最新常微分方程和差分方程
常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
微分方程与差分方程
λ = −1± i, 则齐次方程的通解为 y = e−x (C1 cos x + C2 sin x). 因 −1+ i 是单特征根，故设原非齐次方程的特解为
y* = xe−x[( A0 x + A1) cos x + (B0 x + B1) sin x].
402
把它代入原非齐次方程得
4B0 x cos x + 2(A0+B1) cos x − 4A0 x sin x + 2(B0−A1) sin x = x cos x + 3sin x,
解 将特解 y = e2x + (1+ x)ex 代入原非齐次微分方程得 (4 + 2 p + q)e2x + (3 + 2 p + q)ex + (1+ p + q)xex = rex.
比较系数，得方程组
⎧2 p + q = −4, ⎧ p = −3;
⎪⎨2 p + q − r = −3,⇒ ⎪⎨q = 2;
tan y
tan x
∫
1 tan
y
d
tan
y
=
−∫
1 tan
x
d
tan
x,
ln(tan y) = − ln(tan x) + ln C, 故通解为 tan x tan y = C. 例3 求微方程 cos ydx + (1+ e−x ) sin ydy 在 y(0) = π 下的特解.
4
解 原方程变形为 (1+ e−x ) sin ydy = − cos ydx, 分离变量，得
过程，只要对所给通解求若干次导数，以消去所有任意常数即可.
常微分方程与差分方程
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
例 1 求( x2 ), 2 ( x2 ), 3 ( x2 ).
解 设y x 2，则
第4页
yx ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1
2 yx 2( x2 ) (2x 1)
3 yx zx yx1zx zxyx yxzx zx1yx
4
yx zx
zxyx yxzx zx zx1
zx1yx yx1zx zx zx1
可参照导数的四则运算法则学习
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17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第18页
例 8 确定下列方程的阶 (1) yx3 x 2 yx1 3 yx 2
(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
(1)是三阶差分方程；
(2) x 2 ( x 4) 6，
(2)是六阶差分方程.
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx f x 2
f x 0
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第十章 常微分方程与差分方程
第24页
1.n阶齐次线性差分方程解的结构
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx 0 1
第十章 常微分方程与差分方程
第9页
证明（3）
yx zx
yx1 zx1 yx zx
yx1 zx1 yx zx1 yx zx1 yx zx
微分方程差分方程
微分方程差分方程摘要：一、引言二、微分方程的定义与基本概念1.微分方程的定义2.常见微分方程类型三、差分方程的定义与基本概念1.差分方程的定义2.常见差分方程类型四、微分方程与差分方程的关系1.微分方程与差分方程的相似性2.微分方程与差分方程的转换五、微分方程与差分方程的应用领域1.物理、工程领域的应用2.生物、经济领域的应用六、结论正文：一、引言微分方程和差分方程是数学领域中两个重要的概念，它们广泛应用于各个学科领域。
本文将首先介绍微分方程和差分方程的定义及基本概念，然后探讨它们之间的关系以及应用领域。
二、微分方程的定义与基本概念1.微分方程的定义微分方程是一种数学方程，其中包含未知函数及其导数。
它可以表示为：f(x, y") = 0，其中x 是自变量，y 是未知函数，y"表示y 关于x 的导数。
2.常见微分方程类型常见的微分方程类型包括：一阶微分方程、二阶微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
三、差分方程的定义与基本概念1.差分方程的定义差分方程是一种数学方程，其中包含未知函数及其差分。
它可以表示为：f(x, y[n]) = 0，其中x 是自变量，y 是未知函数，y[n] 表示y 关于x 的n 阶差分。
2.常见差分方程类型常见的差分方程类型包括：一阶差分方程、二阶差分方程、线性差分方程、非线性差分方程等。
四、微分方程与差分方程的关系1.微分方程与差分方程的相似性微分方程和差分方程在形式上具有相似性，它们都包含未知函数及其导数（差分）。
这使得它们之间可以相互转换。
2.微分方程与差分方程的转换通过合适的差分方法，可以将微分方程转换为差分方程；反之，通过合适的积分方法，可以将差分方程转换为微分方程。
五、微分方程与差分方程的应用领域1.物理、工程领域的应用微分方程和差分方程在物理、工程领域具有广泛应用，如电路理论、力学、热力学、波动理论等。
2.生物、经济领域的应用微分方程和差分方程在生物、经济领域也具有重要应用，如生物种群模型、经济波动模型等。
第5章微分方程与差分方程
两边积分，得 故
dy = − p( x) d x ， ( y ≠ 0) ， y y = 0 对应于 ln | y | = − ∫ p ( x) d x + C1 ， C＝ 。 0
y = ±e ⋅ e ∫
C1 − p( x)d x
。
记 C = ± eC1，得一阶齐线性方程 的通解为 y = Ce ∫
− p( x)d x
2d y = d x， 2 y −1
对上式两边积分， 对上式两边积分，得原方程的通解 y −1 ln = x + C1 。 y +1 经初等运算可得到原方程的通解为 隐函数形式
1 + Ce x y= 。 (C = ± eC1 ) 1 − Ce x 你认为做完了没有？ 你认为做完了没有？
代入原方程可知： 令 y 2 − 1 = 0 ，得出 y = ±1，代入原方程可知：
5、初值条件: 给定微分方程的解所满足的条件. 初值条件: 给定微分方程的解所满足的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y′ = f ( x , y ) 一阶: 一阶 y x = x0 = y 0
过定点的积分曲线; 过定点的积分曲线
dx = t2 dt
d2 y dy +b + cy = sin x 2 dx dx d x − x2 = t3 dt
2
一阶 线性 二阶 线性 一阶 非线性
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式 为
F ( x, y′, y′′, L , y ( n ) ) = 0 。
dN = rN (1 例1、 ) dt N ( 0) = N 0
微分方程差分方程
微分方程差分方程摘要：1.微分方程与差分方程的定义及区别2.微分方程的应用领域3.差分方程的应用领域4.求解微分方程和差分方程的方法5.两者在实际问题中的结合与转化正文：微分方程与差分方程是数学中的两种重要方程类型，它们在许多实际问题中有广泛的应用。
尽管它们具有一定的相似性，但它们之间仍然存在着明显的区别。
本文将对微分方程和差分方程进行简要介绍，并探讨它们在实际问题中的求解方法及应用领域。
一、微分方程与差分方程的定义及区别1.微分方程微分方程是一种描述变量随时间变化的数学方程。
它包含一个或多个未知函数及其导数，要求求解该未知函数在某一区间内的解。
微分方程可以分为线性和非线性两类。
2.差分方程差分方程是一种离散时间模型，它描述了变量在离散时间点上的关系。
差分方程包含一个或多个未知数，并要求求解这些未知数在离散时间点上的取值。
与微分方程类似，差分方程也可以分为线性和非线性两类。
二、微分方程的应用领域1.物理：微分方程在物理学中被广泛应用于描述力学、电磁学、热力学等领域中的现象。
2.生物学：微分方程在生物学中可以用于描述生物种群的数量变化、生长速率等。
3.经济学：微分方程在经济学中可以用于描述物价、产量等经济指标的变化。
4.工程：微分方程在工程领域中可以用于分析结构的动态特性、控制系统的稳定性等。
三、差分方程的应用领域1.计算机科学：差分方程在计算机科学中可以用于数值计算、图像处理等领域。
2.生物学：差分方程在生物学中可以用于模拟生物种群的动态行为。
3.社会科学：差分方程在社会科学中可以用于研究人口统计、经济学模型等。
4.工程：差分方程在工程领域中可以用于分析系统的稳定性、预测发展趋势等。
四、求解微分方程和差分方程的方法1.数值方法：对于微分方程和差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
2.解析方法：对于一些简单的微分方程和差分方程，可以尝试通过解析方法求解，如分离变量法、常数变易法等。
微分方程与差分方程简介
方程通解为： 二、二阶常系数线性非齐次方程 二阶常系数线性非齐次方程，其标准形式是
， 其中 a,b,c 是常数，式中的 f(x)称为右端项。
定理 2 设 是线性非齐次方程的一个特解，而 是相应的线性齐次方
程的通解，则其和
为线性非齐次方程的通解。
定理 3 设 y1 是非齐次方程 方程
的一个特解， y2 是非齐次
（4）由于λ=1+3i 不是特征方程的根，n=1，故应设特解为 。
本章重点 微分方程的概念，一阶可分离变量微分方程的解法，一阶线性微分方程的解
法，二阶常系数线性微分方程的解法。
内容提示与分析 §8.1 微分方程的一般概念
1． 微分方程：含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。 常微分方程：微分方程中的未知函数是一元函数的，叫常微分方程，其
一般形式为
。 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程。 2． 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫 做微分方程的阶。 3．微分方程的解：如果把某个函数以及它的各阶导数代人微分方程，能使 方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解。 微分方程的解有通解与特解两种形式。 4． n 阶微分方程的通解：含有 n 个独立的任意常数的解，叫 n 阶微分方 程的通解。 5．微分方程的特解：不含有任意常数的解，叫微分方程的特解。
。
注意 为了运算方便，可将两端积分后方程式中的 ln|y+1|写成 ln(y+1)，
只要记住最后得到的任意常数可正可负即可。另外，也可以将式中的任意常数
