳定因数ϕ（或柔度λ）受截面形状和大小的影响，通常采用试算法压杆的合理截面，由于压杆的稳定性与其柔度有关，柔度与截面的最小惯性半径i 成反比对于各个方向的杆端约束条件相同的压杆，要求截面对两形心主惯性轴的惯性半径相等y z i i =（即y z I I =），且尽可能增大截面的i 值例如，方形截面压杆比较合理，空心圆截面的压杆比较合理压杆多采用空心截面或型钢组合截面对于各个方向的杆端约束条件不同的压杆，为充分发挥材料的作用要求截面对两形心主惯性轴i 值不同，以使两个方向的柔度大致相等，即y z λλ≈。

材料力学总结-研究生复试

材料⼒学总结-研究⽣复试材料⼒学猴博⼠扭矩图（计算扭转⾓）（剪）切应⼒：P W T /=τ轴⼒图（拉为正，向上画）计算伸长量EA F l N /=?正应⼒A F N /=σ（正应⼒为正表⽰受拉，为负表⽰受压）画弯矩图（第⼀步剪⼒图；第⼆步弯矩图）剪⼒s F轴⼒图：左（从左开始）左为正，右右为正扭矩图：左（从左开始）左为正，右右为正⽤右⼿定则剪⼒图：左（左边开始）上、右（右边开始）下为正分段写范围时有⼒突变不要等于号弯矩图：（遇到⼒偶）左顺右逆为正？（有点记不清了）+上剪⼒图的⾯积分段时有M 时不要等于号剪⼒图为正，弯矩向上画材料⼒学刘⽂鸿版9）南航第⼀章绪论（01）理论⼒学研究刚体，研究⼒与运动的关系材料⼒学研究变形体，研究⼒与变形的关系理论⼒学是材料⼒学基础强度：抵抗破坏的能⼒（报纸编成⽹）刚度：抵抗变形的能⼒（圆管既有强度⼜有刚度）稳定性：（旗杆--⼈爬上去会晃），保持原有平衡状态的能⼒电塔倒塌---失稳假设：连续的、均匀的、各项同性（各个⽅向性质相同）、⼩变形假设（塑性：超过弹性极限后能永久保留的性质韧性：受冲击载荷⽽不破坏的性能弹性：外⼒消失后能够恢复原状的性质）（02）1.外⼒--内⼒-应⼒（强度问题）截⾯法求出内⼒（截⾯上的内⼒）1个轴⼒ 2两个剪⼒； 1个扭矩，2个弯矩右⼿直⾓坐标系平⾯问题：⼀个剪⼒、⼀个轴⼒，⼀个弯矩正应⼒、切应⼒2.位移-变形-应变（刚度问题）拉压，剪切，扭转，弯曲（+稳定性）第⼆章拉伸、压缩、剪切（03）内⼒、应⼒（拉伸为正、压缩为负）圣维南原理：端部不⼀样，其他地⽅⼀样（拉压时对杆的影响）单位：⽜、⽶、帕⾃由表⾯：没有应⼒横截⾯上正应⼒最⼤A F /=σ，斜截⾯上45度时切应⼒最⼤=σστ==2/max⾦属材料：塑性材料（低碳钢）、脆性材料（铸铁）--直接断低碳钢拉伸试验（有个应⼒应变图）1、弹性阶段（卸载后可以恢复）：线弹性阶段（应⼒应变成正⽐），胡克定律εσE =，E 为弹性模量，单位是a GP （应变⽆单位）；⾮线性阶段末端应⼒为弹性极限2、屈服阶段（抖动、应变增加应⼒波动）下屈服点为屈服极限1、强化阶段，最⾼点为强度极限（有径缩现象，径缩后断裂）断后伸长率()l l l /1?=δ>5%,塑性材料； <5%，为脆性材料断⾯收缩率（⽤径缩处的⾯积）（05）拉伸、压缩剪切3许⽤应⼒=屈服极限÷安全系数 []σσ<==A F /max max强度问题：强度的校核（最⼤应⼒⼩于许⽤应⼒）、截⾯设计、确定许可载荷材料⼒学123455：拉压、弯曲、扭转、剪切（稳定性）4个基本假设（⼩变形假设）联、。

材料力学笔记(附录)

材料力学（土）笔记附录I 截面的几何性质1．截面的静矩和形心位置设任意形状的截面，其截面面积为A ，从截面中坐标为(,)x y 处取一面积元素dA 则xdA 和ydA 分别称为该面积元素dA 对于y 轴和x 轴的静矩或一次矩y AS xdA =⎰定义为该截面对y 轴的静矩x AS ydA =⎰定义为该截面对x 轴的静矩上述积分应遍及整个截面面积A截面的静矩是对一定的轴而言的，同一截面对不同坐标轴的静矩不同静矩可能为正值也可能为负值，也可能等于零，常用单位为m ³或mm ³ 由理论力学可知，在Oxy 坐标系中，均质等厚度薄板的重心坐标为y AxdA S x AA==⎰，xAydA S y AA==⎰ 均质薄板的重心与该薄板平面图形的形心是重合的上式可计算形心坐标，在知道截面对y 轴和x 轴的静矩以后，即课的截面形心坐标将上式改写为y S Ax =，x S Ay =则在已知截面的面积A 及其形心的坐标x 、y 时就可求得截面对y 轴和x 轴的静矩，由上式可看出，截面对通过其形心的轴的静矩恒等于零反之，若截面对于某一轴的静矩等于零，则该轴必通过截面的形心当截面由若干简单图形组成时，由于简单图形的面积及其形心位置均为已知由静矩定义可知，截面各组成部分对某一轴的静矩之代数和等于该截面对同一轴的静矩即得整个截面的静矩为1n y i i i S A x ==∑，1nx i i i S A y ==∑式中，i A 和i x 、i y 分别代表任一简单图形的面积及其形心的坐标n 为组成截面的简单图形个数可得组合截面的星系坐标为11ni ii nii A xx A===∑∑，11ni ii nii A yy A===∑∑2．极惯性矩·惯性矩·惯性积设一面积为A 的任意形状截面，从截面坐标为(,)x y 处取一面积元素dA 则dA 与其至坐标原点距离平方的乘积2dA ρ 称为面积元素对O 点的极惯性矩或截面二次极矩2p AI dA ρ=⎰定义为整个截面对O 点的极惯性矩上述积分应遍及整个截面面积A ，极惯性矩的数值恒为正，单位为4m 或4mm面积元素dA 与其至y 或x 轴距离平方的乘积2x dA 或2y dA 分别称为该面积元素对y 轴或x 轴的惯性矩或截面二次轴距22y Ax A I x dA I y dA ⎫=⎪⎬=⎪⎭⎰⎰ 分别定义为整个截面对y 轴或x 轴的惯性矩上述积分遍及整个截面的面积A222x y ρ=+，故有222()p y x AAI dA x y dA I I ρ==+=+⎰⎰任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和面积元素dA 与分别至y 轴和x 轴距离的乘积xydA ，称为该面积元素对两坐标轴的惯性积定义为整个截面对x 、y 两坐标轴的惯性积，其积分也应遍及整个截面的面积从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩或惯性积一般是不同的惯性矩的数值恒为正值，而惯性积可能为正值也可能为负值，也可能等于零若x 、y 两坐标轴有一为截面的对称轴，则其惯性积恒等于零因在对称轴两侧，处于对称位置的两面积元素dA 的惯性积xydA ，数值相等而正负号相反致使整个截面的惯性积必等于零，惯性矩和惯性积的单位相同在某些应用中，将惯性矩表示为截面面积A 与某一长度平方的乘积，即2y y I i A =，2x xI i A = 式中，y i 和x i 分别称为截面对y 轴和x 轴的惯性半径，其单位为m 或mm 当已知截面面积A 和惯性矩y I 和x I 时，惯性半径即可从下式求得y i =x i =3．惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合截面的惯性矩和惯性积 3.1 惯性矩和惯性积的平行移轴公式面积为A 的任意形状的截面截面对任意的x 、y 两坐标轴的惯性矩和惯性积分别为x I 、y I 和xy I 通过截面的形心C 有分别与x 、y 轴平行的C x 、C y 轴称为形心轴截面对形心轴的惯性矩和惯性积分别为xC I 、yC I 和xCyC I截面上任一面积元素dA 在两坐标系内的坐标(,)x y 与(,)C C x y 间的关系为C x x b =+，C y y a =+式中，a 、b 是截面形心在Oxy 坐标系内的坐标值，即两平行坐标系间的间距将其代入可得2222()2x C C C AAAAAI y dA y a dA y dA a y dA a dA ==+=++⎰⎰⎰⎰⎰根据惯性矩和静矩的定义，上式右端的各项积分分别为2C xC Ay dA I =⎰，C xC Ay dA S =⎰，AdA A =⎰其中xC S 为截面形心轴C x 的静矩，恒等于零，则原式子可写为2x xC I I a A =+，同理2y yC I I b A =+，xy xCyC I I abA =+a 、b 有正负号，可由截面形心所在的象限来确定，上式称为平行移轴公式应用上式即可根据截面对形心轴的惯性矩或惯性积，计算截面对于形心轴平行的坐标轴的惯性矩惯性矩或惯性积，或进行相反运算3.2 组合截面的惯性矩及惯性积组合截面对某坐标的惯性矩（或惯性积）就等于其各组成部分对同一坐标轴的惯性矩（或惯性积）之和，若截面是由n 个部分组成，则组合截面对x 、y 两轴的惯性矩和惯性积为1n x xi i I I ==∑，1n y yi i I I ==∑，1nxy xyi i I I ==∑式子中，xi I 、yi I 、xyi I 分别为组合截面中组成部分i 对x 、y 两轴的惯性矩和惯性积4．惯性矩和惯性积的转轴公式·截面的主惯性轴和主惯性矩 4.1 惯性矩和惯性积的转轴公式设一面积为A 的任意形状截面截面对通过其上任意一点O 的两坐标轴x 、y 的惯性矩和惯性积分别为x I 、y I 和xy I 若坐标轴x 、y 绕O 点旋转α角（α角以逆时针转向为正）至1x 、1y 则该截面对新坐标轴1x 、1y 的惯性矩和惯性积分别为1x I 、1y I 和11x y I 截面上任一面积元素dA 在新、老两坐标系内的坐标11(,)x y 与(,)x y 的关系为1cos sin x x y αα=+ 1cos sin y y x αα=-经过展开逐项积分可得，该截面对坐标轴1x 的惯性矩1x I22221cos sin 2sin cos x AAAI y dA x dA xydA αααα=+-⎰⎰⎰根据惯性矩和惯性积的定义，右端的各项积分分别为2x Ay dA I =⎰，2y Ax dA I =⎰，xy AxydA I =⎰将其代入，即得1cos 2sin 222x y x y x xy I I I I I I αα+-=+- 1cos 2sin 222x yx yy xy I I I I I I αα+-=-+11sin 2cos 22x yx y xy I I I I αα-=+以上三式就是惯性矩和惯性积的转轴公式11x y x y I I I I +=+上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数并等于截面对该坐标原点的极惯性矩4.2 截面的主惯性主和主惯性矩当坐标轴旋转时，惯性积11x y I 将随着α角作周期性变化，且有正有负必有一特定的角度0α，使得截面对该坐标轴0x 、0y 的惯性积等于零截面对其惯性积等于零的一对坐标轴，称为主惯性轴截面对于主惯性轴的惯性矩，称为主惯性矩当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，则称为形心主惯性轴截面对于形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩设0α角为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角则将0α角代入惯性积的转轴公式并令其等于零，即00sin 2cos 202x yxy I I I αα-+=移项后得02tan 2xy x yI I I α-=-由上式解得的0α的值，即为梁主惯性轴中0x 轴的位置将所得的0α值代入，即得截面的主惯性矩0cos 2I I α-==02sin 2I α-==经化简后即得主惯性矩的计算公式0022x yx x y y I I I I I I +=+=惯性矩1x I 、1y I 都是α角的正弦和余弦函数，α角在0°到360°内变化因此1x I 、1y I 必有极值由于对通过同一点的任意一对坐标轴的两惯性矩之和为一常数因此其中一个将为极大值，另一个则为极小值，由10x dI d α=和10y dI d α= 解得时惯性矩取得极值的坐标轴的位置的表达式，与上式完全一致可知，截面对通过任一点的主惯性轴的主惯性矩的值也就是通过该点所有轴的惯性矩中的极大值max I 和极小值min I在通过截面形心的一对坐标轴中，若有一个为对称轴，则该对坐标轴就是形心主惯性轴因为截面对于包括对称轴在内的一对坐标轴的惯性积等于零在计算组合截面的形心主观性轴是，首先应确定其形心位置然后通过形心选择一对便于计算惯性矩和惯性积的坐标轴算出组合截面对这一对坐标轴的惯性矩和惯性积最后利用主惯性矩的计算公式即可确定形心主惯性轴的位置和形心主惯性矩的数值若组合截面具有对称轴，则包含对称轴的一对相互垂直的形心轴就是形心主惯性轴。

