港澳台学生联考数学复习资料：含答案

y1 x1

2p y1 y2
( x1

x2 )
将 y1 y2 2 y0 ( y0 0) 代入得
k AB

2p y1 y2
p y0
，所以 k AB 是非零常数
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7
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北京博飞--华侨港澳台培训学校 如图，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（1，2），A（ x1 , y1 ），B（ x2 , y2 ）均在抛物线上．
B（ x2 , y2 ） （I）求该抛物线上纵坐标为 p 的点到其焦点 F 的距离 2 （II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1 y2 的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数. y0
y
P
O A
解：（I）当 y p 时， x p
2
8
又抛物线 y 2 2 px 的准线方程为 x p 2
【答案】B
B． y2 x2 1 12 24
C． x2 y2 1 12 24
D． x2 y2 1 24 12
11. 记 cos(80) k ,那么 tan100 （ C ）
（A）— k 1 k2
（B） k 1 k2
（C）— 1 k 2 k
（D） 1 k 2 k
A． (, 4]
B． (, 4)
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C． (4, 4]
D．[4, 4]
1
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【答案】D
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7. 已知直线 y x m 是曲线 y x2 3ln x 的一条切线，则 m 的值为（ ）
B．（－2,2） D．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
2. 若 sin ,cos 是关于 x 的方程 4x2 2x 3m 0 的两根，则 m 的值为（ ）
1
A．
2
【答案】D
B． - 1 4
1
C．
4
D． - 1 2
2x y 6
3．设满足的约束条件

y2
，则目标函数 z 2xy 的最大值（
）B
x 0, y 0
（A）8
（B）16
（C）32
（D）64
4.
设等比数列 {an }
的前
n
项和为
Sn
，若
S6 S3
=3 则 S9 S
6
=（
）
7
A．
3
8
B．
3
【答案】A
C． 2
D．3
5.
若函数
f

x


a 1 a
2x 2
x
为奇函数，则 a

C
A．1
B． -1
C． 1
D．0
6. 若函数 y log2 (x2 ax 3a) 在 (2, ) 上是单调增函数，则实数 a 的取值范围为（ ）
已知数列{an }各项均为正数，其前 n 项和为 Sn ，且满足 4Sn (an 1)2 ．
（1）求{an } 的通项公式；
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4
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（2）设 bn

1 an an1
，求数列{bn } 的前 n 项和为 Tn ．
y1 y0
y2 y0
所以 y1 y2 2 y0
故 y1 y2 2 y0
设直线 AB 的斜率为 k AB
由 y2 2 2 px2 ， y12 2 px1 相减得 ( y2 y1 )( y2 y1 ) 2 p( x2 x1 )
所以 k AB

y2 x2
13. 过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60°，则该截面的面积是
．
【答案】π
x a, x 1
14．已知函数
f
(
x)


x 1 x2 1
,
x

1
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,在 x 1处连续，则实数 a 的值为
．
【答案】 1 2
15. 已知 a b 2 ，则 3a 3b 的最小值是 （ ）
（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1 y2 的值及直线 AB 的斜率． 【答案】（1） y 2 4x ， x 1 ；（2） 1．
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由抛物线定义得，所求距离为 p ( p ) 5p 8 28
x B
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y
P
O
x
A
B
（2）设直线 PA 的斜率为 k PA ，直线 PB 的斜率为 k PB
由 y12 2 px1 ， y02 2 px0
A．2 3
【答案】B
B．6
C．2
D．2 2
16.
x2
若双曲线
y2
1的实轴长是离心率的 2 倍，则 m ______．
m
【答案】 1 5 2
17. 若多项式 p x x4 x3 ax2 bx c ， p 1 2 ，用 x2 1除 p x 的余式为 2，则
12.
已知两个等差数到
an
和
bn
的前
n
项和分别为
S
n
和
Tn
，且
Sn Tn
= 7n 3 ，则 a5
n 1
b5
=（
）
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2
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A．3 【答案】D
B．4
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C．5
D．6
二、填空题：本大题共 6 小题；每小题 5 分.
相减得 ( y1 y0 )( y1 y0 ) 2 p( x1 x0 )
故 k PA

y1 x1
y0 x0

2p y1 y0
( x1

x0 )
同理可得 k PB

2p y2 y0
(x2

x0 )
由 PA，PB 倾斜角互补知 k PA k PB
即 2p 2p
C
【答案】（1）

3
；（2） a2

b2
13 ．
20. 已知各项均为正数的数列{ an }的前 n 项和满足 Sn 1 ，且 6Sn (an 1)(an 2), n N * （1）求 a1。（2）求{ an }的通项公式；
（Ⅰ）解：由
a1

S1

1 6
(a1
1)(a1
【答案】（1）
an

2n
1；（2） Tn

1 2

1
22n 1
21. 已知函数 f x ex ax 1 （ e 为自然对数的底数）.
（1）当 a 1 时，求过点 1, f 1 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 f x x2 在（0,1）上恒成立，求实数 a 的取值范围.
a b c __________
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3
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p 1 ____________. 2
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18. 在空间直角坐标系 O xyz 中，经过 A (1，0，2)， B (1 , 1 , -1)和 C (2 , -1 , 1)三个点的平面方程为 ______ 4x 3y z 6 _______。
设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且满足 an Sn 1 ，则 Sn 的取值范围是
A. (0,1)
【答案】C
B. (0, )
C. [1 ,1) 2
D. [1 , ) 2
10. 焦点为（0,6），且与双曲线 x2 y2 1有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） 2
A． y2 x2 1 24 12
【答案】（1）
2
1
e
1
（2）
a

2

e
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5
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22. 如图，过抛物线 y 2 2 px( p 0) 上一定点 P（ x0 , y0 ）（ y0 0 ），作两条直线分别交抛物线于 A（ x1 , y1 ），
A．1 B．2 【答案】A
C．3 D．0
8. 已知函数 f (x) (1 cos 2x) sin 2 x, x R ，则 f (x) 是
A．最小正周期为 的奇函数
C．最小正周期为 的奇函数
2
【答案】D
B．最小正周期为 的偶函数
D．最小正周期为 的偶函数
2
9. 直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C
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数学测试
一、选择题：本大题共 12 小题；每小题 5 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1. 若函数 f（x）＝ x2 ax 1 的定义域为实数集 R，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．[－2,2] C．（－∞，－2]∪[2，＋∞） 【答案】A

2)
，解得
a1＝1
或
a1＝2，由假设
a1＝S1＞1，因此
a1＝2。
又由
an+1＝Sn+1-
Sn＝
1 6
(a n 1
1)(an1

2)

1 6
(an
1)(an

2) ，
得 an+1- an-3＝0 或 an+1＝-an
因 an＞0，故 an+1＝-an 不成立，舍去。
因此 an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故｛an｝的通项为 an＝3n-2。
三、解答题：本大题共 4 小题；每小题 15 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
19. 在△ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，已知 cos A 2 cos C 2c a ，且 sin A 3 ，角 C 为锐角．
cos B
b
4
（1）求角 C 的大小；（2）若 c 7 ，且△ABC 的面积为 3 3 ，求 a2 b2 的值． 2