写为 lnC，最终 C 是任意常数。
例 5．求微分方程
的通解。
解：原方程可改写成
它是一个齐次方程。
微分方程与差分方程_详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。
【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
差分方程和微分方程的区别与联系
差分方程和微分方程的区别与联系数学中，有很多让人感到有些神秘的概念，比如差分方程和微分方程。
这两个名字听上去似乎有些类似，但它们其实是解决不同问题的两个工具。
今天我们就来聊聊这两者的区别和联系，把它们说得简单明了些，让你一听就懂！1. 基本概念1.1 微分方程先从微分方程说起。
微分方程就是一个涉及到导数的方程。
导数，简单来说，就是一个函数变化的速率。
你可以把它理解为车速，比如说你要计算汽车的加速度，你就用到导数。
而微分方程就是描述一个系统如何随时间或空间的变化来建立方程。
例如，如果你有一个物体在下落，微分方程可以帮你找出它的速度和加速度，甚至是未来某一时刻的位置。
1.2 差分方程再来看看差分方程。
差分方程则处理的是离散时间点上的问题。
想象一下你在记录每天的股票价格，今天的价格和昨天的价格之间的差异，这种差异就是差分方程在做的事情。
它通过差异来描述和预测系统的行为，适用于那些不能用连续变化来描述的情况。
2. 区别与应用2.1 微分方程的应用微分方程主要用于处理连续变化的系统。
比如，物理学中的运动学，生物学中的种群增长，甚至金融中的投资模型，很多问题都可以用微分方程来解决。
你可以用它来模拟天体运行、气温变化，或者人口增长等现象。
就像我们在前面提到的汽车加速度，如果你想知道一个物体在空气阻力影响下的运动状态，你需要用到微分方程。
2.2 差分方程的应用而差分方程则更多地用于处理那些离散时间的数据。
比如在计算机科学中，你可能会用差分方程来设计算法，或者在经济学中预测季度销售额。
你还可以在游戏开发中使用差分方程来模拟角色的行为变化，或者在工程中分析离散信号的处理情况。
简单来说，差分方程适合用在那些时间步长是离散的场景里。
3. 联系与转换3.1 从差分方程到微分方程尽管差分方程和微分方程各有千秋，但它们之间也有联系。
实际上，你可以把差分方程看作是微分方程在离散情况下的“近亲”。
比如说，如果你把离散时间的步长缩得很小，差分方程和微分方程的行为就会变得越来越相似。
差分方程与微分方程的区别及其应用场景
差分方程与微分方程的区别及其应用场景差分方程和微分方程是数学中常见的两种形式，它们对于数学研究乃至各个领域的实际问题求解都起到了重要的作用。
尽管两者都是用来描述系统的量随时间的变化规律，但是它们之间却有很多的不同点。
本文将会简要介绍差分方程和微分方程的异同及其应用场景。
一、差分方程和微分方程的基本介绍差分方程和微分方程都是对于数量随时间变化的基本描述形式，一个是离散的，一个是连续的。
差分方程是一种离散的机率模型，其中它的连续性由于时间间隔的取值越来越小而被更多地接受。
差分方程是通过将某个时间点的函数值和以前的函数值进行比较得到的。
相对而言，微分方程是一种连续的机率模型，它描述了某个参数随时间的变化。
微分方程表示函数的导数与未知函数本身之间的关系。
这两种方程常常用于各个领域中的模型研究和实际问题求解。
二、差分方程和微分方程的区别1. 描述时间的连续性不同微分方程描述的是连续的时间变化，可以描述任意时刻参数的变化情况，而差分方程则只能描述时间间隔相等的离散状态的变化情况。
2. 解析解的形式不同微分方程通常能够求得解析解，而差分方程在一些情况下只能得到近似解，因为离散形式的特殊性质使得解析解很难求出。
3. 应用范围不同微分方程通常应用于连续系统的建模和分析，例如机械振动、物理学等领域。
由于差分方程更适合于描述离散化时间的变化，因此它通常应用于信息与计算领域，例如图像处理、统计模型等领域。
三、差分方程和微分方程的应用场景1. 差分方程的应用1) 图像处理和数字信号处理差分方程在数字图像处理和数字信号处理中有着广泛的应用，如滤波，动态规划，卷积等算法都是基于差分方程的。
2) 计算机科学和机器学习在机器学习中，差分方程被用于对时间序列数据进行建模，例如根据过去的价格预测股票未来价格、预测气候变化等。
3）统计学与经济学在经济学中，差分方程能够用来描述现金流、投资的情况等；另外，在概率统计学中常常使用离散时间马尔可夫链，这也是差分方程的应用之一。
差分方程与微分方程的求解
求解 1. 求差分方程满足初值问题之解：11232133123123(1)3()()()(1)2()()(1)()()2()(1)(1)1,(1)0x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x x x +=-+⎧⎪+=+⎪⎨+=-+⎪⎪===⎩ 解：原差分方程组可化为:112233(1)311()(1)201()(1)112()x n x n x n x n x n x n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭则令311201112-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求矩阵A 的特征值及特征向量 设特征值分别为123,,λλλ，对应的特征向量分别为123β,β,β.则231121(2)(1)0112λλλλλλ---=-=--=--A E可解得1232,2,1λλλ===设1λ对应的特征向量1111a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β，则满足111111022101100a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭可化简为11100a b c -=⎧⎨=⎩，令111a b ==可以得到特征向量1110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β同理可得到特征向量2110-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭β，3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β设方程组的通解为：111222333()nnnx n c c c λλλ=++βββ代入特征值、特征向量，可得到方程组的通解为：123110()21211001n n x n c c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭代入初值条件：123(1)(1)1,(1)0x x x ===得到12123322122110n n n n n c c c c c c ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得123120c c c ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可以令11c =，所以212c =；综上所述，满足方程初值方程组的解为：11()210n x n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2. 求差分方程之通解：2(4)2(2)()32nx n x n x n n n+-++=-+ 解：原方程的特征方程为：42210λλ-+= 即22(1)0λ-=从而求得特征根为11λ=-（二重），21λ=（二重） 因此原方程所对应的齐次方程的通解为：()(1)()1()n n xn A Bn C Dn =-+++ 即 ()(1)()nxn A Bn C Dn =-+++ 而原方程的特解为2(4)2(2)()3x n x n x n n +-++=-的特解1()x n与(4)2(2)()2n x n x n x n n +-++=的特解2()x n 之和.从而原方程具有如下的特解形式：221201201()()()()2()n x n x n x n n A n A n A B n B =+=++++将特解形式代入原方程，可得0010120014811922402244883914890A A A A A AB B B =⎧⎪+=⎪⎪++=-⎨⎪=⎪⎪+=⎩，从而0120114816124194881A A A B B ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=-⎪⎩综上，原方程的通解为22111148()()()(1)()()2()48624981n n x n xn x n A Bn C Dn n n n n =+=-++++-++- 3. 求微分方程满足初值问题之解：211212212121120d d d 320d d d d d 20d d d (0)1,-1,(0)0d t x x x x x tt t xx x x t t x x x t =⎧++++=⎪⎪⎪++-=⎨⎪⎪===⎪⎩解：方法一：降阶法令13d d x x t =，则原方程组可表示为：13323122312d d d d 320d d d 20d x x t xx x x x tt x x x x t ⎧=⎪⎪⎪++++=⎨⎪⎪++-=⎪⎩化简得：132123323d d d 2d d 22d x x t xx x x t x x x t ⎧=⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=--⎪⎩它的系数矩阵为001211022⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，特征方程是01211(2)(2)(1)0022λλλλλλλ--=---=+-++=---A E特征根为1232,2,1λλλ=-==-求得特征根所对应的特征向量分别为1102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T ，21221⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭T ，31121⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T .