材料力学笔记(第一章)要点

材料力学（土）笔记第一章绪论及基本概念1．材料力学的任务1.1 对构件正常工作的要求①强度：在荷载作用下，构件应不至于破坏（断裂或失效）②刚度：在荷载作用下，构件产生的变形应不超过工程上允许的范围③稳定性：承受荷载的作用时，构件在其原有形态下的平衡应保持为稳定的平衡1.2 材料的力学性能材料的力学性能：在外力作用下材料变形与所受外力之间的关系，抵抗变形与破坏的能力2.材料力学发展概述3.可变形固体的性质及其基本假设可变形固体：固体在荷载作用下，物体尺寸和形状改变3.1 料的物质结构金属具有晶体结构，晶体是由排列成一定规则的原子所构成塑料有场链分子组成玻璃、陶瓷是由按某种规律排列的硅原子和氧原子所组成3.2 想化材料三个基本假设材料力学性能所反映的是无数个随机排列的基本组成部分力学性能的统计平均值对可变形固体制成的构件计算时，略去一些次要因素，抽象化为理想化的材料①连续性假设：认为物体在整个体积内连续地充满了物质而毫无空隙根据这一假设，可以在受力构件内任意一点处截取一体积单元进行研究几何相容条件：变形后的固体既不引起“空隙”，也不产生“挤入”现象②均匀性假设：物体内任意一点取出的体积单元，其力学性能都能代表整个物体的力学性能体积单元的尺寸随材料的组织结构不同而有所不同体积单元最小尺寸必须保证再起体积中包含足够多数量的基本组成部分以使其力学性能的统计平均值能保持一个恒定的量③各向同性假设：认为材料沿各个方向的力学性能是相同的木材和纤维增强层复合材料等，力学性能有着明显的方向性，按各向异性计算3.3 料的变形材料力学中，有些构件其变形与构件原始尺寸相比通常甚小，可略去不计与此相反，有些构件在受力变形后，必须按照其变形后的形状来计算弹性变形：在卸除荷载后能完全消失的那一部分变形塑性变形：再卸除载荷后不能完全消失的那一部分变形4．材料力学主要研究对象（杆件）的几何特征4.1 件的几何特征材料力学研究的主要构件从几何上多抽象为杆，大多数为直杆直杆：纵向（长度方向）尺寸远大于横向（垂直于长度方向）尺寸的构件横截面：沿垂直于直杆长度方向的截面轴线：所有横截面形心的连线变截面杆：横截面沿轴线变化的杆5.杆件变形的基本形式5.1 轴向拉伸或轴向压缩一对作用线与直杆轴线重合的外力F作用下直杆的主要变形是长度的改变简单桁架在荷载作用下，桁架中的杆件就发生轴向拉伸或轴向压缩5.2 剪切一对相距很近的大小相同，指向相反的横向外力F的作用下直杆的主要变形是横截面沿外力作用方向发生相对错动一般在剪切变形的同时，杆件还存在其他形式的变形5.3 扭转一对转向相反、作用面垂直于直杆轴线的外力偶（其矩为Me）作用下直杆的相邻横截面将绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将变成螺旋线，轴线仍维持直线5.4 弯曲一对转向相反、作用面在杆件的纵向平面内的外力偶（其矩为Me）作用下，直杆的相邻横截面将绕垂直于杆轴线的轴发生相对转动变形后杆件轴线将弯成曲线这种变形形式称为纯弯曲梁在横向力作用下的变形将是弯曲和剪切的组合，通常称为横力弯曲。

材料力学公式大全pdf

材料力学公式大全pdf材料力学公式大全PDF。

材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和行为的学科，它是材料科学的重要组成部分。

在材料力学的研究中，我们经常需要用到各种各样的公式来描述材料的力学性能，这些公式既可以帮助我们理解材料的行为，也可以指导我们在工程实践中的应用。

因此，掌握材料力学的公式是非常重要的。

在本文档中，我将为大家整理一份材料力学公式大全PDF，希望能够帮助大家更好地学习和应用材料力学知识。

这份文档将包括材料力学中常用的各种公式，涵盖静力学、动力学、弹性力学、塑性力学、断裂力学等多个方面，希望能够为大家的学习和工作提供便利。

首先，我们将介绍静力学中常用的公式。

静力学是研究物体在静止状态下受力和受力平衡条件的学科，它是材料力学的基础。

在静力学中，我们经常会用到受力分析、力的合成与分解、力矩等公式，这些公式是理解和分析物体受力情况的基础。

在本文档中，我们将为大家整理这些公式，并给出相应的应用实例，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这些知识。

其次，我们将介绍动力学中常用的公式。

动力学是研究物体在运动状态下受力和受力平衡条件的学科，它对于材料的运动和振动行为有着重要的意义。

在动力学中，我们经常会用到牛顿运动定律、动量定理、功和能量等公式，这些公式是分析物体运动和振动行为的基础。

在本文档中，我们将为大家整理这些公式，并给出相应的应用实例，希望能够帮助大家更好地理解和运用这些知识。

另外，我们还将介绍弹性力学、塑性力学和断裂力学中常用的公式。

这些公式涉及材料在受力作用下的变形、强度和断裂行为，对于材料的设计和应用具有重要的指导意义。

在本文档中，我们将为大家整理这些公式，并给出相应的应用实例，希望能够帮助大家更好地理解和应用这些知识。

总之，材料力学公式大全PDF将为大家提供一个全面、系统的材料力学公式参考，希望能够帮助大家更好地学习和应用材料力学知识。

希望这份文档能够成为大家学习和工作中的有力工具，也希望大家能够通过学习和实践不断提升自己的材料力学能力。

材料力学笔记

材料力学笔记第一章绪论材料应满足的基本要求：强度要求（抵抗破坏的能量），刚度要求（抵抗变形的能力），稳定性要求（保持原有平衡形态的能力）。

基本假设：连续性假设，均匀性假设、各向同性假设内力：物体内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用。

垂直于截面的应用分量称为正应力sigma（σ），切于截面的应力称为切应力tau（τ）；应变epsilon ε：研究对象某点沿某个方向的伸长或缩短值；切应变γ：研究对象在某个平面内角度的变化；材料变形的基本形式：拉伸或压缩；剪切；扭转第二章拉伸、压缩与剪切截面应力：σ=F NA ；斜截面正应力：σα=σcos2α；斜截面切应力：τα=12σsin2α低碳钢材料力学性能：弹性阶段，屈服阶段，强化阶段，局部变形阶段。

相关概念有比例极限σp，弹性极限σe，屈服极限σs，强度极限σb断裂和塑性变形统称为失效。

许用应力，对塑性材料[σ]=σsn s ; 对于脆性材料：[σ]=σbn b应力应变关系胡克定律：σ=Eε，Δl=FlEA，EA为杆件的抗拉或抗压刚度抽象拉伸或压缩的应变能，应变能密度：vε=σ22E(J/m3)剪切面切应力：τ=F sA ≤[τ];挤压应力：σbs=F NA bs≤[σbs ]第三章扭矩计算外力偶矩{M e}=9549Pn，P为功率，n为转速。

