灵敏度分析参考资料

灵敏度分析参考资料1．实际的电阻元件实际生产的电阻元件的参数值是离散的，即阻值存在一定的误差。

一般电阻的允许误差有±1％、±2％、±5％、±10％、±20％等。

一批电阻中的某个电阻，阻值是在标称值附近变化，变化值在误差范围内。

如某个电阻的标称值为1k Ω，允许误差为±5％，则该电阻的值在950Ω~1050Ω范围内均为合格。

误差较小（比如说1％）的电阻比误差较大（比如说10％）的电阻价格要贵得多。

因此，在一个包含许多电阻的电路中，电阻的数值对期望的电路性能有很大影响，理解这一点是重要的。

换句话说，要事先了解每个电阻阻值的变化对电路输出的影响。

如果为了使电路按设计的指标正常工作，电阻元件的选择应尽可能接近它的标称值，这就需要选取精度较高的电阻元件，代价是要付出高成本。

为此，需综合考虑电路设计要求和成本。

常见的电阻器按材料分有碳质电阻器、膜式电阻器和绕线电阻器等。

图1所示为常用的电阻的例子。

其中碳膜电阻和金属膜电阻的阻值与误差用色环表示，色环的意义可参照有关手册。

(a) 碳膜电阻 (b) 金属膜电阻 (c) 线绕电阻图1 碳膜电阻和金属膜电阻2．灵敏度分析研究电路元件的数值对电路输出的影响的分析称作灵敏度分析。

灵敏度有两种结果，第一种称作单位灵敏度，即电路元件的参数变化值为1个单位，如电阻变化1Ω，电压源电压变化1V ，电流源电流变化1A 时，电路输出的变化量。

第二种灵敏度称作1%灵敏度（也称作标准灵敏度），即电路元件的参数值变化1%时，电路输出的变化量。

在设计一个电系统时，设计者必须考虑元件参数变化对系统性能的影响。

一种评价这些影响的方法就是性能灵敏度分析。

灵敏度分析允许设计者计算元件数值变化时对系统输出的影响。

下面以图2所示的直流电阻电路为例说明直流灵敏度分析。

首先研究相对电阻1R 的值变化时，节点电压n1U 和n2U 的灵敏度。

利用节点分析法可以得到以n1U 和n2U 为变量的方程，将其作为电路中电阻和电流源电流的函数，求解的结果如式(1)和式(2)所示。

S2 图2 说明灵敏度分析的电路134S223434S1n1123434{[()]}()()R R R I R R R R R I U R R R R R R −++=+++ （1） 3412S21S1n2123434[()]()()R R R R I R I U R R R R R R +−=+++ （2） n1U 相对于1R 的灵敏度通过式(1)对1R 求导获得，n2U 相对于1R 的灵敏度通过式(2)对1R 求导获得，结果如下两式所示。

3423434S234234S1n121123434[()]{[()]}[()()]R R R R R R R I R R R R R I U R R R R R R R ++−++∂=∂+++ （3） 3434S223434S1n221123434{[()]}[()()]R R R R I R R R R R I U R R R R R R R −++∂=∂+++ （4） 若已知图2所示电路中各元件的标称值为：125ΩR =，25ΩR =，350ΩR =，475ΩR =，S112A I =，S216A I =。

根据式(1)和式(2)求n1U 和n2U 的标称值，得n125{507516[5(5075)5075]12}25V (525)(5075)5075U ××−++××==+++× （5） n25075[(525)16512]90V (525)(5075)5075U ×+×−×==+++× （6） 如果1R 与标称值相差10％，用灵敏度预测n1U 和n2U 的值。

根据式(3)和式(4)，可以求得1R 变化时，n1U 和n2U 的灵敏度，有n121[50755(5075)]{507516[50755(5075)]12}7 V/Ω12[(255)(5075)5075]U R ∂×+×+××−×+×+×==∂+++× （7） n2215075{507516[5(5075)5075]12}0.5 V/Ω[(255)(5075)5075]U R ∂××××−×++××==∂+++× （8） 如何使用式(7)和式(8)给出得结果？假设1R 比它的标称值少10％，即122.5ΩR =，那么1Δ 2.5ΩR =−，式(7)预测的n1ΔU 为n17Δ( 2.5) 1.4583V 12U =×−=− 所以，如果1R 比它的标称值少10％，分析预测n1U 的值为 n125 1.458323.5417 V U =−= （9）类似地，对式(8)有n2Δ0.5( 2.5) 1.25 V U =×−=−n290 1.2588.75 V U =−= （10）通过将122.5ΩR =分别代入式(1)和式(2)，来确认式(9)和式(10)的结果。