故方程组的通解为1222123311()121()e 0e 2e 221()1t t t x t x t C C C x t --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭根据初值1120d (0)1,-1,(0)0d t x x x t====得12312323112211202C C C C C C C C ⎧++=⎪⎪-+-=-⎨⎪⎪-+=⎩解得123112,,463C C C === 则原方程组的解为：22122112()e e e 412311()e e 33t t t t tx t x t ---⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩方法二：消元法设dd t λ=，则原方程组可化为21212(32)(1)0(1)(2)(1)0(2)x x x x λλλλλ⎧++++=⎨++-=⎩(1)(2)λ-得21(2)(21)0(3)x λλλ++--= (2)(3)-得22(2)0x λλ--=解得两个特征根为122,1λλ==- 则2x 可表示为：2212e e ttx C C -=+ 根据初值2(0)0x =得22e e ttx C C -=- 将2x 代入(2)得212e 2e ttx C C λ-+=+ 即211d 2e 2e (4)d t t x x C C t-+=+ 下面用常数变易法求解(4) 先解对应齐次方程11d 20d x x t+=得齐次通解211e t x C -= 由常数变易法，令211(t)etx C -=为非齐次方程(4)的解，代入后得221()e e 2e t t t C t C C --'=+积分得41()e 2e 4tt C C t C =+ 则（4）的通解为2211e e 2e 4t tt C x C C --=++ 根据初值110d (0)0,-1d t x x t===得112142212C C C C C C ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+-=-⎪⎩解得11314C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则221112()e e e 4123t t tx t --=++ 将13C =代入22e e t tx C C -=-得方程组的解为 22122112()e e e 412311()e e 33t t t t tx t x t ---⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩4. 利用待定系数法求解下列初值问题之解：Td (),(0)(0,1)d xA x f t x t=+= 其中TT 1235(,),,()(e ,0)53t x x x A f t -⎛⎫===⎪-⎝⎭解：方法一：待定系数法原方程组所对应的齐次方程组为112212d 35d d 53d x x x tx x xt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩特征方程235(3)25053λλλλ--==-+=--A E求得特征根为1,235i λ=±下求135i λ=+所对应的特征向量，设112αα⎛⎫=⎪⎝⎭ξ 则111225i 50()55i 0ααλαα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 从而可取11α=，则2i α= 于是由132()1e (cos5isin 5)()i t x t t t x t ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到齐次方程的通解为：11322()cos5sin 5e ()sin 5cos5t xt C t t x t C t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭下求非齐次方程的特解利用待定系数法，可设特解为12()e ()e t t x t A x t B --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将其代入原方程组，可得e 3e 5e ee 5e 3et t t tt t tA AB B A B -------⎧-=++⎪⎨-=-+⎪⎩ 即451540A B A B +=-⎧⎨-=⎩,从而求得441541A B ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 因此原方程的通解为113224()cos5sin 541e e ()sin 5cos5541t t x t C t t x t C t t -⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ 代入初值条件T(0)(0,1)x =得到1240415141C C ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，从而124414641C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.综上，原方程组满足初值条件的解为：13244()cos5sin 54141e e ()sin 5cos54654141t t x t t t x t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭方法二：常数变易法利用常数变易法，可设特解为11322()()cos5sin 5e ()()sin 5cos5t x t C t t t x t C t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 带回到原方程，可得到132()cos5sin 5e e ()sin 5cos50t tC t t t C t t t -'⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而1132()cos5sin 5e e cos5e ()sin 5cos50e sin 5t t t t C t t t t C t t t t ----'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭进而4142()e cos5()e sin 5t tC t t C t t --'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭两边积分可得414254()e (sin 5cos5)414145()e (sin 5cos5)4141t t C t t t C t t t --⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩因此原方程组的通解为111222()()()()()()x t xt x t x t x t x t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13254sin 5cos5cos5sin 5cos5sin 54141e e sin 5cos5sin 5cos545sin 5cos54141t t t t C t t t t C t t t t t t -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭-- ⎪⎝⎭344cos5sin 54141e e sin 5cos54654141t t t t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入初值条件T(0)(0,1)x =得到1240415141C C ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，从而124414641C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.综上，原方程组满足初值条件的解为13244()cos5sin 54141e e ()sin 5cos54654141t t x t t t x t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
微分方程和差分方程方法课件
适用范围
01
适用于求解具有特定形式的一阶微分方程组。
解法描述
02 通过引入特征线的概念，将微分方程转化为常微分方
程沿特征线的积分，从而简化求解过程。
实例
03
以一阶微分方程组为例，通过特征线法可以得到通解
表达式。
幂级数法
适用范围
常用于求解具有特定形式的微分方程，如线性微分方程、常系数 线性微分方程等。
01
数学家贡献
众多数学家如牛顿、莱布尼茨、欧拉、 拉格朗日等都对微分方程的发展做出了 重要贡献。
02
03
现代应用
现代科学技术领域如物理学、生物学 、经济学等广泛使用微分方程来描述 和预测现象。
差分方程的历史与发展
早期起源
差分方程起源于17世纪，主要用于解决与离散序列有关的问题。
数学家贡献
欧拉、高斯等数学家对差分方程的发展做出了重要贡献。
02
微分方程的解法
分离变量法
01
适用范围
常用于求解具有特定形式的微分 方程，如波动方程、热传导方程 等。
02
03
解法描述
实例
将微分方程中的未知函数分离出 来，转化为几个常微分方程的组 合，然后分别求解。
以一维波动方程为例，通过分离 变量法可以得到波函数的形式为 y(x,t)=f(x)g(t)。
特征线法
化性能。
高性能计算与并行计算
利用高性能计算机和并行计算技术， 加速微分方程和差分方程的求解过程 。
多尺度方法
研究多尺度方法，处理不同尺度的微 分方程和差分方程，适应不同应用场 景的需求。
当前面临的挑战
算法复杂度与计算效率 由于微分方程和差分方程的复杂 性，往往需要设计高效的算法来 降低计算复杂度，提高计算效率 。
微分方程(1-3)
第9章微分方程与差分方程第1节微分方程的根本概念我们已经知道，利用函数关系可以对客观事物的规律性进展研究.而在许多几何，物理，经济和其他领域所提供的实际问题，即使经过分析、处理和适当的简化后，我们也只是能列出含有未知函数及其导数的关系式.这种含有未知函数的导数的关系式就是所谓的微分方程.求出微分方程中的未知函数的过程就叫解微分方程.本章主要介绍微分方程的一些根本概念和几种常用的微分方程的解法.实际问题中的数据大多数是按等时间间隔周期统计的.因此，有关变量的取值是离散变化的，处理他们之间的关系和变化规律就是本章最后的容——差分方程.含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.现实世界中的许多实际问题，例如，物体的冷却，人口的增长，琴弦的振动，电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题.这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.例9.1 质量为m 的物体只受重力作用由静止开场自由垂直降落.根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度的乘积，即F ma =.取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向向下.下落的起点为原点.记开场下落的时间0t =，则物体下落的距离x 与时间t 的函数关系()xx t =满足22d xg dt=， (9.1) 其中g 为重力加速度常数.这就是一个2阶微分方程。