切应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等。

切应变: γ=rφlφ表示圆柱两端截面的相对转角，称为扭转角剪切胡克定律:切应变γ与切应力τ成正比τ=Gγ、剪切应变能密度：vε=τ22G(J/m3)圆柱扭转时最大切应力：τmax=TW ，T内力系对圆心的力矩T=∫ρτρdAA, W=I pRI p=∫ρ2dAA为极惯性矩（截面二次矩）；W为抗扭截面系数扭转角φ=TlGI p，其中GI p为圆轴的抗扭刚度第四章弯曲内力受弯杆件的简化：简支梁，外伸梁，悬臂梁统称为静定梁剪力和弯矩相关推论：（1）在梁的某段内，若无载荷作用，q (x )=0,dFs(x)dx=q (x )=0,剪切图平行于x 轴的直线，M(x)是x 的一次函数，弯矩图是斜直线。

工程力学(静力学和材料力学)笔记

工程力学(静力学和材料力学)笔记下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!一、静力学1. 力的概念和分类。

1.1 力的定义和单位。

猴博士材料力学

猴博士材料力学材料力学是研究材料在外力作用下的力学性质和变形规律的学科。

这个领域的研究对于理解材料的性质和应用具有重要的意义，也是材料科学的基础。

而猴博士作为这个领域的专家，为了深入研究材料力学，做出了很多卓有成效的工作。

猴博士是材料力学领域的著名学者，是中国科学院院士、国家杰出青年基金获得者、中国工程院院士等多个学术组织的成员。

他的研究涉及了材料的多个方面，其中最为突出的是在材料断裂力学、纳米材料力学、高温合金力学等方面的研究。

在材料断裂力学方面，猴博士提出了一种新的断裂准则——“J-Δa”准则。

这个准则基于能量原理，将裂纹扩展过程中的能量损失与裂纹尖端的应力强度因子联系起来，从而实现了对裂纹扩展行为的精确描述。

这个准则在工程实践中得到了广泛的应用，为工程设计和安全评估提供了重要的理论支持。

在纳米材料力学方面，猴博士研究了纳米材料的力学性质和变形行为。

他发现，纳米材料的强度和塑性变形行为与材料的晶粒尺寸和晶体结构密切相关。

他还提出了一种新的纳米压痕试验方法，可以用来研究纳米材料的力学性质和变形行为。

这些研究成果对于理解纳米材料的力学行为和应用具有重要的意义。

在高温合金力学方面，猴博士研究了高温合金的力学性质和变形行为。

他发现，高温合金的塑性变形行为与材料的微观结构和晶体取向密切相关。

他还提出了一种新的高温合金的塑性变形机制——“晶体扭转滑移机制”，并证明了这种机制可以解释高温合金的塑性变形行为。

这些研究成果对于高温合金的设计和应用具有重要的意义。

总之，猴博士在材料力学领域的研究取得了很多重要的成果，他的工作不仅推动了材料力学领域的发展，也为工程实践提供了重要的理论支持。

他的成就不仅仅是在学术上的，他还致力于推广科学知识，培养青年科学家，为推动中国科技事业的发展做出了杰出的贡献。

材料力学-整理笔记

材料力学第1章绪论1.1材料力学的任务构件应满足以下基本要求：强度，刚度，稳定性要求1.2材料力学的基本假设连续性，均匀性，各向同性假设1.3杆件的基本变形形式拉伸或压缩，剪切，扭转，弯曲1.4内力一截面法1.5应力平均应力-p：应力p：应力，切应力，正应力：1.6应变1.棱边长度的改变（原长为△x，变形后成为△x+△u）该点处沿x方向的线应变：2.棱边间夹角的改变切应变：y。

切应变的单位为rad第2章拉伸压缩与剪切2.1拉压杆的内力及应力2.1.1轴力、轴力图Fn=FFn即为横截面n—n上的内力。

由于F的作用线与杆轴线重合，故称为轴力。

规定拉伸的轴力为正，压缩为负。

2.1.2轴力图2.1.3拉压杆横截面上的应力轴向载荷作用下杆件是否破坏，不仅与轴力的大小有关，还与横截面面积有关。

正应力：。

拉应力为正，压应力为负。

2.1.4斜截面上的应力斜面上的全应力Pa：将全应力Pa分解为沿斜面法向的正应力和沿切向的切应力思考：a=0/45/90°时，正应力，切应力大小2.2拉压杆的变形2.2.1 轴向与横向变形轴向线应变为：。

以伸长为正，缩短为负。

横向线应变为：。

正负号与轴向线应变相反。

材料的泊松比u（量纲一）：2.2.2 拉压胡克定律当应力o未超过某一极限值时，拉压杆的轴向变形与外力F及杆的原长l 成正比，与横截面面积Ａ成反比。

引进比例常数E，则有胡克定律公式：E为材料的弹性模量，其量纲为ML^-1T^-2。

EA反映了杆件抵抗拉压变形的能力，称为杆件的抗拉(压)刚度。

由Fn/A=正应力，△l/l=线应力，故。

（在弹性范围内，正应力与线应变成正比。

）2.3金属拉压时的力学性能2.3.1低碳钢拉伸时的力学性质1.在拉伸过程中，标距l的伸长量与试件所受载荷F之间的关系曲线F—△l 称为拉伸曲线。

工程应力：将纵坐标值F除以原始的横截面面积A，即为正应力=F/A工程应变：将横坐标值除以原始的标距长度l，即为线应变=△l /l将拉伸曲线F—△l变为应力应变曲线（消除试件尺寸的影响）（1）弹性阶段Ob：弹性阶段的应力最高限称为材料的弹性极限（用符号6e表示）。

材料力学笔记(材力II)