结果是n123.4780 V U = （11）n288.6960 V U = （12）对于n1U 和n2U ，为什么用灵敏度分析预测的值与将1R 代入方程式计算得到的准确值之间有差别？根据式(3)和式(4)，n1U 和n2U 相对于1R 的灵敏度是1R 的函数，因为1R 在式(3)和式(4)的分母中出现，这意味着当1R 变化时，灵敏度也随之变化。

因此，不能指望在1R 发生较大变化时，式(3)和式(4)能给出准确的结果。

但由上述结果可以看出，当1R 变化10％时，n1U 和n2U 的预测值和准确值之间的误差百分数都比较小。

n1U 的误差百分数为0.2713%，n2U 的误差百分数为0.0676%，在工程上还是可以接受的。

对于电路中的其它的元件，即2R 、3R 、4R 、S1I 和S2I ，可按上述方法，逐一计算n1U 和n2U 的灵敏度，但工作量非常大。

幸运的是，PSpice 和Multisim 等软件都有灵敏度函数，可以通过数值仿真对电路进行灵敏度分析。

对于图2所示电路，PSpice 软件灵敏度分析结果如表1所示，表中给出了单位灵敏度和1％灵敏度两种分析结果。

因为这里分析的是线性电路，所以，如果有一个以上的元件值发生变化时，可以使用叠加法预测n1U 和n2U 的值。

例如，假定1R 减少到24Ω，2R 减少到4Ω，即1Δ1ΩR =−，2Δ1ΩR =−，根据表1中给出的n1U 和n2U 的单位灵敏度结果，可以分别得到n1U 和n2U 的变化量：n1n1n1n1n112121212ΔΔΔΔΔΔΔΔΔ 0.5833(1)( 5.417)(1) 4.8337 V U U U U U R R R R R R R R ∂∂=+≈+∂∂=×−+−×−= n2n2n2n2n212121212ΔΔΔΔΔΔΔ0.5000(1) 6.500(1)7.000 V ΔΔU U U U U R R R R R R R R ∂∂=+≈+=×−+×−=−∂∂ 如果1R 和2R 都减少1Ω，将得到n125.0000 4.833729.834 V U =+=n290.0007.00083.000 V U =−= 如果将124ΩR =和24ΩR =代入式(1)和式(2)，得到n129.793 V U =，n282.759 V U =。

预测的两个数值与实际节点电压相比，相差在零点几伏之内。

表1 图1电路的PSpice 灵敏度分析结果 分析的变量节点电压值 （V ） 元件名称 元件值 （Ω 或 A ）单位灵敏度 （V/单位值） 标准灵敏度 （V/百分数）R 1 2.500E+01 5.833E-01 1.458E-01 R 2 5.000E+00 −5.417E+00−2.708E-01 R 3 5.000E+01 4.500E-01 2.250E-01R 4 7.500E+01 2.000E-01 1.500E-01I S1 1.200E+01 −1.458E+01 −1.750E+00节点电压U n1 25.0000 I S2 1.600E+01 1.250E+01 2.000E+00R 1 2.500E+01 5.000E-01 1.250E-01 R 2 5.000E+00 6.500E+00 3.250E-01R 3 5.000E+01 5.400E-01 2.700E-01R 4 7.500E+01 2.400E-01 1.800E-01I S1 1.200E+01 −1.250E+01 −1.500E+00节点电压U n2 90.0000 I S2 1.600E+01 1.500E+01 2.400E+00注：Multisim 灵敏度仿真中只给出单位灵敏度。

电路设计者利用灵敏度分析结果，确定哪个元件值的变化对电路输出影响最大。

正如从表1中PSpice 软件灵敏度分析看到的那样，图2所示电路的节点电压n1U 和n2U 相对于2R 变化的灵敏度比相对于1R 变化的灵敏度大得多，n1U 是（5.417/0.5833），即相对于2R 变化的灵敏度大约是相对于1R 变化的灵敏度的9倍；n2U 是（6.500/0.50000），即相对于2R 变化的灵敏度大约是相对于1R 变化的灵敏度的13倍。

因此在该电路中，如果保持n1U 和n2U 的标称值是重要的话，那么，2R 的允许误差要求比1R 的允许误差要求要高，即要求2R 有更高的精度。

参考文献James W.Nilsson 等著，冼立勤等译. 电路（第六版）. 电子工业出版社，2002。