例9.2 产品的月产量为x 时的边际本钱1()82c x x '=+， (9.2) 就是一个1阶微分方程.在微分方程中，假设未知函数是一元函数就称为常微分方程；假设未知函数是多元函数，就称为偏微分方程.本章只讨论常微分方程。
n 阶微分方程的一般形式是()(,,,,,)0n F x y y y y '''=，(9.3)其中x 为自变量，()yy x =是未知函数，上式(9.3)中，()n y 必须出现，而其余变量〔包括低阶导数〕可以不出现.如果能从式(9.3)中解出最高阶导数得到微分方程的如下形式()(1)(,,,,,)n n y f x y y y y -'''= (9.4)以后我们只讨论姓如式(9.4)的微分方程，并假设式(9.4)右端的函数f在所讨论的围连续.特别地，式〔9.4〕中的f 如果能写成如下形式()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y g x --'++++= (9.5)则称式(9.5)为n 阶线性微分方程.其中1(),,()n a x a x 和()g x 均为自变量x 的函数.把不能表示成形如式(9.5)的微分方程称为非线性微分方程.例9.3 试指出以下方程是什么方程，并指出微分方程的阶数. (1)3dy x y dx =+ (2)sin (cos )tan 0dyx x y x dx++= (3)32235d y dy x y dx dx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(4)33ln d y dy x xy x dx dx ++= 解方程(1)是一阶线性微分方程.因为dydx和y 都是一次.方程(2)也是一阶线性微分方程.因为两边除以sin x 就可看出.方程(3)是2阶非线性微分方程，因为其中含有3dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭.方程(4)是3阶线性微分方程.因为33,,d y dyy dx dx都是一次式. 如果一个函数代入微分方程能使方程式为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解. 例如，(a)212x gt =,(b)21212x gt c t c =++都是例9.1中的微分方程9.1的解，其中12,c c 为任意常数.通常，称不含任意常数的解为微分方程的特解.而含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解为微分方程的通解〔一般解〕.这里所说的相互独立的任意常数，是指它们取不同的值时就得到不同的解.从而不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.上面的解中，(a)和(c)分别是方程(9.1)和(9.2)的特解，(b)和(d)分别是方程(9.1)和(9.2)的通解.在实际问题常都要求寻找满足*些附加条件的解.此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数.这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件.一般地，一阶微分方程(,)y f x y '=的初始条件为 00x x y y == (9.6)其中00,x y 都是常数.二阶微分方程(,,)y f x y y '''=的初始条件为00,x x x x y y y y ==''== (9.7)带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题. 微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线. 例9.4 验证函数3()cos y xc x =+〔c 为任意常数〕是方程的通解，并求出满足初始条件00x y ==的特解.解要验证一个函数是否是微分方程的通解，只要将函数代入方程，验证是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数一样.对3()cos y x c x =+，求一阶导数把y 和dydx代入方程左端，得 因为方程两边恒等，且y中含有一个任意常数，方程又是一阶的，故3()cos y x c x =+是题设方程的通解.把初始条件00x y ==代入通解3()cos y x c x =+中，得0c =.从而所求特解为3cos y x x =.习题9-11、 指出以下微分方程的阶数〔1〕220xy yy x '''-+=〔2〕235()sin 0y y x x ''-+=〔3〕22(3)(45)0xdx x y dy +++=2、指出以下各题中的函数是否为所给微分方程的解. 〔1〕22,5xy y y x '== 〔2〕2122220,yy y y c x c x x x'''-+==+ 〔3〕12121212()0,xx y y y y c e c e λλλλλλ'''-++==+3、验证1y cx c=+〔c 为任意常数〕是方程2()10x y yy ''-+=的通解，并求满足初始条件02x y==的特解.4、设曲线在点(,)x y 处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试建立曲线所满足的微分方程，并求出通解.习题9-1答案1、〔1〕2阶〔2〕2阶〔3〕1阶2、〔1〕是〔2〕是〔3〕是3、特解为122yx =+ 4、微分方程为3dyx dx =，通解为414y x c =+ 第2节一阶微分方程微分方程没有统一的解法，必须根据微分方程的不同类型，研究相应的解法.本节我们将介绍可别离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.一、可别离变量的微分方程. 在一阶微分方程(,)dyF x y dx=中，如果右端函数能分解成(,)()()F x y f x g y =， x 与y 别离，x 的一个函数()f x 与y 的一个函数()g y 相乘的形式，即()()dyf xg y dx= (9.8) 其中()f x ，()g y 都是连续函数.根据这种方程的特点，我们可以通过积分的方法来求解.设()0g y ≠.用()g y 除方程(9.8)的两端，用dx 乘以方程的两端，使得未知函数y 的*函数及其微分与自变量x 的*函数及其微分置于等号的两边〔又一次别离了x 与y 〕得 再对上述等式两边积分，即得1()()dy f x dx g y =⎰⎰ (9.9)积分出来以后就说明y 是x 的一个〔隐〕函数〔关系〕，就是方程(9.8)的解. 如果0()0g y =，则易验证0yy =也是方程(9.8)的解.上述求解可别离变量的微分方程的方法，称为别离变量法. 例9.5 求微分方程 的通解.解先合并,dx dy 的各项得 设210,10y x-≠-≠,别离变量得两端积分211dy xdx y x =--⎰⎰ 得2111ln |1|ln |1|ln ||22y x c -=-+于是221(1)(1)y c x -=±-记1cc =±，则得到题设方程的通解为22(1)(1)y c x -=-例9.6 求微分方程x dye y dx=的通解. 解别离变量后两边积分 得1ln ||ln ||x y e c =+从而1xe y c e =±记1cc =±，则得到题设方程的通解为xey ce =例9.7 一曲线通过点(3,2)，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求曲线的方程.解设曲线的方程为()yy x =.曲线上任一点(,)x y 的切线方程为由假设，切点(,)x y 的切线位于两坐标轴间的线段的两个端点分别是0X=时，2Y y =和0Y =时，2X x =.将这两个端点代入切线方程都得到曲线所满足的微分方程别离变量后积分，得到通解为xyc =将初始条件3|2x y ==代入通解得6c =. 从而所求的曲线方程为6xy =.二、齐次方程 如果一阶微分方程 中的函数(,)f x y 可以写成y x 的函数，即(,)y f x y x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是 dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭(9.10) 这称为齐次方程.齐次方程可以通过引进新的未知函数的方法化成为可别离变量的微分方程.令y u x =，u 是x 的一个新的未知函数.则,dy duy ux x u dx dx==+，原齐次方程变成()duxu u dxϕ+= 别离变量后积分得ln ||()du dxx c u u x ϕ==+-⎰⎰记()u Φ为1()u uϕ-的一个原函数，则得通解为()ln ||u x c Φ=+再以y x 代替u ,就得所给齐次方程的通解ln ||y x c x ⎛⎫Φ=+ ⎪⎝⎭例9.8 求微分方程22()()0xy x dx y xy dy ---=的通解.解原方程变形为 就是一个齐次方程 令y ux =，则,dy du y ux x u dx dx==+ 代入齐次方程得21du u x u dx u u-+=- 别离变量，0,0ux ≠≠时，得211u du dx u x=- 两边积分211u du dx u x=-⎰⎰ 得211ln |1|ln ||ln ||2u x c --=+ 以y x 代替u 就得到原方程的通解11ln |1|ln ||ln ||2yx c x--=+ 记211cc =±得21y c x x-= 从而2x xy c -=.注.此题也可以直接别离变量法求解.0y x -≠时，ydy xdx =-积分得22111222y x c =-+ 即22yx c +=为原方程的通解.这样此题得到两个通解形式2x xy c -=和22y x c +=.说明微分方程的通解并不一定要包含所有解！三、一阶线性微分方程 方程()()dyp x y Q x dx+= (9.11) 叫做一阶线性微分方程，它对于未知函数y 及其导数y '都是一次的.如果()0Q x ≡，则方程(9.11)称为齐次的，否则就称为非齐次的.对于齐次一阶线性微分方程()0dyp x y dx+= (9.12) 通过别离变量积分，可得它的通解()p x dxy Ce -⎰= (9.13)而对于非齐次一阶线性微分方程(9.11)，我们可以利用它相应的齐次一阶线性微分方程(9.12)的通解(9.13)，并使用所谓常数变易法来求非齐次方程(9.11)的通解，这种方法是把齐次方程(9.12)的通解(9.13)中的任意常数C 变易换成x 的未知函数()u x ，即作变换()p x dx y ue -⎰= (9.14)假设(9.14)是非齐次方程(9.11)的解，代入(9.11)中进而求出()u x ，再代入(9.14)就得到非齐次方程(9.11)的解.