材料力学（土）笔记第一章弯曲问题的进一步研究1．非对称纯弯曲梁的正应力当梁不具有纵向对称平面或者梁虽然具有纵向对称平面，但外力不作用在该平面内时梁将发生非对称弯曲这时对称弯曲的正应力公式将不再适用1.1 非对称纯弯曲梁正应力的普遍公式若梁的任意横截面上只有弯矩M （其值等于外力偶e M ）取x 轴为梁的轴线，y ，z 轴为横截面上任意一对相互垂直的形心轴弯矩M 及其在y ，z 轴上的分量y M 和z M 均用矢量表示对于非对称弯曲，平面假设依然成立非对称弯曲梁横截面上任一点处正应力的普遍表达式为2()()y z yz z y yz y z yz M zI yI M yI zI I I I σ---=-上式称为广义弯曲正应力公式式中y I 、z I 和yz I 依次为横截面对y 轴和z 轴的惯性矩及对y ，z 轴的惯性积y 和z 代表横截面上任一点的坐标可解出中性轴与y 轴间的夹角θ为tan z y y yzy z z yz M I M I M I M I θ+=+横截面上的最大拉应力和最大压应力将分别发生在距中性轴最远的点处对于具有棱角的横截面，其最大拉、压应力必发生在距中性轴最远的截面棱角处对于周边为光滑曲线的横截面，可平行于中性轴作两直线分别与横截面周边相切于两点该两点即为横截面上的最大拉、压应力点将其坐标(,)y z 分别代入广义弯曲正应力公式，即可得横截面上的最大拉应力（压应力）由于梁危险截面上的最大拉应力,max t σ和最大压应力,max c σ点均处于单轴应力状态于是根据最大拉、压应力不得超过材料许用拉、压应力的强度条件即可进行非对称纯弯曲梁的强度计算1.2 广义弯曲正应力公式的讨论不论梁是否有纵向对称平面，外力是否作用在纵向对称平面内，广义弯曲正应力公式都适用即广义弯曲正应力公式包含了对称弯曲情况下的正应力计算公式①梁具有纵向对称平面，且外力作用在该对称平面内将0y M =、z M M =、0yz I =代入广义弯曲正应力公式，即得zM y I σ=- 上式即为对称弯曲情况下横截面上任一点处的正应力公式在对称弯曲中已知，梁的挠曲线必定是外力作用平面内的一条平面曲线这一类弯曲也称为平面弯曲②梁不具有纵向对称平面但外力作用在（或平行于）由梁的轴线与形心主惯性轴组成的形心主惯性平面内将0y M =，z M M =、0yz I =代入广义弯曲整理公式，同样可得上面的公式上式表明，只要外力作用在（或平行于）梁的形心主惯性平面内对称弯曲时的正应力哦给你时仍然适用可得tan θ=∞，90θ︒=，说明中性轴垂直于弯矩（即外力）所在平面即梁弯曲变形后的挠曲线也将是外力作用平面内的平面曲线，属于平面弯曲范畴③梁具有纵向对称平面，但外力的作用平面与纵向对称平面间有一夹角弯矩M 的矢量与y 轴间的夹角为ϕ，将cos y M M ϕ=、sin z M M ϕ=、0yz I =代入 cos sin y zM M z y I I ϕϕσ=- 此时横截面上任一点处的正应力，可视作两相互垂直平面内对称弯曲情况下正应力的叠加在此情况下，确定中性轴与y 轴间夹角的公式化简为tan tan y y z y z zI I M M I I θϕ=⨯= 对于y z I I ≠，因而θϕ≠即中性轴不再垂直于弯矩（即外力）所在的平面梁弯曲变形后，其挠曲线不再外力作用的平面内，这类弯曲也称为斜弯曲2．两种材料的组合梁设梁由材料1与材料2组成其弹性模量分别为1E 和2E ，且12E E <，相应的横截面面积分别为1A 和2A梁在纵对称平面内承受纯弯曲，横截面上的弯矩为M 当梁的两种材料的接触部分紧密结合，在弯曲变形过程中无相对错动时，视作整体平面假设与单轴应力状态假设依然成立取截面的对称轴和中性轴分别为y 轴和z 轴由平面假设可知，横截面上各点处的纵向线应变沿截面高度呈线性规律变化任一点y 处的纵向线应变为yερ=式中，ρ为中性层的曲率半径当梁的材料均处于线弹性范围，由单轴应力状态下的胡克定律可得横截面上材料1与2部分的弯曲正应力分别为1122y E y E σρσρ⎫=⎪⎪⎬⎪=⎪⎭ 由横截面上正应力所构成的法向分布内力系的合成等于内力的静力学关系，即得1211220N A A dA dA F σσ+==⎰⎰121122A A y dA y dA M σσ+=⎰⎰ 与同一材料梁在对称弯曲时的推导相仿若将组合梁的截面变换为仅由材料1构成的截面，则仅需将横截面上材料2的宽度换为'21E b b E = 于是两种材料的组合梁可变换为同一材料的均质梁进行计算同一材料的截面相当于两种材料的实际截面，称为相当截面应用相当截面，按同一材料梁算出的横截面上的正应力σ于材料1部分，即为实际的应力材料2部分（变换宽度部分），必须将其乘以两材料弹性模量之比值21/E E ，才是实际应力上述按相当截面的计算方法，对于其他形状截面的两种材料组合梁也完全适用只需将截面高度维持不变，将其宽度折算，即可得到相当于一种材料的相当截面在计算相当截面时，将原来的截面折算为哪一种材料的相当接面，对计算结果无影响3．开口薄壁截面梁的切应力·弯曲中心3.1 开口薄壁截面梁的切应力对于横向力作用下的非对称开口薄壁截面梁横向力必须作用在平行于形心主惯性平面的某一特定平面内才能保证梁只发生平面弯曲而不扭转这以一特定平面，就是梁在形心主惯性平面内发生弯曲时横截面上剪力s F 所在的纵向平面若横向力作用在平行于该特定平面的另一纵向平面内则梁不仅发生平面弯曲，还将发生扭转3.2开口薄壁截面的弯曲中心非对称薄壁截面梁，其横截面上剪力Sy F 和Sz F 的作用线教育A 点为使梁只发生弯曲而不扭转，梁很说那个横向外力所在的纵向平面就必须通过该交点A 这一交点称为截面的弯曲中心，或剪切中心对于具有一根对称轴的截面，其弯曲中心都在截面的对称轴上则仅需确定其垂直于对称轴的剪力作用线，剪力作用线与对称轴的交点即为截面的弯曲中心若截面具有两根对称轴，则两根对称轴的交点（即截面形心）即是弯曲中心对于由两个狭长矩形组成的截面，由于狭长矩形上的切应力方向平行于长边且数值沿厚度不变，故剪力作用线必与狭长矩形的中线重合，其弯曲中心应位于梁狭长矩形中心的交点弯曲中心的位置仅与横截面的几何特征有关因为弯曲中心仅决定于剪力作用线的位置，而与其方位及剪力的数值无关4．开口薄壁截面梁约束扭转的概念5．平面大曲率杆纯弯曲时的正应力第二章考虑材料塑性的极限分析1．塑性变形·塑性极限分析的假设1.1塑性变形的特征塑性变形主要特征①塑性变形时不可逆的永久变形，一旦产生后，即使荷载卸除也不会消失产生塑性变形后再卸除荷载，往往会导致受力构件内的残余应力②应力超过弹性范围后，应力-应变呈非线性关系③塑性变形与加载的历程有关应力超过弹性范围后，卸载时的应力-应变关系基本上按平行于弹性阶段的直线呈线性关系直至达到材料在反向时的屈服极限，这就是材料的卸载规律在考虑材料的塑性变形时，对于同一应力水平，不同加载过程对应的应变值不同只有明确了加载过程，才能得到应力、应变间的对应关系④金属材料的塑性变形远大于弹性变形量当应力超过弹性范围后，其总应变包含弹性应变和塑性应变通常所说的塑性变形，是指在常温下、与时间无关的不会消失的永久变形在高温下随承载持续时间而引起的塑性变形，称为蠕变1.2 塑性极限分析假设实际工程中，为简化计算，通常作如下假设①荷载为单调增加的静荷载，若多个荷载同时作用，则各个荷载按比例同时由零增至最终值满足上述加载方式的荷载称为简单加载②结构（或构件）虽局部产生塑性变形，但其总体的变形仍然足够小因而其变形的几何相容条件仍保持为线性结构（或构件）由于大的塑性变形变为几何可变机构时，称结构（或构件）达到了极限状态 ③结构（或构件）达到极限状态之前，应始终保持为几何不变体系④材料具有屈服阶段，在塑性变形较小时，材料的应力-应变关系可理想化为理想塑性模型其中，一种是不考虑弹性变形的影响，即材料在达到屈服极限之前，应变为零而在达到屈服极限之后，应力保持不变，应变持续增长，称为刚性-理想塑性模型另一种是考虑弹性变形的影响，即材料在屈服极限前，应力-应变关系保持为线性，并服从胡克定律，在达到屈服极限后，应力保持不变而应变可继续增长，称为弹性-理想塑性模型2．拉、压杆系的极限荷载对于静定的拉、压杆系，当其中受力最大的一杆的应力达到材料的屈服极限时结构就将产生大的塑性变形而达到极限状态因此，结构的极限荷载与弹性分析中最大应力达到屈服极限，使杆件开始屈服时荷载相同对于一次超静定结构，当其中受力最大的杆件的应力达到材料的屈服极限而使该杆开始屈服时，由于超静定结构存在多余约束，结构并不会产生大的塑性变形若继续增加荷载，则开始屈服的杆件，其应力保持不变（保持为屈服极限）其他杆的应力持续增长，直至其他某一杆内的应力也达到屈服极限时结构开始大的塑性变形变成几何可变机构，而使结构达到极限状态结构（或构件）开始出现塑性变形时的荷载，称为屈服荷载，记为s F使结构（或构件）处于极限状态的荷载，称为极限荷载，记为u F按弹性设计时，结构的破坏荷载为屈服荷载考虑材料塑性的极限分析时，结构的破坏荷载为极限荷载3．等直圆杆扭转时的极限扭矩设直径为d ，长度为l 的等直圆杆承受扭转外力偶矩e M 的作用圆杆的材料为弹性-理性塑性，其切应力τ与切应变γ的关系如正应力与应变的弹塑性关系材料的弹性模量为G弹性阶段，最大切应力和相对扭转角分别为max 316e p M T W d τπ== max 2p l Tl GI Gdτϕ== 杆件开始产生塑性变形，横截面上的扭矩为屈服扭矩，其值为316s p s s d T W πττ==当几面各点处的切应力均达到s τ时，则横截面上各点处均将发生塑性变形整个截面进入完全塑性状态，这时不需要再增大外力偶矩，杆件将继续扭转变形引起大的塑性变形，即杆件达到极限状态极限状态的极限扭矩为u s AT dA ρτ=⎰ 3/220212d u s s s A d T dA d πρτπτρρτ===⎰⎰考虑材料的塑性时，增加了圆杆的承载能力若等直圆杆在达到极限扭矩u T 后，卸除荷载，即反向施加外力偶矩e u M T =则圆杆的横截面将有残余应力存在，残余应力有以下特征①卸载后圆杆横截面上的残余应力必自相平衡②残余应力的最大值为s τ，如在卸载后，继续翻向增大外力偶矩当外力偶矩增大到23e s M T =-时，横截面周边处的切应力将达到s τ若继续增大外力偶矩，τ-γ关系将不再保持线性关系，不能用简单的线性叠加4．