2010高三数学高考第一轮复习向量复习教案：空间向量的坐标运算

空间向量与立体几何 第二课时 空间向量的坐标运算

一、复习目标：1、理解空间向量坐标的概念；2、掌握空间向量的坐标运算； 3．掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．

二、重难点：掌握空间向量的坐标运算；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式． 三：教学方法：探析类比归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、基础知识过关（学生完成下列填空题）

1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x

轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系 ,,i j k 都叫坐标向量．

),,(321a a a ),,(321b b b (1) a ±b ＝ 。 (2) λa ＝ ．(3) a ·b ＝ ．

(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ．

（5）模长公式：若123(,,)a a a a =， 则21||a a a a =⋅=+ 21312||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+2||(AB AB x ==),,(),,,(222111z y x B z y x A ==

则AB ＝ ，= ．

AB 的中点M 的坐标为 ．

4、直线的方向向量的定义为 。如何求直线的方向向量？

5、平面的法向量的定义为 。如何求平面的法向量？

（二）典型题型探析

题型1：空间向量的坐标

例1、（1）已知两个非零向量=（a 1，a 2，a 3），=（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）

A. ：||=：||

B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3

C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0

D.存在非零实数k ，使=k

（2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（ ）

A. －3或1

B.3或－1

C. －3

D.1

（3）下列各组向量共面的是（ ）

A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)

B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)

C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)

D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1)

解析：（1）D ；点拨：由共线向量定线易知；

（2）A 点拨：由题知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++024*******x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x ；

（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。

点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。

例2、已知空间三点A （－2，0，2），B （－1，1，2），C （－3，0，4）。设a =，b =，

（1）求a 和b 的夹角θ；（2）若向量k a +b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值.

思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.

解：∵A(－2，0，2)，B （－1，1，2），C(－3，0，4)，a =，b =， ∴a =(1，1，0)，b =（－1，0，2）.

(1)cos θ||||b a 52001⨯++-=－1010，∴和的夹角为－1010。 (2)∵k a +b =k （1，1，0）+（－1，0，2）＝（k －1，k ，2）， k a －2b =（k+2，k ，－4），且(k a +b )⊥（k a －2b ），

∴（k －1，k ，2）·（k+2，k ，－4）=(k －1)(k+2)+k 2－8=2k 2+k －10=0。

则k=－25

或k=2。

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（+）(k －2)=k 22

－k ·－22=2k 2+k －10=0，解得k=－25

，或k=2。

题型2：数量积

例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －）·=_____.

（2）设空间两个不同的单位向量=(x 1，y 1，0)，=(x 2，y 2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于4π

。(1)求x 1+y 1和x 1y 1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π)。

解析：（1）答案：13；解析：∵（2－）·=22－·=2||2

－||·||·cos120°=2·4－2·5（－2

1）=13。（2）解：(1)∵||=||=1，∴x 21+y 21=1，∴x 22=y 22=1. 又∵与的夹角为4π，∴·=||||cos 4π=22

2

22111++=26. 又∵·=x 1+y 1，∴x 1+y 1=26

。 另外x 21+y 21=(x 1+y 1)2-2x 1y 1=1，∴2x 1y 1=(26)2－1=21.∴x 1y 1=41。 (2)cos<，||||b a 1x 2+y 1y 2，由(1)知，x 1+y 1=26，x 1y 1=41.

∴x 1，y 1是方程x 2－26x+41=0的解. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,426,42611y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.426,42611y x 同理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,426,42622y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.426,42622y x ∵≠，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+==,426,4261221y x y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-==.426,4261221y x y x

∴cos=426+·426-+426+·426-=41+41=21

. ∵0≤<，>≤π，∴<，>=3π

。评述：本题考查向量数量积的运算法则。

题型3：空间向量的应用

例4、（1）已知a 、b 、c 为正数，且a+b+c=1，求证：113+a +113+b +113+c ≤43。

（2）已知F 1=i +2j +3k ，F 2=-2i +3j -k ，F 3=3i -4j +5k ，若F 1，F 2，F 3共同作用于同一物体上，使物体从点M 1（1，-2，1）移到点M 2(3，1，2)，求物体合力做的功。

解析：（1）设m =(113+a ，113+b ，113+c )，n =(1，1，1)，

则||=4，||=3. ∵·≤||·||， ∴m ·n =113+a +113+b +113+c ≤|m |·|n |=43. 当1131+a =1131+b =1131+c 时，即a=b=c=31

时，取“=”号。

（2）解：W =F ·s =(F 1+F 2+F 3)·21M M =14。 点评：若=(x ，y ，z)，=(a ，b ，c)，则由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2

).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查||·||≥·的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对