为此，将(9.14)对x 求导，注意u 是x 的函数，得()()()p x dxp x dx dy du e up x e dx dx--⎰⎰=- (9.15) 将(9.15)和(9.14)代入(9.11)，得 别离变量后积分得()()p x dxu Q x e dx C ⎰=+⎰ (9.16)将(9.16)代入(9.14)就得到(9.11)的通解()()()()p x dx p x dx p x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰(9.17)易见，一阶非齐次线性方程的通解(9.17)是对应的一阶齐次线性方程的通解(9.13)与其本身的一个特解((9.17)中取0C =的解)之和.此后还可看到，这个结论对高阶非齐次线性方程也成立.例9.9 求方程1cos xy y x x'+=的通解.解题设方程是一阶非齐次线性方程，这时1cos (),()xp x Q x x x==. 于是，按公式(9.17)，所求通解为 例9.10 求方程38dyy dx+=的通解. 解这是一个非齐次线性一阶方程.下面不利用公式(9.17)，而采用常数变易法来求解. 先求解相应的齐次方程的通解.由 别离变量后积分得相应齐次方程的通解31xy c e-=，其中1c 为任意常数.利用常数变易法，将1c 变易为()u x ，即设原非齐次方程的通解为3x yue -=求导得333xx dy du e ue dx dx--=-代入原非齐次方程得38xdu e dx-= 别离变量后积分得338()83xxu x e dx e C ==+⎰从而得到原非齐次方程的通解为383x yCe -=+ 习题9－21、求以下微分方程的通解 〔1〕22(1)(1)0x y dx y x dy -+-=〔2〕3x y dydx+= 2、求以下微分方程的通解〔1〕0xy y '--=〔2〕2222()()0y xxy y dx x x xy y dy -++++=3、求以下微分方程的通解 〔1〕x y y e -'+=〔2〕sin xy y x '+=4、求以下微分方程的初值问题： 〔1〕0cos (1)sin 0,|4xx ydx e ydy y π-=++==〔2〕20(1)(1),|1x x x y y x e y ='+-=+=5、*产品生产的总本钱C 由可变本钱与固定本钱两局部组成.可变本钱y 是产量x 的函数，且y 关于x 的变化率等于222xy x y +，当10x =时，1y =；固定本钱为100.求总本钱函数()c c x =.习题9－2答案1、〔1〕22(1)(1)xy C --=；〔2〕33x yC -+=2、〔1〕2y Cx+=；〔2〕arctan y x xy Ce⎛⎫- ⎪⎝⎭=3、〔1〕()xy x C e -=+；〔2〕1(cos )y C x x=-4、〔1〕(1)sec xey +=〔2〕(1)xy x e =+5、99()1001)2C x =+- 第3节可降阶的二阶微分方程本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程的求解. 一、()y f x ''=型这种简形的方程，其解法就是屡次积分. 在()y f x ''=两端积分，得1()y f x dx C '=+⎰再次积分，得1212[()]()yf x dx C dx C f x dxdx C x C =++=++⎰⎰⎰⎰注：对于n 阶微分方程()()n y f x =，显然也可以连续积分n 次，就得到含有n 个任意常数的通解.例9.11 求方程2sin x y ex ''=+的通解. 解连续积分两次，得这就是所求通解.二、(,)y f x y '''=型这种类型的特征是不显含y ，求解方法是：令()y p x '=，则()y p x '''=，则原二阶方程化成了一阶方程利用上一节的方法求出它的通解1(,)p x C ϕ=，再根据1(,)dy y p x C dx ϕ'===也是一阶方程.直接积分得12(,)y x C dx C ϕ=+⎰，就是原二阶微分方程的通解.注：由于一阶微分方程(,)p f x p '=，我们并不都会求解.因此本类型(,)y f x y '''=方程的求解还不能说都可求出.例9.12 求方程1x y y xe x '''=+的通解. 解令p y '=，原方程化成的一阶线性微分方程.从而即1x p y c x xe '==+因此，原方程的通解为三、(,)y f y y '''=型这种类型的特征是不明显地含x .这时我们把x 看成自变量y 的函数，令p y '=，从而p 也是y 的函数.再利用复合函数的求导法则，把对x 的导数y ''化为对y 的导数，即于是，(,)y f y y '''=就变成了 这样就得到一个关于,y p 的一阶微分方程.设1(,)y p y c ϕ'==是它的通解，则别离变量再积分就得到原方程的通解为21(,)dy x c y c ϕ=+⎰.注.一阶微分方程1(,)dp p y c dyϕ=不一定会求解，因此本类型(,)y f y y '''=也不一定能求出解来.例9.13 求方程y yy '''=的通解. 解令p y '=，将x 看作是y 的函数. 这时dpdpdydpy p dx dy dx dy ''==⋅=代入原方程就得到一个一阶方程 别离变量再积分得2112p y c =+ 再解一阶微分方程2112y p y c '==+别离变量再积分得就是原方程的通解.习题9－31、 求以下方程的通解〔1〕cos y x x ''=-〔2〕y x y '''=+〔3〕(1)y y y '''=+2、求以下微分方程初始问题的特解. 〔1〕300,|0,|0x x x y e y y =='''=== 〔2〕111,|0,|2x x y y y y x ==''''=== 〔3〕200()0,|2,|1x x yy y y y y =='''''--===习题9－3答案1、〔1〕3121cos 6y x x c x c =+++〔2〕12xx y c e xe c =-+〔3〕2x c +=2、〔1〕3111939x y e x =--〔2〕21y x =- 〔3〕1x y e =+。
常微分方程差分方程解法归纳
‘P(x)dxC (x) =Q(x)e ，，再对其两边积分得fP(x) dxC(x)二.Q(x)e dx C ，于是将其回代入常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分①可分离变量方程(分离变量法) 如果一阶微分方程 d^ = f (x, y)中的二元函数 f (x, y)可表示为f (x, y)二g(x)h(y) dx 的形式，我们称 3 =g(x)h(y)为可分离变量的方程。
dx 对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为 -dy g(x)dx 的形式，再对此式两边积 h(y)分得到 型 g(x)dx C 从而解出 3二g(x)h(y)的解，其中C 为任意常数。
' h(y) ' dx 具体例子可参考书本 P10 — P11的例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程(常数变易法) 如果一阶微分方程史=f (x, y)中的二元函数f (x, y)可表示为 dx f(x, y) =Q(x) - P(x)y 的形式，我们称由此形成的微分方程 dy P(x)y =Q(x)为一阶线 dx性微分方程，特别地，当 Q(x) =0时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性 非齐次微分方程。
对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程裂P(x)厂0,这是可 —P(x)dx分离变量的方程，两边积分即可得到 y 二Ce • ，其中 C 为任意常数。
这也是一阶线性 非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设 C(x)来替换C ,于是一阶线性 非齐次微分方程存在着形如 y=C(x)e - …P(x)dx …P(x)dx得至U C (x)e —P(x)C(x)e-P(x)dx dy 的解。
将其代入 P(x)y 二Q(x)我们就可 dx…P(x)dxP(x)C(x)e • 二Q(x)这其实也就是 —'P(x)dx y = C(x)e 即得一阶线性微分方程鱼，P(x)y =Q(x)的通解 dx-P(x)dxy =e .Q(x)eP(x)dxdx + CI 。
常微分方程和差分方程
详细描述
差分方法将微分方程转化为离散化的差分方 程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近 微分方程的解。该方法适用于大规模问题，
且具有较高的计Leabharlann 效率和精度。05 常微分方程与差分方程的 并行计算
并行计算的基本概念
并行计算
指在同一时间段内处理多个任务或计算多个 数据的方法，以提高计算效率和速度。
并行计算模型
总结词
龙格-库塔方法是一种迭代方法，通过构造一系列近似解来逼近微分方程的精确解。
详细描述
龙格-库塔方法采用了一种更加稳定和精确的方法来逼近微分方程的解，它通过在每个时间步长内应用 一系列线性插值来改进近似解。该方法对于刚性和非刚性微分方程都适用，且具有较高的精度和稳定 性。
差分方法
总结词
差分方法是基于离散化时间或空间的数值方 法，通过将微分方程转化为差分方程来求解 。
常见的并行计算模型包括分布式计算、多线程计算 、GPU加速计算等。
并行计算的优势
通过并行计算，可以显著提高大规模计算任 务的执行效率和速度，减少计算时间。
并行计算在常微分方程中的应用
并行求解常微分方程
01
利用并行计算技术，可以将常微分方程的求解过程分解为多个
子任务，并同时处理这些子任务，从而加快求解速度。
初值问题与解的存在唯一性
初值问题
给定函数在某点的初始值，求解该函数在初始点附近的性质。
解的存在唯一性
对于适当的初值问题，存在唯一的解满足给定的条件。
一阶常微分方程
定义
只含有一个导数的一阶常微分方程。
求解方法
通过积分、代入法、分离变量法等求解。
高阶常微分方程
定义
包含未知函数的高阶导数的常微分方 程。
2023年常微分方程与差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳1.一阶微分方程部分①可分离变量方程（分离变量法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称为可分离变量旳方程。
)()(),(y h x g y x f =)()(y h x g dx dy =对于此类方程旳求解我们首先将其分离变量为旳形dx x g y h dy )()(=式，再对此式两边积分得到从而解出C dx x g y h dy +=⎰⎰)()()()(y h x g dx dy =旳解，其中C 为任意常数。
详细例子可参照书本P10—P11旳例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称由此形成旳微分方程y x P x Q y x f )()(),(-=为一阶线性微分方程，尤其地，当时我们称其)()(x Q y x P dxdy =+0)(≡x Q 为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。
