第2章(8)非线性回归模型的线性化
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第4章非线性回归模型的线性化（1）多项式函数模型
（2）双曲线函数模型
（3）对数函数模型
（4）生长曲线(logistic) 模型
（比教材中的模型复杂些）
（5）指数函数模型
（6）幂函数模型
（7）不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要求掌握）
第4章非线性回归模型的线性化
有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。
以下非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。
y t = α0 + α11β
x+ u t
t
y t = α0t x
e1α+ u t
下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。
(1)多项式函数模型(1)
（第2版教材第111页）（第3版教材第90页）
一种多项式方程的表达形式是
y t = b 0+b 1 x t + b 2 x t 2+ b 3 x t 3+ u t
令x t 1 = x t ，x t 2 = x t 2，x t 3 = x t 3，上式变为
y t = b 0+b 1 x t 1+ b 2 x t 2+ b 3 x t 3+ u t
这是一个三元线性回归模型。如经济学中的
总成本与产品产量曲线与左图相似。(b 1>0, b 2>0, b 3>0) (b 1<0, b 2>0, b 3<0)
(1)多项式函数模型(1)
例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页）
y t= b0+b1 x t+ b2 x t2+ b3 x t3+ u t
（第2版教材第112页）
（第3版教材第91页）
(1)多项式函数模型(1)
例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页）= 2434.7+ 85.7x t -0.028 x t 2+0.00004 x t 3(1.8) (12.0) (-2.8) (9.6)
R 2= 0.9998, N = 15t C ˆ（第2版教材第114页）
（第
3版教材第92页）
（1990~2003，file:bank08）
从散点图看，用多项式方程拟合比较合理。
Loan t = β0+β1 GDP t + β2 GDP t 2+ β3 x t 3+ u t
t = -24.5932 +1.6354GDP t -0.0026GDP t 2+ 0.0000027GDP t 3
(-2.0) (11.3) (-6.3) (7.9) R 2=0.9986, DW =2.6∧
loan （1990~2003，file:bank08
）
（第2版教材第114页）（第3版教材第93
页）
(1)多项式方程模型(2)
(b 1>0, b 2>0) (b 1<0, b 2<0另一种多项式方程的表达形式是
y t = b 0+ b 1 x t + b 2 x t 2+ u t
令x t 1 = x t ，x t 2= x t 2，上式线性化为，y t = b 0+ b 1 x t 1+ b 2 x t 2+ u t
如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。
(2)双曲线函数模型（第2版教材第114页）
（第3版教材第93页）
1/y t = a + b /x t + u t 或y t = 1/ (a + b /x t + u t )令y t * = 1/y t , x t * = 1/x t ，得y t * = a + b x t * + u t
已变换为线性回归模型。双曲线函数还有另一种表达方式，y t = a + b /x t + u t
令x t * = 1/x t ，得y t = a + b x t * + u t 上式已变换成线性回归模型。y t = a + b /x t + u t
1/y t = a + b /x t + u t
案例2：炼钢厂钢包容积Y与钢包使用次数X的关系（file:5nonli7）
建立线性模型并估计建立对数模型并估计
y= 7.85 + 0.27 x y= 6.16 + 1.83 Lnx
(19.6) (5.7) (16.0) (10.1)
R2= 0.71, N= 15 R2= 0.89, N= 15
案例2：炼钢厂钢包容积Y与钢包使用次数X的关系（file:5nonli7）
双倒数线性化
双倒数模型
建立倒数模型并用1∼14组数据估计，
1/y= 0.081 + 0.1339 (1/x)
(42.1) (14.1) R2= 0.94,N= 15
倒数模型的估计结果最好。
(4)生长曲线(logistic) 模型（与教材中的模型稍异）
案例3：非典数据（2003-5-1∼2003-5-28）
某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质指标。经分析透明度低与硫酸中金属杂质的含量太高有关。影响透明度的主要金属杂质是铁、钙、铅、镁等。通过正交试验的方法发现铁是影响硫酸透明度的最主要原因。测量了47个样本，得硫酸透明度（y ）与铁杂质含量（x ）的散点图如下：
案例5：硫酸透明度与铁杂质含量的关系
（指数函数案例）
(file:nonli01)
（1）y = 121.59 -0.91 x （2）1/y = 0.069 -2.37 (1/x )
(10.1) (-5.7) (18.6) (-11.9)R 2= 0.42, s.e. = 36.6, F= 32 R2 = 0.76, s.e. = 0.009, F= 142