灵敏度分析参考资料

灵敏度分析参考资料
1．实际的电阻元件
实际生产的电阻元件的参数值是离散的，即阻值存在一定的误差。

一般电阻的允许误差有±1％、±2％、±5％、±10％、±20％等。

一批电阻中的某个电阻，阻值是在标称值附近变化，变化值在误差范围内。

如某个电阻的标称值为1k Ω，允许误差为±5％，则该电阻的值在950Ω~1050Ω范围内均为合格。

误差较小（比如说1％）的电阻比误差较大（比如说10％）的电阻价格要贵得多。

因此，在一个包含许多电阻的电路中，电阻的数值对期望的电路性能有很大影响，理解这一点是重要的。

换句话说，要事先了解每个电阻阻值的变化对电路输出的影响。

如果为了使电路按设计的指标正常工作，电阻元件的选择应尽可能接近它的标称值，这就需要选取精度较高的电阻元件，代价是要付出高成本。

为此，需综合考虑电路设计要求和成本。

常见的电阻器按材料分有碳质电阻器、膜式电阻器和绕线电阻器等。

图1所示为常用的电阻的例子。

其中碳膜电阻和金属膜电阻的阻值与误差用色环表示，色环的意义可参照有关手册。

(a) 碳膜电阻 (b) 金属膜电阻 (c) 线绕电阻
图1 碳膜电阻和金属膜电阻
2．灵敏度分析
研究电路元件的数值对电路输出的影响的分析称作灵敏度分析。

灵敏度有两种结果，第一种称作单位灵敏度，即电路元件的参数变化值为1个单位，如电阻变化1Ω，电压源电压变化1V ，电流源电流变化1A 时，电路输出的变化量。

第二种灵敏度称作1%灵敏度（也称作标准灵敏度），即电路元件的参数值变化1%时，电路输出的变化量。

在设计一个电系统时，设计者必须考虑元件参数变化对系统性能的影响。

一种评价这些影响的方法就是性能灵敏度分析。

灵敏度分析允许设计者计算元件数值变化时对系统输出的影响。

下面以图2所示的直流电阻电路为例说明直流灵敏度分析。

首先研究相对电阻1R 的值变化时，节点电压n1U 和n2U 的灵敏度。

利用节点分析法可以得到以n1U 和n2U 为变量的方程，将其作为电路中电阻和电流源电流的函数，求解的结果如式(1)和式(2)所示。

S2 图2 说明灵敏度分析的电路
134S223434S1n1123434
{[()]}()()R R R I R R R R R I U R R R R R R −++=+++ （1） 341
2S21S1n2123434
[()]()()R R R R I R I U R R R R R R +−=+++ （2） n1U 相对于1R 的灵敏度通过式(1)对1R 求导获得，n2U 相对于1R 的灵敏度通过式(2)对1R 求导获得，结果如下两式所示。

3423434S234234S1n121123434[()]{[()]}[()()]
R R R R R R R I R R R R R I U R R R R R R R ++−++∂=∂+++ （3） 3434S223434S1n221123434{[()]}[()()]
R R R R I R R R R R I U R R R R R R R −++∂=∂+++ （4） 若已知图2所示电路中各元件的标称值为：125ΩR =，25ΩR =，350ΩR =，475ΩR =，S112A I =，S216A I =。

根据式(1)和式(2)求n1U 和n2U 的标称值，得
n125{507516[5(5075)5075]12}25V (525)(5075)5075
U ××−++××==+++× （5） n25075[(525)16512]90V (525)(5075)5075
U ×+×−×==+++× （6） 如果1R 与标称值相差10％，用灵敏度预测n1U 和n2U 的值。

根据式(3)和式(4)，可以求得1R 变化时，n1U 和n2U 的灵敏度，有
n12
1[50755(5075)]{507516[50755(5075)]12}7 V/Ω12[(255)(5075)5075]U R ∂×+×+××−×+×+×==∂+++× （7） n2215075{507516[5(5075)5075]12}0.5 V/Ω[(255)(5075)5075]
U R ∂××××−×++××==∂+++× （8） 如何使用式(7)和式(8)给出得结果？假设1R 比它的标称值少10％，即122.5ΩR =，那么1Δ 2.5ΩR =−，式(7)预测的n1ΔU 为
n17Δ( 2.5) 1.4583V 12
U =
×−=− 所以，如果1R 比它的标称值少10％，分析预测n1U 的值为 n125 1.458323.5417 V U =−= （9）
类似地，对式(8)有
n2Δ0.5( 2.5) 1.25 V U =×−=−
n290 1.2588.75 V U =−= （10）
通过将122.5ΩR =分别代入式(1)和式(2)，来确认式(9)和式(10)的结果。