对于此类方程旳解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程，这是可分离变量旳方程，两边积分即可得到0)(=+y x P dxdy ，其中C 为任意常数。
这也是一阶线性非齐次微分方程旳⎰=-dx x P Ce y )(特殊状况，两者旳解存在着对应关系，设来替代C ，于是一阶线)(x C 性非齐次微分方程存在着形如旳解。
将其代入⎰=-dx x P e x C y )()(我们就可得到)()(x Q y x P dx dy =+这其实也就是)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---，再对其两边积分得，于是将其⎰='dx x P e x Q x C )()()(C dx e x Q x C dx x P +⎰=⎰)()()(回代入即得一阶线性微分方程旳通解⎰=-dx x P e x C y )()()()(x Q y x P dx dy =+。
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常微分方程和差分方程第十章常微分方程和差分方程在实际问题中，我们研究的对象――变量往往是以函数关系的形式建立了变量间的客观联系，但却很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，反而更容易建立这些变量、它们的导数或微分之间的关系，即得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，我们称此方程为微分方程.通过求解这样的微分方程，我们同样可以建立所研究的变量之间的函数关系，这样的过程称为解微分方程.现实世界中的许许多多问题都可以在一定的条件下抽象为微分方程，例如人口的增长问题、经济的增长问题等等都可归结为微分方程的问题；这时的微分方程习惯上称为所研究问题的数学模型，如人口模型、经济增长模型等.因此微分方程是数学联系实际并应用于实际的重要途径和桥梁，是数学及其他学科进行科学研究的强有力的研究工具. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系.我们在这一章主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的一阶、二阶微分方程的求解方法，线性微分方程的解的理论及求解方法.但是在经济管理和许多的实际问题中已知的数据大多数是按等时间间隔周期统计的，因而相关变量的取值是离散变化的.如何仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢56仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56寻求它们之间的关系及变化规律呢？差分方程是研究这样的离散型数学问题的有力工具，本章在最后介绍差分方程的一些基本概念及常用的求解方法.§10.1 微分方程的基本概念先看一个例子.例1设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为)(t x ，由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品，因而t 时刻产品的销售的增长率dtdx 与)(t x 成正比；同时考虑到市场的容量是有限的，假设市场的容量为N ，统计数据表明dt dx 与尚未购买产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比；则可建立如下的微分方程：)(x N kx dtdx -=， 其中k 为比例系数.可以求出该微分方程的解为kNt CeN t x -+=1)(，其中C 为积分常数.10.1.1 微分方程的概念含有自变量、自变量的未知函数及未知函数的（若干阶）导数或微分的方程称为微分方程.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56如果未知函数是一元的，通常称此方程为常微分方程；如果未知函数是多元的，通常称此方程为偏微分方程.本书中只讨论常微分方程.10.1.2 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶的阶数称为微分方程的阶.例如：104+='x y ，654-=+x ydx xdy 是一阶的微分方程；6)(55+'+='''y x y 是三阶微分方程.微分方程中未知函数的导数或微分的最高阶数是一阶，称此方程为一阶微分方程，记为0),,(='y y x F 或),(y x f y ='；微分方程中未知函数的导数或微分是二阶及以上，称此方程为高阶微分方程.因此一般的n 阶微分方程可表示为0),,,,()(='n y y y x F 或),,,,()1()(-'=n n y y y x f y .10.1.3 微分方程的解若把函数)(x y ϕ=代入微分方程使微分方程恒成立，则称)(x y ϕ=是该微分方程的一个解.例如：x x y 1022+=，51022++=x x y ，C x x y ++=1022（C 是任意常数）都是微分方程104+='x y 的解.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5610.1.4 微分方程的通解、特解把含有与微分方程的阶数相同个数的独立的任意常数(即：它们不能合并而使得任意常数的个数减少)的解称为该微分方程的通解；不含任意常数的微分方程的解称为该微分方程的特解.例如： C x x y ++=1022（C 是任意常数）是微分方程104+='x y 的通解，x C x C y cos sin 21+=是微分方程0=+''y y 的通解；而x x y 1022+=，51022++=x x y ，是微分方程104+='x y 的特解，x x y cos 5sin 3+=是微分方程0=+''y y 的特解.10.1.5 微分方程的通解与特解的关系微分方程的通解通过一定的条件确定其中的每一个任意常数的数值，这时的微分方程的解即为特解；确定每一个任意常数的值的条件称为微分方程的初始条件；微分方程与初始条件合称微分方程的初始问题.例如x C x C y cos sin 21+=是微分方程0=+''y y 的通解；加上条件10-==x y ，10='=x y 可确定11=C ，12-=C 从而得到x x y cos sin -=是微分方程0=+''y y 的特解；其中条件仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5610-==x y ，10='=x y 是微分方程0=+''y y 的初始条件；把 ⎩⎨⎧='-==+''==1,1000x x y y y y 称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线,称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线,特解是这一族积分曲线中的某一条积分曲线.初值问题的几何意义就是求微分方程满足初始条件的拿条积分曲线.例2 验证 x e x c x c y 21cos sin 21++= (1) 是微分方程x e y y =+'' (2)的解.解 因为x e x c x c y 21sin cos 21+-=', x e x c x c y 21sin sin 21+--='', 故而x x x e e x c x c e x c x c y y =++++--=+''21cos sin 21sin sin 2121成立.函数(1)及其导数代入微分方程(2)后成为一个恒等式，因此函数(1)是微分方程(2)解.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56例3 已知函数(1)是微分方程(2)通解，求满足初始条件00==x y ，00='=x y 的特解.解 将00==x y ，00='=x y 代入例1的y y ''',的表达式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+-0210cos 0sin 0210sin 0cos 021021e c c e c c ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+02102121c c ， 解得211-=c ，212=c ；故所求特解为x e x x y 21cos 21sin 21++-=.§10.2 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为0),,(='y y x F (1)如果从(1)中能解出y '，则一阶微分方程可表示为),(y x f y =' (2)一阶微分方程有时也可以写成如下的形式0),(),(=+dy y x Q dx y x P (3)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56 如果一阶微分方程为)(x f dxdy =或dx x f dy )(=；则只需等式两边积分即得 ⎰+=C dx x f y )( 但并非一阶微分方程都可以如此求解的，比如y x dxdy 3=，就不能像上面所述的求法，原因是方程右端含有未知函数，积分dx y x ⎰3求不出来.为了解决这个困难，在方程的两端同乘以ydx ，使方程变为dx x ydy 3= .这样，变量y 与x 被分离在等式的两端，然后两端积分得C x y C dx x y dy +=⇒+=⎰⎰4341ln 如此得到的函数是原来的微分方程的解吗?(读者自己验证). 本节中将介绍几种特殊类型的一阶微分方程及其解法.一、可变量分离的微分方程与分离变量法形如)()(y g x f dxdy = (4) 的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程.求解方法：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56首先分离变量，即把dx x f ),(与dy y g ),(分别移到方程的两端：dx x f y g dy )()(= 再两端分别求积分即可求得微分方程的通解C dx x f y g dy +=⎰⎰)()(，其中C 是任意常数.注意：(1)在移项时0)(≠y g 才可以；如0)(=y g 则不妨设0y y =是0)(=y g 的零点，即0)(0=y g ，代入原方程可知常数函数0y y =显然是方程(4)的一个特解.(2)在上述的通解表示式中，⎰)(y g dy 与⎰dx x f )(表示的是一个原函数，而不是不定积分；两个不定积分中出现的任意常数归并在一起记为C.例1 求微分方程)1(322y x dxdy +=的通解. 