梁的极限弯矩·塑性铰4.1 纯弯曲梁的极限弯矩设一承受纯弯曲的矩形截面梁，材料可理想化为弹性-理想塑性模型且在拉伸和压缩时的弹性模量E 和屈服极限s σ均相同在线弹性范围内，梁横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比其中性轴为横截面的水平对称轴当梁横截面上的最大正应力达到材料的屈服极限时，梁开始发生塑性变形横截面上的弯矩为26s s s bh M W σσ==⨯ 梁的曲率为12s s E hσρ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭ 若继续增大外力偶矩，则截面上的弯矩也随之增大并随着显影的增大，横截面上正应力达到s σ的区域将由其上、下边缘逐渐向中轴扩展即线应变s εε=的点处的正应力达到s σ，而s εε>各点处的正应力均保持为s σ这时梁处于弹性-塑性阶段，梁虽已产生塑性变形，但其值不大，是有限的当整个横截面上各点处的正应力均达到s σ，则整个截面进入完全塑性状态梁将发生明显的塑性变形而达到极限状态梁横截面上受拉部分的面积为t A ，受压部分面积为c A ，t c A A =横截面上轴力N F 是确定中性轴的条件当梁达到极限状态时，中性轴将横截面分为两个面积相等的部分对于具有水平对称轴的横截面，其中性轴与该对称轴重合对于无水平对称轴的横截面，其中性轴将与线弹性范围内工作时的中性轴位置不同中性或走将随塑性区的增加而不断移动在极限状态下，横截面上法向内力元素所组成的力偶矩就是梁的极限弯矩u Mu s s M W σ=s t c W S S =+t S 和c S 分别为受拉部分的面积t A ，受压部分面积c A 对中性轴的静矩，均取正值式中，s W 称为塑性弯曲截面系数，对于由水平对称轴的横截面t c S S =，//u s s M M W W =4.2 横力弯曲梁的极限荷载·塑性铰对于在横向外力作用下的静定梁，考虑材料塑性时梁的极限荷载可根据最大弯矩所在截面的极限进行计算梁材料可理想化为弹性-理想塑性模型当梁上的最大弯矩小于屈服弯矩时，梁处于弹性状态当最大弯矩达到屈服弯矩时，危险截面上的最大正应力达到材料的屈服极限当荷载继续增加，跨中截面上的弯矩M 处于s u M M M <<范围时梁处于弹性-塑性状态，跨中截面上的塑性区逐渐向中性轴扩展最大正应力达到屈服极限的截面，则从跨中截面逐渐向两侧延伸当荷载增大到梁跨中截面上的弯矩达到极限弯矩时，截面全部进入塑性状态，弹性区消失这时跨中截面两侧的两段梁，在极限弯矩不变的条件下，将绕截面的中性轴发生相对转动由于截面达到完全塑性而引起的转动效应，犹如在该截面处安置了一个铰链，称为塑性铰塑性铰时由于截面达到完全塑性所引起的铰链效应这时，截面上承受的弯矩即为极限弯矩塑性铰所在截面两侧两段梁的转动方向，恒与极限弯矩方向一致当梁卸载，即截面上的弯矩小于极限弯矩，塑性铰的效应随之消失第三章能量法1．概述可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将做功对于弹性体，由于变形的可逆性，外力在相应的位以上所作的功在数值上就等于积蓄在物体内的应变能当外力撤除时，这种应变能将全部转换为其他形式的能量利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法，统称能量法2．应变能·余能2.1 应变能当杆件发生组合变形时，在线弹性、小变形条件下每一基本变形的内力对其他的节本变形并不做功故组合变形杆的应变能等于各基本变形应变能的总和若组合变形杆横截面上的内力包括轴力、扭矩和弯矩且三者均可表达为截面位置x 的函数，不计剪力影响，则组合变形等直圆杆应变能222()()()222N l l l p F x dx T x dx M x dx V EA GI EIε=++⎰⎰⎰ 式中积分应遍及全杆，若为非圆截面杆，则p I 应改为t I由于材料是弹性体，略去加载和卸载过程中的能量损耗外力所作的功在数值上就等于积蓄在杆内的应变能，即10V W Fd ε∆==∆⎰ 在拉杆加载过程中，单元体上外力所作的功等于积蓄在单元体内的应变能10v W d εεσε==⎰ VV dV v dV v V v AL εεεεε====⎰⎰ 对于杆件内各点处的应变能密度v ε随该点的坐标而改变的情况，应先求出应变能密度，再积分计算整个梁内所积蓄的应变能在扭转时，整个轴内所积蓄的应变能同理计算，但σ和ε要换成τ和γ应变能具有如下特征①应变能恒为正的标量，与坐标系的选取无关在杆系的不同杆件或不同杆段，可独立选取坐标 ②应变能仅与荷载的最终值有关，与加载顺序无关③在线弹性范围内，应变能为内力（或位移）的二次齐次函数，力的叠加原理不再适用2.2 余能另一个能量参数称为余能，是仿照外力功的表达式计算另一积分积分是F -∆曲线与纵坐标轴间的面积，与外力功之和正好等于矩形面积11F ∆，称为余功用c W 表示，即10F c W dF =∆⎰ 将余功相应的能称为余能，并用c V 表示，余功和余能在数值上相等，即10F c c V W dF ==∆⎰ 几何线性问题中，同样可仿照应变能密度来计算应变能的方式c c V V v dV =⎰，10c vd σεσ=⎰ 余能有以下特征①余能（或余能密度）仅具有与应变能（或应变能密度）相同的量纲，并无具体的物理意义 ②线弹性材料的几何线性问题中，由于荷载与位移（或应力与应变）间的线性关系因而余能（或余能密度）在数值上等于应变能（或应变能密度），但两者迥然不同3．卡氏定理3.1 卡氏第一定理卡斯蒂利亚诺导出了计算弹性杆件的力和位移的两个定理通常称为卡氏第一定理和卡氏第二定理设梁的材料为非线性弹性，梁上有n 个集中荷载作用与这些集中荷载相对应的最后位移分别为1∆、2∆、...、n ∆假定这些荷载咱比例同时由零增至其最终值1F 、2F 、...、n F （即为简单加载）于是外力所作的总功就等于每个集中荷载在加载过程中所作功的总和，则01in i i i V W f d εδ∆===∑⎰式中，i f 和i δ为加载过程中荷载以及位移的瞬时值，右端每一积分均为位移i ∆的函数设与第i 个荷载相应的位移有一微小增量i d ∆，则梁内应变能的变化dV εi i V dV d εε∂=∆∂∆ 其中，iV ε∂∂∆代表应变能对于位移i ∆的变化率因为仅与第i 个荷载相应的位移有一微小增量，而与其余各荷载相应的位移均保持不变因此对于位移的微小增量i d ∆，仅i F 作了外力功，则外力功的变化为i i dW Fd =∆由于外力功在数值上等于应变能，故有dV dW ε=整理可以得到i iV F ε∂=∂∆ 上式表明：弹性杆件的应变能对于杆件上某一位移之变化率，等于改为以相应的荷载称为卡氏第一定理卡氏第一定理适用于一切受力状态下线性或非线性的弹性杆件式中，i F 代表作用在杆件上的广义力，可以代表一个力、一个力偶、一对力或一对力偶 i ∆则为与之相应的广义位移，可以是一个线位移、一个角位移、相对线位移或相对角位移在运用卡氏第一定理时，必须将应变能表达成给定位移的函数形式这样才可能求其对给定位移的变化率3.2 卡氏第二定理受n 个集中荷载1F 、2F 、...、n F 作用的梁，材料为非线弹性与各荷载相应的最终位移分别为1∆、2∆、...、n ∆，按简单方式加载外力的总余功等于每一集中荷载的余功之总和，梁内的余能为01in F c c i i i V W df δ===∑⎰式中, i f 和i δ分别为加载过程中荷载及位移的瞬时值上式表明,梁内的余能时作用在梁上一系列荷载i F 的函数同卡氏第一定理，可得c i iV F ∂∆=∂ 上式表明：弹性杆件的余能c V 对于杆件上某一荷载之变化率，等于与该荷载相应的位移称为余能定理，余能定理适用于一切受力状态下线性或非线性弹性杆件式中，i F 代表广义力，而i ∆代表与之相应的广义位移在弹性杆件或杆系中，由于力与位移成正比，杆内得应变能在数值上等于余能因此对于线弹性杆件或杆系，可用应变能代替余能，从而得到i iV F ε∂∆=∂ 上式表明：线弹性杆件或杆系的应变能对于作用在该杆件或杆系上的某一荷载值变化率，等于该荷载相应的位移，称为卡氏第二定理卡氏第二定理时余能定理在线弹性情况下的特例，仍然适用于任意受力形式下的线弹性杆卡氏第一定理和余能定理适用于线弹性或非线弹性体，而卡氏第二定理仅适用于线弹性体4．用能量法解超静定系统利用能量法所得力-位移间的物理关系，就可求解超静定问题的范围扩展到任意荷载作用下、线弹性杆系、刚架或曲杆等超静定问题5．虚位移原理及单位力法第五章应变分析·电阻应变计法基础1．概述在实际工程中，有一些构件或由于形状不规则，或由于受情况、工作条件比较复杂按其计算简图进行的理论计算结果，往往与实际情况有较大出入有时也用试验的方法来检验按计算简图进行理论分析所得结果的精确度通过实验来研究和了解结构或构件应力的方法，称为实验应力分析实验应力分析方法很多，较为常用的有电阻应变计法等方法是以电阻应变片为传感元件，将其粘贴在被测构件的测点处，使其随同构件变形将构件测点的应变转换为电阻应变片的电阻变化，便可确定测点处的应变并进而按胡克定律的得到其应力电阻应变计的特点是传感元件小，适应性强，测试精度高该方法有其局限性，即只能测量受力构件表面上各点处的应变在实际应变测量中，往往先测定测点处沿几个方向的线应变，然后确定该点处的最大线应变进而确定该点处的最大正应力2．平面应力状态下的应变分析2.1 任意方向的应变推导平面应力状态下一点处在该平面内沿任意方向线应变和切应变的表达式规定α角逆时针转动为正先分别算出由各应变分量x ε、y ε、xy γ单独存在时的线应变αε和切应变αγ然后按照叠加原理求得同时存在时的线应变αε和切应变αγ，得到111()()cos 2sin 2222x y x y xy αεεεεεαγα=++-+1()sin 2cos 2222xy x y αγγεεαα-=-- 2.2 应变圆将线应变ε作为横坐标，将/2γ-作为纵坐标，即将纵坐标的正向取为铅垂向下便可绘出表示平面应力状态下一点处不同方向的应变变化规律的应变圆受力物体内一点处各方向应变的集合，称为一点处的应变状态在已知一点处的三个应变分量x ε、y ε、xy γ后，就可依照应力圆的作法作出应变圆注意应边圆的纵坐标时/2γ，且正值的切应变在横坐标下方2.3 主应变的数值与方向平面应力状态下，在平面内一点处也存在着两个相互垂直的主应变其相应的切应变均等于零，由应变圆可得两主应变的表达式为2211[()()]2x y x y xy εεεεεγ=++-+2221[()()]2x y x y xy εεεεεγ=+--+ 主应变1ε的方向与x 轴间所夹角度为0/22arctan arctan ()/2()xy xy x y x y γγαεεεε==--0α3．电阻应变计法的基本原理3.1 转换原理及电阻应变片导体在一定应变范围内，其电阻改变率/R R ∆与导体的弹性线应变/l l ∆成正比，即//s R R K l l∆=∆ 式中，常数s K 称为材料的灵敏系数因此可选取合适的导体制造成电阻应变片，粘贴在构件表面测点处使其随同构件变形，从而测定构件测点处的应变金属丝制造成应变片后，因金属丝回绕形状，基体和胶层等因素影响，应变片的灵敏因数为/R RK ε∆=式中，ε为沿应变片长度方向的线应变应变片的灵敏因数K 与制造应变片材料的灵敏因数s K 值不尽相同应变片的灵敏因数K 一般通过实验测定，常用应变片K 值为1.7~3.6 电阻应变片的基本参数为灵敏因数K 、电阻值R 、标距l 和宽度a由应变片测得的应变实际上式标距和宽度范围内的平均应变当需要测量一点处的应变时，应选取尽可能小的应变片当要测量不均匀材料的应变时，则须选用足够大的应变片，以得到测量范围内的平均应变值3.2 测量原理及电阻应变仪应变片随同构件变形而引起的电阻变化，可用四臂电桥（惠斯顿电桥）来测量电桥的四个桥臂的电阻分别为1R 、2R 、3R 和4R当对交结点A 、C 接上电压为AC U 的直流电源时，另一对角结点B 、D 的输出电压为 1144BD AB AD U U U I R I R =-=-由于112AC U I R R =+，434AC U I R R =+ 故得到 13241234()()BD ACR R R R U U R R R R -=++ 当电桥的输出电压BD U =0，即电桥平衡时，得1324R R R R =若电桥的四个桥臂均为粘贴在构件上的电阻应变片，且其初始电阻相等则在构件受力前，电桥保持平衡，BD U =0在构件受力后各应变片产生的电阻该变量分别为1R ∆、2R ∆、3R ∆和4R ∆考虑到i R ∆远小于R ，略去分子中i R ∆的高次向和分母中的i R ∆项即可得到电桥的输出电压为13244BD AC R R R R U U R∆+∆-∆-∆=⨯ 为了提高测量精度，实际应用的应变仪采用双电桥结构，把测量电桥和读数电桥串联起来 1R 、2R 、3R 和4R 是有应变片组成的测量电桥四个桥臂的电阻而'1R 、'2R 、'3R 和'4R 为由可调电阻组成的读数电桥四个桥臂的电阻双电桥的总输出电压为'BD BDU U U =+。