结果是
n123.4780 V U = （11）
n288.6960 V U = （12）
对于n1U 和n2U ，
为什么用灵敏度分析预测的值与将1R 代入方程式计算得到的准确值之间有差别？根据式(3)和式(4)，n1U 和n2U 相对于1R 的灵敏度是1R 的函数，
因为1R 在式(3)和式(4)的分母中出现，这意味着当1R 变化时，灵敏度也随之变化。

因此，不能指望在1R 发生较大变化时，式(3)和式(4)能给出准确的结果。

但由上述结果可以看出，当1R 变化10％时，n1U 和n2U 的预测值和准确值之间的误差百分数都比较小。

n1U 的误差百分数为0.2713%，n2U 的误差百
分数为0.0676%，在工程上还是可以接受的。

对于电路中的其它的元件，即2R 、3R 、4R 、S1I 和S2I ，可按上述方法，逐一计算n1U 和n2U 的灵敏度，但工作量非常大。

幸运的是，PSpice 和Multisim 等软件都有灵敏度函数，可以通过数值仿真对电路进行灵敏度分析。

对于图2所示电路，PSpice 软件灵敏度分析结果如表1所示，表中给出了单位灵敏度和1％灵敏度两种分析结果。

因为这里分析的是线性电路，所以，如果有一个以上的元件值发生变化时，可以使用叠加法预测n1U 和n2U 的值。

例如，假定1R 减少到24Ω，2R 减少到4Ω，即1Δ1ΩR =−，2Δ1ΩR =−，根据表1中给出的n1U 和n2U 的单位灵敏度结果，可以分别得到n1U 和n2U 的变化量：
n1n1n1n1n112121212
ΔΔΔΔΔΔΔΔΔ 0.5833(1)( 5.417)(1) 4.8337 V U U U U U R R R R R R R R ∂∂=+≈+∂∂=×−+−×−= n2n2n2n2n212121212
ΔΔΔΔΔΔΔ0.5000(1) 6.500(1)7.000 V ΔΔU U U U U R R R R R R R R ∂∂=+≈+=×−+×−=−∂∂ 如果1R 和2R 都减少1Ω，将得到
n125.0000 4.833729.834 V U =+=
n290.0007.00083.000 V U =−= 如果将124ΩR =和24ΩR =代入式(1)和式(2)，得到n129.793 V U =，n282.759 V U =。

预测的两个数值与实际节点电压相比，相差在零点几伏之内。

表1 图1电路的PSpice 灵敏度分析结果 分析的
变量
节点电压值 （V ） 元件名称 元件值 （Ω 或 A ）单位灵敏度 （V/单位值） 标准灵敏度 （V/百分数）R 1 2.500E+01 5.833E-01 1.458E-01 R 2 5.000E+00 −5.417E+00
−2.708E-01 R 3 5.000E+01 4.500E-01 2.250E-01
R 4 7.500E+01 2.000E-01 1.500E-01
I S1 1.200E+01 −1.458E+01 −1.750E+00
节点电压
U n1 25.0000 I S2 1.600E+01 1.250E+01 2.000E+00
R 1 2.500E+01 5.000E-01 1.250E-01 R 2 5.000E+00 6.500E+00 3.250E-01
R 3 5.000E+01 5.400E-01 2.700E-01
R 4 7.500E+01 2.400E-01 1.800E-01
I S1 1.200E+01 −1.250E+01 −1.500E+00
节点电压
U n2 90.0000 I S2 1.600E+01 1.500E+01 2.400E+00
注：Multisim 灵敏度仿真中只给出单位灵敏度。

电路设计者利用灵敏度分析结果，确定哪个元件值的变化对电路输出影响最大。

正如从表1中PSpice 软件灵敏度分析看到的那样，图2所示电路的节点电压n1U 和n2U 相对于2R 变化
的灵敏度比相对于1R 变化的灵敏度大得多，n1U 是（5.417/0.5833）
，即相对于2R 变化的灵敏度大约是相对于1R 变化的灵敏度的9倍；n2U 是（6.500/0.50000）
，即相对于2R 变化的灵敏度大约是相对于1R 变化的灵敏度的13倍。

因此在该电路中，如果保持n1U 和n2U 的标称值是重要的话，那么，2R 的允许误差要求比1R 的允许误差要求要高，即要求2R 有更高的精度。

参考文献
James W.Nilsson 等著，冼立勤等译. 电路（第六版）. 电子工业出版社，2002。