解 分离变量可得dx x ydy 2231=+ 两端分别求积分得到通解C dx x y dy +=+⎰⎰2231即C x y +=3arctan仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56 其中C 是任意常数.通解也可写为)tan(3C x y +=，其中C 是任意常数.例2 求微分方程dx xy ydy x ydy xdx 22334+=-的通解. 解 合并同类项得dy x y dx y x )1(3)4(22+=-(1)如果042≠-y ，分离变量得dy yy dx x x 22431-=+ 积分得1224ln 23)1ln(21C y x ++-=+ 其中1C 是任意常数.去对数得方程得通解为322)4(1y C x +=+其中C 是一个正的任意常数(12C e C =).例3 设一曲线经过点)3,2(，它在两坐标轴间的任一切线段被切点所平分，求这一曲线的方程.解 设所求的曲线方程为)(x y y =，则曲线上任一点),(y x 处的切线方程为y xX y Y '=--由已知，当0=Y 时，x X 2=，代入上式即得到所求曲线应满足的微分方程及初始条件⎪⎩⎪⎨⎧=-==32x y x y dxdy 此方程为可分离变量的微分方程，易求得通解为C xy =又因32==x y ，则6=C ，故所求的曲线为6=xy .二、齐次方程如果一阶微分方程),(y x f dxdy= 中的函数),(y x f 可以变为xy 的函数，即微分方程为)(x y g dx dy =的形式，习惯上称这样的微分方程为齐次方程.例如方程0)2()(222=---dy xy x dx y xy就是齐次方程，因为我们可以把此方程化为)(21)(2222xy x yxy xy x y xy dx dy --=--=. 要求出齐次方程的通解，我们可以用变量代换的方法. 设齐次方程为)(xyg dx dy = (5) 假设x yu =，则可以把齐次方程(5)化为可分离变量的微分方程.因为x y u =，则ux y =，dxdy x u dx dy +=代入方程(5)可把原方程变为)(u g dx du x u =+即u u g dxdux-=)( 分离变量得xdxu u g du =-)(等式两端积分得C x dxu u g du +=-⎰⎰)(.记)(u G 为u u g -)(1得一个原函数，再把xyu =代入，则可得方程(5)的通解为C x u G +=ln )(，C 为任意常数.例4 解方程dxdyxy dx dy x y =+22. 解 原方程可变为1)(222-=-=xy x yx xy y dx dy显然是齐次方程.故令xyu =，则 ux y =，dxdy x u dx dy += 于是原方程变为12-=+u u dx du x u即1-=u udx du x再分离变量，得xdxdu u =-)11( 两端积分，得x C u u ln ln =+-即C u ux +=ln ，以xy代换上式中的u 便得到原方程的通解为 C xyy +=ln注记:齐次方程的求解实质是通过变量替换，将方程转化为可分离变量的方程.变量替换法在解微分方程中，有着特殊的作用.但困难之处是如何选择适宜的变量替换.一般来说，变量替换的选择并无一定之规，往往要根据所考虑的微分方程的特点而构造.对于初学者，不妨多试一试，尝试几个直接了当的变量替换.例5 求微分方程222y xy x dxdy++=的通解. 解 令y x u +=,则x u y -=，1-=dxdu dx dy 原方程化为21u dxdu=- 即dx u du=+12 两端积分，得c x u +=arctan把u 用y x +换回，得原方程的通解为)tan(c x y x +=+三、一阶线性微分方程方程)()(x Q y x P dxdy=+ (6) 称为一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y 及其导数是一次方程.如果方程(6)中的0)(≡x Q ，则把此时的方程(6)称为齐次的；如果)(x Q 不恒等于零，则把方程(6)称为非齐次的.设方程(6)是非齐次的微分方程，为求出其通解，首先我们讨论(6)式所对应的齐次方程0)(=+y x P dxdy(7) 的通解问题.显然这是一个可分离变量的方程，分离变量得dx x P ydy)(-= 两端积分，得1C )(ln +-=⎰dx x P y或⎰-⋅=dx x P e y )(C ，(其中1C e C ±=)这是方程(6)对应的齐次线性微分方程(7)的通解.现在我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程(6)的通解.此方法是将方程(7)的通解中的常数c 换成x 的未知函数)(x u ，即作变换⎰-⋅=dx x P e u y )( （8）假设(8)式是非齐次线性方程(6)的解.则如果能求得)(x u 是什么问题也就解决了. 为此两边求导得⎰-⎰--'=dx x P dx x P e x uP e u dxdy)()()( (9) 将(8)式和(9)式代入方程(6)，得)()()()()()(x Q ue x P e x uP e u dx x P dx x P dx x P =+-'⎰-⎰-⎰-即)()(x Q e u dx x P ='⎰-⎰='dx x P e x Q u )()(C dx e x Q u dx x P +=⎰⎰)()(将上式代入(8)式得到非齐次线性微分方程(6)的通解为))(()()(C dx e x Q e y dx x P dxx P +⎰=⎰⎰-(10)注意：公式(10)中的不定积分⎰dx x P )(和dx e x Q dx x P ⎰⎰)()(分别理解为一个原函数.将(10)式写成如下两项之和dx e x Q e e c y dxx P dxx P dx x P ⎰⎰--⎰+⎰=)()()()( 不难发现：第一项是对应的齐次线性方程(7)的通解；第二项是对应的非齐次线性方程(6)的一个特解(在(6)的通解(10)中取0C =即得此特解).由此得到一阶线性非齐次微分方程的通解之结构为对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和.例6 求方程23)1(12+=+-x x y dx dy 的通解.解 这是一个非齐次线性微分方程，由公式（10）得))1(()12(23)12(C dx ex ey dxx dx x +⎰+⎰=⎰+-+--))1((22)1(ln 23)1(ln C dx ex ex x +⋅+=+-+⎰))1(()1(212C dx x x +++=⎰-))1(2()1(212C x x +++= 225)1()1(2+++=x C x由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次微分方程，求解它只需套用公式（10）即可，当然也可以用常数变易法进行求解.例7 求微分方程0)(3=-+dy y x ydx的通解（设0>y ）.解 如将上述方程变形为03=--xy y dx dy 则显然不是线性微分方程.如果将方程改写为03=--yx y dy dx 即21y x ydy dx =+ 这是一个把x 当因变量而y 当自变量的形如)()(y Q x y P dydx=+ (11) 的一阶线性微分方程；用公式可直接得到通解为))(()()(C dy e y Q e x dy y P dyy P +⎰=⎰⎰-(12)故本问题的通解为)(121C dy ey ex dy ydyy +⎰=⎰⎰-积分得)41(14C y y x +=. 四、伯努利方程形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ (13) 的微分方程称为伯努利方程，其中n 为常数，且1,0≠n .伯努利方程是一类非线性微分方程，但通过适当的变换就可以把它转化为线性的微分方程.在(13)式的两端除以n y ，可得)()(1x Q y x P dx dy y n n=+--或)()()(1111x Q y x P y nn n =+'--- 于是令n y z -=1，就得到关于变量z 的一阶线性微分方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+ 利用线性微分方程的求解公式，再把变量z 换回原变量可得伯努利方程（13）的通解为))()1(()()1()()1(1C dx e x Q n e y dx x P n dxx P n n +-⎰=⎰⎰----.例8 求方程2)ln (y x a xydx dy =+的通解 解 方程两端除以2y ，令1-=y z ，则原方程可变为x a xzdx dz ln -=- 再由线性微分方程的求解公式可得))(ln 2(2x aC x z -=再把变量z 换回原变量，可得原方程的通解为1))(ln 2(2=-x aC yx四、一阶微分方程在经济上的应用的实例例9 （新产品推广模型）设某产品的销售量)(t x 是时间t 的可导函数，如果该产品的销售量对时间的增长速率dtdx与销售量)(t x 及销售量接近于饱和水平的程度)(t x N -之积成正比(N 为饱和水平，比例常数为0>k )，且当0=t 时N x 41=.求： (1) 销售量)(t x ，(2) 销售量)(t x 的增长最快的时刻T . 解 1.由题意可建立如下的微分方程：)(x N kx dtdx-=，(0>k ) 此方程为可分离变量的微分方程，分离变量得kdt x N x dx=-)(两端积分，得Nkt Ce xN x=- 从中解出)(t x ，得1)(+=Nkt NktCe NCe t x由N x 41)0(=得31=C ，故可得 Nkte Nt x -+=31)(2.对求一阶、二阶导数得22)31(3Nkt Nkte ke N dt dx --+= 32322)31()31(3Nkt Nkt Nkt e e e k N dt x d ---+--= 令022=dt x d ，得NkT 3ln =. 当T t <时022>dt x d ；当T t >时022<dt x d .故而当NkT 3ln =时)(t x 增长的速度是最快的.注：习惯上把)(x N kx dtdx -=，(0>k ) 称为Logistic 方程，该方程的解曲线Nkte N t x -=B 1)(＋称为Logistic 曲线.在经济学、生物学等中常遇到这样的变化规律.例10 （人才分配模型）每年的大学毕业生（含硕士、博士研究生）中都要有一定比例的人员充实教师队伍，其余的从事科技管理方面的工作.设t 年时教师人数为)(1t x ，科技管理人员人数为)(2t x ，又设一个教师每年平均培养α个毕业生，又每年退休、死亡或调出人员的比例为)10(<<δδ，每年毕业生中从事教师职业的比率为)10(<<ββ，则根据已知可建立如下的微分方程111x x dtdx δαβ-= (14) 212)1(x x dtdx δβα--= (15)方程(14)是可分离变量的微分方程，易解得其通解为t e C x )(11δαβ-=设m x =)0(1，则m C =1；得(13)的特解为t me x )(1δαβ-=将上式代入(15)式得t me x dtdx )(22)1(δαββαδ--=＋ 这是一个一阶线性微分方程，可求得其通解为t t me e C x )(221δαβδββ---+= 设n x =)0(2，则m n C ββ--=12；故得(14)的特解为 t t me e m n x )(21)1(δαβδββββ---+--=.