猴博士材料力学课堂笔记(一)

猴博士材料力学课堂笔记(一)
基础知识
•杨氏模量
•等效简支梁
•应变能
•洛式硬化
杨氏模量
•杨氏模量是衡量物质刚度的参数
•单位为Pa
•不同材料杨氏模量有很大区别
等效简支梁
•等效简支梁用于计算悬挂梁的变形
•将悬挂的梁抽象成两个简支梁
•等效简支梁的长度与实际悬挂梁的长度相同
应变能
•应变能是一种衡量材料变形能力的参数
•受力时，物质会发生形变，形变能转化为应变能
•应变能与杨氏模量、体积、形状等因素有关
洛式硬化
•洛式硬化是材料加工过程中一个重要的规律
•加工过程中，材料硬度会随着形变量的增加而不断提高
•洛式硬化也被称为强化效应
以上是本次课程的主要内容，希望同学们在复习时能够加深对这些概念的理解，并在实际应用中灵活运用。

参考书目
•“材料力学” 罗常培、邓濛主编
•“材料力学基础” 费孝通著
•“材料力学及其应用” 何锦松著
课程作业
1.练习材料参数的求解
2.计算简支梁的等效长度
3.探究材料强化效应的机理
考试提醒
1.关注重点概念，掌握公式的推导过程
2.熟悉材料力学的常用符号及其意义
3.对实际问题进行分析，合理运用材料力学的理论和方
法
希望同学们认真学习，预祝大家取得优异成绩！。

材料力学笔记(第六章)

材料力学（土）笔记第六章超静定问题及其解法1．超静定问题及其解法约束反力或构件内力都能通过静力学的平衡方程求解，称为静定问题不能单凭静力学平衡方程求解的问题，称为超静定问题在超静定问题中，都存在多于维持平衡所必需的支座或杆件，习惯上称其为“多余”约束由于多余约束的存在，未知力的数目必然多于独立平衡方程的数目未知力数超过独立平衡方程的数目，称为超静定次数与多余约束相应的支反力或内力，习惯上称为多余未知力因此，超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目未知力数超过独立的静力平衡方程数因此，除了静力平衡方程外，还必须寻求补充方程有“多余”约束存在，杆件（或结构）的变形受到了多于静定结构的附加限制根据变形的几何相容条件，可建立附加的变形几何相容方程而变形（或位移）与力（或其他产生变形的因素）间具有一定的物理关系将物理关系代入变形几何相容方程，即可得补充方程将静力平衡方程与补充方程联立求解，就可以解出全部未知力着就是综合运用变形的几何相容条件、物理关系和静力学平衡条件三方面求解超静定问题的方法在求解由于约束多于维持平衡所必需的数目而形成的超静定结构时可设想将某一处的约束当作“多余”约束予以解除并在该处施加于所解除的约束相对应的支反力（多余未知力）从而得到一个作用有荷载和多余未知力的静定结构称为原超静定结构的基本静定系或相当系统为使得基本静定系等同于原超静定结构基本静定系在多余未知力作用处相应的位移满足原超静定结构的约束条件即变形相容条件将力与位移间的物理关系代入变形相容方程，即可得多余未知力求得多余未知力后，基本静定系就等同于原超静定结构其余的支反力，以及构件内力、应力或变形（位移）均可按基本静定系进行计算2．拉压超静定问题2.1 拉压超静定问题解法对于拉压超静定问题可综合运用变形的几何相容条件、力-变形间的物理关系和静力学的平衡条件三方面来求解在超静定杆系问题中，各杆的轴力应与该杆本身的刚度和其他杆的刚度之比有关对于高一次的超静定问题，总可以找到必要的变形几何相同条件从而得到相应的补充方程其补充方程和静力学平衡方程联立即可求解静定问题中的全部未知力2.2 装配应力·温度应力①装配应力杆件在制成后，其尺寸有微小误差往往是难免的在静定结构中，这种误差仅略为改变结构的几何形状，而不会引起附加的内力但在超静定结构中，由于有了多余约束，就将产生附加的内力这种附加的内力称为装配内力，与之相应的应力则称为装配应力装配应力是结构在荷载作用以前已经具有的应力，称为初应力计算装配应力的关键仍然是根据变形相容条件列出变形相容方程在超静定结构中，杆件尺寸的微小误差，将产生相当可观的装配应力 ②温度应力在工程实际中，结构物或其部分杆件往往会遇到温度变化若杆的同一截面上各点处的温度变化相同，则杆将仅发生伸长或缩短变形在静定结构中，由于杆能自由变形，由温度所引起的变形不会在杆中产生内力在超静定结构中，由于存在多余约束杆由温度变化所引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力这种内力称为温度内力，与之相应的应力则称为温度应力计算温度应力的关键同样是根据问题的变形相容条件列出变形几何相容条件不同的是，杆的变形包括两部分即由温度变化所引起的变形，以及与温度内力相应的弹性变形杆件的线膨胀系数为α（单位为01()C -），温度差为t ∆，杆件原长为l 则杆变形长度为l t l α∆=⋅∆⋅在超静定结构中，温度应力是个不容忽视的因素3．扭转超静定问题扭转超静定问题的解法同样是综合考虑静力、几何、物理三个方面4．简单超静定梁4.1 超静定梁的解法求解超静定梁同样是综合考虑静力、几何、物理三个方面对于约束多余维持平衡所必需的数目而形成的超静定问题根据选取的多余约束（基本静定系）由变形几何相容方程和力-变形（位移）物理关系所得的补充方程即可解得多余未知力，解得多余未知力后其余的支反力以及杆件的内力、应力和变形(位移)均可按基本静定系求解大多数的超静定梁是由约束多余维持平衡所必需的数目而形成的因此，按上述方法主要求解其多余未知力若梁具有一个或更多的中间支座，称为连续梁4.2 支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响①支座沉陷的影响②梁上、下表面温度变化不同的影响。

材料力学笔记(第四章)

材料力学笔记（第四章）材料力学（土）笔记第四章弯曲应力1．对称弯曲的概念及梁的计算简图1.1弯曲的概念在包含其轴线的纵向平面内，当等长直杆受到横向外力或垂直于杆轴线的外力耦合作用时，杆的轴线将变成曲线。

这种变形称为弯曲。

所有以弯曲为主要变形的钢筋在梁工程中通常称为梁，其截面具有对称轴。

如果梁上的所有横向外力或（和）力偶作用于包含对称轴的纵向平面（称为纵向对称平面），由于梁的几何、物理特性和外力与梁的纵向对称平面对称，变形梁的轴必须是纵向对称平面中的平面曲线。

这种弯曲叫做对称弯曲若梁不具有纵对称面，或者，梁虽然具有纵对称面但横向力或力偶不作用在纵对称面内，这种弯曲统称为非对称弯曲1.2梁计算图梁的计算简图可用梁的轴线表示根据梁在荷载作用面上的约束，梁的支撑一般可简化为以下三种基本形式：① 固定端这种支座使梁的端截面既不能移动，也不能转动梁端截面上有三个约束。

因此，有三种支撑反应，即水平支撑反应frx、垂直支撑反应fry和支撑反应耦合力矩Mr② 固定铰链支架这种支座限制梁在支座处沿平面内任意方向的移动，而不限制梁绕铰中心转动，相应地，就有2个支反力，即水平支反力frx和铅垂支反力fry③ 活动铰链支架这种铰支座只限制梁在支座处沿垂直于支承面的支反力fr如果梁有1个固定端或1个固定铰链支架和1个活动铰链支架则其3个支反力可由平面力系的3个独立的平衡方程求出，这种梁称为静定梁工程上常见的三种基本形式的静定梁，分别称为简支梁、外伸梁和悬臂梁梁的支承反作用力的数量大于独立平衡方程的数量。

此时，只有平衡方程不能确定所有的支撑反应。

这种梁称为超静定梁梁在两支座间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长常见的静定梁大多是单跨的2.梁的剪力、弯矩图和弯矩图2.1梁的剪力和弯矩为计算梁的应力和位移，应先确定梁在外力作用下任一横截面上的内力当作用在梁上的所有外力（包括荷载和支承反力）已知时，可使用截面法获得内梁的任何横截面M-M。

机械原理猴博士独家课堂笔记

机械原理猴博士独家课堂笔记
1、机构的⾃由度：机构中各活动构件相对于机架的所能有的独⾃运动的数⾃。

F=3n-2pL-pH（n指机构中活动构件的数⾃，pL指机构中低副的数⾃，pH指机构中⾃副的数⾃)
⾃由度、原动件数⾃与机构运动特性的关系：
1）：F≤0时，机构蜕化成刚性桁架，构件间不可能产⾃相对运动
2）：F>0时，原动件数等于F时，机构具有确定的运动；原动件数⾃于机构⾃由度时，机构运动不确定；原动件数⾃于机构⾃由度，机构遭到破坏。

2、计算⾃由度时注意的情况
1）复合铰链：m个构件汇成的复合铰链包含m-1个转动副（必须是转动副，不能多个构件汇交在⾃起就构成复合铰链，注意滑块和盘类构件齿轮容易漏掉，另外机架也是构件。

2)局部⾃由度：指某些构件（如滚⾃）所产⾃的不影响整个机构运动的局部运动的⾃
由度。

解决⾃法：将该构件焊成⾃体，再计算。

3）虚约束：指不起独⾃限制作⾃的约束。

注：计算时应将虚约束去
掉。

虚约束作⾃：虽不影响机构的运动，但可以增加构件的刚性。

注：平⾃机构的常见虚约束：（1）不同构件上两点间的距离保持恒定，若在两
点间加上⾃个构件和两个运动副；类似的，构件上某点的运动轨迹为⾃直线时，若
在该点铰接⾃个滑块并使其导路与该直线重合，将引进⾃个虚约束。