若取1＝β，即毕业生全部充实教师队伍，则当+∞→t 时，+∞→)(1t x 而0)(2→t x ，此时表明教师队伍将迅速增加，但科技管理队伍将不断萎缩，必然会影响经济的发展.若取0→β，即毕业生很少充实教师队伍，则当+∞→t 时，0)(1→t x 且0)(2→t x ，此表明若不保证适当的比例的毕业生充实教师队伍，必将影响人才的培养，最终会导致两支队伍全面的萎缩.因此选择好比例β十分重要.§10.3 可降阶的二阶微分方程对于二阶微分方程),,(y y x f y '=''在某些情况下可通过适当的变量代换，把二阶的微分方程转化为一阶的微分方程，习惯上把具有这样性质的微分方程称为可降阶的微分方程.其相对应的求解方法自然地称为降阶法.下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程.一、)(x f y =''型的微分方程微分方程)(x f y ='' (1)的右端仅含有自变量x ，求解时只需把方程(1)理解为)(x f y =''）（，对此式两端积分，得 1)(C dx x f y +='⎰同理，对上式两端再积分，得21))((C x C dx dx x f y ++=⎰⎰此方法显然可推广到n 阶.例1 求微分方程4sin +=''x x y的通解.解 对给定的方程两端连续积分两次，得14sin cos C x x x x y +++-='2122cos sin )1(C x C x x x x y +++-+-=例2 求微分方程x e y x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解.解 对给定的两端积分两次，得12sin 21C x e y x +-='由初始条件1)0(='y ，得211-=C .2221cos 41C x x e y x +-+=由初始条件0)0(=y ，得452-=C .故原方程满足初始条件的特解为4521cos 412--+=x x e y x二、),(y x f y '=''型的微分方程方程),(y x f y '='' (2)的典型特点是不显含未知函数y ，求解方法：作变量代换)(x P y ='，则)(x p y '=''，原方程可化为以)(x P 为未知函数的一阶微分方程),(p x f p ='设此方程的通解为),()(1C x x p ϕ=，得),(1C x y ϕ='再方程两端积分，得⎰+=21),(C dx C x y ϕ.例3 求微分方程02)1(2='-''+y x y x的通解.解 显然该方程不显含有未知函数y ，故令)(x P y ='，则)(x p y '=''，于是原方程化为02)1(2=-+xp dxdp x 即 212xxdx p dp += 两端积分，得12ln )1ln(ln C x p ++=即)1(21x C p +=或)1(21x C y +='两端积分，得原方程的通解为231)3(C x x C y ++=. 例4 求微分方程x xe y xy +'=''1 满足e y y ='=)1(,2)1(的特解.解 显然该方程为),(y x f y '=''型，故令)(x P y ='，则)(x p y '=''，于是原方程化为x xe p xp =-'1 这是一阶线性微分方程，易解得)(1C e x p x +=或)(1C e x y x +='因e y =')1(，得=1C 0，即x xe y ='两端积分，得2)1(C e x y x +-=又因2)1(=y ，可得原方程满足初始条件的特解为2)1(+-=x e x y三、),(y y f y '=''型的微分方程该方程),(y y f y '='' (3)类型的特点在于不显含自变量x ,求解方法：令p y ='，利用复合函数求导法则把y ''转化为因变量y 的函数，即dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 故方程(3)变为),(p y f dy dp p = 此方程为关于p y ,的一阶微分方程.如能求出它的通解不妨设为),(1C y p ϕ=或),(1C y dxdy ϕ= 此方程是一个可分离变量的微分方程，易得原方程的通解为21),(C x C y dy +=⎰ϕ.例5 求微分方程2)(y y y '=''的通解.解 显然该方程为),(y y f y '=''型，故令)(x P y ='，则dydp p y =''，代入原方程得 2p dydp yp =即0)(=-p dydp y p (1) 如果0≠p 且0≠y ，则方程两端约去p 及同除y ，得ydy p dp = 两端积分，得1ln ln ln C y p +=即y C p 1=或y C y 1='再分离变量并积分，可得原方程的通解为x C e C y 12=.(2) 如果0=p 或0=y ，即C y =(C 为任意实数)是原方程的解(又称平凡解)，其实已包括在(1)的通解中(只需取01=C ).§10.4 二阶线性微分方程解的结构在应用问题中较多遇到的一类高阶微分方程是二阶线性微分方程，它的一般形式为)()()(x f y x Q y x P y =+'+'' (1)其中)(),(),(x f x Q x P 为已知的x 的函数.当方程右端函数0)(=x f 时，方程(1)称为二阶齐次线性微分方程，即0)()(=+'+''y x Q y x P y (2)当方程右端函数0)(≠x f 时，方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程.本节中主要讨论二阶线性微分方程解的一些性质，这些性质还可以推广到n 阶线性微分方程)()()()(1)1(1)(x f y x P y x P yx P y n n n n =+'+++-- . 定理1 如果)(),(21x y x y 是方程(2)的两个解，则)()(2211x y C x y C y += (3)也是方程(2)的解，其中21,C C 为任意实数.(读者自证)此性质表明齐次线性微分方程的解满足叠加原理，即两个解按(3)式的形式叠加起来仍然是该方程的解；从定理1的结果看，该解包含了两个任意常数1C 和2C ，但是该解不一定是方程(2)的通解.例如二阶线性微分方程0=+''y y ，不难验证x y x y sin 5,sin 21==都是方程0=+''y y 的解，但其)()(2211x y C x y C y +=形式的解x C C y sin )5(21+=，这显然不是方程0=+''y y 的通解(由通解的定义即可知道). 那么满足何条件下的(3)式形式的解才是方程(2)的通解呢？事实上，x y sin 1=是二阶线性微分方程0=+''y y 的解，可以验证x y cos 2=也是方程0=+''y y 的解，那么两个解的叠加x C x C y cos sin 21+=是方程0=+''y y 的通解. 比较一下，容易发现前一组解的比51sin 5sin 21==x x y y ，是常数，而后一组解的比x xx y y tan cos sin 21==，不是常数. 因而在)(),(21x y x y 是方程(2)的两个非零解的前提下，如果21y y 为常数，则)()(2211x y C x y C y +=不是方程(2)的通解(事实上21,y y 是相关联的)；如果21y y 不为常数，则)()(2211x y C x y C y +=是方程(2)的通解(事实上21,y y 是不相关联的).为了解决这个问题，我们引入一个新的概念，即函数的线性相关与线性无关的概念:设)(),(21x y x y 是定义在区间I 内的两个函数，如果存在两个不全为零的常数21,k k ，使得在区间I 内恒有0)()(2211=+x y k x y k成立，则称此两个函数)(),(21x y x y 在区间I 内线性相关，否则称线性无关.显然如果21y y 是常数，则21,y y 线性相关；21y y 不是常数，则21,y y 线性无关.据此我们有以下齐次线性微分方程的解的结构定理：定理2 如果)(),(21x y x y 是方程(2)的两个线性无关的特解，则)()(2211x y C x y C y +=就是方程(2)的通解，其中21,C C 为任意实数.下面我们来讨论二阶非齐次微分方程的解的结构.在一阶线性微分方程的讨论中，我们已知道一阶线性非齐次微分方程的通解之结构为对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和，那么二阶及以上的线性微分方程是否也有这样解的结构呢？回答是肯定的.定理3 如果)(*x y 是方程(1)的一个特解，且)(x Y 是其相应的齐次方程(2)的通解，则)()(*x Y x y y += （4）是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.证 将(4)式代入方程(1)的左端，得))(())(()(***Y y x Q Y y x P Y y ++'++''+[][]Y x Q Y x P Y y x Q y x P y )()()())(()(***+'+''++'+''= 因为)(*x y 是方程(1)的解， )(x Y 是方程(2)的解，可知上式中的第一个中括号内的表达式恒为)(x f ，第二个中括号内的表达式恒为零,即方程(1)的左端等于)(x f ，与右端恒相等.故(4)式是方程(1)的解.又因为)(x Y 是其相应的齐次方程(2)的通解，由定理2知其包含两个任意常数，因而)()(*x Y x y y +=也包含两个任意常数，从而得知)()(*x Y x y y +=是方程(1)的通解例如，方程x e y y 2=+''是二阶非齐次线性微分方程，其相应的齐次方程0=+''y y 的通解为x C x C Y cos sin 21+=，又容易验证x e y =*是方程x e y y 2=+''的一个特解，因此x e x C x C y ++=cos sin 21是方程x e y y 2=+''的通解.在求解非齐次线性微分方程时，有时会用到下面两个定理.定理4 如果)(),(*2*1x y x y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+'')()()(2x f y x Q y x P y =+'+'' 的特解，则)()(*2*1x y x y +是方程)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''的特解.这一定理的证明较简单，只需将**+=21y y y 代入方程)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' 便可验证。