（2）两构件构成多个移动副且其导路相互平⾃，这时只有⾃个移动副起约束作⾃，其余移动副都是虚约束。

(3)两构件构成多个移动副且其轴线相互重合，这时只有⾃个转动副起约束作⾃。

(4)完全对称的构件注：如果加⾃误差太⾃就会使虚约束变为实际约束。

材料力学笔记(第七章)

材料力学（土）笔记第七章应力状态和强度理论1．概述在轴向拉压、圆杆扭转和对称弯曲各章中，构件的强度条件为max []σσ≤或max []ττ≤工作应力由相关的应力计算公式计算材料的许用应力是通过直接试验，测得材料相应的极限应力在受力构件的同一截面上，各点处的应力一般是不同的通过受力受力构件同一点处，不同方位截面上的应力一般也是不同的在一般情况下，受力构件截面内的一点处既有正应力、又有切应力若需对这类点的应力进行强度计算则不能分别按正应力和切应力来建立强度条件，而需综合考虑正应力和切应力的影响一方面要研究通过该点各不同方位截面上应力的变化规律从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合即通过一点所有不同方位截面上应力的全部状况，称为一点处的应力状态关于材料破坏规律的假设，称为强度理论2．平面应力状态的应力分析·主应力为研究受力构件内任一点处的应力状态，可围绕该点截取一单元体由于单元体各边长均为无穷小量故单元体各表面上的应力可视为均匀分布，且任意的一对平行的平面上的应力相等平面应力状态：若单元体有一对平面上的应力等于零，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内当其他两对平面上的正应力和切应力均不等于零时，为平面应力状态的普遍形式研究在普遍形式的平面应力状态下的应力分析即由单元体各面上的已知应力分量来确定其任一斜截面上的未知应力分量并从而确定该点处的最大正应力及其所在截面的方位2.1 斜截面上的应力设一平面应力状态单元体上的应力为x σ、x τ和y σ、y τ前、后两平面上的应力为零，可将该单元体用平面图形表示为求该单元体与前、后两平面垂直的任一斜截面上的应力，应用截面法设斜截面ef 的外法线n 与x 轴间的夹角（方位角）为αα截面上的应力分量用ασ和ατ表示正应力以拉应力为正，压应力为负切应力以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负假想地沿斜截面ef 将单元体截分为二，取左边部分edf 为研究对象设斜截面ef 的面积为dA ，斜截面上的应力ασ和ατ均为正值考虑体元平衡，以斜截面的法线n 和切线t 作为参考轴由平衡方程，得0n F =∑，(cos )sin (cos )cos (sin )cos (sin )sin 0x x y y dA dA dA dA dA ασταασααταασαα+-+-= 0tF =∑， (cos )cos (cos )sin (sin )sin (sin )cos 0x x y y dA dA dA dA dA ατταασααταασαα--++=由切应力互等定理可知，x τ和y τ的数值相等据此，可得平面应力状态下任斜截面（α截面）上的应力分量为cos 2sin 222x yx y x ασσσσσατα+-=+- sin 2cos 22x y x ασστατα-=+上面两个式子就是平面应力状态下，任一α截面上应力ασ和ατ的计算公式反映了在平面应力状态下，一点不同方位斜截面上的应力（ασ和ατ）随α角而变化的规律即一点处的应力状态2.2 应力圆由上述两式可见，当已知一平面应力状态单元体上的应力x σ、x τ和y σ、()y x ττ=时任一α截面上的应力ασ和ατ均以2α为参变量，从上两式小区参变量2α后，即得2222()()22x yx yx αασσσσσττ+--+=+ 由上式可见，当斜截面随方位角α变化时其上的应力ασ和ατ在στ-直角坐标系内的轨迹是一个圆其圆心位于横坐标轴（σ轴）上，其横坐标为2x yσσ+该圆习惯上称为应力圆，或称为莫尔应力圆下面根据所研究单元体上的已知应力x σ、x τ和y σ、()y x ττ=作出相应的应力圆，并确定α截面上应力ασ和ατ连接1和2两点的直线与轴交于点以C 点为圆心，1CD 或2CD 为半径作圆该圆圆心的横坐标为2x yσσ+，半径1CD 或2CD 因而该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆由于D 的点坐标为(,)στ，因而，D 代表单元体x 平面上的应力CE就代表α截面上应力ασ和ατ证明如下（略）——教材P215应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标单元体上任意A ，B 两个面的外法向之间的夹角若为β，则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间的圆弧段所对的圆心角必为2β，且两者转向一致应力圆直观地反映了一点处平面应力状态下任意斜截面上应力随截面方位角而变化的规律以及一点处应力状态的特征实际应用中，可利用应力圆来理解有关一点处应力状态的一些特征，或分析一点处应力状态2.3 主应力与主平面由应力圆所示，1A 和2A 两点的横坐标分别为该单元体垂直于xy 平面的各截面上正应力中的最大值和最小值，在该两截面上的切应力均等于零一点处切应力等于零的截面称为主平面主平面上的正应力称为主应力主应力是过一点处不同方位截面上正应力的极值可以证明，必存在这样一个单元体，其三个相互垂直的面均为主平面三个相互垂直的主应力分别记为1σ、2σ和3σ且规定按代数值大小的顺序排列，即123σσσ≥≥研究如何确定该单元体的主平面位置和主应力数值1A 和2A 两点的纵坐标均等于零，而横坐标分别为主应力1σ和2σ 由图可见，1A 和2A 两点的横坐标分别为 11OA OC CA =+，21OA OC CA =-式中，OC 为应力圆圆心横坐标，1CA 为应力圆半径则可得两主应力值为11()2x y σσσ=+11()2x y σσσ=+圆上的1D 点对应x 平面，圆上的1A 点对应1σ主平面 1102D CA α∠=为上述两平面夹角0α的两倍所示单元体上从x 平面转到1σ主平面的转角为顺时针方向按规定应为负值，由应力圆可得1101tan(2)1()2x x y B D CB τασσ-==- 从而解得表示主应力1σ所在主平面位置的方位角 022arctan x xy τασσ⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭ 由于12A A 为应力圆直径，因而，2σ主平面与1σ主平面相互垂直3．空间应力状态的概念对于受力物体内一点处的应力状态最普遍的情况是所取单元体三对平面上都有正应力和切应力切应力可分解为沿坐标轴方向的两个分量如x 平面上，有正应力x σ、切应力xy τ和xz τ切应力的两个下标中，第一个下标表示切应力所在平面，第二个下标表示切应力方向在y 平面上有正应力y σ、切应力yx τ和yz τ；在z 平面上有正应力z σ、切应力zx τ和zy τ 这种应力状态称为一般的空间应力状态在一般的空间应力状态的9个应力分量中，根据切应力互等定理在数值上有xy yx ττ=、yz zy ττ=和zx xz ττ=因而独立的应力分量是6个，即x σ、y σ、z σ、xy τ、yz τ、zx τ可以证明，在受力物体内的任一点处一定可以找到一个主应力单元体其三对相互垂直的平面均为主平面，三对主平面上的主应力分别为1σ、2σ、3σ 空间应力状态时一点处应力状态中最为一般的情况仅一个主应力不等于零的应力状态，称为单轴应力状态对于危险点处于空间应力状态下的构件进行强度计算，通常需确定最大正应力和切应力当受力物体内某一点处的三个主应力1σ、2σ和3σ均为已知时利用应力圆，可以确定该点处的最大正应力和最大切应力首先，研究与其中一个主平面（例如3σ平面）垂直的斜截面上的应力应用截面法，沿该斜截面将单元体截分为二，研究其左边部分的平衡由于主应力3σ所在的两平面上是一对自相平衡的力，则该斜截面上的应力σ、τ与3σ无关于是，这类斜截面上的应力可由1σ和2σ作出的应力圆上的点来表示而该应力圆上的最大和最小正应力分别为1σ和2σ同理，在与2σ（或1σ）主平面垂直的斜截面上的应力σ和τ可用由1σ和3σ（或2σ和3σ）作出的应力圆上的点来表示表示与三个主平面斜交的任意斜截面上应力σ和τ的D 点，必位于上述三个应力圆所围成的阴影范围内在空间应力状态下，该点处的最大正应力（代数值）等于最大的应力圆上A 点的横坐标max 1σσ=最大切应力等于最大的应力圆上B 点的纵坐标，为max 131()2τσσ=- 由B 点的位置可知，最大切应力所在截面与2σ主平面相垂直，并与1σ和3σ主平面互成45°角上述两公式同样适用于平面应力状态（其中有一个主应力等于零）或单轴应力状态（其中有两个主应力等于零），只需将具体问题中的主应力求出，并按代数值123σσσ≥≥排列4．应力与应变间的关系在一般的空间应力状态下有6个独立的应力分量与之相应的有6个独立的应变分量x ε、y ε、z ε、xy γ、yz γ、zx γ讨论在线弹性、小变形条件下，空间应力状态下应力分量与应变分量的物理关系通常称为广义胡克定律4.1 各向同性材料的广义胡克定律一般空间应力状态下单元体的6个独立应力分量中，3个正应力分量的正负号规定同前而3个切应力分量的正负号规定如下：若正面（外法线与坐标轴正向一致的平面）上切应力矢的指向与坐标轴正向一致或负面（外法线与坐标轴负向一致的平面）上切应力矢的指向与坐标轴负向一致则该切应力为正，反之为负线应变以伸长为正，缩短为负切应变均以使直角减小者为正，增大者为负对于各项同性材料，沿各方向的弹性常数E 、G 、ν均分别相同由于各向同性材料沿任一方向对于其弹性常数都具有对称性因而，在线弹性、小变形条件下，沿坐标轴（或应力矢）方向正应力只引起线应变，而切应力只引起同一平面内的切应变线应变与正应力之间的关系可用叠加原理求得在x σ、y σ、z σ分别单独存在时，x 方向的线应变x ε依次分别为'x x E σε=，''y x E σευ=-，'''zx E σευ=-则在x σ、y σ、z σ同时存在时，可得x 方向的线应变同理可得，y 和z 方向线应变，分别为1[()]x x y z Eεσυσσ=-+ 1[()]y y z x Eεσυσσ=-+ 1[()]z z x y E εσυσσ=-+ 切应变与切应力之间的关系分别为xy xy G τγ=yzyz Gτγ= zx zx Gτγ= 上式即为一般空间应力状态下，在弹性、小变形下各向同性材料的广义胡克定律若已知空间应力状态下单元体的三个主应力，则沿主应力方向只有个线应变，无切应变与主应力1σ、2σ、3σ相应的线应变1ε、2ε、3ε，称为主应变主应变为一点处各方位线应变中的最大与最小值广义胡克定律可用主应力与主应变表示为11231[()]Eεσυσσ=-+ 22311[()]Eεσυσσ=-+ 33121[()]E εσυσσ=-+ 材料的三个弹性常数存在着如下关系2(1)E G υ=+4.2 各向异性材料的广义胡克定律木材、玻璃钢纤维增强复合材料的力学性能是与受力方向有关即是各向异性材料每一个应力分量将引起所有的6个应变分量4.3 各向同性材料的体应变构件在受力变形后，通常引起体积变化每单位体积的体积变化，称为体应变，用θ表示12312()Eυθσσσ-=++ 任一点处的体应变与该点处的三个主应力之和成正比5．空间应力状态下的应变能密度物体受外力作用而产生弹性变形时在物体内部将积蓄有应变能，每单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度在单轴应力状态下，物体内所积蓄的应变能密度为221222E v E εσσεε=== 对于在在线弹性、小变形条件下受力的物体所积蓄的应变能只取决于外力的最后数值，而与加力的顺序无关设一单元体处于空间应力状态，三个主应力按比例加载方式同时由零增至最终值1σ、2σ、3σ对应于每一个主应力，其应变能密度可以视作该主应力在与之相应的主应变上所作的功而其他两个主应力在该主应变上并不做功因此，单元体的应变能密度为1122331()2v εσεσεσε=++ 经整理化简后， 2221231223311(2())2v Eεσσσυσσσσσσ=++-++ 一般情况下，单元体将同时发生体积改变和形状改变1231()3m σσσσ=++其中，m σ称为平均应力将主应力单元体分解为两种单元体的叠加在平均应力的作用下，单元体形状不变，仅发生体积改变且三个主应力之和与原三个主应力之和相等故其应变能密度就等于原单元体的体积改变能密度，即 2222221(2())2V m m m m m m v Eσσσυσσσ=++-++ 21233(12)12()26m E E υυσσσσ--==++ 分解剩下的单元体的三个主应力和为零，故体积不变，仅发生形状改变其应变能密度就等于原单元体的形状改变能密度化简后可得2221223311[()()()]6d v Eυσσσσσσ+=-+-+- 可以证明，应变能密度=体积改变能密度+形状改变能密度V d v v v ε=+对于一般空间应力状态下的单元体，其应变能密度可用6个应力分量来表达在小变形条件下，对应每个应力分量的应变能均等于该应力分量与相应的应变分量乘积之半1(+)2x x y y z z xy xy yz yz zx zx v εσεσεσετγτγτγ=++++6．强度理论及其相当应力关于材料破坏或失效的假设，称为强度理论材料破坏或失效的基本形式有两种类型：一类是在没有明显的塑性变形情况下发生突然断裂，称为脆性破坏一类是材料产生显著的塑性变形而使构件丧失正常的工作能力，称为塑性屈服第一类强度理论是以脆性断裂作为破坏标志的其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论①最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论假设：最大拉应力t σ是引起材料脆性断裂的因素认为不论处于什么样的应力状态下只要构件内一点处的最大拉应力t σ（即1σ）达到材料的极限应力u σ材料就会发生脆性断裂至于材料的极限应力u σ，则可通过单轴拉伸试样发生脆性断裂的试验来确定按照这一强度理论，脆性断裂的判据是1u σσ=将式右边的极限应力除以安全系数，就得到材料的许用拉应力[]σ按照第一强度理论所建立的强度条件为1[]σσ≤上式中的1σ为拉应力在没有拉应力的三轴压缩应力状态下，不能采用第一强度理论来建立强度条件式中的[]σ为试样发生脆性断裂的许用拉应力不可能通过拉伸试验测得材料发生脆性断裂的极限应力u σ不能单纯地理解为材料在单轴拉伸时的许用应力②最大伸长线应变理论（第二强度理论）这一理论假设：最大伸长线应变t ε是引起材料脆性断裂的因素认为不论处于什么样的应力状态下只要构件内一点处的最大伸长线应变t ε（即1ε）达到材料的极限值u ε材料就发生脆性断裂同理，材料的极限值同样可通过单轴拉伸试验发生的脆性断裂试验来确定若材料直到发生脆性断裂都可近似地看作线弹性，即服从胡克定律u u E σε=式中u σ及时单轴拉伸试样在拉断时其横截面上的正应力脆性断裂的判据为 1uu E σεε==由广义胡克定律可知，在线弹性范围内工作的构件处于空间应力状态下一点处的最大伸长线应变为11231[()]Eεσυσσ=-+ 上式可改写为 1231[()]u E Eσσυσσ-+= 或 123[()]u συσσσ-+= 将上式右边的u σ除以安全因数记得材料的许用拉应力u σ按第二强度理论所建立的强度条件为123[()][]συσσσ-+≤以上分析中引用了广义胡克定律，所以按照这一强度理论所建立的强度条件只适用于构件直到脆断前都服从胡克定律的情况第二类强度理论是以出现塑性屈服或发生显著的塑性变形作为失效标志的其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论③最大切应力理论（第三强度理论）这一理论假设：最大切应力max τ是引起材料塑性屈服的因素即认为不论处于什么样的应力状态下只要构件内一点处的最大切应力max τ达到了材料屈服时的极限值u τ该点处的材料就发生屈服材料屈服时切应力的极限值u τ，同样可以通过单轴拉伸试样发生屈服的试验来确定对于像低碳钢这一类的塑性材料，在单轴拉伸试验时材料就是沿最大切应力所在的45°斜截面发生滑移而出现明显的屈服现象的这时试样在横截面上的正应力就是材料的屈服极限s σ对于这一类材料，可得材料屈服时切应力的极限值u τ为2s u στ=按照这一强度理论，屈服判据为 max 2s u σττ==在复杂应力状态下一点处的最大切应力为 max 131()2τσσ=-式中，1σ和3σ分别为该应力状态中的最大和最小主应力屈服判据可改写为 1311()22s σσσ-= 或 13()s σσσ-= 将上式右边的s σ除以安全因数即得材料的许用拉应力[]σ故按第三强度理论所建立的强度条件为 13()[]σσσ-≤在上式右边采用了材料在单轴拉伸时的许用拉应力这只对于在单轴拉伸时发生屈服的材料才适用脆性材料，不可能通过单轴拉伸试验的到材料屈服时的极限值u τ对于这类材料在三轴不等值压缩的应力状态下发生塑性变形时式子右边的[]σ就不能选用材料在单轴拉伸时的许用拉力④形状改变能密度理论（第四强度理论）这一理论假设：形状改变能密度d v 是引起材料屈服的因素认为不论处于什么样的应力状态只要构件内一点处的形状改变能密度d v 达到了材料的极限值du v该点处的材料就发生塑性屈服对于像低碳钢一类的塑性材料因为在拉伸试验时当正应力达到s σ就会出现明显的屈服现象故可通过拉伸试验来确定材料的du v 值，可用2221223311[()()()]6d v Eυσσσσσσ+=-+-+- 将1s σσ=，230σσ==代入上式，从而求得材料的极限值du v 为2126du s v Eυσ+=⨯ 按照这一强度理论，屈服判据d du v v =可改写为222212233111[()()()]266s E Eυυσσσσσσσ++-+-+-=⨯ 可化简为s σ= 再将上式右边得s σ除以安全因数得到材料的许用拉应力[]σ于是按第四强度理论所建立的强度条件为[]σ 式中，1σ、2σ和3σ是构件危险点的三个主应力式子右边采用材料在单轴拉伸时的许用拉应力因而，只对在单轴拉伸时发生屈服的材料适用试验表明，在平面应力状态下一般地说，形状改变能密度理论较最大切应力理论更符合实验结果由于最大切应力理论是偏于安全的，且较为简单，实践中应用较为广泛四个强度理论所建立的强度条件可统一写作[]r σσ≤式中，r σ是根据不同强度理论所得到的构件危险点处三个主应力的某些组合按某一强度理论的相当应力对于危险点处于复杂应力状态的构件进行强度校核时一方面要保证所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏形式相对应另一方面要求以确定许用应力[]σ的极限应力，也必须与该破坏形式相对应7．莫尔强度理论及其相当应力8．各种强度理论的应用根据试验资料，各种强度理论的适用范围归纳如下①强度理论均仅适用于常温，静荷载条件下的匀质、连续、各向同性的材料对于高温、冲击荷载下或材料带有初始裂纹时的材料强度不适用②不论是脆性或塑性材料，在三轴拉伸应力状态下，都会发生脆性断裂宜采用最大拉应力理论，但对于塑性材料，由于单轴拉伸试验不可能发生脆性断裂所以在按最大拉应力理论进行强度校核时，右边的[]σ不能取用单轴拉伸时的许用拉应力值而应用发生脆断时的最大主应力1σ除以安全因数 ③对于脆性材料，在二轴拉伸应力状态下应采用最大拉应力理论在复杂应力状态的最大和最小主应力分别为拉应力和压应力的情况下由于材料的许用拉、压应力不等，宜采用莫尔强度理论④对于低碳钢一类的塑性材料，除三轴拉伸应力状态外各种复杂应力状态下都会发生屈服现象，一般以采用形状改变能密度理论为宜但最大切应力理论的物理概念比较直观，计算简捷，计算结果偏于安全因而常用最大切应力理论⑤在三轴应力状态下，不论是塑性材料还是脆性材料通常都发生屈曲失效，故一般采用形状改变能密度理论但脆性材料的单轴拉伸试验不可能发生塑性屈服所以，许用应力[]σ也不能用脆性材料在单轴拉伸时的许用拉应力值根据强度理论可从材料在单轴拉伸时的许用拉应力[]σ来推知材料在纯剪切应力状态下的许用应力在纯剪切应力状态下，一点处的三个主应力分别为123,0,στσστ===-对于低碳钢一类的塑性材料在纯剪切和单轴拉伸两种应力状态下，材料均发生屈服失效。